魏少宏，王業(yè)南，劉 頔

（1.北京工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京100124；2.中國(guó)汽車技術(shù)研究中心有限公司，北京100070）

聲子晶體為具有彈性波帶隙特性的周期性復(fù)合材料或結(jié)構(gòu)[1-3]，當(dāng)彈性波的頻率位于聲子晶體的禁帶區(qū)間時(shí)，彈性波的傳播受到抑制.這種帶隙特性使聲子晶體在減振降噪、濾波和波導(dǎo)等問題中具有良好的應(yīng)用前景[4-6].

聲子晶體根據(jù)帶隙產(chǎn)生的機(jī)理可分為Bragg 散射型聲子晶體[7]和局域共振型聲子晶體[8]，其中Bragg 散射型聲子晶體的帶隙特性主要取決于原胞間的相互作用和空間中的排布形式，局域共振聲子晶體的帶隙產(chǎn)生則由散射體自身的振動(dòng)特性占主導(dǎo)作用[9].本文所研究的二維固/固型聲子晶體的帶隙特性符合Bragg散射機(jī)理，帶隙頻率的波長(zhǎng)和晶格常數(shù)處于同一數(shù)量級(jí).聲子晶體的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)是帶隙研究中的關(guān)鍵問題，對(duì)帶隙的打開、寬度和所處位置具有決定性影響[10-11].晶胞由散射體和基體組成，改變散射體的形狀是調(diào)控帶隙結(jié)構(gòu)的一種手段. Kuang 等[12]利用數(shù)值方法研究了三維立體聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)，分析了4 種不同形狀的散射體（球形、立方、菱形十二面體和截八面體）在不同空間排布形式下的帶隙特性；杜敬濤等[13]通過平面波展開法研究發(fā)現(xiàn)，隨著旋轉(zhuǎn)角的變化，不同形狀散射體（圓形、橢圓形、正方形和正六邊形）的禁帶位置和寬度會(huì)發(fā)生變化.Norris 等[14]研究了分形形狀的散射體及其分形階數(shù)對(duì)聲子晶體傳輸特性的影響；嚴(yán)珠妹等[15]通過有限元法計(jì)算發(fā)現(xiàn)希臘十字和旋轉(zhuǎn)玫瑰孔形狀的聲子晶體具有較寬的帶隙；Bayat 等[16]發(fā)現(xiàn)屈曲引起的一維聲子晶體板表面周期性波紋形狀和相應(yīng)的應(yīng)力可以控制彈性波的傳播.以上研究表明，改變散射體的形狀對(duì)帶隙調(diào)控具有一定作用，然而在不改變散射體主體形狀的情況下，散射體邊界形狀的變化對(duì)帶隙的影響還有待詳細(xì)研究.本文通過構(gòu)建矩形和三角形2 種邊界凸起形狀的散射體模型，研究凸起的幾何參數(shù)對(duì)二維鋁/環(huán)氧樹脂型聲子晶體帶隙特性的影響.

1 理論方法及模型

本節(jié)主要介紹利用有限元軟件求解二維聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)的理論方法并建立具有矩形和三角形凸起的散射體邊界的幾何模型.

1.1 理論計(jì)算方法

在忽略體積力各向同性的彈性體中，角頻率為ω的諧振彈性波在其自由傳播時(shí)，可以用特征方程進(jìn)行描述[17]：

式（1）中：u（r）為位移矢量；r=（x，y）為位置矢量；Δ=（?/?x，?/?y）為微分算符；ρ 為材料密度；λ 與μ 為L(zhǎng)amé常數(shù).則位移場(chǎng)函數(shù)

式（2）中：k =（kx，ky）為第一布里淵區(qū)的波矢量；彈性波在聲子晶體中傳播時(shí)按照晶格周期調(diào)幅，且uk（r）=uk（r+Kn）為與聲子晶體具有相同周期性的函數(shù)；Kn為正格矢.

單胞離散行形式的特征方程為

式（3）中：U 為節(jié)點(diǎn)位移；K 為剛度矩陣；M 為質(zhì)量矩陣.由于聲子晶體具有平移的周期性，只要在單胞邊界上滿足Bloch 周期條件就可以令結(jié)構(gòu)的所有點(diǎn)滿足Bloch 條件，單胞的周期性邊界條件為

式（4）中：a 為聲子晶體的格矢基矢量.將波矢k 沿布里淵區(qū)的高對(duì)稱邊界Γ-X-M-Γ進(jìn)行掃描，結(jié)合邊界條件（式（5）），利用有限元軟件COMSOL Multiphysics 可以求解聲子晶體的ω 和k 頻散曲線關(guān)系，即能帶結(jié)構(gòu).

1.2 幾何模型及材料參數(shù)

基于有限元軟件（COMSOL Multiphysics）建立以環(huán)氧樹脂為基體、以鋁為散射體的聲子晶體幾何模型，并按照正方形晶格點(diǎn)陣排列，3 種不同單胞的截面示意和第一布里淵區(qū)如圖1 所示，其中圖1（a）為無凸起結(jié)構(gòu)的散射體，圖1（b）和圖1（c）分別為散射體邊界附有矩形和三角形凸起結(jié)構(gòu)，a 為晶格常數(shù)，b 為正方形散射體的邊長(zhǎng)，t 為每條邊上的矩形/三角形數(shù)目，h為矩形/三角形的高度.由圖1 可以看出，散射體主體形狀均為正方形.

圖1 3 種不同散射體邊界的聲子晶體幾何模型和第一布里淵區(qū)Fig.1 Geometric model of phononic crystals with three different scatter boundaries and the first Briyuan District

聲子晶體的基體由環(huán)氧樹脂（EP）構(gòu)成，中心的散射體材質(zhì)為鋁（Al），材料的參數(shù)如表1 所示.基體中橫波波速（transverse wave）ct=1 160.8 m/s，求得歸一化頻率Ω=ωa/2πct.由于每種晶胞都是對(duì)稱的，利用波矢沿八分之一布里淵區(qū)邊界Γ-X-M-Γ 進(jìn)行掃描，通過有限元法計(jì)算研究不同散射體邊界聲子晶體在XY 模式下的能帶結(jié)構(gòu).

表1 材料參數(shù)Tab.1 Material parameters

2 數(shù)值結(jié)果

2.1 無凸起結(jié)構(gòu)正多邊形散射體對(duì)帶隙的影響

本小節(jié)研究散射體的填充率f 分別為20%和40%時(shí)，無凸起結(jié)構(gòu)正多邊形邊數(shù)對(duì)聲子晶體帶隙特性的影響.正多邊形散射體的邊數(shù)為奇數(shù)時(shí)，結(jié)構(gòu)的不對(duì)稱性和放置角度都會(huì)對(duì)聲子晶體的帶隙特性產(chǎn)生較大影響.當(dāng)正多邊形邊數(shù)為偶數(shù)時(shí)，晶胞結(jié)構(gòu)隨邊數(shù)變化時(shí)對(duì)稱性差距較小.因此，建立無凸起結(jié)構(gòu)的四邊形、六邊形、八邊形、十二邊形及圓形散射體的二維環(huán)氧樹脂/鋁聲子晶體模型，當(dāng)正多邊形邊數(shù)目趨于無窮大時(shí)，散射體邊界形狀等同于圓形.

散射體填充率f 為20%和40%時(shí)，聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)如圖2 所示.彈性波在各個(gè)方向都無法通過的頻段為完全帶隙，圖2 中陰影部分為完全帶隙隨正多邊形邊數(shù)變化的示意圖.

圖2 正n 邊型散射體聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Band structures of phononic crystals with regular polygon scatter

帶隙寬度w 隨邊數(shù)n 的變化情況如圖3 所示.由圖3（a）可以看出，當(dāng)填充率f=20%時(shí)，帶隙寬度w 隨正多邊形邊數(shù)n 的增加而遞減，且降低速度越來越小，結(jié)果趨近于圓形. 由圖3（b）可以看出，當(dāng)填充率f=40%時(shí)，帶隙寬度w 和中心頻率隨正多邊形邊數(shù)的增加先有小幅增大，隨后開始遞減. 以上結(jié)果表明無凸起結(jié)構(gòu)的正多邊形散射體的邊數(shù)對(duì)帶隙特性具有一定影響，即邊數(shù)的增加一般會(huì)使得帶隙寬度和中心頻率減小，但在填充率較小時(shí)這種影響非常微弱.

圖3 聲子晶體帶隙寬度隨正n 邊形的變化Fig.3 Variation of band gap width of the phononic crystal with regular polygon

2.2 矩形凸起的散射體邊界對(duì)帶隙的影響

2.2.1 矩形凸起的高度h 對(duì)帶隙的影響

首先，研究矩形凸起的高度h 對(duì)聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)的影響.聲子晶體填充率f 分別為20%和40%，矩形凸起的單邊數(shù)目t 固定為10，凸起的高度h 分別為0.005a、0.025a、0.050a、0.075a 和0.100a，高度h 不同時(shí)，聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)如圖4 所示.由圖4 可以看出，分別在中心頻率為0.95 和1.10 附近打開帶隙，填充率為40%時(shí)中心頻率和帶隙寬度明顯增大.

帶隙寬度w 隨矩形凸起高度參數(shù)h/a 的變化情況如圖5 所示.在2 種不同的填充率下，帶隙寬度w 隨參數(shù)h 的增大先增加后減小，且都在h=0.025a 時(shí)取到最大值.帶隙上限頻率初期隨h 增大而增加，在h ＞0.025a后開始減少，帶隙的下限頻率則保持遞增.

圖4 聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)隨矩形凸起高度h 的變化Fig.4 Variation of band structures of phononic crystals withthe rectangular convex height h

圖5 聲子晶體帶隙寬度隨幾何參數(shù)h/a 的變化Fig.5 Variation of band gap width of phononic crystals vary with h/a

2.2.2 矩形凸起數(shù)目t 對(duì)帶隙的影響

矩形凸起高度h 為0.05a，矩形數(shù)目t 從3 到20時(shí)，聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)如圖6 所示.由圖6 可以觀察到，帶隙同樣位于第3 條和第4 條能帶之間，此外，凸起數(shù)目t 對(duì)能帶結(jié)構(gòu)的影響小于高度h 的影響，中心頻率的變化較小.

圖6 聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)隨矩形凸起數(shù)目t 的變化Fig.6 Variation of band structures of phononic crystals with the number of rectangular convex t

帶隙寬度w 隨矩形凸起數(shù)目t 的變化如圖7 所示.由圖7 可以看出，當(dāng)聲子晶體填充率f 為20%和40%時(shí)，帶隙寬度w 隨矩形凸起數(shù)目t 的增加均逐漸減小，中心頻率趨勢(shì)一致.

2.3 三角形凸起的散射體邊界對(duì)帶隙的影響

2.3.1 三角形凸起高度h 對(duì)帶隙的影響

首先研究三角形凸起高度h 對(duì)聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)的影響.填充率f 為20%和40%，三角形凸起數(shù)目t固定為10，矩形高度h 為0.005a、0.025a、0.050a、0.075a和0.100a 時(shí)，聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)如圖8 所示.由圖8可以看出，填充率較大時(shí)中心頻率和完全帶隙的寬度明顯增大.

圖7 聲子晶體帶隙寬度隨矩形凸起數(shù)目t 的變化Fig.7 Variation of band gap of phononic crystals with the number of rectangular convex t

圖8 聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)隨三角形凸起高度h 的變化Fig.8 Variation of band structures of phononic crystals with the triangle convex height h

聲子晶體的帶隙寬度隨高度參數(shù)h/a 的變化情況如圖9 所示.

圖9 凸起聲子晶體帶隙寬度隨三角形凸起高度參數(shù)h/a 變化Fig.9 Variation of band gap of phononic crystals with h/a

由圖9 可以看出，當(dāng)填充率f 分別為20%和40%時(shí)，帶隙寬度w 均隨參數(shù)h/a 的增大先增大，并在h=0.050a 時(shí)達(dá)到最大值，而后逐漸減小.帶隙的上限頻率在h=0.050a 時(shí)增至最大，隨后開始減小，帶隙初期的擴(kuò)寬是因?yàn)閹渡舷揞l率的迅速增長(zhǎng)，而帶隙下限頻率則隨高度的增加而單調(diào)遞增.

2.3.2 三角形凸起總數(shù)t 對(duì)帶隙的影響

研究三角形凸起的數(shù)目t 對(duì)帶隙的影響.當(dāng)三角形凸起的高度h 固定為0.050a，單邊凸起數(shù)目t 的變化范圍為5～20，填充率f 分別為20%和40%時(shí)，聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)如圖10 所示，因?yàn)閹秾挾鹊淖畲笾挡煌?，圖10 中給出了不同凸起數(shù)目下的能帶結(jié)構(gòu)圖.

帶隙寬度w 隨三角形凸起數(shù)目t 的變化情況如圖11 所示.在2 種不同的填充率下，帶隙寬度w 隨三角形凸起數(shù)目t 均先增大后減小，但最大點(diǎn)有所變化，分別出現(xiàn)在t=7 和t = 10 兩點(diǎn)，帶隙寬度在t = 10 ～20 時(shí)，變化較大.中心頻率隨t 的變化趨勢(shì)與帶隙寬度相同，最大點(diǎn)也分別出現(xiàn)在t=7 和t=10 時(shí).

圖10 聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)隨三角形數(shù)目t 的變化Fig.10 Variation of band structures of phononic crystals with the number of triangle convex

圖11 聲子晶體帶隙寬度隨三角形凸起數(shù)目t 的變化Fig.11 Variation of band gap of phononic crystals with the number of triangle convex t

帶隙寬度隨三角形凸起高度h 和數(shù)目t 的變化情況如圖12 所示.

圖12 f=40%時(shí)聲子晶體帶隙寬度隨三角形凸起高度h 和數(shù)目t 的變化Fig.12 Variation of band gap of phononic crystals with height h and the number of triangle convex t when f =40%

一條帶隙的極大值曲線從h=0.015a、t =5 處延伸到h=0.005a、t=30 處，在該條曲線附近，帶隙寬度取到極大值，最大帶隙寬度為0.390 5.因此，可以通過調(diào)節(jié)凸起的高度h 和數(shù)目t 增大或減小帶隙.

2.4 有無凸起結(jié)構(gòu)對(duì)帶隙影響的對(duì)比分析

對(duì)比無凸起結(jié)構(gòu)的正多邊形散射體以及具有矩形和三角形凸起結(jié)構(gòu)的正方形散射體對(duì)帶隙的影響，結(jié)果如圖13 所示，其中f =20%、h = 0.150a 時(shí)矩形凸起的帶隙關(guān)閉沒有列出.

圖13 凸起結(jié)構(gòu)對(duì)帶隙影響的對(duì)比Fig.13 Comparison with the effect of convex on bandgap

在2 種不同的填充率下，無凸起結(jié)構(gòu)的正多邊形散射體的邊界形狀從正四邊形到接近圓形，帶隙寬度變化均較??；而在有凸起結(jié)構(gòu)的情況下，在t=10，h=0.050a、0.075a 和0.100a 時(shí)，隨著矩形凸起高度的變化，帶隙寬度的跨度分別為0.036 4 和0.061 0，隨著三角形凸起高度的變化，帶隙寬度的跨度分別為0.029 6和0.061 1；在h=0.05a、t=5 ～20 時(shí)，帶隙寬度隨著矩形凸起數(shù)目的變化跨度分別為0.052 9 和0.071 8，三角形凸起數(shù)目的變化跨度分別為0.051 1 和0.064 7.

由圖13 可知，有凸起結(jié)構(gòu)正方形散射體對(duì)帶隙的影響明顯大于無凸起結(jié)構(gòu)正多邊形散射體的影響，同時(shí)矩形和三角形凸起的高度h 對(duì)帶隙寬度的影響大于其數(shù)目t 對(duì)帶隙寬度的影響.在2 種不同的填充率下，帶隙寬度的變化趨勢(shì)均保持一致，同時(shí)在填充率f=40%時(shí)，凸起的高度h 和數(shù)目t 對(duì)帶隙的影響較大.

3 結(jié)論

本研究通過數(shù)值模擬，研究無凸起結(jié)構(gòu)的正多邊形散射體和有凸起結(jié)構(gòu)的正方形體對(duì)帶隙的影響，得到以下結(jié)論：

（1）無凸起結(jié)構(gòu)的正多邊形散射體的邊界形狀從正四邊形無限接近圓形，帶隙寬度和中心頻率變化都很小，說明無凸起結(jié)構(gòu)的正多邊形散射體邊數(shù)對(duì)帶隙的影響較小.

（2）散射體的填充率對(duì)帶隙具有顯著影響，保持填充率不變時(shí)，凸起結(jié)構(gòu)的存在對(duì)帶隙具有一定的調(diào)控作用.有凸起結(jié)構(gòu)正四邊形散射體對(duì)帶隙的影響明顯大于無凸起結(jié)構(gòu)正多邊形散射體的影響，且適當(dāng)調(diào)節(jié)凸起結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)可以擴(kuò)寬帶隙.

（3）矩形與三角形凸起的高度h 對(duì)帶隙寬度的影響大于其數(shù)目t 對(duì)帶隙寬度的影響，在增大填充率時(shí)，凸起結(jié)構(gòu)的高度h 和數(shù)目t 對(duì)帶隙的影響也隨之變大.

本文研究了凸起結(jié)構(gòu)的散射體形狀對(duì)二維固/固型聲子晶體帶隙的影響，為通過結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)調(diào)節(jié)聲子晶體帶隙提供了理論參考.