山東省威海市第二中學(xué) (264200) 宗香榮

二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動(dòng)區(qū)間定、軸定區(qū)間動(dòng)，不論哪種類型，解決問題的關(guān)鍵是討論對(duì)稱軸與所給區(qū)間的關(guān)系.研究已知最值求參數(shù)問題，就是要依據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與給定區(qū)間的變化關(guān)系進(jìn)行分析，再通過(guò)分類討論確定取最值點(diǎn)，然后建立等式求出參數(shù)的值.下面根據(jù)幾個(gè)典型特題例的分析，揭示此類問題的求解方案，供讀者朋友參考．

一、定軸、定區(qū)間、定開口方向

例1 已知f(x)=x2+2x+a2-1在閉區(qū)間[0，1]上有最小值為1，求a的值．

二、定軸、定區(qū)間、開口方向不確定

例2 已知f(x)=ax2+2ax+1在[-3，2]上有最大值4，求a的值．

評(píng)注：由于二次函數(shù)的開口方向的不同，則何時(shí)取得最值也可能是不同的，我們必須通過(guò)研究對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像確定取最值的情況，再列式求解．

三、定區(qū)間、定開口方向而對(duì)稱軸位置變化

例3 已知函數(shù)f(x)=-x2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上有最大值2，求a的值.

評(píng)注：由于拋物線的對(duì)稱軸是沿x軸左右平移的，所以只要分別討論對(duì)稱軸在定區(qū)間的兩側(cè)和中間等三種情況就可以了．此類問題中需要注意，通過(guò)列式解方程得到的參數(shù)值要與此時(shí)參數(shù)所在的對(duì)應(yīng)范圍進(jìn)行比較后才能確定，否則容易出現(xiàn)增解．

四、定區(qū)間、對(duì)稱軸與開口方向都不確定

例4 已知函數(shù)f(x)=ax2-2x在區(qū)間[0,1]上有最小值為-1，求a的值．

解析：(1)當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=-2x在[0,1]上單調(diào)遞減，所以[f(x)]min=f(1)=-2，所以a=0不滿足題意，舍去.

評(píng)注：區(qū)間定、對(duì)稱軸與開口方向都不確定的求函數(shù)最值問題是一個(gè)非常復(fù)雜的問題，一般情況下，要分開口方向和對(duì)稱軸兩級(jí)討論．由于此題中的一次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，沒有常數(shù)項(xiàng)，所以很多步驟都省略了，若不是如此，就難以承受了．

評(píng)注：本題如果采用例4的方法，那是困難重重的，而本解法是從整體上去考慮問題，這樣就大大簡(jiǎn)化了解題難度，所以在遇到困難時(shí)，換一種想法，跳出原來(lái)圈子外重新思考問題，可能會(huì)有驚喜出現(xiàn)．

五、定二次函數(shù)，而區(qū)間的一端在動(dòng)

例6 已知函數(shù)y=x2-2x+3在閉區(qū)間[0,m]上有最大值3，最小值2，求m的取值范圍.

解析：由于二次函數(shù)y=x2-2x+3圖象的對(duì)稱軸為x=1.當(dāng)m<1時(shí)，y=f(x)在[0,m]上為減函數(shù).所以ymax=f(0)=3，ymin=f(m)=m2-2m+3=2.則m=1，無(wú)解.當(dāng)1≤m≤2時(shí)，ymin=f(1)=12-2×1=3=2，ymax=f(0)=3.當(dāng)m>2時(shí)，ymax=f(m)=m2-2m+3=3，所以m=0或m=2，無(wú)解.所以m的取值范圍1≤m≤2.

評(píng)注：由于只有一個(gè)變參數(shù)，所以難度不大，只要我們通過(guò)分析函數(shù)圖像，抓住何時(shí)取最大或最小值的情況，就不會(huì)出現(xiàn)什么意外的．

六、定二次函數(shù)，區(qū)間長(zhǎng)度定，而兩端在動(dòng)

例7 設(shè)函數(shù)f(x)=x2-2x+2，若x∈[t,t+1]，t∈R，求函數(shù)f(x)的最小值g(t)的最小值．

圖1 圖2 圖3

評(píng)注：由于區(qū)間的長(zhǎng)度不變，所以就可以看成是一個(gè)線段在x軸上滑動(dòng)，然后通過(guò)研究函數(shù)圖像在此變區(qū)間內(nèi)的單調(diào)情況確定其最值．本題通過(guò)對(duì)區(qū)間端點(diǎn)關(guān)于拋物線頂點(diǎn)位置的討論，利用函數(shù)圖象確定函數(shù)在所對(duì)應(yīng)的區(qū)間內(nèi)單調(diào)性，順利找到了最小值，這也是解決二次函數(shù)的最值問題的通法．

雖然求二次函數(shù)的最值有通法，但在各類不同類型的題目中又有題目本身的特點(diǎn)，所以在具體解題過(guò)程中，要在通法的基礎(chǔ)上抓住特點(diǎn)，建立符合自身?xiàng)l件的解題方案，這樣就是簡(jiǎn)化解題、精確思考的優(yōu)良思維品質(zhì)的體現(xiàn)．