馬 蒙，李明航，譚新宇，曲翔宇，張厚貴

(1. 北京交通大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，北京 100044；2. 北京市勞動(dòng)保護(hù)科學(xué)研究所， 北京 100054)

地鐵列車運(yùn)行引起的振動(dòng)由車輛、軌道相互作用產(chǎn)生，經(jīng)由軌道結(jié)構(gòu)、隧道結(jié)構(gòu)、地層及建筑基礎(chǔ)，傳至敏感建筑內(nèi)部引起結(jié)構(gòu)振動(dòng)及二次噪聲，對(duì)樓內(nèi)居民生活和建筑功能造成潛在影響。在地鐵線路方案設(shè)計(jì)階段，建立合理的預(yù)測(cè)模型提高環(huán)境振動(dòng)預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性對(duì)優(yōu)化地鐵線路設(shè)計(jì)和綜合減隔振設(shè)計(jì)起到重要作用[1-3]。車輛-軌道動(dòng)力相互作用的模擬決定了環(huán)境振動(dòng)預(yù)測(cè)模型中振源子模型的準(zhǔn)確性。列車移動(dòng)荷載可視作準(zhǔn)靜態(tài)分量和動(dòng)態(tài)激勵(lì)的疊加[4]，準(zhǔn)靜態(tài)激勵(lì)由移動(dòng)的列車輪軸荷載引起，而動(dòng)態(tài)激勵(lì)則受軌道不平順、車輪不圓順等引起的隨機(jī)激勵(lì)，以及軌道結(jié)構(gòu)周期性等固定參數(shù)激勵(lì)影響。

軌道不平順和車輪不圓順通常可以視為平穩(wěn)的隨機(jī)過程，采用功率譜密度函數(shù)(Power Spectral Density, PSD)表達(dá)。針對(duì)高速鐵路和干線鐵路軌道不平順，主要采用德國譜、美國譜或?qū)崪y(cè)值作為車輛-軌道激勵(lì)[5-6]。而針對(duì)地鐵建立的車輛-軌道耦合模型中，由于缺少被廣泛認(rèn)同的軌道不平順譜，通常將美國譜[7-9]或?qū)崪y(cè)鋼軌表面粗糙度作為輸入激勵(lì)[10-11]，近年來也有越來越多的研究針對(duì)不同波長成分采用不同模擬方法[12-13]。文獻(xiàn)[14 - 15]的測(cè)試和模擬結(jié)果表明，車輪的磨耗狀態(tài)對(duì)環(huán)境振動(dòng)關(guān)心的頻率有顯著影響。此外，溫士明等[16]對(duì)比測(cè)試了車輪鏇修前后浮置板軌道的振動(dòng)響應(yīng)；Nielsen 等[17]通過對(duì)比分析不同車輪磨耗程度對(duì)應(yīng)的地表振動(dòng)響應(yīng)，證明了通過車輪鏇修可以有效降低環(huán)境振動(dòng)。然而，目前在預(yù)測(cè)地鐵列車環(huán)境振動(dòng)時(shí)，幾乎所有研究中均只考慮了軌道不平順的激勵(lì)，鮮有文獻(xiàn)考慮車輪不圓順的影響。

為了綜合分析軌道不平順以及車輪、鋼軌的磨耗狀態(tài)對(duì)軌道動(dòng)力響應(yīng)的影響，本文對(duì)一列地鐵列車進(jìn)行了車輪不圓順的現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試，同時(shí)對(duì)一段區(qū)間隧道內(nèi)的軌道不平順和鋼軌粗糙度均進(jìn)行了測(cè)試，并基于測(cè)試結(jié)果構(gòu)建了輪軌耦合不平順譜。應(yīng)用車輛-軌道耦合頻域解析模型計(jì)算了軌道動(dòng)力響應(yīng)，并比較了不同輪軌激勵(lì)模式對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。此外，在上述區(qū)間隧道內(nèi)實(shí)測(cè)了鋼軌振動(dòng)響應(yīng)，用以驗(yàn)證不同激勵(lì)模式計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。

1 車輪不圓順和軌道不平順測(cè)試

1.1 實(shí)測(cè)車輪不圓順

為了構(gòu)建可用于車輛-軌道耦合模型計(jì)算輸入的車輪不圓順譜，選取一列6 節(jié)編組的地鐵B 型車，對(duì)全部48 個(gè)車輪進(jìn)行不圓順測(cè)試。該列車至測(cè)試時(shí)累積運(yùn)營里程14.1 萬公里，尚未進(jìn)行車輪鏇修作業(yè)。測(cè)試車輪標(biāo)準(zhǔn)半徑為0.42 m。測(cè)試儀器采用便攜式車輪不圓順測(cè)試儀TriTops，該儀器具備3 個(gè)等距測(cè)量探針，可同時(shí)測(cè)量距離輪緣外側(cè)70 mm 的名義滾動(dòng)圓處及其左、右10 mm 處的3 個(gè)不同車輪踏面位置的不圓順(見圖1)。測(cè)試時(shí)先用千斤頂頂升輪對(duì)，然后利用永磁鐵將測(cè)試儀器固定在鋼軌上，微調(diào)傳感器位置使其歸零，然后手動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)輪對(duì)，儀器自動(dòng)記錄數(shù)據(jù)，最后拆卸儀器和千斤頂。圖2 為測(cè)得車輪不圓順的典型結(jié)果。

圖 1 測(cè)試儀器及測(cè)點(diǎn)位置Fig. 1 Measurement instrument and sensor locations

圖 2 典型車輪不圓順測(cè)試結(jié)果Fig. 2 Typical measurement results of wheel out-of-round

圖 3 所有車輪粗糙度譜測(cè)試樣本及其代表性分位譜Fig. 3 All test sample of wheel roughness PSD and their typical quantile spectrum

采用周期圖法進(jìn)行車輪不圓順測(cè)試樣本的功率譜密度函數(shù)估計(jì)，測(cè)試數(shù)據(jù)加漢寧窗，恢復(fù)系數(shù)為2。測(cè)試樣本對(duì)應(yīng)的車輪不圓順譜及其統(tǒng)計(jì)分位數(shù)譜如圖3 所示。根據(jù)文獻(xiàn)[18]的研究，隨著運(yùn)營里程的增加，車輪踏面的磨耗量呈現(xiàn)以實(shí)際滾動(dòng)圓為中心的正態(tài)分布特征，單位運(yùn)營里程車輪磨耗量同樣呈現(xiàn)正態(tài)分布特征。由于測(cè)試同一車輪多個(gè)測(cè)試位置、不同車輛車輪的空間位置不同、簧下質(zhì)量差異等多個(gè)因素作用下，車輪的不圓順譜幅值差異明顯，在某些波長處，相差甚至超過三個(gè)數(shù)量級(jí)；車輪不圓順譜呈現(xiàn)與各階多邊形磨耗典型波長的峰值，其中7 階、8 階、9 階及14 階對(duì)應(yīng)峰值尤為突出，60 km/h 運(yùn)行車速下對(duì)應(yīng)頻率為44 Hz、50 Hz、57 Hz 及 89 Hz；此外，均值譜、5%及95%分位數(shù)譜呈現(xiàn)相似的波動(dòng)趨勢(shì)，三條統(tǒng)計(jì)譜線間主要表現(xiàn)為量級(jí)的差異。圖4 給出了三條車輪不圓順統(tǒng)計(jì)譜與Sato 提出的功率譜[19](簡稱“Sato 譜”)和美國譜的對(duì)比情況，測(cè)試列車車輪不圓順的均值譜及95%分位譜在0.5 m 以下波長段遠(yuǎn)高于美國1 級(jí)譜及Sato 譜。因此可以推測(cè)，在地鐵車輛-軌道耦合模型中以美國譜或Sato 譜作為輸入激勵(lì)，難以客觀反映車輪不圓順的激勵(lì)信息。

圖 4 實(shí)測(cè)車輪不圓順分位譜Fig. 4 Statistic quantile PSD of tested wheel roughness PSD

1.2 實(shí)測(cè)軌道不平順

軌道高低不平順包括動(dòng)態(tài)高低不平順和靜態(tài)鋼軌表面粗糙度等不同波長成分。為得到待測(cè)區(qū)間隧道包含不同波長成分的軌道不平順，采用地鐵運(yùn)營單位提供的該區(qū)間軌道動(dòng)態(tài)高低不平順檢測(cè)原始數(shù)據(jù)，其最短分析波長為2 m。采用高精度鋼軌波磨測(cè)試小車測(cè)試該區(qū)間的鋼軌表面粗糙度(見圖5)，測(cè)試波長范圍為0.01 m～3.000 m。低不平順譜在2 m～20 m 波長范圍內(nèi)，在美國1 級(jí)譜及6 級(jí)譜之間波動(dòng)；0.5 m～2 m 波長段的實(shí)測(cè)鋼軌粗糙度譜與美國1 級(jí)譜基本吻合，明顯高于Sato譜；0.05 m～0.5 m 以內(nèi)大部分波長段介于在美國1 級(jí)譜及6 級(jí)譜之間；粗糙度譜在0.04 m 左右出現(xiàn)明顯的峰值，該波長與測(cè)試區(qū)間的鋼軌波磨直接相關(guān)。因此，在地鐵車輛-軌道耦合模型中，采用不同等級(jí)的美國譜作為激勵(lì)信息，基本可以反映地鐵軌道的動(dòng)態(tài)高低不平順及鋼軌粗糙度的狀態(tài)。

圖 5 鋼軌表面粗糙度測(cè)試Fig. 5 Rail roughness test

圖 6 實(shí)測(cè)軌道動(dòng)態(tài)高低不平順譜及鋼軌粗糙度譜Fig. 6 Measured track dynamic irregularity PSD and rail roughness PSD

2 車輛-軌道耦合頻域解析模型

2.1 車輛與軌道控制方程

采用基于MATLAB 的自編程序建立2 維車輛-軌道耦合頻域解析模型。地鐵列車考慮為6 節(jié)編組的B 型車，每節(jié)車輛簡化為具備2 系質(zhì)量彈簧體系的10 自由度模型。各子結(jié)構(gòu)均考慮為剛性體，系統(tǒng)方程可以通過對(duì)各個(gè)剛體各自由度采用D’Alembert 原理計(jì)算獲得。軌道模型考慮為離散支撐的歐拉梁模型，以模擬整體道床上安裝DTVI2型扣件(見圖7)。

圖 7 車輛-軌道耦合模型示意圖Fig. 7 Sketch of vehicle-track coupled model

本文旨在分析列車運(yùn)行引起的環(huán)境振動(dòng)問題，重點(diǎn)關(guān)注200 Hz 以下頻段的軌道振動(dòng)響應(yīng)。根據(jù)文獻(xiàn)[20 - 23]的研究，在該頻段內(nèi)，采用線性的赫茲彈簧進(jìn)行輪軌相互作用模擬可以獲得可靠的計(jì)算結(jié)果。因此，輪軌間采用赫茲接觸，接觸參數(shù)見文獻(xiàn)[24]；同時(shí)將軌道高低不平順譜(含實(shí)測(cè)鋼軌表面粗糙度譜)及車輪不圓順譜作為系統(tǒng)激勵(lì)。

列車第m節(jié)車輛的頻域控制方程表示為：

依據(jù)無限-周期理論，將軌道結(jié)構(gòu)視為以扣件間距L為周期的離散支撐無限-周期結(jié)構(gòu)。鋼軌簡化為無限長歐拉梁，扣件支撐簡化為彈簧阻尼單元，則軌梁的振動(dòng)響應(yīng)可統(tǒng)一在一個(gè)特征周期長度內(nèi)進(jìn)行求解。在頻域內(nèi)，頻率為ωl的單位移動(dòng)荷載作用下，一個(gè)特征周期內(nèi)的軌梁振動(dòng)方程為：

表 1 地鐵車輛參數(shù)Table 1 Metro vehicle parameters

表 2 DTVI2 扣件軌道參數(shù)(對(duì)應(yīng)兩股軌道)Table 2 Parameters of track with DTVI2 fasteners(corresponding to two rails)

2.2 輪軌耦合不平順譜

為了綜合反映車輪不圓順和軌道不平順的耦合激勵(lì)機(jī)制，需要同時(shí)考慮軌道動(dòng)態(tài)不平順、鋼軌表面粗糙度及車輪不圓順(≤2.62 m 波長段)的全部激勵(lì)能量。由于建立的車輛-軌道耦合模型是2 維的，因此本文涉及的輪、軌不平順譜均為豎向激勵(lì)。采用輪、軌分離譜的形式[26]，即分別對(duì)車輪踏面及鋼軌表面粗糙度譜進(jìn)行測(cè)量估計(jì)，按照能量疊加的方式進(jìn)行線性疊加。該方法假設(shè)車輪不圓順與鋼軌表面粗糙度之間完全不相干，保證激勵(lì)信息的完備與激勵(lì)能量的等效，綜合考慮了輪、軌耦合激勵(lì)作用。本文重點(diǎn)關(guān)注50 mm 以上波長的車輪不圓順和鋼軌不平順，這一波長遠(yuǎn)大于接觸斑尺寸，因此可忽略接觸濾波效應(yīng)。

輪軌耦合不平順的擬合以文獻(xiàn)[20, 25]中給出的改進(jìn)三角級(jí)數(shù)擬合方法為基礎(chǔ)，同時(shí)考慮車輪不圓順及軌道不平順的影響。該方法假設(shè)不平順的樣本函數(shù)由不同頻率成分的諧波分量組成，且不同波長的不平順是由不同的因素誘發(fā)所引起，因此假設(shè)不同波長間相互獨(dú)立。則列車第k軸歷經(jīng)的對(duì)應(yīng)激勵(lì)頻率ωl(l=-NR,···,-1,1,···,NR)的輪軌耦合不平順幅值可以表達(dá)為：

3 軌道動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算與測(cè)試

3.1 計(jì)算工況

為對(duì)比分析多種輪軌激勵(lì)輸入模式下的軌道振動(dòng)響應(yīng)，共設(shè)計(jì)了9 種計(jì)算工況(見表3)。其中，軌道不平順考慮了美國譜、Sato 譜和實(shí)測(cè)軌道不平順及鋼軌表面粗糙度譜等方式，車輪不圓順考慮不同實(shí)測(cè)分位譜。對(duì)于實(shí)測(cè)軌道譜分析工況，≥2 m 波長段，采用測(cè)試區(qū)間的實(shí)測(cè)軌道動(dòng)態(tài)高低不平順譜；＜2 m 波長段，采用實(shí)測(cè)鋼軌表面粗糙度譜。車輪不圓順譜僅影響≤2.62 m 波長段。

表 3 計(jì)算工況Table 3 Calculation cases

圖8 為車輪不圓順譜與實(shí)測(cè)軌道不平順譜的耦合譜。當(dāng)車輪不圓順程度較輕時(shí)，輪軌耦合譜主要表現(xiàn)軌道的不平順特征，但隨著車輪不圓順程度的增加，車輪各階多邊形磨耗對(duì)應(yīng)的波長處功率譜則越發(fā)凸顯，幅值遠(yuǎn)高于美國1 級(jí)譜；Sato譜雖然是一種針對(duì)3 m 以下的輪軌耦合粗糙度譜，但其量值明顯低于實(shí)測(cè)輪軌耦合不平順譜。

3.2 計(jì)算結(jié)果分析

為了評(píng)價(jià)不同激勵(lì)工況下軌道響應(yīng)計(jì)算準(zhǔn)確性，對(duì)實(shí)測(cè)軌道不平順和鋼軌粗糙度所在地鐵區(qū)間布設(shè)測(cè)點(diǎn)，對(duì)鋼軌垂向振動(dòng)加速度進(jìn)行了24 h的連續(xù)監(jiān)測(cè)。測(cè)點(diǎn)所在斷面地鐵線路為直線、列車通過車速為60 km/h。根據(jù)地鐵運(yùn)營單位提供的線路運(yùn)營圖，提取出測(cè)試車輪不圓順的那一列車多次重復(fù)通過鋼軌測(cè)點(diǎn)斷面時(shí)的振動(dòng)響應(yīng)。

三分之一倍頻程頻域坐標(biāo)下的振動(dòng)加速度級(jí)定義為：

式中：a(fi) 為不同中心頻率fi處的振動(dòng)加速度均方根值；a0為參考加速度，取10-6m/s2。

圖9 對(duì)比了不同輪軌激勵(lì)工況下鋼軌振動(dòng)響應(yīng)的計(jì)算結(jié)果與測(cè)試結(jié)果。如圖9 (a)所示，10 Hz以上全頻段，美國1 級(jí)譜計(jì)算結(jié)果高于6 級(jí)譜約10 dB，且1 級(jí)譜的計(jì)算結(jié)果在8 Hz～40 Hz 內(nèi)與測(cè)試結(jié)果較接近；8 Hz 以下頻段的振動(dòng)響應(yīng)受準(zhǔn)靜態(tài)激勵(lì)控制，軌道不平順的輸入對(duì)計(jì)算結(jié)果基本沒有影響。圖9 (b)給出了Sato 譜對(duì)應(yīng)的計(jì)算結(jié)果。高等級(jí)的Sato 譜對(duì)應(yīng)的計(jì)算結(jié)果在8 Hz～31.5 Hz頻段與測(cè)試結(jié)果更接近，但仍普遍低于測(cè)試結(jié)果。此外，Sato 譜雖然作為一種輪軌耦合粗糙度譜在高速鐵路運(yùn)行引起的振動(dòng)及噪聲問題中被廣泛應(yīng)用，但其最高等級(jí)的譜值仍無法準(zhǔn)確計(jì)算50 Hz 以上頻段的鋼軌振動(dòng)響應(yīng)。由圖9 (c)可知，在分段輸入實(shí)測(cè)軌道高低不平順及鋼軌表面粗糙度時(shí)，16 Hz～31.5 Hz 頻段計(jì)算結(jié)果略高于測(cè)試結(jié)果。美國譜、Sato 譜及實(shí)測(cè)軌道不平順作用下，在50 Hz 以上全頻段，計(jì)算結(jié)果都顯著小于測(cè)試結(jié)果，部分中心頻率處差異超過10 dB。圖9 (d)給出了輸入輪軌耦合不平順的計(jì)算結(jié)果，當(dāng)車輪不圓順取為均值譜時(shí)，計(jì)算結(jié)果及測(cè)試結(jié)果在8 Hz以上全頻段吻合良好；除80 Hz 外，計(jì)算值與測(cè)試值相差不超過5 dB；由于本文采用的輪軌耦合不平順構(gòu)造方法未考慮車輪表面粗糙度與鋼軌表面粗糙度間的相干性，一定程度上高估了輪軌表面的實(shí)際激勵(lì)信息，導(dǎo)致在80 Hz 及其他部分中心頻率處，計(jì)算結(jié)果略高于實(shí)測(cè)振動(dòng)加速度。綜合比較，考慮車輪不圓順的影響后，可以完善動(dòng)態(tài)激勵(lì)信息，尤其是在車輪不圓順對(duì)應(yīng)的典型波長段會(huì)明顯提高計(jì)算準(zhǔn)確性。

圖 9 計(jì)算與測(cè)試鋼軌振動(dòng)加速度級(jí)Fig. 9 Calculated and measured result of rail VAL

3.3 計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確性評(píng)價(jià)

為定量評(píng)價(jià)計(jì)算結(jié)果與測(cè)試結(jié)果間的差異，引入平均絕對(duì)百分比誤差(mean absolute percentage error，MAPE)，表示為：

圖 10 部分計(jì)算工況的平均絕對(duì)百分比誤差Fig. 10 MAPE of part of calculation conditions

式中：qi表示計(jì)算結(jié)果；Qi表示測(cè)試結(jié)果；n表示計(jì)算結(jié)果與測(cè)試結(jié)果形成數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)。MAPE 越大則計(jì)算結(jié)果與測(cè)試真值相差越大。圖10 給出了工況2、工況4、工況6、工況7 的8 Hz 以上的分頻MAPE 及全頻段的MAPE?？紤]車輪不圓順時(shí)：僅在20 Hz～31.5 Hz 及80 Hz 處的MAPE 高于其他工況；絕大部分中心頻率處的MAPE 低于1.5%；8 Hz～200 Hz全頻段的MAPE 計(jì)算結(jié)果僅為2.4%，遠(yuǎn)低于其他工況。

4 結(jié)論

通過對(duì)一列地鐵列車和固定區(qū)間軌道進(jìn)行不圓順和不平順測(cè)試，構(gòu)建了輪軌耦合不平順激勵(lì)，利用車輪-軌道耦合頻域解析模型計(jì)算分析了不同輪軌激勵(lì)方式對(duì)軌道響應(yīng)的影響。研究結(jié)果表明：

(1)同一列車測(cè)得的車輪不圓順譜在一些波長處，相差超過三個(gè)數(shù)量級(jí)，且呈現(xiàn)與各階多邊形磨耗對(duì)應(yīng)的典型峰值，不同分位數(shù)譜線趨勢(shì)一致，主要表現(xiàn)為量級(jí)的差異。

(2)對(duì)于輪、軌粗糙度充分發(fā)展的列車及軌道，按照能量疊加的方式進(jìn)行線性疊加獲得的輪軌耦合不平順譜可反映完備的輪軌激勵(lì)信息，從而獲得與實(shí)測(cè)值更相近的模擬計(jì)算結(jié)果。

(3)為提高城市軌道交通環(huán)境振動(dòng)預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度，應(yīng)充分考慮車輪不圓順的影響。因此，迫切需要大量的現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試獲得符合城市軌道交通實(shí)際輪軌不平狀態(tài)的輪軌耦合不平順譜。