武海軍，曾費隱，李金柱，皮愛國

(北京理工大學 爆炸科學與技術國家重點實驗室，北京 100081)

在較多地下工事中，鋼筋混凝土結構由覆蓋的土壤加以防護，彈體必須穿透覆蓋土層才能攻擊到工事結構，因此研究彈體在土壤中的運動規(guī)律已逐漸成為學者關注的問題. FORRESTAL等[1]采用帶Tresca極限的Mohr-Coulomb屈服準則推導了土壤動態(tài)球形空腔膨脹理論模型. SHI等[2]引入多孔材料狀態(tài)方程，研究了土壤材料在空腔膨脹過程中空腔表面徑向應力和空腔膨脹速度的關系. 譚儀忠等[3]采用了可以描述凍土特性的摩爾-庫倫強度準則推導凍土材料的空腔膨脹阻力模型.

從空腔膨脹理論模型的應用發(fā)現(xiàn)，不同本構模型與屈服準則的選取會對計算結果有所影響. GITAU等[4]通過研究發(fā)現(xiàn)土壤抗剪強度與含水量之間呈負相關，許旭堂等[5]和GOEBEL等[6]也分別對土壤進行直剪實驗，發(fā)現(xiàn)土壤的剪切強度受干密度與含水率影響. 在土壤空腔膨脹研究中，一般采用Mohr-Coulomb屈服準則進行分析，但該準則未考慮土壤材料物理性質對該屈服準則的影響，因此會影響其理論模型的精度.

鑒于以上原因，引入干密度與含水率對Mohr-Coulomb屈服準則進行修正，并對土壤動態(tài)球形空腔膨脹進行求解，獲得空腔表面徑向應力與空腔膨脹速度關系. 在此基礎上，分析了含水率、干密度對空腔表面徑向應力的影響；最后，對文獻中實驗數(shù)據(jù)進行計算并與常用經驗公式計算結果進行對比，驗證了模型的可靠性.

1 土壤材料的力學特性

土壤作為一種三相復合材料，由固、液、氣三相組成. 由于孔隙的存在，土壤表現(xiàn)出與多孔材料類似的力學特性. 本文基于文獻[2]選擇p-α狀態(tài)方程對土壤進行描述，可表示為

(1)

式中：ρ和ρs分別為土壤瞬時和完全壓實時的密度；pe為土壤彈性極限壓力；ps為土壤完全壓實壓力；α0為初始孔隙比.

同時，采用Mohr-Coulomb準則描述土壤材料屈服特性，模型可以表示為

σr-σθ=

(2)

式中：σr和σθ分別為土壤材料所受徑向及切向應力；τm為土壤材料的最大剪切強度；pc為剪切飽和臨界狀態(tài)靜水壓力；C和φ分別為土壤內摩擦力和內摩擦角.

土體中含水率影響其孔隙中水分子狀態(tài)，含水率的增加會使土壤中的結合水向自由水轉變，同時水會溶解土中相關化學物質，降低顆粒間膠結作用力和范德華力，導致內粘聚力的降低；土體干密度會影響土顆粒間距離，干密度越大，顆粒接觸越密實，其距離越小，使顆粒間膠結作用力、范德華力及靜電力增大，導致內粘聚力的增加. 由許旭堂等[5]研究可知，內粘聚力受含水率、干密度等因素影響較大，而內摩擦角所受影響較小. 因此基于文獻[5]引入含水率、干密度對式(2)進行修正，以體現(xiàn)二者對土壤屈服特性的影響.

σr-σθ=

(3)

式中：ω為含水率；ρd為干密度.

2 動態(tài)球形空腔膨脹理論

2.1 響應區(qū)的劃分及各交界面跳躍條件

基于上述的土壤材料的本構模型，考慮彈靶作用過程，對土壤空腔膨脹過程進行分區(qū)，如圖1所示.

圖1 基于p-α狀態(tài)方程的土壤動態(tài)球形空腔膨脹分區(qū)圖Fig.1 Response regions of the soil depended on p-α EOS

響應區(qū)依次分為：彈性區(qū)、剪切未飽和區(qū)、剪切飽和區(qū)、密實區(qū)和空腔. 在彈性區(qū)中，材料處于彈性狀態(tài)，應力應變關系遵循Hooke定律；在剪切未飽和區(qū)中，材料處于塑性狀態(tài)，滿足Mohr-Coulomb屈服準則；在剪切飽和區(qū)和密實區(qū)中，材料也處于塑性狀態(tài)，并且遵循 Tresca屈服準則，但二者遵循p-α狀態(tài)方程的不同區(qū)域. 圖中r為徑向球坐標，各區(qū)域界面坐標為交界面?zhèn)鞑ニ俣瘸艘詴r間.

在動態(tài)球形空腔膨脹過程中，各界面間物理量應遵從Hugoniont跳躍條件：

(4)

式中：ρi -和ρi +分別對應第i個交界面兩側的土壤密度；vi -和vi +分別對應交界面兩側的粒子速度；σi -和σi +分別對應交界面兩側的徑向應力；ci為第i個交界面?zhèn)鞑ニ俣? 為方便后續(xù)計算，引入量綱一粒子速度Ui及量綱一徑向應力Si對Hugoniont跳躍條件進行處理，得到

(5)

2.2 動態(tài)球形空腔膨脹響應分區(qū)分析

2.2.1彈性區(qū)

在彈性區(qū)中，土壤材料處于彈性狀態(tài)，其壓力范圍可以表示為：p≤pe. 根據(jù)材料的狀態(tài)方程，采用Hooke定律對材料的應力-應變關系進行描述，材料彈性區(qū)動量守恒方程可以表示為

(6)

(7a)

(7b)

2.2.2剪切未飽和區(qū)

(8)

2.2.3剪切飽和區(qū)

2.2.4密實區(qū)

(10)

根據(jù)文獻[2]，可以由式(6)得到各界面間的Hugoniont跳躍條件. 在彈性區(qū)與剪切未飽和區(qū)交界面處，有U2-=U1+，S2-=S1+；在剪切未飽和區(qū)與剪切飽和區(qū)交界面處，有U3-=U2+，S3-=S2+；在剪切飽和區(qū)與密實區(qū)交界面處，有U4-=U3+，S4-=S3+.

至此完成了土壤動態(tài)球形空腔膨脹所有區(qū)域的推導，通過數(shù)值計算可以擬合獲得一組空腔膨脹速度和徑向應力的關系. 在推導中采用含水率與干密度對土壤材料屈服準則進行修正，因此該靶體阻力函數(shù)也可以在一定程度上反映干密度與含水率對靶體阻力的影響.

3 理論計算與驗證

基于空腔膨脹理論推導，獲得了靶體阻力函數(shù)，并討論了含水率與干密度對空腔表面徑向應力的影響；采用FORRESTAL等[1]的處理方法，對剛性彈的侵徹深度進行計算，結合文獻中的侵徹實驗數(shù)據(jù)，驗證理論模型的可靠性.

3.1 空腔膨脹速度與空腔表面徑向應力計算

圖2為土壤材料空腔表面徑向應力σr與空腔表面膨脹速度V的關系圖，求解過程中取ω=0.2，ρd=2 500 kg/m3. 根據(jù)文獻[7]對圖中數(shù)值結果進行二次擬合可得如下關系式：

σr=a1V2+a2V+a3

(11)

式中：材料慣性項系數(shù)a1=1 346 kg·m-3； 材料粘滯阻力項系數(shù)a2=132 307 kg·m-1·s-1； 材料強度項系數(shù)a3=23.8 MPa. 文獻[8]中C23混凝土的球形動態(tài)空腔膨脹各項系數(shù)對應的值分別為5 145 kg·m-3，894 419 kg·m-1·s-1，108 MPa. 可以看到，土壤相較于混凝土在材料慣性項系數(shù)a1，材料粘滯阻力項系數(shù)a2，材料強度項系數(shù)a3上均有不同程度的降低. 同時發(fā)現(xiàn)在速度低于130 m/s時，材料強度對于空腔徑向應力的影響高于材料慣性的影響；隨著速度不斷增加材料慣性與材料粘滯阻力的影響逐漸增加，而強度項影響相對減小.

圖2 數(shù)值計算結果Fig.2 Numerical simulation results

3.2 干密度、含水率對空腔表面徑向應力的影響與討論

選取不同的干密度和含水率對土壤材料動態(tài)球形空腔膨脹過程進行計算，探究各參數(shù)對空腔表面徑向應力與空腔表面膨脹速度的影響. 為了簡化問題，本節(jié)在動態(tài)求解過程中，采用控制單一變量的處理方法以研究不同參數(shù)的影響. 圖3為不同干密度及含水率下，空腔表面膨脹速度和空腔表面徑向應力的關系.

圖3(a)表明，在相同的含水率下，在較低的空腔膨脹速度時，空腔表面徑向應力會隨著干密度的增加而增高，隨著速度的增加，由于土壤被壓實使得不同干密度的土壤力學特性接近，其空腔表面徑向應力受干密度影響逐漸降低. 圖3(b)表明，在相同的干密度下，含水率與空腔表面徑向應力呈負相關，空腔表面徑向應力會隨著含水率的增加而降低. 與干密度類似，隨著速度增加，含水率的影響也逐漸不顯著.

圖3 不同干密度及含水率參數(shù)下空腔表面膨脹速度和空腔表面徑向應力關系圖Fig.3 Relationships of cavity velocity and radial stress under different dry densities and moisture contents

3.3 彈體侵徹土壤實驗驗證與討論

基于3.1節(jié)推導的空腔表面徑向應力與空腔膨脹速度關系，參考文獻[8]建立剛性彈體侵徹土壤靶阻力模型. 在土壤中，由于其彈性波波速較低，本文計算得到的空腔膨脹速度最大為270 m/s，對于CRH為3的彈體，本文提出的侵徹阻力模型可以計算的最大初速為360 m/s. 因此，彈靶基本參數(shù)選取何翔等[9]實驗如表1所示，其中彈體質量為286 g，彈頭長度為140 mm，實驗結果如表2所示.

表1 彈靶的基本參數(shù)

表2 侵徹實驗結果

選取常用的YOUNG公式、別列贊公式[10]以及FORRETSAL模型對該實驗進行了計算. 圖4為上述不同計算模型得到侵徹深度與實驗結果的對比圖. 從圖中可以看到別列贊公式的計算結果偏保守，YOUNG公式與FORRETSAL模型顯示出一定的計算精度，而采用空腔膨脹模型計算得到的結果和其他公式相比與實驗結果更為貼近，顯示出較高的準確性，說明本文針對土壤屈服準則的修正以及后續(xù)空腔膨脹理論的推導是合理且可行的.

圖4 各模型計算結果與實驗結果對比Fig.4 Comparisons of results between different models and experiment

表3為各計算模型對實驗工況的計算侵深h與誤差δ對比. 從表中可以看到，在低速情況下，本文所提出的方法和YOUNG公式均有較好的精度；同時隨著侵徹速度的增加，YOUNG公式的誤差逐漸增大，本文計算結果與FORRESTAL模型計算結果在較高速度下有著較好的準確性.

分析認為，雖然YOUNG公式通過引入S數(shù)考慮土壤的含水率，但由于在公式中對S數(shù)沒有定量分析，在計算過程中其S數(shù)并不會發(fā)生變化. 在實際中，土壤材料力學行為會隨著侵徹運動而發(fā)生變化，尤其是隨著速度增加，其力學行為變化也會增大，因此YOUNG公式會隨著速度的增加，誤差變大. 同樣的，F(xiàn)ORRESTAL模型在計算過程中也忽略了土壤動態(tài)變化對其力學行為的影響，使得計算過程中彈體所受侵徹阻力偏低，進而在侵徹深度計算上產生誤差. 本文提出的空腔膨脹模型考慮了侵徹過程中土壤材料力學行為的變化，因此對彈體所受阻力有著較好的預估，使得計算結果有較好的準確性.

以上分析表明，前人總結獲得的經驗公式及侵徹模型可以在一定程度上對土壤侵深進行估算，但由于對土壤物理性質的影響考慮并不周全，使得計算結果有較大誤差；而本文獲得的考慮含水率及干密度的空腔膨脹模型，具有較高的計算精度.

表3 各計算模型的計算結果與誤差對比

4 結 論

本文通過引入含水率與干密度對土壤材料的Mohr-Coulomb準則進行修正，用以描述土壤材料塑性區(qū)的強度特性，在此基礎上完成材料動態(tài)球形空腔膨脹過程的推導，對材料空腔表面徑向應力受干密度及含水率的影響進行了分析，空腔表面徑向應力隨著土壤干密度的增加而增大，隨著土壤含水率的增加而降低，同時二者的影響會隨著空腔膨脹速度的增加而逐漸降低. 通過與實驗結果及常用公式計算結果的比較，驗證了模型的合理性與準確性，該模型能較客觀的反映土壤材料特性，可為不同土壤深埋地下工事的防護技術的研究提供理論支撐.