范琦

摘要：過去，教師大多是采用傳統(tǒng)的教學(xué)方法，即課堂上以老師講學(xué)生聽為主，筆者認(rèn)為，這樣教學(xué)，一些問題雖然交代清楚了，但由于學(xué)生處于被動(dòng)地位，僅僅是一聽了之，容易使學(xué)生在獲取知識(shí)、學(xué)習(xí)能力等方面養(yǎng)成依賴性，因而，不同程度地影響了教學(xué)效果及對(duì)學(xué)生探求知識(shí)能力方面的培養(yǎng)，為了改變上述狀況，我從設(shè)計(jì)問題開始，提高他們學(xué)習(xí)的能力。

關(guān)鍵詞 類比 數(shù)形結(jié)合 幾何意義

中圖分類號(hào)：G4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：（2021）-08-238

1 教學(xué)分析

1.1學(xué)情分析

復(fù)數(shù)是蘇教版選修2-2第三章的內(nèi)容，教材內(nèi)容比較簡(jiǎn)單，安排的課時(shí)較少，它在高考中的分量也很少，只要學(xué)生了解數(shù)系的擴(kuò)充、會(huì)簡(jiǎn)單的四則運(yùn)算、了解復(fù)數(shù)的一點(diǎn)幾何意義。因此，這一部分內(nèi)容往往不被老師和學(xué)生重視，教師很快把知識(shí)“塞”給學(xué)生，學(xué)生似懂非懂，加上鞏固練習(xí)又少，導(dǎo)致時(shí)間一長(zhǎng)，學(xué)生又把它還給老師了，特別是“復(fù)數(shù)的幾何意義”到高三復(fù)習(xí)時(shí)，“一問三不知”的現(xiàn)象非常嚴(yán)重，很多學(xué)生不知道復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，更不知道復(fù)數(shù)模的幾何意義。

1.2教法分析

那么如何讓學(xué)生理解透徹呢，那就要基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)，首先我們應(yīng)注意到復(fù)數(shù)集是由實(shí)數(shù)集擴(kuò)充而來，實(shí)數(shù)是復(fù)數(shù)的特殊情況，他們的幾何意義有很多相似的地方，因此新授課的教學(xué)，可以利用實(shí)數(shù)的幾何意義，通過類比學(xué)習(xí)來學(xué)習(xí)，從數(shù)與形兩個(gè)角度來研究

2? 教學(xué)過程

問題設(shè)計(jì)

問1： 實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是什么關(guān)系？

生1： 實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

問2：那就是說實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示，那么復(fù)數(shù)是否也可以用點(diǎn)來表示？

生2： 能，但是要兩條數(shù)軸，一條數(shù)軸上的點(diǎn)表示實(shí)部，另外一條數(shù)軸上的點(diǎn)表示虛部

師：兩條數(shù)軸，那我們想到是什么？

生3：直角坐標(biāo)系，用橫坐標(biāo)表示復(fù)數(shù)的實(shí)部，縱坐標(biāo)表示復(fù)數(shù)的虛部，因此，杜宇任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi，在直角坐標(biāo)系中，都有唯一一個(gè)點(diǎn)（a，b）與它對(duì)應(yīng)。

師：你說的很好，能否舉幾個(gè)具體的實(shí)例來說明一個(gè)？

生3：在平面直角坐標(biāo)系中，如A（0，0）表示復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部都為0，即表示復(fù)數(shù)0，點(diǎn)B（1，0）表示-1，C（1，2）表示復(fù)數(shù)1+2i（教師根據(jù)學(xué)生的回答作出草圖演示說明）

師：很好，順勢(shì)給出復(fù)平面的概念：把建立了平面直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面角復(fù)平面，又叫高斯平面，是高斯在1799年提出的，x軸叫實(shí)軸，y軸叫虛軸，實(shí)軸上點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，那虛軸上的點(diǎn)表示純虛數(shù)，對(duì)嗎？

生4：不對(duì)，實(shí)軸上點(diǎn)是表示實(shí)數(shù)，但是虛軸上的點(diǎn)要去除原點(diǎn)，就能表示純虛數(shù)了，

我們得到復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b）與復(fù)平面上點(diǎn)Z（a，b）一一對(duì)應(yīng)，那么 點(diǎn)Z（a，b）還能表示什么量？

生5：向量=（a，b）

師;為什么？

生5：原點(diǎn)O為起點(diǎn)，只要終點(diǎn)Z（a，b）確定了，向量=（a，b）

就確定了，所以復(fù)數(shù)與向量=（a，b）也是一一對(duì)應(yīng)的

設(shè)計(jì)意圖? 從學(xué)生熟悉的實(shí)數(shù)出發(fā)，過渡到復(fù)數(shù)，讓學(xué)生進(jìn)一步理解特殊與一般的關(guān)系，通過學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)來類比復(fù)數(shù)的情況，再通過學(xué)生歸納，思維容易形成。

點(diǎn)和向量都是復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)z=a+bi與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z（a，b）與向量=（a，b）三者之間一一對(duì)應(yīng)的，可以相互轉(zhuǎn)化，也突出數(shù)形結(jié)合的思想。

師：下面請(qǐng)同學(xué)們來完成例題1.

在復(fù)平面內(nèi)分別用點(diǎn)和向量表示下列復(fù)數(shù)

3，1+i，-2i，3-2i （老師投影學(xué)生的解題過程）

師：如果給你一個(gè)實(shí)數(shù)a，那么a的絕對(duì)值|a|是不是也有幾何意義？是什么？

生6：表示實(shí)數(shù) a 在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)的點(diǎn) A 到原點(diǎn)O 的距離.

師：那么我們?cè)趶?fù)數(shù)里是不是也有相關(guān)的性質(zhì)呢？|z|表示什么？我們不叫復(fù)數(shù)的絕對(duì)值了，叫復(fù)數(shù)的模，那它的幾何意義是什么呢？

生7：表示在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離

師：很好，請(qǐng)問，你是怎么得到的？你能用表達(dá)式表示出來不？

生7：類比得到

師：那么你能用表達(dá)式表示出來不？

生7：可以，|z|=|a+bi|=

師：其他同學(xué)你能用其他的方法來驗(yàn)證一下嗎？

生8：可以，我想用向量來驗(yàn)證，|z|=||=

師：很好，想到用向量，學(xué)以致用（教師在復(fù)平面上畫出來）那么一個(gè)復(fù)數(shù)滿足|z|=1，它對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z的軌跡是什么？

生9：是以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓

師：你是怎么想到的？

生9：由復(fù)數(shù)模的幾何意義得到的，這樣的點(diǎn)滿足圓的定義，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)

師：很好，比較容易得到的，其他同學(xué)還有其他的思路嗎？

生10：我的答案也是圓，但是我是設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi（x，y）有模的定義可知=1，化簡(jiǎn)可得=1，由這個(gè)方程可知它的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓

師：不錯(cuò)，這位同學(xué)給我展示了另外一個(gè)思路，從軌跡方程的特征來得到軌跡，那|z-1+i|=1表示的軌跡又是什么呢？同學(xué)們可以獨(dú)立思考后再小組討論你的想法。

生11：我用設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi（x，y）有模的定義可知=1，=1，由這個(gè)方程可知它的軌跡是以點(diǎn)（1，-1）為圓心，半徑為1的圓

師：可以，請(qǐng)問其他小組還有什么想法不？

生12：我從向量的角度入手，從而轉(zhuǎn)化成向量與向量=（1，-1）差的模即||=||，向量||就是點(diǎn)Z與點(diǎn)兩點(diǎn)間的距離

師：不錯(cuò)，很好的解釋，所以我們就得到了兩個(gè)復(fù)數(shù)相減的模的幾何意義就是它們?cè)趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)兩個(gè)點(diǎn)間的距離，兩個(gè)復(fù)數(shù)相加的模的幾何意義呢？

生13：可以化加為減，也可以從向量的加法來轉(zhuǎn)化）

師：精彩，你可以出師了（讓學(xué)生花點(diǎn)時(shí)間去落實(shí)一下，然后教師在黑板上畫出來，板演）

總結(jié)：由實(shí)數(shù)的絕對(duì)值到復(fù)數(shù)的模，讓學(xué)生學(xué)會(huì)類比學(xué)習(xí)，這樣的問題設(shè)計(jì)，體現(xiàn)了聯(lián)系的原則，讓學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)到實(shí)數(shù)的絕對(duì)值與復(fù)數(shù)的模之間的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)模的理解，基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)，首先要改變教學(xué)設(shè)計(jì)的思路，感受知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過程，引導(dǎo)學(xué)生宏觀認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)容與方法;其次要重視情景創(chuàng)設(shè)與問題設(shè)計(jì)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。充分發(fā)揮復(fù)數(shù)的幾何內(nèi)涵，不但可以使學(xué)生系統(tǒng)深入地領(lǐng)會(huì)和把握復(fù)數(shù)相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，還可以更加深入鞏固相關(guān)幾何知識(shí)，進(jìn)一步理清知識(shí)間的橫向聯(lián)系，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)的思維水平。

溧陽市埭頭中學(xué) 江蘇 常州 213300