趙成兵，劉丹秀，劉慧慧

(安徽建筑大學(xué)數(shù)理學(xué)院 安徽 合肥 230022)

對(duì)于一維的Laplace變換在文獻(xiàn)[1-3]中都有詳細(xì)的介紹，有很多好的性質(zhì)及其應(yīng)用，如微分性質(zhì)、積分性質(zhì)、卷積等，在文獻(xiàn)[4]中介紹了高維的Laplace變換。Laplace變換及其逆變換有著很多的應(yīng)用，如計(jì)算積分以及求解微分方程等，在文獻(xiàn)[5-10]中皆有所闡述。本文主要對(duì)一維和二維的Laplace變換進(jìn)行研究，得到它們的功率定理和自相關(guān)定理且對(duì)二維Laplace變換做了一些工作，得到它的留數(shù)定理和微分性質(zhì)。

對(duì)于一維Laplace積分定義如下

其中f(t)是實(shí)值函數(shù)，s=α+iβ為一復(fù)數(shù)。

對(duì)于一維的Laplace變換有如下的存在定理：

引理1：若函數(shù)f(t)在區(qū)間[0,+∞)滿(mǎn)足下列條件：

(1)f(t)在一有限區(qū)間上分段連續(xù)；

(2)存在某個(gè)常數(shù)M>0,c>0使得|f(t)|c上積分

存在，且此積分確定的函數(shù)F(s)解析，記為

F(s)=I [f(t)]

定義1：一維的Laplace逆變換定義如下

記為f(t)=I-1[F(s)]

下面我們研究Laplace變換的功率定理和自相關(guān)定理，首先我們從一維情況出發(fā)得到如下定理。

證明：

定理2：若F(s)=I [f(t)],則有如下的公式成立

證明：由位移性質(zhì)知道

I [f(t+τ)]=esτI [f(t)]

由定理1得

=I-1[|F(s)|2]

下面我們介紹二維的Laplace變換及其逆變換并討論它的一些性質(zhì)和應(yīng)用。

定義2：若f(t1,t2)是二維實(shí)值函數(shù)，在t1≥0,t2≥0,上有定義，且積分

在C2區(qū)域上收斂，(s1,s2)∈C2，則稱(chēng)此積分為函數(shù)f(t1,t2)二維的Laplace積分。

對(duì)于二維的Laplace積分我們可以由引理1得到類(lèi)似的二維的Laplace變換的存在定理，這里我們不在證明，對(duì)于二維的Laplace變換以及逆變化，它們分別記為

F(s1,s2)=I [f(t1,t1)]

e(s1t1+s2t2)ds1ds2

其中sj=αj+iβj,j=(1,2)。

定理3：若F(s1,s2)在復(fù)平面對(duì)復(fù)變量s1有s11,s12,...,s1n,個(gè)奇點(diǎn)，在復(fù)平面對(duì)復(fù)變量s2有s21,s22,…,s2m,個(gè)奇點(diǎn)，且sj→∞,F(s1,s2)→0,j=(1,2)，則有如下的公式

證明：選擇合適的α使得αi<α,i=(1,2)，則有

I-1[F(s1,s2)]

s2)e(s1t1+s2t2),s1k]}

對(duì)于二維Laplace變換我們同樣可以討論它的微分和積分性質(zhì)，由于

e-(s1t1+s2t2)

i=(1,2)

(-s1)e-(s1t1+s2t2)+(s1s2)f(t1,t2)e-(s1t1+s2t2)

所以我們有如下性質(zhì)

對(duì)于它的積分性質(zhì)我們可以同樣類(lèi)似地得到。下面我們討論對(duì)于二維Laplace變換的功率定理和自相關(guān)定理。

定理5：若F(s1,s2)=I [f(t1,t2)],則有如下的公式成立

=I-1[|F(s1,s2)|2]

證明過(guò)程類(lèi)似與定理1和定理2，我們不在重復(fù)，對(duì)于高維的Laplace變換我們可以得到同樣的一些性質(zhì)定理且它們可以廣泛的應(yīng)用與求解偏微分方程。