廣東省珠海市廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)金灣學(xué)校(519040) 陳清華

珠海市教研室的黃玉平老師首次提出“同課同構(gòu)”課堂教學(xué)研討活動(dòng)模式, 旨在促進(jìn)教師之間的合作、交流、協(xié)同、研討與整合,打造高效數(shù)學(xué)課堂.筆者一直踐行“構(gòu)建具有‘趣味性、探究性、開放性’的動(dòng)態(tài)化‘生動(dòng)’課堂”理念,在執(zhí)教高三復(fù)習(xí)課“導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用”時(shí), 筆者(記作: 教師A) 用GeoGebra 軟件為平臺(tái)開展動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng), 以提升學(xué)生“直觀想象”核心素養(yǎng)為目標(biāo),引導(dǎo)學(xué)生組建學(xué)習(xí)小組,經(jīng)歷“初步感知→動(dòng)手操作→合作學(xué)習(xí)→師生評(píng)價(jià)→建構(gòu)模型→反思感悟→反饋測練”的教學(xué)過程,提升學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力,發(fā)展學(xué)生的幾何直觀和空間想象能力,增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用幾何直觀和空間想象思考問題的能力,真正做到“授人以魚不如授人以漁”.

歷年高考數(shù)學(xué)全國I 卷第21 題總是導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題,常被稱作“導(dǎo)數(shù)壓軸題”,往往是令學(xué)生“談虎色變”的題目.筆者與同事一起設(shè)計(jì)和踐行一堂了基于GeoGebra 軟件動(dòng)態(tài)探究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)問題的微課,本節(jié)課與同事(記作: 教師B)合作完成,具體的任務(wù)分工為教師A 主要負(fù)責(zé)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)操作和監(jiān)控教學(xué)效果,教師B 主要引導(dǎo)學(xué)生思考和解決問題,促進(jìn)教學(xué)生成、形成解題思路并適當(dāng)板書.以下是課堂實(shí)錄:

1 課堂實(shí)錄

1.1 試題呈現(xiàn)

題目: (2016年? 全國Ⅰ卷文科第21 題) 已知函數(shù)f(x)=(x ?2)ex+a(x ?1)2.

(1)討論f(x)的單調(diào)性.

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

教師A:請(qǐng)同學(xué)們思考第(1)問.

1.2 動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)

教師B: 同學(xué)們, 我們研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí), 首先確定函數(shù)的定義域?yàn)??∞,+∞), 然后求導(dǎo)f′(x) =(x ?1)(ex+2a),用來研究函數(shù)的“性態(tài)”.

教師A:引導(dǎo)學(xué)生使用平板電腦,教師示范使用GeoGebra 軟件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作1

實(shí)驗(yàn)操作1: (1)打開GeoGebra 軟件,在GeoGebra 的指令欄輸入函數(shù)解析式“f: (x ?2)e∧x+a(x ?1)∧2”(注意:參數(shù)a與(x ?1)用空格隔開,防止軟件對(duì)參數(shù)a識(shí)別有誤)繪制出函數(shù)f(x)的圖象,會(huì)自動(dòng)彈出對(duì)話框“創(chuàng)建a的滑動(dòng)條”,設(shè)置參數(shù)a的范圍為[?5,5]

(2)在GeoGebra 的指令欄輸入f′或Derivative(f)可得導(dǎo)數(shù)f′(x)的圖象

學(xué)生活動(dòng)1: 學(xué)生在教師A 引導(dǎo)下使用平板電腦,仿照教師示范使用GeoGebra 軟件,讓學(xué)生自行調(diào)節(jié)變量a的值,引導(dǎo)學(xué)生觀察,初步感知參數(shù)a的變化對(duì)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)圖象的影響,獲取含參數(shù)問題需要分類討論的基本經(jīng)驗(yàn).

教師B:引導(dǎo)學(xué)生思考問題1.

問題1: 同學(xué)們,根據(jù)你的實(shí)際操作,結(jié)合導(dǎo)數(shù)f′(x) =(x ?1)(ex+2a),試討論一下: 對(duì)參數(shù)a的分類討論的標(biāo)準(zhǔn)如何確定?

生1: 我們小組討論后發(fā)現(xiàn): 當(dāng)a= 0 時(shí), 函數(shù)f(x) 及其導(dǎo)數(shù)f′(x) 的圖象如圖1 所示, 結(jié)合f′(x) =(x ?1)(ex+2a)可以發(fā)現(xiàn)對(duì)參數(shù)a的討論應(yīng)該分為a≥0和a<0 兩類.

教師B:很好! 含參數(shù)的問題通常需要分類討論,最關(guān)鍵的是分類討論的標(biāo)準(zhǔn)的確定!

生2: (i)當(dāng)a≥0 時(shí),我們很容易發(fā)現(xiàn): ex+2a>0

教師B:很好,下面我們來一起探究當(dāng)a≥0 時(shí)的情況.

教師A:引導(dǎo)學(xué)生使用平板電腦,教師示范使用GeoGebra 軟件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作2

實(shí)驗(yàn)操作2: 改變參數(shù)a的取值范圍,可得函數(shù)f(x)及其導(dǎo)數(shù)f′(x)的圖象如圖2 所示

圖2

教師B: 我們結(jié)合圖象和導(dǎo)數(shù)的解析式可以發(fā)現(xiàn): 當(dāng)x ∈(?∞,1)時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x ∈(1,+∞)時(shí),f′(x)>0,所以f(x)在(?∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

生3: (ii) 當(dāng)a <0 時(shí), 由f′(x) = 0, 解得x= 1 或x=ln(?2a).

我們小組討論后,考慮到1 和ln(?2a)的大小關(guān)系有以下三種:

①當(dāng)a=時(shí), 此時(shí)ln(?2a) = 1, 則f′(x) =(x ?1)(ex ?e)對(duì)于x ∈(?∞,+∞)恒大于0

教師A:引導(dǎo)學(xué)生使用平板電腦,教師示范使用GeoGebra 軟件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作3.

實(shí)驗(yàn)操作3: 繼續(xù)改變參數(shù)a的取值范圍, 可得函數(shù)f(x) 及其導(dǎo)數(shù)f′(x) 的圖象如圖3 所示, 所以f(x) 在(?∞,+∞)上單調(diào)遞增

圖3

教師A:引導(dǎo)學(xué)生使用平板電腦,教師示范使用GeoGebra 軟件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作4.

實(shí)驗(yàn)操作4: 拖動(dòng)滑動(dòng)條改變a的值,可得函數(shù)f(x)及其導(dǎo)數(shù)f′(x)的圖象如圖4 所示:

圖4

教師B:當(dāng)x ∈(?∞,ln(?2a))∪(1,+∞)時(shí),f′(x)>0; 當(dāng)x ∈(ln(?2a),1) 時(shí),f′(x)<0, 所 以f(x) 在(?∞,ln(?2a))和(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(ln(?2a),1)上單調(diào)遞減.

③當(dāng)a<時(shí),則ln(?2a)>1,

教師A:引導(dǎo)學(xué)生使用平板電腦,教師示范使用GeoGebra 軟件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作5.

實(shí)驗(yàn)操作5: 拖動(dòng)滑動(dòng)條改變a的值,可得函數(shù)f(x)及其導(dǎo)數(shù)f′(x)的圖象如圖5 所示:

圖5

教師B:故當(dāng)x ∈(?∞,1)∪(ln(?2a),+∞)時(shí),f′(x)>0;當(dāng)x ∈(1,ln(?2a))時(shí),f′(x)<0,所以f(x)在(?∞,1)和(ln(?2a),+∞)上單調(diào)遞增,在(1,ln(?2a))上單調(diào)遞減.

教師B:同學(xué)們,我們繼續(xù)探究第(2)問.

(2)(i)當(dāng)a>0 時(shí),則由(1)知,f(x)在(?∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

教師A:引導(dǎo)學(xué)生使用平板電腦,教師示范使用GeoGebra 軟件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作6.

實(shí)驗(yàn)操作6: 拖動(dòng)滑動(dòng)條改變a的值如圖6 所示,觀察發(fā)現(xiàn)函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)

圖6

教師B:又因?yàn)閒(1) =?e<0,f(2) =a >0,f(x)單調(diào)遞增且連續(xù)不斷,所以f(x)在(1,2)上存在一個(gè)零點(diǎn).

教師B:引導(dǎo)學(xué)生思考問題2.

問題2: 同學(xué)們,從圖形直觀上看: 在區(qū)間(?∞,1)內(nèi)必定含有一個(gè)零點(diǎn),這時(shí)關(guān)鍵是在區(qū)間(?∞,1)內(nèi)找到一個(gè)包含另一個(gè)零點(diǎn)的區(qū)間(b,1),已知f(1) =?e<0,如何確定另一個(gè)端點(diǎn)b呢?

學(xué)生活動(dòng)2: 學(xué)生分小組進(jìn)行交流討論!

生4: 因?yàn)楹瘮?shù)f(x) = (x ?2)ex+a(x ?1)2中含有指數(shù)ex, 且f(x) 在(?∞,1) 上單調(diào)遞減, 可以考慮試著代入(k≥2,k ∈Z) 進(jìn)行估值計(jì)算, 我考慮到: 取b滿足b <0 且則>0,剛好符合! 因?yàn)閒(1) =?e <0,f(b)>0,f(x)單調(diào)遞減且連續(xù)不斷,根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理可知,f(x)在(b,1)上存在一個(gè)零點(diǎn).所以f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

教師B:說的真好! 這種估值的方法常常用著這類零點(diǎn)不可求的情形中,因?yàn)橹笖?shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算互為逆運(yùn)算,見到指數(shù)形式常常取對(duì)數(shù)代入驗(yàn)算,這樣就可起到“山重水復(fù)疑無路,柳暗花明又一村”的作用.

教師A:引導(dǎo)學(xué)生使用平板電腦,教師示范使用GeoGebra 軟件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作7.

實(shí)驗(yàn)操作7: 拖動(dòng)滑動(dòng)條使得a=0,觀察發(fā)現(xiàn)函數(shù)f(x)有幾個(gè)零點(diǎn)?

(ii)當(dāng)a= 0 時(shí),則f(x) = (x ?2)ex,所以f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)(如圖1 所示).

(iii)當(dāng)a<0 時(shí),

教師A:引導(dǎo)學(xué)生使用平板電腦,教師示范使用GeoGebra 軟件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作8.

實(shí)驗(yàn)操作8: 拖動(dòng)滑動(dòng)條使得a≥觀察發(fā)現(xiàn)函數(shù)f(x)有幾個(gè)零點(diǎn)?

教師A: ①若a≥則由(1)知,f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.又當(dāng)x≤1 時(shí),f(x)<0,故f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn)(如圖3、4 所示);

教師A:引導(dǎo)學(xué)生使用平板電腦,教師示范使用GeoGebra 軟件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作9.

綜上,a的取值范圍為(0,+∞).

1.3 建立模型

教師B:經(jīng)歷上面的探究實(shí)驗(yàn)過程,我們對(duì)這類含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)問題具有怎樣的解題模型或解答流程?

學(xué)生活動(dòng)3: 學(xué)生分小組進(jìn)行交流討論!

生5: 我認(rèn)為解決這類問題的一般流程如圖7 所示.

圖7

教師B:你能嘗試用思維導(dǎo)圖的形式呈現(xiàn)出來嗎?

學(xué)生活動(dòng)4: 學(xué)生分小組進(jìn)行交流討論, 運(yùn)用思維導(dǎo)圖軟件MindMaster繪制出思維導(dǎo)圖.

生6: 經(jīng)過我們小組的討論,繪制的思維導(dǎo)圖如圖8 所示.

圖8

1.4 精彩生成

生7: 我覺得可以考慮分類參數(shù)法, 構(gòu)造函數(shù)g(x) =轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g(x)與直線y=a有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)a的取值范圍即可,我可以先求導(dǎo)研究函數(shù)g(x)的單調(diào)性,再畫出了函數(shù)g(x)的圖象如圖9 所示.

圖9

教師A:生7 的方法很好,利用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合思想解題,構(gòu)思巧妙!

生8: 我覺得還可以考慮分類直線法,構(gòu)造函數(shù)h(x) =轉(zhuǎn)化為求函數(shù)h(x)與直線y=a(x ?1)有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)a的取值范圍即可,我可以先求導(dǎo)研究函數(shù)h(x)的單調(diào)性,再畫出了函數(shù)h(x)與直線y=a(x ?1)的圖象如圖10 所示,通過旋轉(zhuǎn)直線y=a(x ?1)的圖象進(jìn)行極限分析,容易得出結(jié)論:a<0.

圖10

教師A:生8 的方法也不錯(cuò),也是利用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合思想解題,體現(xiàn)控制變量的思想,但是需要進(jìn)行求函數(shù)h′′(x)研究函數(shù)的凸凹性,美中不足的是畫出的圖象不規(guī)范易導(dǎo)致錯(cuò)誤,嚴(yán)謹(jǐn)性不足.

生9: 生8 是分離直線, 我想到的是直接分類二次函數(shù), 構(gòu)造函數(shù)k(x) = (x ?2)ex, 轉(zhuǎn)化為求函數(shù)k(x) =(x ?2)ex與二次函數(shù)y=a(x ?1)2有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)a的取值范圍即可,我也是先求導(dǎo)研究函數(shù)k(x)的單調(diào)性,再畫出了函數(shù)k(x)與直線y=a(x ?1)2的圖象如圖11、12 所示,容易得出結(jié)論:a<0.

圖11

圖12

教師A:生9 的方法非常好,構(gòu)思巧妙,解法自然,大大簡化了運(yùn)算,真可謂是青出于藍(lán)而勝于藍(lán),妙哉!

1.5 反饋測練

拓展性作業(yè)

教師B:同學(xué)們仿照這節(jié)課的實(shí)驗(yàn)探究流程, 運(yùn)用GeoGebra(手機(jī)版)軟件試著輔助解答下面的一道高考導(dǎo)數(shù)試題,寫出你的解答過程并與小組成員交流你的解題心得和感悟,撰寫你的實(shí)驗(yàn)報(bào)告.

題目(2017年? 全國I卷理科第21題) 已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a ?2)ex ?x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性.

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

2 幾點(diǎn)感悟

2.1 創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境,由“教師中心”轉(zhuǎn)向“學(xué)生主體”

基于核心素養(yǎng)的教學(xué)需要教師更多地關(guān)注學(xué)生的學(xué)——學(xué)什么、如何學(xué)、會(huì)學(xué)嗎、學(xué)會(huì)了嗎? 教師要學(xué)會(huì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣, 要精心設(shè)計(jì)問題啟發(fā)學(xué)生思考數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),讓學(xué)生在情境與問題、互動(dòng)與合作的課堂探究活動(dòng)中不斷地感悟、理解、形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.2 信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程融合,構(gòu)建數(shù)學(xué)探究活動(dòng)平臺(tái)

課程標(biāo)準(zhǔn)提倡: 教師應(yīng)該重視信息技術(shù)運(yùn)用,實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合.如在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,教師可以適當(dāng)構(gòu)建以學(xué)生為中心的探究實(shí)驗(yàn)活動(dòng),以GeoGebra 軟件為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)平臺(tái),精心設(shè)計(jì)探究實(shí)驗(yàn)過程,讓學(xué)生在“動(dòng)態(tài)中探究,在活動(dòng)中成長”.

2.3 積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

正如心理學(xué)家皮亞杰說過:“活動(dòng)是認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ),智慧從動(dòng)作開始.”動(dòng)手操作能以動(dòng)作促進(jìn)思維,是調(diào)動(dòng)多種感官參與學(xué)習(xí),是知識(shí)學(xué)習(xí)的一種循序漸進(jìn)探究的過程.在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,教師要充分尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展的規(guī)律,把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì),注重學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn),設(shè)計(jì)并實(shí)施合理的教學(xué)活動(dòng).讓學(xué)生在活動(dòng)中觀察、分析、思考、解決問題,積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)的理解.

2.4 聚焦數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),重視學(xué)生的學(xué)習(xí)過程評(píng)價(jià)

教學(xué)評(píng)價(jià)是數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)地重要組成部分,評(píng)價(jià)不僅要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)技能的掌握,還有關(guān)注學(xué)生的情感、態(tài)度和方法與習(xí)慣養(yǎng)成,更要關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平的達(dá)成.教師通過對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)過程的觀察、記錄,分析學(xué)生的學(xué)習(xí)行為和思維過程,發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維活動(dòng)的特征以及學(xué)習(xí)過程中存在的問題,及時(shí)地調(diào)整教學(xué)策略與教學(xué)活動(dòng),改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)行為和習(xí)慣,促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.通過過程評(píng)價(jià)使學(xué)生感受成長的快樂,激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積極性.