廣東省東莞市東城中學(523000) 袁敏華

廣東省惠州學院數學與統(tǒng)計學院(516007) 王海青

數學概念或原理的教學都離不開解題,通過解題鞏固和深化所學的知識與思想方法.在數學解題教學過程中,教師教的重點在于揭示解決問題的思維過程,學生學的重點在于掌握打開解題突破口的方式方法,是學習如何解題.解題教學的關鍵是注重舉一反三、一題多解、多題一解,通過變式拓展引申由一題通一類,由點帶面地將一類問題及相關知識方法形成有機的認知結構,便于提取和運用,并在解決問題的過程中教學生學會思考.

該如何具體實施解題教學促進有效乃至是高效教學呢? 著名的數學家波利亞在其著作《怎樣解題》[1]中就專門進行了解題研究, 回答了“一個好的解法是如何想出來的”這個令人困惑的問題.他著力于研究解題的思維過程并得到了相應的“怎樣解題表”,即解題應按四個步驟(理解題意、擬訂計劃、實施計劃、回顧反思)進行探究.基于此,在具體的數學解題教學中,教師應重視選擇具有代表性的典型例題,并從分析題意、剖析解題思路、揭示思想方法與價值、變式推廣與回顧反思幾個方面展開教學,以提升學生的解題能力、反思與遷移能力.

下面以一道解三角形的平面幾何基本問題來探討數學解題教學基本步驟的應用及其注意點.

題目: 如圖1,在ΔABC中,∠BAC= 45°,AD ⊥BC于點D,已知BD=6,CD=4,求高AD的長.

圖1

1 分析題意

“分析題意”是解題教學的第一個環(huán)節(jié).教師通過了解題目的背景,根據考查的內容、方法和思想剖析此題,能更好地把握本題的重難點,從而引導學生學會從題意中梳理已知條件和隱含條件,聯(lián)系已有的知識方法進而找到問題的突破口.

這是一道解三角形的基本題型, 題設和圖形簡單明了,以基本三角形為載體,包含有特殊角、直角三角形,給出其中的線段、角度求另一線段高的長.其難點在于條件與結論之間沒有直接的聯(lián)系,需要尋找第三個量架設起已知與未知之間的橋梁.

2 剖析解題思路

在解題教學中教師需要重視學生的數學思維活動,而不僅僅是為了解答而解題.多問幾個“怎么做”“為什么”,啟發(fā)學生思考歸納相關的知識點形成靈活的知識結構,突出體現(xiàn)解題的思維過程,使學生在解題過程中既知其然亦知其所以然,進而習得解決問題的方法.

在初中階段,求線段常用的方法有: 利用等腰三角“等角對等邊”性質;利用勾股定理;利用全等三角形的性質;利用相似三角形的性質;利用三角函數;利用等面積法;利用圓的相關性質結論.引導學生根據本題的條件和結論,嘗試著運用以上幾種方法進行思考解決問題.可以發(fā)現(xiàn)有以下幾種解題思路.

思路一: 利用面積法求三角形的高.

分析: 三角形的三邊與之對應高的乘積相同, 或者可以利用計算三角形的不同面積公式建立等量關系, 如(θ為兩邊a,b的大角) .根據題意有× AC ×sin ∠BAC.在ΔABD,ΔACD中, 由勾股定理得AB2=AD2+BD2,AC2=AD2+CD2.令AD=h, 有AB=將之代入上述面積公式可得AD=12.

思路二: 利用45°構造等腰直角三角形、全等三角形與相似三角形.

分析: 如圖2, 過點B作BE⊥AC交AC于 點E, 可 知ΔABE是 等腰直角三角形, 容易證明得到ΔAFE∽= ΔBCE,ΔBFD∽ΔACD,從而得到有AF=BC=10,FD=2,即有得AD=12.

圖2

沿著這個思路可以做不同的圖形構造.如圖3,在高得AD上分別取點E,F, 使得BD=DE,CD=DF.顯然, ΔBDE,ΔCDF是等腰直角三角形, 所以有AE=h ?6,AF=h ?4.因為∠BAD+ ∠CAD=45°,∠BAD+ ∠ABE= 45°, 所以∠CAD= ∠ABE, 同理∠BAE= ∠ACF,可得ΔABE∽ΔCAF.根據相似三角形的性質有可解得AD=12.

圖3

思路三: 利用45°和軸對稱的性質構造正方形.

分析: 如圖4,可以考慮將高AD沿著邊AB,AC對折,容易發(fā)現(xiàn)五邊形AD1BCD2是正方形的一部分,將其補充完整得到以高h為邊長的正方形AD1D3D2.在RTΔBD3C中利用勾股定理可得AD=12.

圖4

3 揭示思想方法與價值

當引導學生從不同的角度思考進行一題多解后,須繼續(xù)引導學生梳理涉及的知識、解題方法與思想,否則會導致學生對各種各樣的解法和眾多的知識點無所適從,反而影響他們對相關問題的解決.教師需幫助學生歸納各種解法的適用范圍,分析特性與通性通法,總結解題過程中的數學思想方法、策略和規(guī)律.

前面的三種解題思路涉及到眾多的平面幾何知識,有等腰三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、正方形與軸對稱等知識點, 解答過程涉及到等面積、轉化與化歸、割補、方程與函數等重要數學思想.從以上三種解題思路看,思路一的解題過程最為簡潔,思路二是常規(guī)的思考方式,解題過程相對較為繁瑣,思路三則體現(xiàn)了很強的技巧性.思路一和思路二可以看作是解決這一類問題的通性通法,具有一般性.思路三是特殊方法,當改變45°的大小時這個方法將不再適用.教師在解題教學中要強調通性通法的重要性而非技巧性.

4 變式推廣

不管是基礎題型還是綜合題型的教學,都應注重回顧反思、變式引申,由一題通一類,將相應的知識點、題型和方法聯(lián)系在一起,這既可以避免“題海訓練”同時也提高課堂教學的有效性,幫助學生形成良好的認知結構.在鼓勵學生“一題多解”的情況下,教師可通過一般化、特殊化或類比等思想,改變題目的條件或結論,對題目進行拓展、延伸,引導學生進行多角度、多方向、多層次的思考,加強對相應知識與方法的理解和掌握,進而增強數學的發(fā)散與聚合思維能力.

變式1: 改變提問形式,鞏固理解原有問題.

如圖1, 在ΔABC中, ∠BAC= 45°,AD ⊥BC于點D,已知BD=6,CD=4,求ΔABC的面積.

分析: 變式1 與原題的解題思路一致,目的是加深學生對此類題目的解答方法的認識.

變式2: 交換題目的條件與問題,深化對同類問題的認識.

如圖1,在ΔABC中,AD= 12,AD ⊥BC于點D,已知BD=6,CD=4,求∠BAC的度數.

分析: 變式2 要比原題簡單,直接利用勾股定理可求得邊AB,AC的長,再利用上述的兩個面積公式建立等量關系求得∠BAC的度數.

變式3: 改變特殊角,密切聯(lián)系相關知識點.

如圖1, 在ΔABC中, 若∠BAC= 30°(或60°, 30°) ,AD ⊥BC于點D,已知BD=6,CD=4,求高AD的長.

分析: 變式3 與原題的解題思路也基本一致,但思路三在這里不再適用.通過對不同特殊角的處理,可以圍繞問題的解決將相關的性質定理聯(lián)系起來形成有機整體.

變式4: 條件與問題一般化,體現(xiàn)基本思想與方法.

如圖1, 在ΔABC中, 若∠BAC=α(0° < α <90°),AD ⊥BC于點D,已知BD=a,CD=b,求高AD的長.

分析: 變式4 是原題的一般化情形,顯然運用思路一等面積的思想能方便簡潔地求出高AD的長.構造等腰三角形、全等三角形或相似三角形則要繁雜得多,同樣思路三在這里也不再適用.另外,α可以在0°至180°的范圍內取值,考慮到初中教材只涉及到銳角的情形,故對其取值范圍作此限定.

變式5: 改變圖形結構,突出問題的本質特征.

如圖5, 在菱形ABCD中, 對角線AC= 6,∠ABC=30°,求菱形ABCD的面積.

圖5

分析: 此題雖然改變了條件中的圖形, 但只要抓住這類題型的本質特征, 問題則迎刃而解.萬變不離其宗, 看似是菱形的問題, 實質還是運用勾股定理性質和等面積思想來解決.由菱形的性質得AB=CB,AC⊥BD,AO=CO= 3,BO=DO.令BO=h, 由勾股定理得AB=CB=√根據面積公式有等式×AC=AB ×CB ×sin ∠ABC, 解得h= 6±結合題意取進而求得菱形ABCD的面積為

5 回顧反思

從上述三角形的基本問題再到變式推廣問題的解決過程,可以發(fā)現(xiàn)通性通法的重要性.如上述問題,不管同類問題的條件與結論如何變化,等面積法依然是最簡單直接有效的方法,而適用于某些特殊情形的技巧性方法雖體現(xiàn)了數學思維的奇異美,卻不具有普適性.所以,教師在數學解題教學中要重視通性通法的講解,揭示其中蘊含的重要數學思想價值,引導學生對問題進行題型、方法歸類,使之與具體的數學概念、原理形成有機的良好認知結構,提升運用知識綜合解決問題的能力.

可見,好的解題教學并不是要過分強調多做多練,而是要充分利用解題教學的基本步驟進行解題教學設計,通過對適量的有代表性的題目進行變式引申,注重解題思路的剖析,強調一題多解、多題一解、由一題通一類,從而幫助學生形成靈活的聯(lián)系緊密的知識與方法網絡.解題教學還要充分運用“基于教材而高于教材”的原則,利用變式拓展對教材例題與課后習題進行廣聯(lián)系、深挖掘,充分發(fā)揮教材的引導作用.同時還應重視對基礎題型和綜合題型相結合的變式教學,在夯實基礎的同時提高綜合解決問題的能力.