李秀元，饒火云

(1.武穴市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)，湖北 武穴 435400；2.武穴中學(xué)，湖北 武穴 435400)

普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)考試大綱(以下簡(jiǎn)稱考試大綱)指出：“對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查，強(qiáng)調(diào)‘以能力立意’，即以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，從問題入手，把握學(xué)科的整體意義，用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)組織材料，側(cè)重體現(xiàn)對(duì)知識(shí)的理解和應(yīng)用，尤其是綜合和靈活的應(yīng)用，以此檢測(cè)考生知識(shí)的遷移能力，從而檢測(cè)出考生個(gè)體理性思維的廣度和深度以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能?！盵1]以能力立意的試題表現(xiàn)方式之一，就是每年高考不斷出新的新定義試題。 基于新定義而命制的試題為新定義試題。羅增儒教授將這類試題定義為“信息遷移題”，它主要包括兩部分，一是給出新信息，創(chuàng)設(shè)新情境；二是圍繞信息進(jìn)行某項(xiàng)設(shè)問。一般地，試題往往依托教材的某個(gè)定義，定義一個(gè)新概念，或直接在高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的結(jié)合部給出新定義、約定一種運(yùn)算，或給出一個(gè)性質(zhì)、模型，要求答題者認(rèn)真閱讀材料，按照新定義或新規(guī)則的指令進(jìn)行判斷、解題。

由于新定義試題的背景材料是全新的，考查的不僅僅是高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，更重要的是考查學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用和知識(shí)遷移能力，有利于激發(fā)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和分析解決問題的綜合能力。

本文將對(duì)新定義試題求解現(xiàn)狀予以簡(jiǎn)要疏理，分析其中原因，并結(jié)合案例提出相應(yīng)的對(duì)策。

1 新定義試題求解現(xiàn)狀

調(diào)研發(fā)現(xiàn)，對(duì)于新定義試題，學(xué)生的反應(yīng)不一，效果也不是很理想。劉慧敏等人分別作了調(diào)查分析，他們認(rèn)為，學(xué)生做新定義試題是有差異的，這種差異表現(xiàn)在校際之間、男女之間、年級(jí)之間及學(xué)生層次之間[2]。新定義試題命題角度不同，學(xué)生求解的難度系數(shù)也就不同。一般地，基于教材某種運(yùn)算而命制的新定義試題，如基于集合運(yùn)算而定義的差集、商集，難度比較小，絕大部分學(xué)生的得分情況比較理想；基于某種條件判斷的新定義試題，如凹函數(shù)、凸函數(shù)、正對(duì)數(shù)等，由于條件解讀需要較強(qiáng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯判斷能力，難度略大，學(xué)生得分情況差異較大，基礎(chǔ)好能力強(qiáng)的學(xué)生明顯高于一般學(xué)生；至于圍繞新的問題情境或某些思想方法而命制的新定義試題，大部分學(xué)生就顯得有些力不從心。總體來(lái)說，新定義試題中，運(yùn)算型比判斷型得分高，簡(jiǎn)單運(yùn)算型比復(fù)雜運(yùn)算型得分高，數(shù)學(xué)情境型比生活情境型得分高，情境簡(jiǎn)單型比情境復(fù)雜型得分高，直接型比轉(zhuǎn)化型得分高。

2 新定義試題求解障礙分析

新定義試題求解障礙，既有來(lái)自學(xué)生層面，也有來(lái)自教師教學(xué)方式層面。學(xué)生并不是對(duì)所有的新定義試題感到恐懼，無(wú)所適從，只是對(duì)那些新情境下較復(fù)雜問題感到恐慌，由于做題時(shí)間有限，需要閱讀、理解、提取信息和轉(zhuǎn)化，這才是他們不愿意面對(duì)的問題。教師層面則與教師對(duì)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)方式有關(guān)。

2.1 新定義試題求解障礙學(xué)生層面原因分析

就學(xué)生個(gè)體來(lái)說，新定義試題的求解障礙往往是多方面的，主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。

2.1.1學(xué)生閱讀能力不足

“閱讀是一種多維思考方式”[3]。新定義試題畢竟不同于課本概念，需要提供一些全新的背景材料(往往是少量的，簡(jiǎn)明的和直接的)，通過閱讀，學(xué)生從中提取有用的直接信息，這個(gè)過程即為數(shù)學(xué)抽象?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡(jiǎn)稱《新課標(biāo)》)在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的水平劃分中，對(duì)數(shù)學(xué)抽象的水平二界定為：能夠在關(guān)聯(lián)的情境中抽象出一般的數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，能夠?qū)⒁阎獢?shù)學(xué)命題推廣到更一般的情形，能夠在新的情境中選擇和運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題[4]。數(shù)學(xué)考試大綱也提到，“抽象概括能力是對(duì)具體、生動(dòng)的實(shí)例，經(jīng)過分析提煉，發(fā)現(xiàn)研究對(duì)象的本質(zhì)；從給定的大量信息材料中概括出一些結(jié)論，并能將其應(yīng)用于解決問題或做出新的判斷”[1]。如何抽象？首先是建立在閱讀的基礎(chǔ)之上，明白試題的主要意思，然后進(jìn)行綜合提煉和數(shù)學(xué)理解。現(xiàn)實(shí)情況如何，調(diào)研發(fā)現(xiàn)，學(xué)生不愿意讀題，讀不懂題意，無(wú)法從一堆材料(信息)中提出數(shù)學(xué)問題。造成這種局面的原因《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))解讀》(以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)解讀》)作出了解釋：“在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師為學(xué)生想得非常仔細(xì)，學(xué)生就養(yǎng)成了過于依賴教師的習(xí)慣，無(wú)論是整個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)，還是要注意的一些問題，都等著教師來(lái)講、來(lái)安排，他自己不知道怎樣去安排自己的學(xué)習(xí)，更不會(huì)反思自己的學(xué)習(xí)，也就更難說對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解了。”因此，“發(fā)展獨(dú)立獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的能力比數(shù)學(xué)能力本身更為重要”[5]?？梢哉f，現(xiàn)在的學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力是相當(dāng)弱的，往往只是停留在認(rèn)字的階段，缺乏好奇感和深入解讀的意愿。閱讀能力弱，直接導(dǎo)致理解能力不足。這與教師平時(shí)的教學(xué)方式密不可分，章建躍博士說：“數(shù)學(xué)根本上是教概念的，數(shù)學(xué)教師是玩概念的?！钡珒H僅停留在教師自己“玩”概念是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，如果教師能把自己玩概念的方式方法教給學(xué)生(光靠感受是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，需要體驗(yàn)與嘗試)，學(xué)生通過閱讀，能自己獨(dú)立玩概念，那么面對(duì)新定義問題就不至于有多大的障礙了。

2.1.2學(xué)生轉(zhuǎn)化能力缺陷

數(shù)學(xué)問題一般分為數(shù)學(xué)知識(shí)直接應(yīng)用和數(shù)學(xué)能力考查兩大類，后者需要轉(zhuǎn)化。在中學(xué)數(shù)學(xué)解題過程中,對(duì)同一問題的不同數(shù)學(xué)解釋,就是轉(zhuǎn)化。轉(zhuǎn)化的實(shí)質(zhì)就是調(diào)動(dòng)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的各分支系統(tǒng)，解釋(理解)數(shù)學(xué)問題，并把其納入相應(yīng)的分支系統(tǒng)中。數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化包括語(yǔ)言轉(zhuǎn)化(如將一般文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為自己的語(yǔ)言，圖形語(yǔ)言與數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言相互轉(zhuǎn)化等等)和方法轉(zhuǎn)化(等價(jià)轉(zhuǎn)化，化歸，一般與特殊，高維與低維，數(shù)與形等)。

轉(zhuǎn)化作為解題手段，是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，它是培養(yǎng)學(xué)生思維靈活性和辯證思維的有效手段。所謂“多題一解”“一題多解”“舉一反三”等能得以實(shí)現(xiàn)，靠的是挖掘數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)聯(lián)系和解決數(shù)學(xué)問題的基本方法。同時(shí)，也有利于培養(yǎng)學(xué)生的同構(gòu)思想，便于學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化，形成有個(gè)性的優(yōu)化數(shù)學(xué)解題模式，使之成為學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的有力工具。轉(zhuǎn)化的本質(zhì)就是化繁為簡(jiǎn)、化生為熟，即將陌生的復(fù)雜情境轉(zhuǎn)化為熟悉的簡(jiǎn)單模型或應(yīng)用，把不熟悉的背景轉(zhuǎn)化為熟悉的方法和題型。中學(xué)生數(shù)學(xué)解題現(xiàn)狀不容樂觀，學(xué)生比較善于處理多次訓(xùn)練后的試題(題海戰(zhàn)帶來(lái)的模型識(shí)別起到關(guān)鍵作用)，對(duì)于不太熟悉或者陌生的試題，分析解決問題的能力就非常欠缺，要么理解不了題意(閱讀和理解能力)，要么不知如何轉(zhuǎn)化題意，好不容易轉(zhuǎn)化出基本題型，找到了處理問題的基本方法，結(jié)果又困死在解題的路上。

2.1.3計(jì)算能力不過關(guān)

《新課標(biāo)》對(duì)計(jì)算能力表述為：數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段，主要包括理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等。數(shù)學(xué)運(yùn)算版塊教育的目標(biāo)是“通過數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；有效借助運(yùn)算方法解決實(shí)際問題；通過運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神”[4]。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開計(jì)算，但受教學(xué)內(nèi)容和課時(shí)的影響，現(xiàn)實(shí)中很難去專門訓(xùn)練學(xué)生的計(jì)算能力，基本上都是在解決問題的過程中體現(xiàn)思路探究和程序設(shè)計(jì)，計(jì)算過程往往一筆帶過，久而久之，學(xué)生也變懶了。學(xué)生獨(dú)立解決計(jì)算問題時(shí)，受書寫習(xí)慣、動(dòng)手速度、思維嚴(yán)謹(jǐn)性等的影響，往往錯(cuò)誤百出，如運(yùn)算法則使用不當(dāng)(屬于識(shí)記內(nèi)容)、運(yùn)算程序出錯(cuò)(明明是除法硬是算成了乘法，造成詭異的結(jié)果)、運(yùn)算過程中的遺漏與看錯(cuò)等等，使得計(jì)算結(jié)果很不理想。

2.1.4學(xué)生意志品質(zhì)較差

很多學(xué)生愿意或善于處理基于過去解題經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)試題，進(jìn)行直接運(yùn)算或判斷。由于新定義試題往往依賴一定的陌生新穎問題情境，涉及較多文字和新的符號(hào)，甚至出現(xiàn)一些生僻字(如2015年湖北卷中的 “鱉臑”)，會(huì)轉(zhuǎn)移學(xué)生的注意力，淡化對(duì)問題本質(zhì)的理解。如果試題稍偏難，所述關(guān)系再?gòu)?fù)雜一些，對(duì)意志力不強(qiáng)、缺乏探究精神的學(xué)生而言，幾乎就是災(zāi)難，導(dǎo)致他們采用主動(dòng)放棄或者隨便選擇的處理方式。

2.2 新定義試題求解障礙教師層面原因分析

對(duì)教師而言，學(xué)生求解新定義試題的障礙，主要來(lái)自于教師的教學(xué)模式?！皵?shù)學(xué)教學(xué)模式”是指在某種教學(xué)思想與教學(xué)原理的指導(dǎo)下，圍繞一個(gè)特定的數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)形成的相對(duì)穩(wěn)定的規(guī)范化教學(xué)程序與操作體系?！盵6]劉秋香等人認(rèn)為，理論演繹法與總結(jié)歸納法是構(gòu)建數(shù)學(xué)教學(xué)模式的常用方法[7]。布魯斯·喬伊斯等認(rèn)為“教學(xué)模式就是學(xué)習(xí)模式”。當(dāng)我們?cè)趲椭鷮W(xué)生獲取信息、形成思想、掌握技能、明確價(jià)值觀、把握思維方式和表達(dá)方式時(shí)，也在教他們?nèi)绾螌W(xué)習(xí)。事實(shí)上，教學(xué)的終極目標(biāo)就是提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，使他們將來(lái)能夠更加便捷有效地進(jìn)行學(xué)習(xí)，使他們一方面獲得知識(shí)技能，另一方面掌握學(xué)習(xí)的過程。 “教學(xué)模式發(fā)揮效用的關(guān)鍵是使學(xué)生成為更強(qiáng)的學(xué)習(xí)者?！盵3]這與新課程改革的要求是一致的。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)解讀》(以下簡(jiǎn)稱《新課標(biāo)解讀》)認(rèn)為：“豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)方式、改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方法是課程標(biāo)準(zhǔn)的基本價(jià)值取向，數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)與內(nèi)容的調(diào)整和變化，旨在促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的變化”“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于對(duì)概念、結(jié)論和技能的記憶、模仿與接受，獨(dú)立思考、自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、預(yù)閱讀自學(xué)等都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。教學(xué)應(yīng)根據(jù)不同內(nèi)容，采用不同的教學(xué)和學(xué)習(xí)方式?！盵8]

《新課標(biāo)解讀》在對(duì)“教師經(jīng)常采用的課堂教學(xué)方式”的調(diào)查顯示：67.9%的教師選擇以教師講授為主，74.2%的教師選擇師生共同探究，48.9%的教師選擇教師指導(dǎo)下的小組合作學(xué)習(xí)，31.2%的教師選擇學(xué)生自學(xué)[8]。相對(duì)于2001年的調(diào)查結(jié)論“基本以講授為主”，這個(gè)比例雖然有些變化，但“講在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中依然占據(jù)絕對(duì)地位”[9]。一般地，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，基本以老師講解為主，從概念的引入、生成，到理解概念、辨析概念，最后進(jìn)行概念應(yīng)用、鞏固與升華，很少有依據(jù)提綱的閱讀自學(xué)方式，甚至是完全的自學(xué)探討方式。教師對(duì)概念的講解，一方面能促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的快速理解，另一方面可培養(yǎng)學(xué)生逐步形成研究新事物的范式。但持續(xù)的強(qiáng)化，容易形成學(xué)生學(xué)習(xí)的惰性。由于是包辦，學(xué)生很難從接觸新事物的過程提出自己的認(rèn)識(shí)和想法，無(wú)法抓住重點(diǎn)和核心。一旦面對(duì)新的概念，缺乏引導(dǎo)就會(huì)一籌莫展，這也是導(dǎo)致新定義試題得分偏低的原因之一。

3 新定義試題求解障礙突破

要突破新定義試題求解障礙，必須從高中數(shù)學(xué)的概念教學(xué)改革著手。高中數(shù)學(xué)概念頗多，邵光華、章建躍博士等從來(lái)源上將概念分為兩類，一類是對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象或關(guān)系直接抽象而成的概念，另一類是純數(shù)學(xué)抽象物，概念具有判定特征、性質(zhì)特征、過程性特征、對(duì)象特征、關(guān)系特征和形態(tài)特征等六大特征[10]。因此，概念的教學(xué)應(yīng)結(jié)合概念的特點(diǎn)進(jìn)行，不應(yīng)該是一致的、統(tǒng)一的。羅增儒教授認(rèn)為，概念教學(xué)應(yīng)從概念的名稱、定義、屬性、示例等四個(gè)方面展開研究與學(xué)習(xí)。弗賴登塔爾則認(rèn)為，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，實(shí)質(zhì)就是學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)化”。邵光華、章建躍博士認(rèn)為，應(yīng)從直觀化、正反例對(duì)比、同類概念對(duì)比、變式、概念精致與多元表征等角度進(jìn)行概念教學(xué)。而核心數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，必須實(shí)現(xiàn)從工具性理解到關(guān)系性理解的過渡。重點(diǎn)考慮概念的來(lái)源、概念的作用(新知識(shí)的詮釋、舊知識(shí)的翻新)、與相關(guān)概念間的關(guān)系等，并更要突出概念形成的過程性。

《課標(biāo)解讀》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)對(duì)基本概念和基本思想的理解和掌握，對(duì)一些核心的概念和基本思想要貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，幫助學(xué)生逐步理解。由于數(shù)學(xué)高度抽象的特點(diǎn)，注意體現(xiàn)基本概念的來(lái)龍去脈。在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷具體實(shí)例抽象數(shù)學(xué)概念的過程，在初步運(yùn)用中逐步理解概念的本質(zhì)。”[5]因此，開展核心數(shù)學(xué)概念教學(xué)要注重知識(shí)發(fā)展過程，抓住問題本質(zhì)，突出核心內(nèi)容，以問題引導(dǎo)教學(xué)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)向教育形態(tài)的轉(zhuǎn)變。

縱觀近幾年的高考試題，我們發(fā)現(xiàn)，部分省市(如江蘇、上海、北京等)在命題時(shí)，喜歡以新定義試題的方式，考查數(shù)學(xué)基本思想方法的運(yùn)用，全國(guó)卷偶爾也會(huì)涉及到一些新定義試題。在新定義試題的突破上，一般采取下面的流程：

3.1 完成整體閱讀，剔除背景資料，提煉核心要素

作為切入點(diǎn)，新定義試題往往以實(shí)際問題為背景，既增加了文字閱讀(新課改高考命題要求)，又加強(qiáng)了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的作用和數(shù)學(xué)知識(shí)的用途。解答新定義試題，首先通過整體閱讀，初步明確材料的主要內(nèi)容，然后進(jìn)行材料內(nèi)容的刪減，剔除背景資料，提煉出主要的有用信息。

案例1用a代表紅球，b代表藍(lán)球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，從1個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球中取出若干個(gè)球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展開式1+a+b+ab表示出來(lái)，如：“1”表示一個(gè)球都不取，“a”表示取出一個(gè)紅球，而“ab”表示把紅球和藍(lán)球都取出來(lái)。依此類推，下列各式中，其展開式可用來(lái)表示從5個(gè)無(wú)區(qū)別的紅球、5個(gè)無(wú)區(qū)別的藍(lán)球、5個(gè)有區(qū)別的黑球中取出若干個(gè)球，且所有的藍(lán)球都取出或都不取出的所有取法的是( )

A. (1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5

B. (1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5

C. (1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5

D. (1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)

材料將取球方式與多項(xiàng)展開式的項(xiàng)對(duì)應(yīng)起來(lái)，形式新穎，形象直觀。讀懂展開式各項(xiàng)的含義成為解決問題的關(guān)鍵，這個(gè)材料就是問題核心，需要重點(diǎn)閱讀，深入理解，對(duì)號(hào)入座。忽視材料閱讀，缺乏理解，就意味著無(wú)法解題。

案例2“和諧”是近年來(lái)網(wǎng)絡(luò)上比較流行的名詞之一，社會(huì)上的很多現(xiàn)象都被冠以“和諧”之名。在數(shù)學(xué)中也同樣存在著關(guān)于“和諧”的概念，例如：對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)f(x)，若存在閉區(qū)間[a,b]?D，使得函數(shù)f(x)滿足：①f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)是單調(diào)的；②f(x)在[a,b]上的值域?yàn)閇3a,3b]，則稱區(qū)間[a,b]為f(x)的“和諧區(qū)間”。由上面的描述，判斷下列函數(shù)中存在“和諧區(qū)間”的是__________。(填所有滿足條件的函數(shù)序號(hào))

關(guān)于“和諧”的一段文字對(duì)本題的求解沒有任何意義，因此閱讀后需要剔除，以排除干擾(如2015年高考湖北卷以《九章算術(shù)》中的鱉臑和陽(yáng)馬為載體，用生僻字成功將學(xué)生的注意力吸引住了)。類似的試題一般直接定義，如:

A.(0,1) B.(0,1]

3.2 轉(zhuǎn)化問題的表征形式

所謂表征，《現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典》解釋說：“顯示出來(lái)的現(xiàn)象，表現(xiàn)出來(lái)的特征”[11]。表征是認(rèn)知心理學(xué)的術(shù)語(yǔ)，是指信息記載或表達(dá)方式，能把某些實(shí)體或某類信息表達(dá)清楚的形式化系統(tǒng)，以及說明該系統(tǒng)如何行使其職能的若干規(guī)則。轉(zhuǎn)化問題的表征形式，就是先用自己的語(yǔ)言表達(dá)題意，然后借助常用的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)概念等，去重新認(rèn)識(shí)、翻譯新定義。

①f(x)=ex②f(x)=lnx

③f(x)=3x2+5x-π④f(x)=sinx

3.3 應(yīng)用基本數(shù)學(xué)解題方法求解新問題

新定義問題經(jīng)過轉(zhuǎn)譯，最終成為一道用高中數(shù)學(xué)方法可以解決的數(shù)學(xué)問題。用基本數(shù)學(xué)方法解決常規(guī)數(shù)學(xué)問題，是新課標(biāo)提到的“四能”之一。解題的目的，既是為了鞏固對(duì)知識(shí)的理解，積累解題經(jīng)驗(yàn)，強(qiáng)化解題方法，發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，掌握解題策略，形成解題意識(shí)，也是為了培養(yǎng)堅(jiān)忍不拔、鍥而不舍的意志品質(zhì)。

案例4“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同?！蓖皇挛飶牟煌嵌瓤矗瑫?huì)有不同的認(rèn)識(shí)。據(jù)此，請(qǐng)解決以下問題：設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+(2b+1)x-a-2(a,b∈R,a≠0)在區(qū)間[3,4]上至少有一個(gè)零點(diǎn)，則a2+b2的最小值為______。

雖然沒有明確的定義，但試題前的文字，提示了解決問題的方向——轉(zhuǎn)換角度，即對(duì)方程f(x)=ax2+(2b+1)x-a-2=0和符號(hào)a2+b2要重新定義，換個(gè)角度看待。這是核心，需要把握，否則，試題求解會(huì)落入俗套(線性規(guī)劃)，造成求解困難或不便。

如果以點(diǎn)P所在線段分四種情形，依次確定解的個(gè)數(shù)，然后匯總，確定方程只有4解的條件，解法雖然簡(jiǎn)單直觀，但過程麻煩，不符合小題解法的簡(jiǎn)潔性與快捷性。因此需要轉(zhuǎn)換角度，利用幾何直觀來(lái)確定問題的解。以AB為x軸，AD為y軸，A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則M(4,2),N(0,1)。

圖1 案例5的解

①若a>0,b>0，則ln+(ab)=bln+a；

②若a>0,b>0，則ln+(ab)=ln+a+ln+b；

④若a>0,b>0，則ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2。

本題定義了一個(gè)新的運(yùn)算：正對(duì)數(shù)，考查的是對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，代數(shù)式大小比較和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，思想方法上主要是分類討論和特殊化。由于討論層次多，有一定的難度。

當(dāng)a=b時(shí)，不等式顯然成立，且當(dāng)0

對(duì)于①，當(dāng)01，ln+a=lna，ln+(ab)=lnab=blna，等式也成立。故①正確；

對(duì)于④，當(dāng)01，ln+(a+b)=ln(a+b)

案例7設(shè)P1,P2,…,Pn為平面a內(nèi)的n個(gè)點(diǎn)，在平面a內(nèi)的所有點(diǎn)中，若點(diǎn)P到P1,P2,…,Pn點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)P1,P2,…,Pn的一個(gè)“中位點(diǎn)”。例如，線段AB上的任意點(diǎn)都是端點(diǎn)A,B的中位點(diǎn)。則有下列命題，其中的真命題__________。(寫出所有真命題的序號(hào))

①若A,B,C三個(gè)點(diǎn)共線，C在線段上，則C是A,B,C的中位點(diǎn)；

②直角三角形斜邊的點(diǎn)是該直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)的中位點(diǎn)；

③若四個(gè)點(diǎn)A,B,C,D共線，則它們的中位點(diǎn)存在且唯一；

④梯形對(duì)角線的交點(diǎn)是該梯形四個(gè)頂點(diǎn)的唯一中位點(diǎn)。

借助距離概念，定義中位點(diǎn)，考查的是距離和的最小值求法，一般用到三角形兩邊之和大于第三邊等知識(shí)。

對(duì)于①，點(diǎn)P必在線段上，且C為中位點(diǎn)，故①正確；

對(duì)于②，點(diǎn)P在斜邊上，且中位點(diǎn)為直角頂點(diǎn)在斜邊上的射影點(diǎn)，故②不正確；

對(duì)于③，若四個(gè)點(diǎn)A,B,C,D共線，則它們的中位點(diǎn)是線段中間兩點(diǎn)連線段上的任意一點(diǎn)，即中位點(diǎn)存在但不唯一，故③不正確；

對(duì)于④，設(shè)O為對(duì)角線的交點(diǎn)，則PA+PB+PC+PD≥AC+BD=OA+OB+OC+OD，故④正確。

(1)當(dāng)f(x)=__________(x>0)時(shí)，Mf(a,b)為a,b的幾何平均數(shù)；

(以上兩空各只需寫出一個(gè)符合要求的函數(shù)即可)

作為新定義問題，本題以開放性形式出現(xiàn)，給出結(jié)果，需要學(xué)生提供滿足條件的函數(shù)式。確定函數(shù)，一般不會(huì)超出中學(xué)階段的函數(shù)類型，但也不能漫無(wú)目的一個(gè)個(gè)地試，我們需要根據(jù)結(jié)果推理出符合條件的函數(shù)，考查的是學(xué)生的推理論證能力。

任意取正數(shù)k1和k2，就可以得到滿足條件的函數(shù)。

雖然新定義試題有難易之別，但總體來(lái)說，解題方向上是行得通的，沒有超出學(xué)生的能力范圍和接受水平，難度是可控的。即使部分難題只有少數(shù)學(xué)生能順利求解，但也正好甄別出學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的高低，體現(xiàn)了高考試題的選拔功能。