徐東輝

[摘? 要] 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的傳統(tǒng)中，數(shù)學(xué)建模一直有著重要的地位. 在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六個要素當中，數(shù)學(xué)建模所起的作用既有承上又有啟下，且具有高度的概括性. 從認知角度看數(shù)學(xué)建模而言，有著非常重要的啟發(fā)，從數(shù)學(xué)建模策略的角度來看，筆者以為應(yīng)當有這樣兩點認識：第一，數(shù)學(xué)建模要考慮學(xué)生的認知表征;第二，學(xué)生數(shù)學(xué)建模過程中會運用到模型猜想、模型建構(gòu)、模型運用、學(xué)習(xí)反思等等，因此相應(yīng)的數(shù)學(xué)建模策略就有模型假設(shè)策略、模型建構(gòu)策略、模型自我監(jiān)控策略等等. 在數(shù)學(xué)建模的過程當中，教師除了要積累經(jīng)驗性認識之外，更應(yīng)當從學(xué)生認知規(guī)律的把握與運用角度去引導(dǎo)學(xué)生進行高效的數(shù)學(xué)建模.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)建模;認知規(guī)律

隨著最新修訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》的頒布，以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為關(guān)鍵詞的、對數(shù)學(xué)課程的理解與認識，越來越凸顯出對數(shù)學(xué)建模的重視. 之所以在這里特別強調(diào)數(shù)學(xué)建模，是因為在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的傳統(tǒng)中，數(shù)學(xué)建模一直有著重要的地位，當數(shù)學(xué)建模成為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)六個要素之一時，不僅意味著在高中數(shù)學(xué)課程當中，已然繼承了高中數(shù)學(xué)教學(xué)中對數(shù)學(xué)建模的傳統(tǒng)性認識，同時也意味著數(shù)學(xué)建模面臨著新的教學(xué)需要——在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六個要素當中，數(shù)學(xué)建模所起的作用既有承上又有啟下，且具有高度的概括性，一個數(shù)學(xué)模型的建立過程，往往既用到數(shù)學(xué)抽象，又用到邏輯推理;既涉及學(xué)生的幾何直觀，也有可能涉及數(shù)學(xué)運算與數(shù)據(jù)分析. 認識到這一點，就能夠認識到數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)學(xué)科知識體系當中的地位. 然而一個不容樂觀的實際情況是，十年來的實踐表明，高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)效果并不令人滿意，究其重要原因之一在于，缺乏基于學(xué)生認知規(guī)律的高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)理論指導(dǎo). 這是一個值得高度重視的問題，只有真正立足于學(xué)生的認知規(guī)律，去培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，才能為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地奠定基礎(chǔ).

數(shù)學(xué)建模的認知基礎(chǔ)

應(yīng)當說數(shù)學(xué)建模是需要學(xué)生的認知基礎(chǔ)的，從宏觀的角度來看，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程是受認知規(guī)律支配的，數(shù)學(xué)建模作為一個思維含量極高的學(xué)習(xí)過程，自然也是受認知規(guī)律來支配的. 只是認識到這一點，還不足以尋找到數(shù)學(xué)建模的認知基礎(chǔ). 有研究者基于科學(xué)研究方法的選擇，通過對比研究的方法，選擇專家被試與新手被試作為比較的對象進行研究. 研究的結(jié)果表明，學(xué)生在數(shù)學(xué)建模的過程中，問題表征、策略運用、思路特點、建模結(jié)果及解題效率等方面存在顯著差異. 這種差異對于從認知角度看數(shù)學(xué)建模而言，有著非常重要的啟發(fā)，從數(shù)學(xué)建模策略的角度來看，筆者以為應(yīng)當有這樣兩點認識：

第一，數(shù)學(xué)建模要考慮學(xué)生的認知表征. 數(shù)學(xué)知識有隱性與顯性之分，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的認知過程，更多的則是隱性的，但這并不意味著學(xué)生的認知過程不好把握，恰恰相反，大量的研究表明，數(shù)學(xué)建模過程中的認知表征有符號表征、方法表征和機理表征三種方式. 符號表征指向?qū)W生的形象思維，更多的是用文字、圖形、圖表等等描述學(xué)生的模型建立過程，而機理表征指向?qū)W生的抽象思維，強調(diào)在數(shù)學(xué)建模過程中對數(shù)學(xué)建模原理的把握，方法表征介于兩者之間. 當學(xué)生用方法表征來體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模過程時，往往會同時運用到形象思維與抽象思維. 如此將思維形式與表征形式結(jié)合在一起，也就實現(xiàn)了從內(nèi)到外對數(shù)學(xué)建模過程中認知方式的理解.

第二，學(xué)生數(shù)學(xué)建模過程中會運用到模型猜想、模型建構(gòu)、模型運用、學(xué)習(xí)反思等等，因此相應(yīng)的數(shù)學(xué)建模策略就有模型假設(shè)策略、模型建構(gòu)策略、模型自我監(jiān)控策略等等. 這些策略都是相對于學(xué)生的數(shù)學(xué)建模過程而提出的，比如模型假設(shè)策略，就是考慮到學(xué)生在面對現(xiàn)實事物或者現(xiàn)實問題時，他們會通過數(shù)學(xué)抽象去尋找其中的數(shù)學(xué)元素，然后猜想可能的數(shù)學(xué)模型. 此時在學(xué)生的認知當中猜想是必然存在的，也正因為有了猜想，學(xué)生才有了建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的動力，在數(shù)學(xué)建模的過程當中，學(xué)生所猜想的模型可能存在一些缺陷，因此需要通過自我監(jiān)控來進一步優(yōu)化模型.

由以上兩點可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的數(shù)學(xué)建模過程中，確實有著豐富的認知參與，而基于對學(xué)生認知規(guī)律的把握，去培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，也應(yīng)當成為高中數(shù)學(xué)教師的必然選擇.

基于認知規(guī)律的數(shù)學(xué)建模教學(xué)

上面提到數(shù)學(xué)建模過程中的表征方式，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中面向?qū)W優(yōu)生與一般學(xué)生，然后進行比較研究，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)建模問題表征的方式、廣度和方法方面，一般學(xué)生都習(xí)慣于采用符號表征和方法表征這兩種方式，但優(yōu)生更多地采用機理表征方式，這就意味著不同學(xué)生的思維方式，在數(shù)學(xué)建模的過程當中表現(xiàn)是有差異的. 進一步比較研究才發(fā)現(xiàn)，優(yōu)生傾向于進行多元表征，一般生傾向于進行單一表征;優(yōu)生傾向于運用循環(huán)表征方法，一般生傾向于運用單向表征方法. 這一研究結(jié)果告訴我們，在數(shù)學(xué)建模的過程當中，優(yōu)生的思維角度是比較廣的，而一般學(xué)生的思維則相對比較狹窄. 同時優(yōu)秀學(xué)生與一般學(xué)生在數(shù)學(xué)建模策略運用方面也有區(qū)別，前者一般習(xí)慣于運用平衡性假設(shè)的策略，而后者習(xí)慣于運用精確性假設(shè)策略，這是一個非常值得研究的現(xiàn)象. 筆者判斷優(yōu)秀學(xué)生與一般學(xué)生在數(shù)學(xué)建模過程中表現(xiàn)出來的學(xué)習(xí)信心是不同的，一般學(xué)生迫切地想尋找到準確的方向，而優(yōu)秀學(xué)生則相信即使方向模糊，依然能夠完成數(shù)學(xué)模型的建立. 在自我監(jiān)控策略的運用上，研究也表明優(yōu)秀學(xué)生能夠運用即時監(jiān)控策略，而一般生則更多地運用回顧監(jiān)控策略;優(yōu)生傾向于運用理論推演檢驗策略和直覺判斷檢驗策略，一般生傾向于運用數(shù)據(jù)檢驗策略;優(yōu)生傾向于運用假設(shè)調(diào)整策略和建模方法調(diào)整策略，一般生傾向于運用模型求解調(diào)整策略. 從這些認識出發(fā)，在具體的教學(xué)實踐中，教師設(shè)計數(shù)學(xué)建模的思路也就會更加清晰.

例如，“對數(shù)函數(shù)”這一概念的教學(xué)，筆者就在開門見山提出問題的基礎(chǔ)上，立足于讓學(xué)生通過自身的認知能力，去自主建構(gòu)起對數(shù)函數(shù)這一模型. 具體的設(shè)計包括問題情境的創(chuàng)設(shè)與問題的提出：如果我國的人口基數(shù)是13億，且人口增長率是1%，就可以根據(jù)y=13×1.01 算出任意一年的人口總數(shù);那么反過來能否根據(jù)某一年的人口總數(shù)，比如說是18億或者20億，去判斷需要多少年呢？

顯然這既是一個實際問題，又是一個數(shù)學(xué)問題，學(xué)生在面對這個問題的時候，能夠順利地經(jīng)過邏輯推理，判斷出這是一個已知y值要求出x值的問題. 既然x處于指數(shù)位置，那么逆過來之后，就變成一個對數(shù)問題. 這樣的邏輯推理對于學(xué)生而言并不具有很大的難度，因此這里可以讓學(xué)生自主探究，自主運用數(shù)學(xué)語言去描述. 實際教學(xué)表明，超過一半以上的學(xué)生都能夠在原先的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)之上，總結(jié)得出對數(shù)函數(shù)的基本表述，而大多數(shù)學(xué)生也能夠?qū)懗鰕=logax這一表達式，至于對數(shù)函數(shù)的具體表述及定義域與值域，只可以在后續(xù)的研究過程當中逐步完善.

從認知發(fā)展的角度來看，這樣一個數(shù)學(xué)建模的過程當中，學(xué)生從對數(shù)學(xué)文字信息的加工，到后來借助于文字信息去描述對數(shù)函數(shù)，包括再后面的借助于函數(shù)圖像去豐富對對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的理解，實際上都是一個抽象思維與形象思維結(jié)合的過程，這也就呼應(yīng)著上面提到的機理表征;同樣在這一過程中，學(xué)生建立對數(shù)模型的過程，也有一個猜想、驗證及自我監(jiān)控的過程，這在客觀上說明上述數(shù)學(xué)建模策略是有效的.

基于認知規(guī)律的數(shù)學(xué)建模教學(xué)的思考

毫無疑問的一點是，為了適應(yīng)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的需求，逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)文化及綜合應(yīng)用能力，必須加強數(shù)學(xué)建模教學(xué). 文章開頭已經(jīng)提到，數(shù)學(xué)建模在高中數(shù)學(xué)及其教學(xué)中重要性一直存在，而在數(shù)學(xué)建模的過程當中，教師除了要積累經(jīng)驗性認識之外，更應(yīng)當從學(xué)生認知規(guī)律的把握與運用角度去引導(dǎo)學(xué)生進行高效的數(shù)學(xué)建模.

同樣可以肯定的是，數(shù)學(xué)建模過程中學(xué)生的認知規(guī)律，是可以為教師所把握的. 無論是面對相對形象的生活事例，還是面對相對抽象的數(shù)學(xué)問題，數(shù)學(xué)建模的起點，往往就是學(xué)生通過數(shù)學(xué)抽象或者邏輯推理，打開數(shù)學(xué)建模大門的過程. 在具體的數(shù)學(xué)建模過程當中，無論是優(yōu)秀學(xué)生采用的模糊策略，還是一般學(xué)生所追求的精確策略，都必然存在著猜想過程. 猜想是決定數(shù)學(xué)建模方向的關(guān)鍵，猜想之后就是結(jié)合具體的實例進行驗證，驗證的過程當中學(xué)生的自我監(jiān)控心理會發(fā)揮作用，這與認知心理中所強調(diào)的元認知是一脈相承的. 因此基于認知視角看數(shù)學(xué)建模，實際上就是一個認知與元認知相結(jié)合的過程，這對于高中學(xué)生而言是一個非常適宜的認知過程. 如果在數(shù)學(xué)建模的過程當中，教師能夠給學(xué)生提供豐富的問題解決空間，那學(xué)生所建立起來的數(shù)學(xué)模型就可以得到鞏固的機會，這樣從數(shù)學(xué)模型的建立到數(shù)學(xué)模型的運用，就可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力得到充分的生長，包括數(shù)學(xué)建模在內(nèi)的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地，也就有了充分的保障.