王國(guó)強(qiáng) 胡啟山

[摘? 要] 當(dāng)前許多初中生的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)脫離生活實(shí)際，動(dòng)手操作、實(shí)踐探索、思維創(chuàng)新不足，對(duì)數(shù)和量的感悟理解不夠深入，運(yùn)算和解決問題的能力不強(qiáng)，導(dǎo)致“數(shù)感”薄弱. 為了改變這一現(xiàn)狀，在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要重視學(xué)生“數(shù)感”的培養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 初中生;數(shù)感;培養(yǎng);障礙;對(duì)策

所謂數(shù)感，就是對(duì)數(shù)、數(shù)運(yùn)算、數(shù)量關(guān)系的一種感知、理解、領(lǐng)悟的能力，具體體現(xiàn)在能夠自覺理解數(shù)的意義，能用多樣化的方法表示數(shù)，能正確進(jìn)行數(shù)的運(yùn)算，能對(duì)數(shù)進(jìn)行算法與算理的融合，能靈活運(yùn)用數(shù)去分析和解決問題等方面. 當(dāng)前，許多初中生的“數(shù)感”較為薄弱，在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要重視學(xué)生“數(shù)感”的培養(yǎng)，注意采取行之有效的策略，不斷激發(fā)、發(fā)展、強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)感，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和能力.

初中生“數(shù)感”培養(yǎng)現(xiàn)狀及薄弱成因

數(shù)感是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基石，隨著新課程改革的深入推進(jìn)，學(xué)生的“數(shù)感”培養(yǎng)越來越受到教師的重視. 然而，在培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)感”的過程中，仍存在諸多問題亟待解決，具體體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面.

1. 數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)脫離生活實(shí)際，導(dǎo)致學(xué)生“數(shù)感”薄弱

數(shù)學(xué)概念的掌握是建立“數(shù)感”的重要基礎(chǔ). 良好的數(shù)感，源于現(xiàn)實(shí)生活實(shí)際，只有將抽象乏味的數(shù)學(xué)概念與生動(dòng)有趣的生活實(shí)例緊密結(jié)合起來，才能更好地促使學(xué)生主動(dòng)去感知和探究數(shù)學(xué)概念，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性，為數(shù)感的形成和發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 然而，縱觀當(dāng)前初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，不難發(fā)現(xiàn)，有些教師在教學(xué)數(shù)學(xué)概念時(shí)，往往脫離生活實(shí)際，過多地讓學(xué)生死記硬背，致使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念似懂非懂，概念學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性不高，對(duì)于概念的本質(zhì)、內(nèi)涵、價(jià)值更是一知半解，稍加追問則明顯底氣不足. 學(xué)生主要憑借自己的直覺去理解運(yùn)用，機(jī)械化、模式化、重復(fù)化地刷題，最終導(dǎo)致“數(shù)感”培養(yǎng)成為無(wú)源之水，無(wú)本之木.

2. 動(dòng)手操作和實(shí)踐探索不足，導(dǎo)致學(xué)生“數(shù)感”薄弱

數(shù)感是在實(shí)踐中發(fā)展起來的，通過實(shí)踐探究、動(dòng)手操作、合作交流，可以調(diào)動(dòng)學(xué)生多種感官參與學(xué)習(xí)，讓學(xué)生更加深刻地認(rèn)識(shí)數(shù)、理解數(shù)以及掌握數(shù)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，進(jìn)而促使學(xué)生對(duì)數(shù)產(chǎn)生濃厚的親切感和興趣感，不斷提升數(shù)感. 然而當(dāng)前，受傳統(tǒng)教育思想的束縛，部分教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中仍采用“灌輸式”“填鴨式”教學(xué)模式，課堂上教師面面俱到、不厭其煩地講解知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生機(jī)械被動(dòng)地接受知識(shí)，缺乏獨(dú)立思考、動(dòng)手操作和實(shí)踐探索的時(shí)間和空間[1].有些教師為了趕進(jìn)度甚至連基本的活動(dòng)探索也沒有，直接告訴學(xué)生相關(guān)的數(shù)學(xué)原理、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)法則等，然后就進(jìn)入大量的強(qiáng)化提升訓(xùn)練，抑制了學(xué)生學(xué)習(xí)自主性、思維創(chuàng)造性以及“數(shù)感”的進(jìn)一步發(fā)展，導(dǎo)致學(xué)生“數(shù)感”薄弱.

3. 運(yùn)算和解決問題的能力不強(qiáng)，導(dǎo)致學(xué)生“數(shù)感”薄弱

數(shù)感，既是一種自主的數(shù)學(xué)意識(shí)，也是一種重要的數(shù)學(xué)技能. 運(yùn)算和解決問題的能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要掌握的基本技能，運(yùn)算方法的掌握、運(yùn)算結(jié)果的估計(jì)、運(yùn)算和解題能力的提高，在很大程度會(huì)影響“數(shù)感”的培養(yǎng). 當(dāng)前，許多學(xué)生運(yùn)算能力、自主分析和解決問題的能力偏低，不但運(yùn)算速度慢，運(yùn)算符號(hào)把握不準(zhǔn)確，而且運(yùn)算準(zhǔn)確率不高，運(yùn)算思路與方法混亂，導(dǎo)致學(xué)生失分嚴(yán)重. 有些學(xué)生甚至一看到問題，就不知所措、憂心忡忡、自信不足、屢屢出錯(cuò)，使其對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生畏懼和厭倦心理，形成了學(xué)習(xí)屏障，對(duì)數(shù)與量的感知每況愈下，數(shù)感能力發(fā)展不夠理想，極大地增加了學(xué)生“數(shù)感”培養(yǎng)的難度.

初中生“數(shù)感”培養(yǎng)對(duì)策

1. 創(chuàng)設(shè)有效情境，夯實(shí)概念構(gòu)建，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感

數(shù)學(xué)概念與“數(shù)感”的建立有著十分緊密的關(guān)系，由于數(shù)學(xué)概念本身具有較強(qiáng)的抽象性，在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師若單純地講解數(shù)學(xué)概念，則顯得枯燥乏味，學(xué)生往往難以理解，且學(xué)習(xí)熱情不高.

若能結(jié)合學(xué)生心理特點(diǎn)，緊扣教學(xué)內(nèi)容，悉心創(chuàng)設(shè)生動(dòng)有效的學(xué)習(xí)情境，不僅可以吸引學(xué)生注意力，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)能動(dòng)性，而且可以深化學(xué)生對(duì)概念的理解，提高學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)，促進(jìn)學(xué)生“數(shù)感”的形成.

比如，在教學(xué)“正負(fù)數(shù)概念”時(shí)，筆者創(chuàng)設(shè)了這樣的學(xué)習(xí)情境：某一足球隊(duì)參與比賽，上半場(chǎng)與下半場(chǎng)得分如下，試判斷其比賽結(jié)果：

①上半場(chǎng)贏6個(gè)球，下半場(chǎng)輸4個(gè)球，結(jié)果是（輸 贏 平）球;

②上半場(chǎng)輸7個(gè)球，下半場(chǎng)贏3個(gè)球，結(jié)果是（輸 贏 平）球;

③上半場(chǎng)贏5個(gè)球，下半場(chǎng)輸5個(gè)球，結(jié)果是（輸 贏 平）球.

然后提出問題：倘若贏5個(gè)球，記為“+5”，輸4個(gè)球記為“-4”，請(qǐng)用“+”“-”表示上述三個(gè)情境下贏、輸球的個(gè)數(shù). 接著，在此基礎(chǔ)上引入正、負(fù)數(shù)的概念：一般地，大于0的數(shù)為正數(shù)，在正數(shù)前加上“-”的數(shù)為負(fù)數(shù)，0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，它是正、負(fù)數(shù)的分界點(diǎn). 這樣，結(jié)合實(shí)際生活，創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，既喚起了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，又激發(fā)了學(xué)生數(shù)感.

又如，在講解“相反數(shù)的概念”時(shí)，為了讓學(xué)生更好地感受相反數(shù)，加深學(xué)生對(duì)相反數(shù)的理解和掌握，在教學(xué)過程中，筆者首先出示了如下幾個(gè)情境：

①要求兩位同學(xué)背靠背，一人向前走5步，一人向后走5步，若向前為正，向后為負(fù)，分別記作什么？

②汽車向南行駛8公里和向北行駛8公里，若向南為正，向北為負(fù)，分別記作什么？

③溫度為零上6攝氏度和零下6攝氏度，若零上為正，零下為負(fù)，分別記作什么？

④水位下降0.4米，升高0.4米，若升高為正，下降為負(fù)，又分別記作什么？

然后讓學(xué)生開動(dòng)腦筋想一想：上述四個(gè)情境中的每一對(duì)數(shù)有何共同點(diǎn)？從中你得出了什么？通過分析情境，學(xué)生不難看出上述四對(duì)數(shù)，數(shù)字相同，符號(hào)不同，每一對(duì)均為相反數(shù)，進(jìn)而得出相反數(shù)的概念：符號(hào)不同絕對(duì)值相同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù). 這樣，通過生動(dòng)有趣的情境鋪設(shè)，既深化了學(xué)生對(duì)相反數(shù)概念的理解，又在無(wú)形中培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)感.

2. 鼓勵(lì)動(dòng)手操作，注重實(shí)踐探究，發(fā)展學(xué)生數(shù)感

古人云：“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”，我國(guó)著名教育家陶行知曾說過“教育要做到知行合一”，實(shí)踐出真知，實(shí)踐是思維的體操、創(chuàng)新的源泉. 學(xué)生“數(shù)感”的培養(yǎng)和發(fā)展，離不開動(dòng)手實(shí)踐，新課程改革強(qiáng)調(diào)“做中學(xué)”，所以，在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師在培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)感”時(shí)，要注意鼓勵(lì)學(xué)生大膽動(dòng)手操作，親身實(shí)踐探索，積極碰撞思維，相互交流討論，在動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)口中豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生敏銳的數(shù)感，提高學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，增強(qiáng)學(xué)生實(shí)踐、動(dòng)手、探究等綜合能力[2].

譬如，在探究“多邊形的對(duì)角線條數(shù)”時(shí)，筆者首先讓學(xué)生回顧三角形知識(shí)：同學(xué)們，三角形有沒有對(duì)角線？然后出示問題，引導(dǎo)學(xué)生邊畫圖，邊想一想、算一算多邊形的對(duì)角線條數(shù). 首先讓學(xué)生自己任意畫出一個(gè)四邊形、五邊形、六邊形……然后分別畫出對(duì)角線，接著引導(dǎo)同學(xué)們進(jìn)行小組研討：對(duì)應(yīng)多邊形有多少條對(duì)角線？多邊形被分成幾個(gè)三角形？歸納總結(jié)出n邊形對(duì)應(yīng)的規(guī)律. 最后進(jìn)一步追問當(dāng)多邊形的邊數(shù)增加1時(shí)，對(duì)角線條數(shù)增加多少？從而深化學(xué)生思維，讓學(xué)生在探索歸納中深度感悟，思向遠(yuǎn)方.

在探索過程中有學(xué)生說：經(jīng)過四邊形1個(gè)頂點(diǎn)能畫1條對(duì)角線，可以將四邊形分成2個(gè)三角形. 在四邊形中，由于每條對(duì)角線重復(fù)畫了2次，所以 = ，則四邊形有2條對(duì)角線;過八邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以畫5條對(duì)角線，它們將八邊形分成6個(gè)三角形，由于每條對(duì)角線重復(fù)畫了2次，所以 = ，八邊形有20條對(duì)角線;過100邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以畫97條對(duì)角線，它們將100邊形分成了98個(gè)三角形，每條對(duì)角線重復(fù)畫了2次，所以 =? ，則100邊形有4850條對(duì)角線. 最后，總結(jié)出結(jié)論：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫（n-3）（n≥3）條對(duì)角線，這些對(duì)角線可以將n邊形分成（n-2）（n≥3）個(gè)三角形，n邊形共有 （n≥3）條對(duì)角線，多邊形的邊數(shù)每增加1，對(duì)角線就增加 - =n+1條. 這樣，通過動(dòng)手操作、動(dòng)腦思考、歸納計(jì)算，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有了深刻的認(rèn)識(shí)，不但發(fā)展了學(xué)生的數(shù)感，而且提高了學(xué)生的思維和實(shí)踐探索能力.

3. 加強(qiáng)運(yùn)算訓(xùn)練，自主解決問題，強(qiáng)化學(xué)生數(shù)感

數(shù)感與運(yùn)算密不可分，運(yùn)算能力越強(qiáng)，數(shù)感就越強(qiáng). 在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要注重對(duì)運(yùn)算能力的訓(xùn)練、解題能力的訓(xùn)練，在綜合能力訓(xùn)練中發(fā)展學(xué)生的能力素養(yǎng)，提高學(xué)生對(duì)數(shù)的敏感度，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)感.

一是通過加強(qiáng)數(shù)的大小比較、估算、化簡(jiǎn)、求值等運(yùn)算訓(xùn)練，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)感.

例如，學(xué)習(xí)完“有理數(shù)和無(wú)理數(shù)”后，筆者進(jìn)行了如下運(yùn)算訓(xùn)練：①比較 + 與 + 、-3 與-2 的大小;②先化簡(jiǎn)，再求值： + ÷ ，其中a，b滿足 +b- =0.

解： ①（利用平方法）（ + ）2=20+2 ，（ + ）2=20+2 ，因?yàn)?< ，所以（ + ）< + ;（借助絕對(duì)值和移動(dòng)因式法）因?yàn)?3 =3 = ，-2 =2 = ，因?yàn)?> ，根據(jù)兩個(gè)負(fù)數(shù)相比較，絕對(duì)值大的反而小，所以-3 <-2 . 這樣，通過有理數(shù)、無(wú)理數(shù)的大小比較，既幫助學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)方法，提升了學(xué)生的運(yùn)算能力，又增強(qiáng)了學(xué)生的數(shù)感，激活了學(xué)生數(shù)學(xué)思維.

②該題將化簡(jiǎn)求值與非負(fù)數(shù)的計(jì)算巧妙結(jié)合在一起，求解時(shí)只要把握了非負(fù)數(shù)不為0，即可使問題迎刃而解. 因?yàn)?≥0，b- ≥0，故要使 +b- =0，則 =0且b- =0，故a=-1，b= .? + ÷ = × = = - =- .

二是通過加強(qiáng)綜合應(yīng)用訓(xùn)練，深化學(xué)生數(shù)感.

比如，執(zhí)教完“一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式（組）”的相關(guān)知識(shí)后，為了鞏固學(xué)生所學(xué)知識(shí)，錘煉學(xué)生的數(shù)感，以及運(yùn)算能力、解決問題的能力，筆者聯(lián)系生活實(shí)際，設(shè)計(jì)了如下運(yùn)算問題：

某校八年級(jí)要舉行“最美中國(guó)字”比賽，決定去“大潤(rùn)發(fā)”選購(gòu)鋼筆作為獎(jiǎng)品. 已知該超市的A，B兩種鋼筆的單價(jià)分別是12元和8元.

（1）學(xué)校準(zhǔn)備選購(gòu)這兩種鋼筆共30支，如果用300元購(gòu)買獎(jiǎng)品，那么可以選購(gòu)這兩種鋼筆各多少支？

（2）學(xué)校根據(jù)比賽的設(shè)獎(jiǎng)情況，決定所購(gòu)買的A種鋼筆的數(shù)量要少于B種鋼筆數(shù)量的 ，但又不少于B種鋼筆數(shù)量的 . 如果設(shè)購(gòu)買A種鋼筆t支，買這兩種鋼筆共花費(fèi)k元.

①請(qǐng)寫出k（單位：元）關(guān)于t（單位：支）的函數(shù)關(guān)系式，并嘗試求出自變量t的取值范圍;

②請(qǐng)你計(jì)算一下，購(gòu)買這兩種鋼筆各多少支時(shí)，所花費(fèi)用最少，并求出最少花費(fèi)是多少元.

解：（1）設(shè)A種鋼筆選購(gòu)x支，則B種鋼筆選購(gòu)（30-x）支. 根據(jù)題意，得12x+8（30-x）=300，解得x=15. 又30-x=15，所以可以選購(gòu)A，B兩種鋼筆各15支.

（2）①依據(jù)題意，可得k=12t+8（30-t），即k=4t+240，且有t< （30-t），t≥ （30-t）， 所以k（單位：元）關(guān)于t（單位：支）的函數(shù)關(guān)系式為k=4t+240，自變量t的取值范圍是 ≤t<12，且t為整數(shù).

②對(duì)于一次函數(shù)k=4t+240，因?yàn)閗隨t的增大而增大，且 ≤t<12，t為整數(shù)，所以當(dāng)t=8時(shí)，k有最小值，此時(shí)30-t=30-8=22，k=4×8+240=272（元）. 因此，當(dāng)購(gòu)買A種鋼筆8支、B種鋼筆22支時(shí)，所花費(fèi)用最少，此時(shí)共花費(fèi)272元.

從上述兩例不難看出，融合各類運(yùn)算思想方法有助于學(xué)生在自主訓(xùn)練中明晰問題的本質(zhì)，有助于學(xué)生在數(shù)的感悟中深化對(duì)問題的理解，有助于學(xué)生在術(shù)與理的共生中把握問題的核心.

總之，初中生“數(shù)感”的培養(yǎng)并非是一蹴而就的，它是一個(gè)循序漸進(jìn)、逐步生長(zhǎng)、不斷深化的發(fā)展過程. 在初中數(shù)學(xué)常態(tài)教學(xué)中，教師要予以高度重視，一方面要精心創(chuàng)設(shè)有效情境，夯實(shí)概念構(gòu)建，激發(fā)學(xué)生的“數(shù)感”意識(shí)，幫助學(xué)生建立數(shù)感;另一方面，要注意加強(qiáng)學(xué)生的運(yùn)算和解題訓(xùn)練，引領(lǐng)學(xué)生實(shí)踐探索、交流探討、創(chuàng)新共生，不斷豐富和強(qiáng)化數(shù)感，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升[3].

參考文獻(xiàn)：

[1]張華超. 初中生數(shù)學(xué)探析能力培養(yǎng)之管窺[J]. 數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2014（09）：54.

[2] 徐柱柱. 初中生數(shù)學(xué)直觀素養(yǎng)的實(shí)證研究與啟示——基于湖南省Z市八年級(jí)的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)監(jiān)測(cè)[J]. 教育測(cè)量與評(píng)價(jià)，2019（12）：26-33.

[3]王國(guó)強(qiáng). 初中生數(shù)感培養(yǎng)價(jià)值及對(duì)策探索[J]. 中學(xué)課程資源，2021（01）：10-12.