唐 鵬，陳永洪，鄭正鼎，陳兵奎

(重慶大學(xué) 機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 重慶 400044)

蝸桿傳動(dòng)屬斜面?zhèn)鲃?dòng)，作為齒輪傳動(dòng)的一個(gè)重要分支，其傳動(dòng)原理與典型齒輪傳動(dòng)的杠桿傳動(dòng)原理有較大區(qū)別，蝸桿傳動(dòng)副齒面相對(duì)滑動(dòng)速度較大，齒面磨損較快。

將蝸桿傳動(dòng)副共軛齒面之間的滑動(dòng)摩擦改為滾動(dòng)摩擦是減小摩擦系數(shù)提高傳動(dòng)效率的有效途徑。Kato等[1]提出針輪蝸桿傳動(dòng)，并對(duì)其結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、加工工藝、傳動(dòng)效率及潤(rùn)滑條件等問(wèn)題進(jìn)行了全面的研究，日本三共(SANKYO)株式會(huì)社成功地將滾柱包絡(luò)環(huán)面蝸桿傳動(dòng)應(yīng)用于減速器生產(chǎn)。Siegmund等提出了滾珠環(huán)面蝸桿傳動(dòng)，在蝸輪與環(huán)面蝸桿之間加入了鋼球作為蝸輪齒，并在鋼球和蝸輪母體球窩內(nèi)布滿小鋼珠以減小鋼球與蝸輪母體之間的滑動(dòng)摩擦[2]。張光輝等[3]和陳永洪等[4]提出滾錐包絡(luò)環(huán)面蝸桿傳動(dòng)，并進(jìn)行了嚙合理論、參數(shù)優(yōu)化、樣機(jī)制造及性能試驗(yàn)等方面的系統(tǒng)研究，證明滾錐包絡(luò)環(huán)面蝸桿傳動(dòng)具有傳動(dòng)效率高、承載能力大、使用壽命長(zhǎng)及制造簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)。鄧星橋等[5-6]提出無(wú)側(cè)隙雙滾子包絡(luò)環(huán)面蝸桿傳動(dòng)，所用蝸桿是以蝸輪齒面為原始母面包絡(luò)展成的環(huán)面蝸桿，蝸輪輪齒則是兩個(gè)能夠繞其自身軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的滾子，不僅具有滾子包絡(luò)環(huán)面?zhèn)鲃?dòng)效率高、嚙合齒數(shù)多、承載能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，還具有側(cè)隙可調(diào)及零側(cè)隙的特點(diǎn)。Chen等[7]建立了球面包絡(luò)環(huán)面蝸桿傳動(dòng)的嚙合幾何學(xué)，分析了誤差對(duì)傳動(dòng)副接觸區(qū)域的影響規(guī)律。Wang等[8]分析了滾子包絡(luò)環(huán)面蝸桿傳動(dòng)副的時(shí)變嚙合剛度，研究了滾子直徑對(duì)嚙合剛度的影響規(guī)律。Deng等[9]分析了滾子包絡(luò)環(huán)面蝸桿傳動(dòng)減速器的潤(rùn)滑流場(chǎng)。上述對(duì)滾子包絡(luò)環(huán)面蝸桿傳動(dòng)副的研究主要是針對(duì)蝸桿的嚙合傳動(dòng)性能、設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化、潤(rùn)滑流場(chǎng)等方面[5-9]。但是單純?cè)诶碚摖顟B(tài)下建立的數(shù)學(xué)模型并不能反映實(shí)際工況下傳動(dòng)副的接觸情況，缺乏裝配誤差對(duì)齒面接觸的影響規(guī)律等理論指導(dǎo)，則會(huì)導(dǎo)致在傳動(dòng)過(guò)程中出現(xiàn)輪齒接觸不良、卡死等現(xiàn)象。

筆者基于滾子包絡(luò)環(huán)面蝸桿的傳動(dòng)原理，建立了考慮裝配誤差的傳動(dòng)副干涉分析模型，提出了干涉定量評(píng)價(jià)指標(biāo)及其數(shù)值計(jì)算方法，并系統(tǒng)地分析了中心距誤差、蝸桿軸向竄動(dòng)量誤差、滾子蝸輪軸向誤差和軸交角誤差對(duì)滾子包絡(luò)環(huán)面蝸桿傳動(dòng)副的接觸情況的影響規(guī)律。

1 滾子包絡(luò)環(huán)面蝸桿傳動(dòng)副嚙合幾何學(xué)

1.1 幾何標(biāo)架及坐標(biāo)變換

滾子包絡(luò)環(huán)面蝸桿傳動(dòng)副的蝸輪是以圓柱滾子為輪齒的組合體，環(huán)面蝸桿齒面是以滾子圓柱面為母面按嚙合運(yùn)動(dòng)關(guān)系包絡(luò)展成，基于嚙合關(guān)系建立標(biāo)架如圖1所示。圖中空間固定標(biāo)架σm(om-xm,ym,zm)和σn(on-xn,yn,zn)為滾子蝸輪和蝸桿的初始位置，其底矢分別為(im,jm,km)和(in,jn,kn)；滾子蝸輪與運(yùn)動(dòng)標(biāo)架σ1(o1-x1,y1,z1)固連，并繞z1軸以角速度ω1轉(zhuǎn)動(dòng)，環(huán)面蝸桿與運(yùn)動(dòng)標(biāo)架σ2(o2-x2,y2,z2)固連，并繞z2軸以角速度ω2轉(zhuǎn)動(dòng)；標(biāo)架σ1和σ2的底矢分別為(i1,j1,k1)和(i2,j2,k2)；滾子蝸輪和環(huán)面蝸桿某瞬時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)角位移分別為φ1和φ2，且有φ1/φ2=ω1/ω2=Z2/Z1=i12，其中Z1為環(huán)面蝸桿頭數(shù)，Z2為滾子蝸輪齒數(shù)，i12為蝸桿傳動(dòng)副傳動(dòng)比；a為傳動(dòng)副中心距。

圖1 傳動(dòng)副幾何標(biāo)架Fig. 1 Coordinate systems in the worm drive

由圖1所示幾何關(guān)系，有滾子蝸輪固連坐標(biāo)系σ1與環(huán)面蝸桿固連坐標(biāo)系σ2之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

(x2,y2,z2,1)T=Mn2MmnM1m(x1,y1,z1,1)T，

(1)

1.2 滾子齒面

建立滾子蝸輪齒面在其固連坐標(biāo)系的示意圖如圖2所示，圖中r為滾子半徑，u和θ為滾子齒面參數(shù)。

圖2 滾子蝸輪齒面Fig. 2 Tooth surface of the roller worm

則滾子蝸輪固連坐標(biāo)系σ1下滾子蝸輪的齒面位置向量為：

(2)

基于上述齒面方程式(2)，由微分幾何關(guān)系[10]可得滾子蝸輪固連坐標(biāo)系σ1下滾子齒面的單位法向量為：

(3)

1.3 傳動(dòng)副的嚙合關(guān)系

為了表示環(huán)面蝸桿與滾子齒面的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，同時(shí)考慮簡(jiǎn)化計(jì)算而又不失一般性，令ω2=1 rad/s, 則ω1=1/i21=i12rad/s，通過(guò)坐標(biāo)變換及底矢轉(zhuǎn)換，可得滾子蝸輪固連坐標(biāo)系σ1下的齒面嚙合點(diǎn)處的相對(duì)速度為：

(4)

環(huán)面蝸桿齒面與滾子齒面保持連續(xù)嚙合，必須滿足在傳動(dòng)中時(shí)刻處于相切接觸狀態(tài)，即滿足條件[1]Φ=v(12)n1=0，得滾子蝸輪包絡(luò)環(huán)面蝸桿傳動(dòng)的嚙合函數(shù)為：

Φ(u,θ,φ1)=ai12cosθ-usinθ-ui12cosφ1cosθ。

(5)

1.4 滾子齒面接觸線

滾子齒面上滿足嚙合方程式(5)的點(diǎn)即為傳動(dòng)副在滾子齒面的瞬時(shí)接觸線。故滾子齒面接觸線方程為：

(6)

1.5 環(huán)面蝸桿齒面

將滾子齒面上滿足嚙合方程的點(diǎn)轉(zhuǎn)換至環(huán)面蝸桿固連坐標(biāo)系，得環(huán)面蝸桿齒面方程為：

(7)

x2=acosφ2-ucosφ1cosφ2-rcosθsinφ2-rcosφ2sinφ1sinθ，

y2=asinφ2+rcosθcosφ2-ucosφ1sinφ2-rsinφ1sinφ2sinθ，

z2=usinφ1-rcosφ2sinθ。

2 含裝配誤差的傳動(dòng)副數(shù)學(xué)模型

2.1 幾何標(biāo)架及坐標(biāo)變換

在傳動(dòng)副的實(shí)際裝配過(guò)程中難免會(huì)產(chǎn)生裝配誤差。將傳動(dòng)副的裝配誤差分解到各個(gè)方向分量上，分別對(duì)傳動(dòng)副在裝配過(guò)程中可能出現(xiàn)的中心距誤差、蝸桿軸向誤差、蝸輪軸向誤差及軸交角誤差進(jìn)行分析。為了分析簡(jiǎn)便，在不失一般性的情況下假設(shè)滾子蝸輪為標(biāo)準(zhǔn)安裝位置，上述所有誤差均是環(huán)面蝸桿相對(duì)于滾子蝸輪而產(chǎn)生的，建立含裝配誤差坐標(biāo)系如圖3所示。

圖3 含裝配誤差的傳動(dòng)副幾何標(biāo)架Fig. 3 Coordinate systems of the worm drive with errors

圖3所示含裝配誤差坐標(biāo)系中，考慮了蝸桿和滾子蝸輪間的誤差相對(duì)位移關(guān)系，所以蝸桿固定標(biāo)架σm與滾子蝸輪固定標(biāo)架σn之間的變換矩陣為：

(8)

式中：Δa為中心距誤差；ΔL2為蝸桿軸向誤差；ΔL1為蝸輪軸向誤差；ΔΣ為軸交角誤差。

此外，滾子蝸輪活動(dòng)坐標(biāo)系σ1與其固定坐標(biāo)系σm的坐標(biāo)變換、蝸桿活動(dòng)坐標(biāo)系σ2與其固定坐標(biāo)系σn的坐標(biāo)變換沒有發(fā)生新的誤差，相對(duì)位移保持不變。

2.2 含誤差的齒面方程

基于上述滾子蝸輪標(biāo)準(zhǔn)安裝的假設(shè)，滾子蝸輪齒面為標(biāo)準(zhǔn)齒面，與式(2)一致。而環(huán)面蝸桿齒面則由式(8)的含裝配誤差變換矩陣進(jìn)行轉(zhuǎn)換后，得含裝配誤差的環(huán)面蝸桿齒面方程為：

(9)

2.3 干涉質(zhì)量評(píng)價(jià)

在裝配中產(chǎn)生蝸桿/蝸輪軸向誤差、中心距誤差和軸交角誤差后，滾子和蝸桿會(huì)產(chǎn)生不同程度的干涉情況，了解各誤差類型對(duì)干涉程度的影響規(guī)律對(duì)滾子包絡(luò)環(huán)面蝸桿實(shí)際生產(chǎn)裝配具有重要的指導(dǎo)意義。衡量它們之間的干涉質(zhì)量可以用干涉體在滾子上的截面面積大小來(lái)表示。由于干涉方向的多樣性，截面常會(huì)是面積較小的任意曲邊形，將干涉截面近似處理為三角形或者四邊形會(huì)在保留規(guī)律性的基礎(chǔ)上很大地縮減計(jì)算量。干涉截面為圖4所示的2種表現(xiàn)形式。

圖4 兩種干涉截面形式Fig. 4 Two types of the interference cross sections

圖4(a)所示為三角形干涉情況，3個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(xT1,yT1,zT1), (xT2,yT2,zT2) 和(xT3,yT3,zT3), 則總干涉面積為：

(10)

式中：

圖4(b)所示為四邊形干涉情況，4個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(xQ1,yQ1,zQ1) (xQ2,yQ2,zQ2)(xQ3,yQ3,zQ3)和(xQ4,yQ4,zQ4)，則總干涉面積為：

(11)

式中：

P1=(aQ+bQ+cQ)/2，

P2=(cQ+dQ+eQ)/2。

2.4 干涉點(diǎn)求解

為了計(jì)算上述干涉區(qū)域面積，需獲取各頂點(diǎn)坐標(biāo)值。如圖5所示滾子蝸輪齒面與環(huán)面蝸桿齒面，點(diǎn)j為滾子蝸輪的滾子軸線上的一點(diǎn)，坐標(biāo)為(xj,yj,zj)，點(diǎn)k為環(huán)面蝸桿齒面上同一圓弧高度的環(huán)面螺旋線的一點(diǎn)，坐標(biāo)為(xk,yk,zk)。若環(huán)面蝸桿齒面點(diǎn)與滾子蝸輪之間發(fā)生干涉，如圖5所示情況，則：

(12)

圖5 齒面坐標(biāo)點(diǎn)的距離關(guān)系Fig. 5 Distance relation of coordinate points on tooth surface

若環(huán)面蝸桿齒面點(diǎn)與滾子蝸輪之間不接觸，則：

(13)

各頂點(diǎn)處應(yīng)滿足：

(14)

結(jié)合滾子蝸輪齒面方程式(2)、含裝配誤差的環(huán)面蝸桿齒面方程式(9)和頂點(diǎn)坐標(biāo)值條件式(14)，設(shè)R為計(jì)算點(diǎn)在滾子蝸輪坐標(biāo)系中的半徑值，即j點(diǎn)至蝸輪旋轉(zhuǎn)中心的距離，蝸桿嚙合轉(zhuǎn)角φ1的最小值φ11、最大值φ12及計(jì)算步長(zhǎng)φ1h，采用圖6所示求解流程編制MATLAB程序，可求解各頂點(diǎn)坐標(biāo)值。

圖6 干涉頂點(diǎn)求解流程圖Fig. 6 Flow chart of solving the interference vertices

3 接觸特性實(shí)例分析

含裝配誤差的傳動(dòng)副數(shù)學(xué)模型考慮了實(shí)際工況中蝸桿副誤差的主要來(lái)源，這種把誤差分量加入嚙合模型的分析思路已見于文獻(xiàn)[11]所研究的平面齒內(nèi)齒輪一次包絡(luò)鼓形蝸桿傳動(dòng)中。文獻(xiàn)[11]中采用定性地觀察瞬時(shí)接觸線的分布來(lái)驗(yàn)證模型的正確性，本研究中將定量地分析干涉量隨誤差的變化規(guī)律。

為了驗(yàn)證上述理論的可行性和有效性，以表1所示參數(shù)的滾子包絡(luò)環(huán)面蝸桿傳動(dòng)副為例，利用上述理論數(shù)學(xué)模型和含裝配誤差的數(shù)學(xué)模型，分析其理論接觸特性和含裝配誤差的接觸特性。

表1 蝸桿傳動(dòng)副基本參數(shù)

3.1 理論接觸特性

根據(jù)滾子蝸輪齒面理論接觸線方程式(6)和設(shè)計(jì)參數(shù)，繪制滾子齒面接觸線及傳動(dòng)副齒面的理論接觸情況如圖7所示，可見滾子包絡(luò)環(huán)面蝸桿傳動(dòng)副的理論接觸線為空間螺旋曲線，分布在滾子中間平面附近。

圖7 滾子蝸輪齒面理論接觸線示意圖Fig. 7 Spiral lines generated by MATLAB

3.2 帶裝配誤差的接觸特性

實(shí)際裝配中由于存在裝配誤差，滾子和蝸桿不再是規(guī)則的線接觸，而是存在干涉情況。根據(jù)上文提出的考慮裝配誤差的環(huán)面蝸桿數(shù)學(xué)模型，分別考察中心距誤差、蝸桿軸向誤差、蝸輪軸向誤差和軸交角對(duì)滾子包絡(luò)環(huán)面蝸桿傳動(dòng)副的接觸特性的影響。

3.2.1 中心距誤差與干涉截面積的規(guī)律

以中心距增大為正誤差、減小為負(fù)誤差，進(jìn)行中心距誤差對(duì)滾子包絡(luò)環(huán)面蝸桿傳動(dòng)副齒面接觸的影響規(guī)律分析。由于邊齒1、邊齒2和邊齒3、邊齒4的干涉截面積總和具有對(duì)稱關(guān)系，為了簡(jiǎn)化冗余而不失代表性，只分析邊齒1、邊齒2和中心齒左右兩側(cè)齒面的干涉截面積總和。以表1實(shí)例參數(shù)為基礎(chǔ)，中心距誤差取Δa∈[-0.10,0.10]，其余參數(shù)不變，中心距誤差對(duì)滾子包絡(luò)環(huán)面蝸桿傳動(dòng)副的干涉截面積影響規(guī)律如圖8所示。

圖8 中心距誤差與齒面干涉面積的關(guān)系Fig. 8 Relationship between the center distance error and the interference area

從圖8(a)中可以看出，各對(duì)齒對(duì)不同中心距誤差的敏感程度不同。中心齒理論上干涉面積為0，但邊齒的干涉截面積隨中心距誤差絕對(duì)值增大而增大，增大的變化率逐漸變小，外側(cè)的邊齒干涉面積大于內(nèi)側(cè)邊齒。干涉截面積以零誤差為軸對(duì)稱分布，這是由于當(dāng)誤差為正時(shí)，干涉發(fā)生在滾子蝸輪右齒面；而誤差為負(fù)時(shí)，干涉發(fā)生在左齒面，圖8(b)中分析的是5對(duì)滾子輪齒與環(huán)面蝸桿左右側(cè)齒面干涉截面積的累計(jì)值。

3.2.2 蝸桿軸向誤差與干涉截面積的規(guī)律

由于環(huán)面蝸桿齒面的對(duì)稱性，兩端竄動(dòng)的效果等效，故只分析其向一端竄動(dòng)時(shí)的接觸變化情況?？疾煳仐U軸向誤差ΔL2對(duì)滾子包絡(luò)環(huán)面蝸桿傳動(dòng)副接觸情況的影響，取ΔL2∈[0.00,0.10]，其余參數(shù)不變，蝸桿軸向誤差對(duì)傳動(dòng)副干涉情況的影響規(guī)律如圖9所示。

圖9 蝸桿軸向誤差與齒面干涉面積的關(guān)系Fig. 9 Relationship between the axial error of the worm and the interference area

從圖9可以看出，蝸桿軸向竄動(dòng)量對(duì)蝸桿上的各對(duì)齒的影響基本相同，總體趨勢(shì)為增長(zhǎng)率隨竄動(dòng)量增大逐漸減小，提示在誤差產(chǎn)生的初期控制誤差的精度尤為重要。

3.2.3 滾子蝸輪軸向誤差與干涉截面積的規(guī)律

在分析滾子蝸輪的軸向誤差與干涉截面積關(guān)系時(shí)，根據(jù)環(huán)面蝸桿齒面的對(duì)稱性，同樣只需考察其向一個(gè)方向的偏移。取ΔL1∈[0.00,0.10]，其余參數(shù)不變，計(jì)算所得干涉截面積大小如圖10所示。

圖10 蝸輪軸向誤差與齒面干涉面積的關(guān)系Fig. 10 Relationship between the axial error of gear and the interference area

蝸輪軸向誤差對(duì)傳動(dòng)副干涉的影響程度較中心距誤差和蝸桿軸向誤差的影響小，這是由于在沿蝸輪軸方向上嚙合程度最小。滾子蝸輪軸線誤差對(duì)蝸桿上的各對(duì)齒的干涉影響基本相同，呈增長(zhǎng)變緩的增大趨勢(shì)。

3.2.4 軸交角誤差與干涉截面積的規(guī)律

軸交角的誤差也是裝配誤差的重要分量之一。以沿滾子順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)為正，沿滾子逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)為負(fù)，取ΔΣ∈[-0.5°,0.5°]，其余參數(shù)不變，計(jì)算所得各對(duì)齒干涉截面積如圖11所示。

圖11 軸交角誤差與齒面干涉面積的關(guān)系Fig. 11 Relationship between the intersection angle error and the interference area

當(dāng)軸交角誤差絕對(duì)值控制在0.5°以內(nèi)時(shí)，各對(duì)齒干涉量較??；且干涉截面積以誤差正負(fù)值對(duì)稱分布，隨著誤差絕對(duì)值增大而增大，然而其變化率相較之前3種誤差更大。

3.2.5 各誤差類型對(duì)干涉截面積的影響規(guī)律

分別對(duì)傳動(dòng)副在裝配過(guò)程中可能出現(xiàn)的中心距誤差、蝸桿軸向誤差、蝸輪軸向誤差及軸交角誤差進(jìn)行分析。因軸交角誤差與它們量綱不同，故不在同一圖內(nèi)分析。由圖12可以看出，在相同的數(shù)值下，蝸桿軸向竄動(dòng)量誤差對(duì)干涉截面積的影響最大，滾子蝸輪軸向誤差對(duì)干涉截面積的影響最小。干涉截面積隨裝配誤差增大而增大，但增長(zhǎng)率下降。

4 結(jié) 論

1)建立了裝配誤差情況下的傳動(dòng)副干涉分析模型，得出了傳動(dòng)副理論干涉截面積；

2)滾子包絡(luò)環(huán)面蝸桿傳動(dòng)副的理論接觸線為空間螺旋曲線，分布在滾子中間平面附近；

3)蝸桿軸向竄動(dòng)量誤差對(duì)干涉截面積的影響最大，中心距誤差次之，滾子蝸輪軸向誤差影響最?。?/p>

4)在實(shí)際加工和裝配過(guò)程中，軸交角誤差對(duì)邊齒的干涉情況影響很大，需要將它控制在±0.5°以內(nèi)。