李 暉, 丁可昕

(沈陽大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院, 遼寧 沈陽 110041)

排隊論,又名隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論,是運(yùn)用數(shù)學(xué)語言描述顧客的到達(dá)方式和服務(wù)臺的運(yùn)行模式,通過建立模型進(jìn)行統(tǒng)計學(xué)研究,得到該系統(tǒng)中具有現(xiàn)實(shí)應(yīng)用價值的性能指標(biāo)(等待時間、排隊長度、忙期長短等)的數(shù)學(xué)理論.排隊論是運(yùn)籌學(xué)的一條重要分支學(xué)科,它的基本思想最初是在1910年由丹麥電話工程師A. K·埃爾朗解決自動電話設(shè)計問題時形成的,當(dāng)時稱為話務(wù)理論.1935年,費(fèi)勒引進(jìn)了生滅過程建立排隊模型,更好地描述顧客在隊列中的行為.第二次世界大戰(zhàn)期間及二戰(zhàn)以后,排隊論在運(yùn)籌學(xué)中的重要性與日俱增.經(jīng)過漫長的發(fā)展過程,排隊論已經(jīng)成為一門實(shí)際應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科.隨著研究的深入,排隊理論得到更廣泛地應(yīng)用.對通信系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)設(shè)計、計算機(jī)儲存、物流調(diào)度的研究都可以通過排隊模型來描述.應(yīng)用較為廣泛的排隊模型主要有M/G/1模型[1-2]、M/M/1模型[3-4],并用MATLAB進(jìn)行數(shù)值模擬[5-8].

本文主要研究在經(jīng)典M/M/1排隊模型的基礎(chǔ)上,顧客按照泊松過程到達(dá),形成一個單服務(wù)器隊列,其速率用單位時間內(nèi)的λ次到達(dá)表示.服務(wù)臺按照FCFS(為先到達(dá)的顧客服務(wù))原則為顧客服務(wù),接受完服務(wù)的顧客遵循伯努利分布,以概率α(0<α<1)反饋到隊列重新接受服務(wù),或以1-α的概率離開系統(tǒng)永不再來,反饋的顧客具有優(yōu)先權(quán).通過分析,建立穩(wěn)態(tài)方程組,運(yùn)用母函數(shù)和洛必達(dá)法則計算系統(tǒng)各項主要性能指標(biāo),再用MATLAB對系統(tǒng)的一些可靠性指標(biāo)進(jìn)行分析和研究,最后通過觀察得出結(jié)論.此模型在現(xiàn)實(shí)中十分常見,例如病人在一個醫(yī)生的就診隊列中,若第一次就診完成后需要完成各項檢查后復(fù)診,該病人就具有優(yōu)先權(quán);或客服咨詢服務(wù)中,第二次到達(dá)咨詢臺的消費(fèi)者通?？梢詢?yōu)先資詢.

1 模型假設(shè)

1) 泊松過程.排隊論中研究最早的一類到達(dá)過程,考慮單個到達(dá)的輸入過程,令N(t)表示時間[0,t]內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù),則{N(t),t≥0}是連續(xù)時間參數(shù)的隨機(jī)過程,若一個服務(wù)系統(tǒng)中顧客的到達(dá)過程為泊松過程,那么在不同時間段上顧客到達(dá)的數(shù)量不具有相關(guān)性,在任意Δt上到達(dá)的顧客的數(shù)量的分布函數(shù)都具有泊松分布的性質(zhì).

2) 轉(zhuǎn)移概率.假定過程在時間t時的狀態(tài)為i,而在時間θ時的狀態(tài)為j,且θ>t,則轉(zhuǎn)移概率Pij(t,θ)=P{X(θ)=j|X(t)=i}.若馬爾科夫鏈?zhǔn)菚r間齊次的,則轉(zhuǎn)移概率僅依賴于時間差τ=θ-t,簡寫為Pij(τ)=P{X(t+τ)=j|X(t)=i},表示給定當(dāng)前處于狀態(tài)i,經(jīng)過時間間隔τ后過程在狀態(tài)j的概率.

在經(jīng)典M/M/1排隊系統(tǒng)的假設(shè)中,系統(tǒng)中只有1個服務(wù)臺,服務(wù)臺每次只能服務(wù)一個顧客,系統(tǒng)容量為無窮.下面將以M/M/1排隊系統(tǒng)為例推導(dǎo)排隊模型的主要性能指標(biāo).

2 建立排隊模型

2.1 問題的提出

基礎(chǔ)的排隊模型假設(shè)系統(tǒng)只對顧客服務(wù)一次,現(xiàn)實(shí)生活中卻很難找到符合這種情況的例子,研究意義很小.大部分的情況是顧客不止到達(dá)一次,例如:醫(yī)院、銀行、通訊、銷售等服務(wù)系統(tǒng),在服務(wù)臺為顧客提供一次服務(wù)后,經(jīng)常遇到顧客的反饋情況,即顧客會在第一次服務(wù)結(jié)束后再次來到服務(wù)臺.這樣,為增加顧客黏性、提高顧客滿意度、擴(kuò)大銷售規(guī)模及消費(fèi)范圍、提高運(yùn)行效率等,需要賦予反饋的顧客優(yōu)先權(quán),所以現(xiàn)實(shí)中服務(wù)臺通常會對老客戶提供優(yōu)先服務(wù).為了使模型應(yīng)用型更強(qiáng),本文選擇建立賦予一部分顧客優(yōu)先被服務(wù)權(quán)利的排隊模型.

2.2 建立模型

本模型中有且僅有一個服務(wù)窗口,顧客的到達(dá)過程為參數(shù)為λ的泊松過程,系統(tǒng)按照FCFS原則為顧客服務(wù),接受完服務(wù)的顧客有一定概率會再次進(jìn)入系統(tǒng)尋求二次服務(wù).本文在M/M/1排隊模型的基礎(chǔ)上,假設(shè)會出現(xiàn)一部分顧客再次進(jìn)入系統(tǒng)的反饋情況:每位顧客以參數(shù)為λ的泊松過程到達(dá)等待區(qū),服務(wù)臺按照FCFS原則為顧客服務(wù),其中服務(wù)臺為首次到達(dá)的顧客提供的服務(wù)過程為參數(shù)為μ1的泊松過程;接受完服務(wù)的顧客遵循伯努利分布以概率α(0<α<1)重新進(jìn)入系統(tǒng)尋求服務(wù),服務(wù)臺為反饋后具有優(yōu)先權(quán)的顧客提供的服務(wù)過程服從參數(shù)為μ2的泊松過程.建立具有伯努利反饋的優(yōu)先權(quán)M/M/1排隊模型,具體的模型描述如下:到達(dá)過程中,顧客的到達(dá)過程為參數(shù)為λ的泊松過程;服務(wù)過程中,服務(wù)窗口對初次進(jìn)入系統(tǒng)的顧客的服務(wù)過程為參數(shù)為μ1的泊松過程;優(yōu)先反饋過程中,模型中有且只有一個服務(wù)窗口,服務(wù)窗口按照FCFS的原則按隊列順序為顧客依次提供服務(wù),本次服務(wù)過程存在反饋情況,賦予反饋的顧客優(yōu)先服務(wù)權(quán),接受完服務(wù)的顧客遵循伯努利分布以概率α(0<α<1)反饋到隊列重新接受服務(wù),或以1-α的概率退出服務(wù)系統(tǒng);反饋服務(wù)過程中,服務(wù)窗口對反饋后具有優(yōu)先權(quán)的顧客的服務(wù)過程為參數(shù)為μ2的泊松過程,即每位顧客的服務(wù)時間T3服從指數(shù)分布.本模型中顧客的到達(dá)過程、服務(wù)臺的服務(wù)過程、顧客的優(yōu)先反饋過程都是相互獨(dú)立的,其中到達(dá)過程和服務(wù)過程都是泊松過程,反饋過程則服從伯努利分布,所以可以通過馬爾科夫鏈的方法對模型的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率進(jìn)行分析,然后再利用母函數(shù)結(jié)合洛必達(dá)法則的方法對模型進(jìn)行求解.

2.3 主要結(jié)論

令α為顧客反饋率,λ為顧客到達(dá)率,μ1為服務(wù)窗口對非優(yōu)先權(quán)顧客的服務(wù)速率,μ2為服務(wù)窗口對具有優(yōu)先權(quán)顧客的服務(wù)速率.

1) 系統(tǒng)對非優(yōu)先權(quán)顧客服務(wù)狀態(tài)的概率

2) 系統(tǒng)中對優(yōu)先權(quán)顧客服務(wù)狀態(tài)的概率

3) 空閑狀態(tài)概率

4) 平均隊長

5) 顧客的逗留時間

3 數(shù)值模擬

本節(jié)將通過若干個數(shù)值例子演示本模型中各主要性能指標(biāo)的參數(shù)變化對該性能指標(biāo)的影響.本文主要考察4個性能指標(biāo):系統(tǒng)處于空閑狀態(tài)的概率、系統(tǒng)處于對非優(yōu)先權(quán)顧客服務(wù)狀態(tài)的概率、系統(tǒng)處于對優(yōu)先權(quán)顧客服務(wù)狀態(tài)的概率及平均隊長.對服務(wù)窗口屬性產(chǎn)生影響的參數(shù)為顧客的到達(dá)率、反饋率、服務(wù)臺對非優(yōu)先權(quán)顧客的服務(wù)率、服務(wù)臺對先權(quán)顧客的服務(wù)率.

圖1中3條曲線的顧客反饋率不同.從圖中可以看出:顧客反饋率增大,造成系統(tǒng)的隊列變長,單位時間內(nèi)需要服務(wù)的顧客數(shù)增加,系統(tǒng)壓力過大,則系統(tǒng)處于空閑狀態(tài)的概率越小.在顧客反饋率和其他因素都不變時,顧客的到達(dá)率越大,系統(tǒng)需要服務(wù)的總?cè)藬?shù)增加,系統(tǒng)處于空閑狀態(tài)的概率越小.現(xiàn)實(shí)生活中這樣的例子有很多.例如,在銀行柜臺處理業(yè)務(wù)時,如果顧客的到達(dá)率增加,即單位時間到達(dá)的顧客數(shù)增加,那么柜員能夠處于空閑的概率就越小;假設(shè)去每個柜臺的顧客數(shù)一定,顧客反饋的概率越高,則柜臺處于空閑狀態(tài)的概率也越小,因此圖1的曲線趨勢符合客觀規(guī)律.圖2中,3條曲線代表服務(wù)臺對優(yōu)先權(quán)顧客的服務(wù)速率不同.從圖2中可知,當(dāng)其他因素不變時,服務(wù)臺對非優(yōu)先權(quán)顧客的服務(wù)速率越大,系統(tǒng)處于空閑的概率越大.因為服務(wù)臺對非優(yōu)先權(quán)顧客的服務(wù)速率越大,總體的服務(wù)速度就越快,因而可以更早服務(wù)完所有顧客從而進(jìn)入空閑狀態(tài).當(dāng)服務(wù)臺對非優(yōu)先權(quán)顧客的服務(wù)速率以及其他因素相同時,服務(wù)臺對優(yōu)先權(quán)顧客的服務(wù)速率越大,系統(tǒng)處于空閑的概率越大,同理,服務(wù)臺對優(yōu)先權(quán)顧客的服務(wù)率上升時,總體的服務(wù)速度就越快,因而可以更早服務(wù)完所有顧客從而進(jìn)入空閑狀態(tài),所以圖2中的曲線走勢符合客觀規(guī)律.

圖1 空閑狀態(tài)概率與顧客反饋率、到達(dá)率關(guān)系Fig.1 Relationship between idle state probability, customer response rate and arrival rate

圖2 空閑狀態(tài)概率與優(yōu)先權(quán)、非優(yōu)先權(quán)顧客的服務(wù)速率的關(guān)系

從圖3中可以看出顧客的反饋率對平均隊長的影響明顯.隨著顧客反饋率的增加,平均隊長將會增大.因為當(dāng)反饋率增大時,在隊列中排隊等待的顧客人數(shù)就會增加,從而使平均隊長變大.例如在銀行服務(wù)系統(tǒng)中,反饋的顧客越多,隊伍中堆積的顧客也就越來越多,從而使隊長增大,符合一般規(guī)律.從圖4可以看出,隨著顧客到達(dá)率的增加,平均隊長將會增大.因為到達(dá)率越大,單位時間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)量增加,進(jìn)而隊列中等待的顧客數(shù)增加,因此圖4的曲線走勢符合實(shí)際情況.從圖5可以觀察到:當(dāng)服務(wù)臺對非優(yōu)先權(quán)顧客的服務(wù)率的增加時,平均隊長將會減小.因為服務(wù)臺對非優(yōu)先權(quán)顧客的服務(wù)率越大,單位時間內(nèi)服務(wù)臺能夠服務(wù)的顧客數(shù)量就越多,隊列中等待的顧客數(shù)減少,進(jìn)而系統(tǒng)的等待隊長減小,因此圖5符合實(shí)際情況.

圖3 系統(tǒng)的平均隊長與顧客反饋率的關(guān)系

圖4 系統(tǒng)的平均隊長與顧客到達(dá)率的關(guān)系

圖5 平均隊長與對非優(yōu)先權(quán)顧客服務(wù)率的關(guān)系

4 實(shí)例分析

4.1 數(shù)據(jù)處理

P縣隸屬于湖北省Y市,是國家級貧困縣,湖北省37個重點(diǎn)貧困縣之一,位于湖北省的中西部.在案例[9]中λ代表貧困發(fā)生率,即每年的貧困人口數(shù);μ1、μ2表示首次脫貧率和二次脫貧率,反映一個地區(qū)政府的扶貧工作能力;α表示反饋率,即脫貧后返貧的概率.通過對調(diào)查信息進(jìn)行預(yù)處理,可得排隊模型所需的該地區(qū)2014年到2017年的數(shù)據(jù),由《中國統(tǒng)計年鑒2018》[10]得到2017年全國的扶貧數(shù)據(jù),所得結(jié)果如表1所示.

表1 預(yù)處理后2014—2017年P(guān)縣及2017年全國的脫貧情況

4.2 模型計算

計算2014—2017年P(guān)縣政府部門為處于貧困狀態(tài)人員服務(wù)的概率、政府部門為處于脫貧后返貧人員服務(wù)的概率、平均逗留時間以及2017年全國的脫貧工作情況,結(jié)果如表2所示.

表2 2014—2017年P(guān)縣及2017年全國脫貧工作的主要性能指標(biāo)

根據(jù)計算結(jié)果可以觀察到:P縣政府部門處于為首次脫貧人員服務(wù)以及為返貧后再次脫貧人員服務(wù)狀態(tài)的概率都逐年下降,表明該縣的貧困情況正在逐年改善,需要扶貧服務(wù)的人數(shù)逐漸減少;平均逗留時間雖然逐年下降但仍遠(yuǎn)高于全國平均水平,說明該地區(qū)扶貧部門仍處于忙碌狀態(tài),工作任務(wù)繁重,需要當(dāng)?shù)卣度氡热珖骄礁嗟娜肆?、物力以及資本.該地區(qū)的扶貧工作評價指標(biāo)在2016年出現(xiàn)斷層式下降,可能與我國2016年剛進(jìn)入“十三五”時期時制定的新階段扶貧政策以及大力推廣“精準(zhǔn)扶貧”概念有關(guān).為研究反饋率α對平均逗留時間Ws的影響,運(yùn)用MATLAB進(jìn)行數(shù)值分析.取反饋率α的變化在0～0.2之間,步長為0.02,繪制2017年P(guān)縣在反饋率變化的情況下,該縣扶貧服務(wù)窗口隊列平均逗留時間的變化趨勢如圖6所示.

圖6 顧客反饋率對平均逗留時間的影響Fig.6 The effect of customer response rate on average length of stay

由圖6可以看出隨反饋率α從P縣0.200的水平下降到全國平均0.016的水平這一過程中,平均逗留時間Ws也逐步下降,逐漸接近全國的平均逗留水平,但仍高于全國平均水平,這是由該地區(qū)的特殊貧困情況導(dǎo)致的,即使返貧率與全國一致,但長期以來積累的龐大的貧困人口和阻塞的地理環(huán)境使得當(dāng)?shù)氐姆鲐毴蝿?wù)依然很嚴(yán)峻.通過調(diào)查直接獲得的數(shù)據(jù)未經(jīng)計算機(jī)處理往往無法清晰地反應(yīng)事物的狀況.目前,我國實(shí)現(xiàn)全面脫貧后,基層工作人員的扶貧重心是維護(hù)脫貧攻堅的豐厚成果,減少返貧事件的發(fā)生.因此,本文通過建立適當(dāng)?shù)呐抨犇Ｐ?用伯努利反饋來模擬脫貧后返貧的現(xiàn)象,用數(shù)學(xué)語言描述調(diào)查結(jié)果并計算該模型的各項性能指標(biāo).相較傳統(tǒng)的直接觀測法和不帶反饋的經(jīng)典M/M/1排隊模型,本文的方法不僅充分考慮了P縣具有脫貧后返貧的特殊情況,而且更加直觀地展示了P縣2014—2017年的脫貧工作情況,并與全國扶貧工作情況作比較.以上分析有助于指導(dǎo)接下來的工作方向,并且提醒了過去工作中的不足.

5 結(jié) 語

本文在M/M/1排隊模型的基礎(chǔ)上,研究了具有優(yōu)先權(quán)的M/M/1排隊模型,仿真結(jié)果表明:隨著顧客的到達(dá)率、反饋率增大,系統(tǒng)處于空閑狀態(tài)的概率將減小;而服務(wù)臺對非優(yōu)先權(quán)顧客和優(yōu)先權(quán)顧客的服務(wù)速率的增大,會使系統(tǒng)處于空閑狀態(tài)的概率增大.系統(tǒng)處于對非優(yōu)先權(quán)顧客服務(wù)狀態(tài)的概率與到達(dá)率成正比,與反饋率成反比;服務(wù)臺對非優(yōu)先權(quán)顧客的服務(wù)速率的增加會使系統(tǒng)處于對非優(yōu)先權(quán)顧客狀態(tài)的概率減小;服務(wù)臺對優(yōu)先權(quán)顧客的服務(wù)速率的增加會使系統(tǒng)處于對非優(yōu)先權(quán)顧客服務(wù)狀態(tài)的概率增加.系統(tǒng)處于對優(yōu)先權(quán)顧客服務(wù)狀態(tài)的概率與到達(dá)率和反饋率成正比,與服務(wù)臺對非優(yōu)先權(quán)顧客的服務(wù)速率的大小無關(guān);服務(wù)臺對優(yōu)先權(quán)顧客的服務(wù)速率的增加會使系統(tǒng)處于對優(yōu)先權(quán)顧客服務(wù)狀態(tài)的概率減小.到達(dá)率、反饋率的增大會使平均隊長增大;隨著服務(wù)臺對非優(yōu)先權(quán)顧客和優(yōu)先權(quán)顧客的服務(wù)速率的增大,平均隊長會減小.在實(shí)際生活中,我們通常希望在保證顧客的到達(dá)率較大的情況下,隊長盡量小(特殊營銷手段的情況除外).因此,本模型為現(xiàn)實(shí)情況提出的建議是:提高服務(wù)臺的服務(wù)速率,并且通過提高服務(wù)質(zhì)量來降低顧客反饋率.