趙 莉，王春英，史寧中

分?jǐn)?shù)概念表述和分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算的比較研究及其對教學(xué)的啟示

趙 莉1，王春英2，史寧中1

（1．東北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長春 130024；2．東北師范大學(xué)附屬小學(xué)，吉林 長春 130024）

分?jǐn)?shù)教學(xué)的難點(diǎn)在于概念表述和除法運(yùn)算，重點(diǎn)在于關(guān)注分?jǐn)?shù)與整數(shù)教學(xué)的一致性．選取部分國家和中國主要版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材，對“分?jǐn)?shù)的概念與大小”和“分?jǐn)?shù)除法”兩方面內(nèi)容進(jìn)行比較研究，探究分?jǐn)?shù)意義的表述以及分?jǐn)?shù)除法算理與算法的邏輯聯(lián)系．在比較研究的基礎(chǔ)上提出“分?jǐn)?shù)概念”與“分?jǐn)?shù)除法”教學(xué)的新設(shè)想，并進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施，發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)班的學(xué)生能夠接受邏輯支撐的算法與算理．作為研究的結(jié)論，重新構(gòu)建了分?jǐn)?shù)除法的教學(xué)框架，希望能夠?yàn)橹袊W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革提供有益借鑒．

小學(xué)數(shù)學(xué)；分?jǐn)?shù)概念；分?jǐn)?shù)除法；比較研究；邏輯推理

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，分?jǐn)?shù)意義的理解與分?jǐn)?shù)除法的把握一直都是教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)教育研究的熱點(diǎn)，近些年的研究主要圍繞分?jǐn)?shù)定義表達(dá)[1]、分?jǐn)?shù)意義理解[2]、分?jǐn)?shù)除法編排[3]等問題展開．

事實(shí)上，分?jǐn)?shù)教學(xué)的研究更應(yīng)當(dāng)關(guān)注與整數(shù)、小數(shù)教學(xué)的整體性和一致性[4]．為了把這個(gè)問題討論得更清楚，這里對新加坡、日本、美國加州和中國主要版本的“分?jǐn)?shù)的概念與大小”和“分?jǐn)?shù)除法”兩方面內(nèi)容進(jìn)行比較研究，在研究結(jié)論的基礎(chǔ)上重新構(gòu)建了基于整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)一體化思想的分?jǐn)?shù)教學(xué)，特別是分?jǐn)?shù)除法的教學(xué)框架，并進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施，得到了探索性結(jié)論，希望能夠?yàn)橹袊W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革提供有益借鑒．

1 研究問題與研究對象

研究問題是“分?jǐn)?shù)的概念與大小”和“分?jǐn)?shù)的除法”兩個(gè)方面教學(xué)內(nèi)容的表述，研究對象選取了4個(gè)國家適用范圍廣、學(xué)制6年的主要版本教材，版本如下．

國內(nèi)教材，人民教育出版社出版的《小學(xué)數(shù)學(xué)（三～六年級）》；國外教材，日本東京書籍株式會(huì)社出版的《新算數(shù)（二～六年級）》、新加坡Marshall Cavendish Education出版的-、美國The McGraw-Hill Companies出版的．

4套教材的比較，關(guān)注3個(gè)具體問題：分?jǐn)?shù)的概念與大小的表述；分?jǐn)?shù)的意義與分?jǐn)?shù)除法的關(guān)聯(lián)；分?jǐn)?shù)除法算法與算理的邏輯聯(lián)系；分?jǐn)?shù)的意義與分?jǐn)?shù)除法的關(guān)聯(lián)．

2 分?jǐn)?shù)的概念與大小比較

分?jǐn)?shù)概念源于分?jǐn)?shù)的意義，大體有5種構(gòu)想[5]，部分/整體、比率、商、度量和運(yùn)算，或者5種形式表達(dá)[6]：部分/整體、子集/集合、數(shù)軸上兩個(gè)整數(shù)間的一點(diǎn)、除法運(yùn)算的結(jié)果、兩個(gè)量的比．弗賴登塔爾認(rèn)為：“通過等分和測量引入分?jǐn)?shù)，目的在于體現(xiàn)分?jǐn)?shù)的直觀形象……事實(shí)上，測量產(chǎn)生的是小數(shù)而不是分?jǐn)?shù)．”[7]也可以認(rèn)為：“分?jǐn)?shù)的本質(zhì)是一個(gè)無量綱的數(shù)．雖然可以把分?jǐn)?shù)看成除法運(yùn)算的一種表示，但分?jǐn)?shù)本身是數(shù)而不是運(yùn)算．分?jǐn)?shù)的本質(zhì)在于真分?jǐn)?shù)，這樣的分?jǐn)?shù)有兩個(gè)現(xiàn)實(shí)背景，一個(gè)是表達(dá)整體與等分的關(guān)系．一個(gè)是表達(dá)兩個(gè)數(shù)量之間整數(shù)的比例關(guān)系．”[8]因此，可以把分?jǐn)?shù)理解為兩個(gè)數(shù)量之間倍數(shù)關(guān)系的表達(dá)．

綜上所述，分?jǐn)?shù)概念的表達(dá)具有多重性，只有確切把握分?jǐn)?shù)的本質(zhì)特征、各種表達(dá)的相互關(guān)聯(lián)，才能保證分?jǐn)?shù)概念述說的逐漸深入，體現(xiàn)概念形成過程的抽象性．

分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)需要同時(shí)關(guān)注分?jǐn)?shù)大小的比較．這是因?yàn)椤芭c研究對象的存在性相比，研究對象之間的關(guān)系更為本質(zhì)”“在現(xiàn)實(shí)生活中，數(shù)量關(guān)系的核心是多與少，人們把這種關(guān)系抽象到數(shù)學(xué)內(nèi)部，這就是數(shù)的大與小”[9]．事實(shí)上，也只有通過大小關(guān)系的比較才能真正理解分?jǐn)?shù)的意義．下面分析4套教材“分?jǐn)?shù)意義”的表述．

2.1 分?jǐn)?shù)意義表述的相同之處

（1）都體現(xiàn)分?jǐn)?shù)意義的多樣性，都進(jìn)行分?jǐn)?shù)大小的比較．

關(guān)于分?jǐn)?shù)的意義，都是通過等分一個(gè)整體的物體認(rèn)識(shí)幾分之一和幾分之幾，拓展到等分一個(gè)集合的物體認(rèn)識(shí)子集所占比例，都是用數(shù)線上的點(diǎn)表示分?jǐn)?shù)，用分?jǐn)?shù)表示整數(shù)除法的商，但側(cè)重點(diǎn)有所不同．認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的同時(shí)都比較分?jǐn)?shù)的大小，大體采用等分圖形、數(shù)線上的數(shù)比較同分母分?jǐn)?shù)，然后通分比較異分母分?jǐn)?shù)．

（2）直接給出分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，都沒有論證其中的道理．

2.2 分?jǐn)?shù)意義表述的不同之處

（1）強(qiáng)調(diào)的重點(diǎn)不同．

加州教材強(qiáng)調(diào)等分．用文字語言定義分?jǐn)?shù)，說明分子分母各自的含義，借助圖形說明；由一個(gè)物體拓展到一個(gè)集合，仍然強(qiáng)調(diào)部分與整體之間的關(guān)系．對于分?jǐn)?shù)的其它意義比較弱化．

（2）與除法關(guān)系表述不同．

人教版教材通過實(shí)例解釋除法與分?jǐn)?shù)的關(guān)系，把整數(shù)除法問題分為兩種情況，一種情況是平均分，如“把3個(gè)月餅平均分給4人，每人分得多少個(gè)？”另一種情況是數(shù)量比，如“小新家養(yǎng)鵝7只，養(yǎng)鴨10只．鵝的只數(shù)是鴨的幾分之幾？”說明兩種情況分別表示整體與等分關(guān)系和數(shù)量的比例關(guān)系，結(jié)合畫圖解釋可以用分?jǐn)?shù)表示除法的商．

日本教材借助圖形解釋平均分，用語言解釋除法算式的商可以用分?jǐn)?shù)表示，并將數(shù)量關(guān)系統(tǒng)一為倍數(shù)關(guān)系，強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)倍與整數(shù)倍的意義一樣，因此用分?jǐn)?shù)表述原來大小的倍數(shù)時(shí)，要用除法．

加州教材用分?jǐn)?shù)表示整數(shù)除法的商，突出分?jǐn)?shù)可以轉(zhuǎn)化為小數(shù)，即任何一個(gè)分?jǐn)?shù)都可以通過分子除以分母的方式轉(zhuǎn)化為小數(shù)，并且用豎式計(jì)算的方法把假分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為帶分?jǐn)?shù)．

3 分?jǐn)?shù)除法的算法與算理

分?jǐn)?shù)除法算理的解釋一直備受關(guān)注, 關(guān)鍵是如何使得算理與算法實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化的一致性．?dāng)?shù)學(xué)化是弗賴登塔爾提出來的，張奠宙更是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就是數(shù)學(xué)化的過程[10]．下面，基于數(shù)學(xué)化的一致性分析4套教材中分?jǐn)?shù)除法的表述．

4套教材分?jǐn)?shù)除法的表述路徑相似，都是結(jié)合具體問題，通過畫圖解釋算式的步驟，然后歸納分?jǐn)?shù)除法的算法，即除以一個(gè)分?jǐn)?shù)等于乘以這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)．但編寫理念與表述形式各不相同．

上面的表述，都是就個(gè)案解釋除法的意義，均沒有呈現(xiàn)現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)化的過程，即沒有討論分?jǐn)?shù)除法與整數(shù)除法之間的關(guān)聯(lián)，也沒有討論除法是乘法的逆運(yùn)算．

4 結(jié)論與啟示

4.1 分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)要突出分?jǐn)?shù)單位

參考4套教材的表述，關(guān)于分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)，分多層次多年級進(jìn)行教學(xué)是合理的．無論是哪個(gè)層次的教學(xué)，都要突出分?jǐn)?shù)單位，這可以為認(rèn)識(shí)假分?jǐn)?shù)做鋪墊，與整數(shù)和小數(shù)的認(rèn)識(shí)保持一致．通過后面討論可以看到，設(shè)計(jì)3個(gè)層次比較合理．

4.2 要關(guān)注分?jǐn)?shù)與整數(shù)除法的關(guān)系

雖然4套教材都用相當(dāng)多的篇幅解釋分?jǐn)?shù)除法算法的理由，但都沒有引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知分?jǐn)?shù)與整數(shù)除法之間的關(guān)系．事實(shí)上，雖然可以把整數(shù)除法、分?jǐn)?shù)以及比表示成相同的形式，但3者之間存在本質(zhì)差異，是需要進(jìn)行轉(zhuǎn)換的[11]．通過后面討論可以看到，一個(gè)合理的方法，應(yīng)當(dāng)在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算之前，專門設(shè)置“整數(shù)除法可以表示成分?jǐn)?shù)形式”這樣的教學(xué)內(nèi)容，進(jìn)而體現(xiàn)分?jǐn)?shù)除法表述的數(shù)學(xué)化．這是因?yàn)椋m然“除以一個(gè)分?jǐn)?shù)等于乘以這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)”這個(gè)算法對分?jǐn)?shù)成立，但首先是對整數(shù)成立，即“除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”．

4.3 確立倒數(shù)概念是必要的

人教版教材和加州教材都明確了倒數(shù)概念，并且安排一定的課時(shí)引導(dǎo)學(xué)生理解倒數(shù)，這是非常必要的．這不僅是因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)除法的算法表達(dá)中涉及倒數(shù)，更重要的，是因?yàn)榈箶?shù)概念使得用乘法運(yùn)算定義除法運(yùn)算成為可能，進(jìn)而使得整數(shù)除法可以表示為分?jǐn)?shù)形式，如后面的討論，倒數(shù)可以構(gòu)建整數(shù)除法與分?jǐn)?shù)除法之間的橋梁．

5 重新構(gòu)建分?jǐn)?shù)的教學(xué)框架

基于對4套教材的分析，采納合理的表述，修訂不合理的表述，重新構(gòu)建分?jǐn)?shù)的教學(xué)框架；雖然主要是針對分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)和分?jǐn)?shù)除法的內(nèi)容進(jìn)行闡述，但也涉及到分?jǐn)?shù)教學(xué)的其它內(nèi)容．

5.1 分?jǐn)?shù)的教學(xué)分3個(gè)層次

本質(zhì)是理解分?jǐn)?shù)，3個(gè)層次依次為：通過情境認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)；通過加減法認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)；通過乘除法認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)．無論是哪個(gè)層次，都要突出分?jǐn)?shù)單位，使得無論是分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)還是分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，都與整數(shù)、小數(shù)保持一致，進(jìn)而讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的整體性，數(shù)學(xué)不是各說各的理．具體內(nèi)容安排如下．

5.2 講授分?jǐn)?shù)除法要回顧整數(shù)除法

因此，分?jǐn)?shù)除法教學(xué)的關(guān)鍵是說明上式第一個(gè)等式成立．為了簡單明了，用數(shù)字表述推理過程如下．

第一個(gè)等價(jià)關(guān)系成立是根據(jù)“除法是乘法的逆運(yùn)算”，第二個(gè)等價(jià)關(guān)系成立是根據(jù)“等式的基本性質(zhì)”，第三個(gè)等價(jià)關(guān)系成立是因?yàn)橐呀?jīng)學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)的乘法；最后，根據(jù)“等量的等量相等”這個(gè)基本事實(shí)得到結(jié)論．這種完全基于符號和基本事實(shí)的說明就是數(shù)學(xué)化的過程．因?yàn)樵谏厦娴恼f明中可以把除數(shù)換為分?jǐn)?shù)，這樣，分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算就是整數(shù)除法運(yùn)算的延伸，這就是反復(fù)強(qiáng)調(diào)的運(yùn)算的一致性．然后回歸現(xiàn)實(shí)，用合適的案例進(jìn)行說明．

可以看到，要實(shí)施這樣的教學(xué)，需要倒數(shù)的概念，如前面所強(qiáng)調(diào)的那樣；此外，還需要低年級的教學(xué)有所鋪墊，比如，需要逐漸但明確地讓學(xué)生知道“減法是加法的逆運(yùn)算”“除法是乘法的逆運(yùn)算”，事實(shí)上，廣大的一線教師也是這樣教的，比如“算減法想加法”“算除法想乘法”，現(xiàn)在需要用等式明確表達(dá)．

問題的關(guān)鍵是，小學(xué)生是否能夠接受這樣的說理，或者更確切地說，需要知道這樣構(gòu)想的分?jǐn)?shù)除法的教學(xué)效果，研究者進(jìn)行了相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)，并且進(jìn)行了教學(xué)實(shí)驗(yàn)．

6 分?jǐn)?shù)除法教學(xué)的教學(xué)實(shí)驗(yàn)

教學(xué)實(shí)驗(yàn)的目的是考察上一節(jié)設(shè)想的教學(xué)是否能被五年級學(xué)生接受，效果如何．教學(xué)實(shí)驗(yàn)的對象是東北師范大學(xué)附屬小學(xué)五年級同一位數(shù)學(xué)教師的兩個(gè)班級．把其中一個(gè)班級設(shè)定為實(shí)驗(yàn)班，一個(gè)班級設(shè)定為對照班，學(xué)生人數(shù)分別為42人和41人．教學(xué)實(shí)驗(yàn)由研究者本人擔(dān)當(dāng)，這樣可以忽略教師的差異．實(shí)驗(yàn)內(nèi)容是“分?jǐn)?shù)與除法”教學(xué)，對照班按傳統(tǒng)的教學(xué)方式，利用畫圖的方式解釋除法算式可以用分?jǐn)?shù)表示的道理，觀察學(xué)生的接受程度和表現(xiàn)；實(shí)驗(yàn)班在學(xué)生畫圖理解的基礎(chǔ)上，運(yùn)用邏輯說理的方式解釋除法運(yùn)算的商可以用分?jǐn)?shù)的形式表示，觀察學(xué)生的接受程度和表現(xiàn)．具體教學(xué)設(shè)計(jì)和效果如下．

6.1 教學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

在進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn)前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)的意義（一），都是原數(shù)學(xué)教師授課．在教學(xué)中，把分?jǐn)?shù)的意義從一個(gè)物體的整體擴(kuò)充到多個(gè)物體的集合，通過集合中的元素所占比例認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，體會(huì)單位“1”的不同，以及分?jǐn)?shù)表示量的不同．

教學(xué)實(shí)驗(yàn)分為兩個(gè)課時(shí)，第一課時(shí)講分?jǐn)?shù)的意義（二），第二課時(shí)講分?jǐn)?shù)與除法，都是教材要求的內(nèi)容．兩個(gè)班級的這兩個(gè)課時(shí)都是研究者授課．

第二課時(shí)講授分?jǐn)?shù)與除法，首先讓學(xué)生經(jīng)歷分物過程，運(yùn)用不同方法把除法運(yùn)算結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示，得到分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系．

設(shè)計(jì)3個(gè)平均分的問題，背景是分披薩．問題情境分別為“把1個(gè)披薩平均分給2個(gè)小朋友”“把2個(gè)披薩平均分給3個(gè)小朋友”“把5個(gè)披薩平均分給3個(gè)小朋友”，提出的問題都是“每個(gè)小朋友可以分得多少個(gè)披薩”．

可以看到，第1問得到的結(jié)果是分?jǐn)?shù)單位，這個(gè)結(jié)果可以為后面兩個(gè)問題做鋪墊；第2問得到的結(jié)果不是有限小數(shù),啟發(fā)學(xué)生思考整數(shù)除法與分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系；第3問作為教學(xué)效果的測試題目．

6.2 教學(xué)實(shí)驗(yàn)過程

圖1 學(xué)生完成第1問的情況

后半段教學(xué)進(jìn)入實(shí)驗(yàn)階段，兩個(gè)班級采用不同的教學(xué)方法，教學(xué)目的都是讓學(xué)生理解“整數(shù)除法可以表示成為分?jǐn)?shù)的形式”．

6.3 教學(xué)效果分析

學(xué)生不確信所有的除法運(yùn)算都可以轉(zhuǎn)化為乘法的計(jì)算，因此對假分?jǐn)?shù)形式的分?jǐn)?shù)表達(dá)缺乏信心．

實(shí)驗(yàn)班學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)化的過程，通過逆運(yùn)算理解除法與乘法的關(guān)系，得到除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)的算法，然后通過具體的例子解釋數(shù)學(xué)結(jié)論的現(xiàn)實(shí)意義，有利于學(xué)生把握算理與算法的邏輯聯(lián)系．對照班的大部分學(xué)生仍然停留在具象思維的階段，沒有上升到數(shù)學(xué)的一般．教學(xué)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果表明，對于“整數(shù)除法可以表示為分?jǐn)?shù)形式”的教學(xué)，適當(dāng)引入邏輯說理的方法學(xué)生是可以接受的．

6.4 課后訪談情況

[1] 蒲淑萍．“中國美國新加坡”小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的“分?jǐn)?shù)定義”[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（4）：21．

[2] 張丹，孫京紅．整體建構(gòu)分?jǐn)?shù)意義的教學(xué)行動(dòng)研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015，24（2）：22-26．

[3] 張平，彭亮，徐文彬．大陸與臺(tái)灣小學(xué)數(shù)學(xué)教材中分?jǐn)?shù)除法的編排比較[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（6）：38-43．

[4] 史寧中．關(guān)于除數(shù)是分?jǐn)?shù)或者小數(shù)除法的一個(gè)注[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019，28（5）：1．

[5] 劉儒德，楊伊生．兒童分?jǐn)?shù)概念發(fā)展研究綜述[J]．內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)（教育科學(xué)版），2008（6）：130-134．

[6] 張睆，辛自強(qiáng)．分?jǐn)?shù)概念的個(gè)體建構(gòu)——起點(diǎn)與機(jī)制及影響因素[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（1）：29-32．

[7] 弗賴登塔爾．作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M]．陳昌平，譯．上海：上海教育出版社，1995：185．

[8] 史寧中．基本概念與運(yùn)算法則：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問題[M]．北京：高等教育出版社，2013：5．

[9] 史寧中．?dāng)?shù)學(xué)基本思想18講[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2016：3．

[10] 張奠宙．?dāng)?shù)學(xué)教育縱橫[M]．南寧：廣西教育出版社，2018：100-101．

[11] 史寧中，娜仁格日樂．小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中的比及其教學(xué)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017，26（2）：1-5．

A Comparative Study of Fractional Conceptual Representation and Fractional Division and Insights for Teaching

ZHAO LI1, WANG Chun-ying2, SHI Ning-zhong1

(1. School of Mathematics and Statistics, Northeast Normal University, Jilin Changchun 130024, China;2. Primary School Attached to Normal University, Jilin Changchun 130024, China)

The difficulty of fraction teaching lies in conceptual representation and division operation, with a focus on the consistency of fraction teaching and integer teaching. This paper presents a comparative study of fractional concept and size and fractional division of major editions of elementary school mathematics textbooks from some selected countries and China as well as a further investigation of the representation of the meaning of fractions and the logical connection between fractional division arithmetic and algorithms. Based on the comparative study, we propose a new idea of “fractional concept” and “fractional division” teaching and conduct its instructional design and implementation. It was found that the students in the experimental class were able to accept the algorithms and arithmetic supported by logic. As a conclusion of this study, the teaching framework of fractional division was reconstructed in the hope that it can provide useful reference for the reform of elementary school mathematics teaching in China.

elementary mathematics; fractional concept; fractional division; comparative study; logical reasoning

G622

A

1004-9894（2021）03-0046-06

趙莉，王春英，史寧中．分?jǐn)?shù)概念表述和分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算的比較研究及其對教學(xué)的啟示[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2021，30（3）：46-51．

2021-05-10

國家社會(huì)科學(xué)基金教育學(xué)重大課題——新時(shí)代中國教育高質(zhì)量發(fā)展的路徑和對策研究（VFA190004）

趙莉（1990—），女，吉林松原人，博士生，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、陳雋]