黃興豐，黃榮金

預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)軌跡轉(zhuǎn)化為課堂實(shí)踐的課例研究——以相等分?jǐn)?shù)為例

黃興豐1，黃榮金2

（1．上海師范大學(xué) 國際與比較教育研究院，上海 200234；2．中田納西州立大學(xué) 數(shù)學(xué)系，美國 田納西州）

理論到實(shí)踐的轉(zhuǎn)化一直是教育領(lǐng)域努力探索的問題．課例研究被認(rèn)為是解決這一問題的有效途徑．以跨界學(xué)習(xí)中的邊界對(duì)象作為分析工具，通過邊界對(duì)象的生成和變化，展現(xiàn)預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)軌跡轉(zhuǎn)化為課堂實(shí)踐的歷程．研究發(fā)現(xiàn)：（1）研究課是預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)軌跡轉(zhuǎn)化為課堂實(shí)踐的有效動(dòng)力；（2）跨越邊界的中介者（教師、研究者）是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵要素；（3）關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)是理論轉(zhuǎn)化為實(shí)踐的主要目標(biāo)．

課例研究；理論到實(shí)踐；跨界學(xué)習(xí)；預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)軌跡

理論聯(lián)系實(shí)踐是教育中長期探索的問題，許多研究揭示了二者割裂的多種原因，同時(shí)也提出了解決這一矛盾的不同方法[1-3]．特別是，布萊克（Bryk）等把醫(yī)療中“改進(jìn)的科學(xué)”（improvement science）引入教育領(lǐng)域，通過計(jì)劃（plan）、實(shí)施（do）、研究（study）、改進(jìn)（act）4個(gè)階段不斷反復(fù)循環(huán)，促進(jìn)理論在實(shí)踐中的應(yīng)用[4]．改進(jìn)的科學(xué)改變了人們對(duì)研究和實(shí)踐的認(rèn)識(shí)，強(qiáng)調(diào)了人們所處情境的重要性．研究者與實(shí)踐者應(yīng)當(dāng)在差異中獲取信息資源，在實(shí)踐中分享知識(shí)和智慧，重新設(shè)計(jì)解決問題的方法[5]．為了實(shí)現(xiàn)研究、理論對(duì)改進(jìn)教育實(shí)踐的目的，莫里斯（Morris）和希伯特（Hiebert）指出，當(dāng)前可能解決困境的辦法是創(chuàng)造一種“可分享并且能靈活應(yīng)用的知識(shí)”，指導(dǎo)和改進(jìn)實(shí)踐[6]．蔡金法等指出，改進(jìn)的科學(xué)是實(shí)現(xiàn)教育理論向?qū)嵺`轉(zhuǎn)化的重要范式，研究者應(yīng)該根據(jù)教師的需求，生成假設(shè)、檢驗(yàn)假設(shè)、分析結(jié)果、改進(jìn)實(shí)踐[7]．盛行于亞洲國家，以中國和日本為主的課例研究（lesson study）作為一種教師合作專業(yè)發(fā)展的模式，根植于教師工作場景，已有一百多年的歷史[8-9]，具有“改進(jìn)的科學(xué)”的基本特征[10]．因此，課例研究可以為研究者和實(shí)踐者發(fā)展理論和改進(jìn)實(shí)踐提供一個(gè)有效的途徑．

盡管不少學(xué)者探索了中國課例研究在理論聯(lián)系實(shí)際中所起的作用[11-14]，但是，從理論到實(shí)踐的轉(zhuǎn)化機(jī)制還是一個(gè)灰箱，被人知之甚少．這里試圖以小學(xué)數(shù)學(xué)相等分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)軌跡（learning trajectory）作為課堂教學(xué)的指導(dǎo)理論，借助實(shí)踐共同體及邊界對(duì)象（boundary object）作為分析工具[15]，剖析理論到實(shí)踐的轉(zhuǎn)化過程．

1 理論框架和文獻(xiàn)

1.1 課例研究與教師學(xué)習(xí)

課例研究是一種嵌入工作場景，浸潤于實(shí)踐，聚焦學(xué)生學(xué)習(xí)的專業(yè)發(fā)展模式[16]，一般包含研究（study）、計(jì)劃（plan）、教學(xué)（do）和反思（reflect）4個(gè)環(huán)節(jié)[17-18]．作為教師專業(yè)發(fā)展的一種有效途徑，課例研究逐漸風(fēng)靡全球．許多研究表明課例研究可以產(chǎn)生多方面的價(jià)值，包括提高課堂教學(xué)水平，促進(jìn)教師和學(xué)生的學(xué)習(xí)，推動(dòng)新課程的實(shí)施，在理論與實(shí)踐之間建立紐帶[19-20]．課例研究通過構(gòu)建教師實(shí)踐共同體，為教師與研究者創(chuàng)造了互動(dòng)合作的環(huán)境，能引發(fā)教師在個(gè)人觀點(diǎn)與研究理論間產(chǎn)生共鳴，激發(fā)他們共同協(xié)作尋找解決問題的動(dòng)力，最終促進(jìn)理論向?qū)嵺`轉(zhuǎn)化[21]．

1.2 作為實(shí)踐共同體的課例研究

社會(huì)文化視角下的實(shí)踐共同體，為研究者提供了在課例研究中分析理論到實(shí)踐轉(zhuǎn)化的理論基礎(chǔ)．根據(jù)溫格（Wenger）的觀點(diǎn)，教師學(xué)習(xí)是在實(shí)踐共同體中通過與其他成員合作而實(shí)現(xiàn)的[15]．溫格認(rèn)為實(shí)踐共同體有3個(gè)關(guān)鍵要素：第一要有相互的投入，共同體的成員之間要產(chǎn)生互動(dòng)和合作，而且教師能在這種互動(dòng)和合作中共享知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)（例如，共同設(shè)計(jì)教學(xué)，一起觀察課堂，集體評(píng)價(jià)）；第二要具備共同的事業(yè)，能激勵(lì)教師為了共同的目標(biāo)而努力，主動(dòng)貢獻(xiàn)各自的經(jīng)驗(yàn)（例如，通過課例研究，重新定位學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)）；第三要有可共享的資源庫，共同體應(yīng)當(dāng)擁有共同的資源，便于相互協(xié)商、討論和學(xué)習(xí)（例如，對(duì)課例研究、有效教學(xué)達(dá)成的共識(shí)）．

在研究者和教師共同合作的過程中，課例研究創(chuàng)造了兩個(gè)跨界的共同體（教師、教師教育工作者），邊界一方面給不同共同體之間的學(xué)習(xí)帶來了障礙，但另一方面也為他們的學(xué)習(xí)帶來了機(jī)會(huì)．教師一旦跨越邊界就可以看到“墻外另一個(gè)不同的世界”．因此，跨界學(xué)習(xí)是研究者和教師在課例研究中，實(shí)現(xiàn)理論與實(shí)踐融合的關(guān)鍵．其中，跨界學(xué)習(xí)的發(fā)生依賴兩個(gè)重要的載體：邊界對(duì)象（boundary objects）和中介者（broker）[15]．邊界對(duì)象是凝聚了兩個(gè)或多個(gè)共同體理念觀點(diǎn)的載體．在課例研究中存在多種形式，比如，具體的教學(xué)活動(dòng)、教學(xué)設(shè)計(jì)的文本材料、研究課、學(xué)生學(xué)習(xí)文檔（如解答）等．這些具體形式，必須是兩個(gè)或多個(gè)共同體成員共同形成的，否則就不是邊界對(duì)象．中介者是試圖跨越邊界的個(gè)體．他們穿梭在不同共同體之間，以邊界對(duì)象為具體載體，傳遞和分享知識(shí)．因此，邊界對(duì)象的形成、變化和發(fā)展離不開中介者的跨界努力．

然而，跨界學(xué)習(xí)的程度可能是不一樣的，會(huì)出現(xiàn)3個(gè)不同的水平：協(xié)調(diào)（coordination）、透明（transparency）和協(xié)商（negotiability）[22]．協(xié)調(diào)就是來自某個(gè)共同體的參與者按照來自其他共同體成員的要求和規(guī)則“做什么”，這時(shí)，他們可能不知道“為什么”要這么做，因此這些參與者的投入是被動(dòng)的．透明則比協(xié)調(diào)更進(jìn)一步，參與者不僅知道做什么，而且還知道“做什么”背后的意義和原理，因此他們就有可能把這些做法遷移到新的情境中去．不過，他們的參與與其他共同體的成員相比還是不平等的，尚處于指導(dǎo)和被指導(dǎo)的關(guān)系．協(xié)商則是指來自不同共同體的成員，他們之間的關(guān)系是平等的，各方通過積極主動(dòng)的參與，同時(shí)在與邊界對(duì)象的相互作用下獲得意義體驗(yàn)，并由此增強(qiáng)個(gè)體體驗(yàn)新意義的能力．從這3個(gè)水平的跨界學(xué)習(xí)來看，協(xié)商的跨界學(xué)習(xí)才能真正體現(xiàn)不同共同體成員之間的平等、主動(dòng)和積極性．因此，協(xié)商的跨界學(xué)習(xí)，應(yīng)當(dāng)是實(shí)踐共同體所有成員始終追求的目標(biāo)和努力的方向．

研究者通過和教師共同參與課例研究，嘗試把學(xué)習(xí)軌跡的理論觀點(diǎn)應(yīng)用于課堂教學(xué)，探索課例研究作為實(shí)踐共同體實(shí)現(xiàn)理論到實(shí)踐轉(zhuǎn)化的內(nèi)在機(jī)制．為了清楚地表達(dá)研究的設(shè)想，研究者構(gòu)建了直觀的模型（圖1）來說明研究的基本假設(shè)．（1）在課例研究中，為了實(shí)現(xiàn)從理論到實(shí)踐的轉(zhuǎn)化，邊界對(duì)象成為研究者和教師實(shí)現(xiàn)跨界學(xué)習(xí)的重要載體．在課例研究過程中，研究者和教師以研究課作為載體，通過雙向的意義溝通，視角和身份的轉(zhuǎn)換，促進(jìn)跨界協(xié)商的發(fā)生和形成．在此過程中，不同成員達(dá)成的共識(shí)逐漸成為聯(lián)結(jié)不同共同體的邊界對(duì)象．而且，處于理念狀態(tài)的共識(shí)，還可以轉(zhuǎn)化為具體的計(jì)劃和實(shí)踐的課堂，這就是逐漸“物化”的過程，也就是理論轉(zhuǎn)化為實(shí)踐的過程．如果研究者和教師就某個(gè)觀點(diǎn)或方案無法達(dá)成一致意見，也就是說，他們無法形成跨越共同體的邊界對(duì)象，那么也就意味著很難實(shí)現(xiàn)從理論到實(shí)踐的轉(zhuǎn)化．（2）在課例研究的過程中，研究者與實(shí)踐者之間的跨界學(xué)習(xí)可能發(fā)生在共同體成員討論教學(xué)設(shè)計(jì)、課堂實(shí)施，以及教后的集體反思之中，由此通過循環(huán)反復(fù)實(shí)現(xiàn)從理論到實(shí)踐的轉(zhuǎn)化．

圖1 在課例研究中從理論到實(shí)踐轉(zhuǎn)化的分析框架

1.3 學(xué)習(xí)軌跡理論視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)

自從西蒙（Simon）[23]和其他學(xué)者[24-25]提出了學(xué)習(xí)軌跡的概念之后．很多研究表明，學(xué)習(xí)軌跡可以促進(jìn)教師的知識(shí)發(fā)展，有助于教師在課堂中做出合理的教學(xué)決策，能幫助教師理解并把握學(xué)生的思維發(fā)展[26-30]．根據(jù)西蒙的定義，預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)軌跡是學(xué)生在向預(yù)定目標(biāo)推進(jìn)中經(jīng)過的路徑，它有3個(gè)組成要素：學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)習(xí)活動(dòng)和學(xué)習(xí)過程．研究人員結(jié)合具體數(shù)學(xué)內(nèi)容和相關(guān)研究結(jié)論，就可以建立起預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)軌跡[23]．

相等分?jǐn)?shù)是理解分?jǐn)?shù)運(yùn)算、分?jǐn)?shù)和小數(shù)關(guān)系的重要基礎(chǔ)．相等分?jǐn)?shù)的理解包括兩個(gè)方面：第一，形式不同的分?jǐn)?shù)可以表示相同的數(shù)量；第二，相等分?jǐn)?shù)之間，分子和分母蘊(yùn)含確定的數(shù)量關(guān)系．為了促進(jìn)兒童對(duì)相等分?jǐn)?shù)的理解，研究者發(fā)展了形象（figurative）和操作（operative）這兩種教學(xué)方法[31]．形象教學(xué)法關(guān)注分?jǐn)?shù)表示的對(duì)象看起來是否相同（如相同的長度或面積），但很難幫助兒童理解分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系．操作教學(xué)法關(guān)注如何對(duì)一個(gè)分?jǐn)?shù)進(jìn)行操作（例如，一根小木棒是原來整體的3/4．如果再把每份等分成2份，那么這根木棒可以看成是整體的6/8），從而理解相等分?jǐn)?shù)之間的等價(jià)關(guān)系．這兩種方法都兼容了“部分與整體”的解釋（例如，/是指，把1個(gè)整體平均分成份，取其中份）和“測(cè)量”的解釋（/是指，用分?jǐn)?shù)單位1/重復(fù)測(cè)量次）．形象教學(xué)法是數(shù)學(xué)教材最常見的方法，其通常的步驟是：

（1）使用圖形、數(shù)線、實(shí)物，幫助兒童理解為什么兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等；（2）在相等分?jǐn)?shù)之間尋找規(guī)律；（3）最后生成算法（分子和分母相乘或相除同一個(gè)非零數(shù)）[32-34]．然而，研究者認(rèn)為，這種經(jīng)驗(yàn)方式建立起來的相等分?jǐn)?shù)概念，并不能幫助兒童理解相等的邏輯必然性．相比而言，操作教學(xué)法卻可以幫助兒童真正理解等量分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系[31]．

對(duì)于相等分?jǐn)?shù)，上海課程在四年級(jí)預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)軌跡只要求學(xué)生能在不同的直觀模型中用相等分?jǐn)?shù)表示相同的對(duì)象，并不要求學(xué)生能解釋分?jǐn)?shù)的等價(jià)性，直到六年級(jí)才要求學(xué)生能解釋相等分?jǐn)?shù)的意義[35]．然而，不同課程對(duì)于相等分?jǐn)?shù)預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)軌跡并不完全一致．比如，在“美國州際數(shù)學(xué)共同核心標(biāo)準(zhǔn)”中[36]，明確要求四年級(jí)學(xué)生不僅能在直觀模型中用相等分?jǐn)?shù)表示相同的對(duì)象，而且還要求學(xué)生能解釋相等分?jǐn)?shù)的意義．結(jié)合上述研究和文獻(xiàn)，研究者預(yù)設(shè)了相等分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)軌跡（表1）．相對(duì)于上海數(shù)學(xué)課程而言，增加了L2這個(gè)子目標(biāo)，這自然成為課例研究的焦點(diǎn)．或者說，預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)軌跡應(yīng)當(dāng)成為聯(lián)結(jié)研究者和教師兩個(gè)共同體的邊界對(duì)象，即通過課例研究，以預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)軌跡作為引領(lǐng)課堂教學(xué)的理論．

因此，研究的具體問題是：在課例研究中，預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)軌跡如何成為聯(lián)結(jié)研究者和教師兩個(gè)共同體的邊界對(duì)象？預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)軌跡在成為邊界對(duì)象的過程中受到了哪些因素的影響？

2 研究方法

課例研究的團(tuán)隊(duì)成員包括1名大學(xué)研究者（第一作者）和來自7所小學(xué)（一年級(jí)到五年級(jí)）、2所初中（六年級(jí)到九年級(jí)）的12名教師．他們都來自中英數(shù)學(xué)教師交流項(xiàng)目組．課例研究最主要的目的是為了形成一節(jié)展示課，與遠(yuǎn)道而來的英國教師共同探討上海數(shù)學(xué)教學(xué)的重要特征．這些教師來自上海黃浦、靜安、徐匯、浦東、虹口、閔行6個(gè)區(qū)，所在學(xué)校都是各區(qū)享有較高知名度的學(xué)校．大學(xué)研究者（第一作者）來自上海的一所師范大學(xué)，多年從事中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和研究，并協(xié)助單位領(lǐng)導(dǎo)具體實(shí)施中英數(shù)學(xué)教師交流項(xiàng)目．執(zhí)教的王老師，來自上海浦東一所城郊小學(xué)，已有6年的教學(xué)經(jīng)歷．她目前承擔(dān)了4年級(jí)兩個(gè)班的數(shù)學(xué)教學(xué)，同時(shí)還負(fù)責(zé)組織所在年級(jí)的數(shù)學(xué)教研活動(dòng)，曾多次參加中英數(shù)學(xué)教師交流，是一位優(yōu)秀的年輕教師．事實(shí)上，在此研究團(tuán)隊(duì)中，由于研究者和教師工作性質(zhì)的不同（研究者側(cè)重理論研究，教師注重課堂實(shí)踐），因此可以把他們看成是來自不同實(shí)踐共同體的成員．在課例研究的過程中，他們分別承擔(dān)了不同的角色和責(zé)任（表2）．

如表2所示，課例研究一共進(jìn)行了4次集體活動(dòng)（包括課堂教學(xué)和集體研討），目的是嘗試把預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)軌跡中的L2子目標(biāo)轉(zhuǎn)化為課堂實(shí)踐，形成將來可以展示的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)．每次集體活動(dòng)都進(jìn)行了全程錄像，4名研究助手將錄像中的音頻轉(zhuǎn)錄為文本，用于數(shù)據(jù)的分析．根據(jù)研究的問題，教師在跨界學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的關(guān)鍵變化成為分析的焦點(diǎn)．隨后，研究者針對(duì)這些變化對(duì)教師進(jìn)行了半開放訪談，尋找引起這些變化的可能原因．

表1 預(yù)設(shè)的相等分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)軌跡

表2 課例研究的過程及活動(dòng)內(nèi)容

3 研究結(jié)果

3.1 理念中的學(xué)習(xí)軌跡：矛盾與協(xié)調(diào)

在第一次研究討論中，不少教師表示，在小學(xué)階段如果要求學(xué)生借助直觀模型來解釋相等分?jǐn)?shù)，可能會(huì)超出他們的認(rèn)知水平．不過，研究者指出，美國數(shù)學(xué)州際共同核心標(biāo)準(zhǔn)明確要求四年級(jí)學(xué)生能借助直觀模型解釋相等分?jǐn)?shù)的意義．研究者向教師介紹了預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)軌跡，希望從學(xué)習(xí)軌跡的視角改進(jìn)課堂教學(xué)．于是，研究者提出了一個(gè)新的教學(xué)目標(biāo)（預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)軌跡中的L2）：能否在分?jǐn)?shù)單位的基礎(chǔ)上，構(gòu)造新的分?jǐn)?shù)單位，并以此來表示原來的分?jǐn)?shù)？比如，三等分一個(gè)圓，得到分?jǐn)?shù)單位1/3，然后再等分這個(gè)1/3，就可以得到一個(gè)新的分?jǐn)?shù)單位1/6，原來的1/3就變成了2個(gè)1/6，就是2/6．部分教師的態(tài)度開始出現(xiàn)轉(zhuǎn)變，王老師愿意嘗試這樣的教學(xué)活動(dòng)．于是，預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)軌跡開始成為兩個(gè)共同體的邊界對(duì)象．

為了了解這個(gè)活動(dòng)的可行性，研究者和教師在第一次活動(dòng)結(jié)束后設(shè)計(jì)問題對(duì)學(xué)生進(jìn)行課前測(cè)試：（1）請(qǐng)學(xué)生借助部分與整體的直觀模型寫出不同的分?jǐn)?shù)表示指定的量；（2）請(qǐng)學(xué)生利用表示單位1的圖形，在已有分?jǐn)?shù)單位1/2的圖形上，通過等分生成新的分?jǐn)?shù)單位1/4、1/6的圖形．結(jié)果發(fā)現(xiàn)在一個(gè)班超過90%的學(xué)生都能完成這兩類問題的解答．調(diào)查的結(jié)果不僅增強(qiáng)了研究者和教師的信心，而且更多教師開始認(rèn)同和接納這個(gè)預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)軌跡．

3.2 設(shè)計(jì)中的學(xué)習(xí)軌跡：設(shè)想與透明

王老師在教學(xué)設(shè)計(jì)中，采用了研究者預(yù)設(shè)的教學(xué)活動(dòng)．她在第二次會(huì)議討論中講述了她的教學(xué)設(shè)計(jì)．

王老師：……我請(qǐng)找到八分之四的同學(xué)來分享方法．在四分之二的基礎(chǔ)上，再折一次，然后進(jìn)行比較．我會(huì)問，現(xiàn)在每一份是多少？是八分之一．追問：八是怎么來的？原來一共有四份，每一份再平均分為二份，四乘二等于八．我會(huì)問這里的八怎么來的，就是原來四份，每份都分成二份了．現(xiàn)在涂色部分占幾份？四份．那四是怎么來的？原來涂色部分是二份，每一份再平均分成二份，二乘二等于四．把每一個(gè)再平均分成二份．接下去，我會(huì)把四分之二對(duì)應(yīng)的圖，每一份再分成三份，得到的份數(shù)是什么？和原來的分?jǐn)?shù)還相等嗎？分為四份、五份、六份呢？還和原來相等嗎？

除了3個(gè)教師外，所有的參與者都基本認(rèn)可王老師的設(shè)計(jì)，同時(shí)也提出了進(jìn)一步改進(jìn)的建議．特別是在請(qǐng)學(xué)生解釋的時(shí)候，他們建議要借助具體圖形，不能只借助語言，否則太抽象，學(xué)生不容易理解．有3個(gè)教師提出了質(zhì)疑或反對(duì)．

陳老師的顧慮主要來自于她個(gè)人的教學(xué)經(jīng)歷．

陳老師：小學(xué)階段不用出現(xiàn)分子分母同時(shí)擴(kuò)大的解釋．只要讓學(xué)生感覺到，分?jǐn)?shù)單位不同，要保持分?jǐn)?shù)大小相等的話，對(duì)應(yīng)的分子也要隨著改變．我覺得理解到這一層，就達(dá)到了教學(xué)目標(biāo)．我在過去的教學(xué)中，只有一次發(fā)現(xiàn)一個(gè)同學(xué)會(huì)這樣解釋，而且這個(gè)是很好的學(xué)生．

陸老師的顧慮可能是受到了教材設(shè)計(jì)的影響．

陸老師：我們現(xiàn)在四年級(jí)，不能出現(xiàn)這句話“分子分母同時(shí)乘或除以……”，我們鼓勵(lì)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，我們不要講得太多．你說的話，學(xué)生一定懂的，但是這個(gè)問題還是應(yīng)該留到六年級(jí)．到時(shí)候，借助圖形，他就明白了．現(xiàn)在四年級(jí)的孩子，就是感受一下．

顧老師還是懷疑學(xué)生是否有能力在分?jǐn)?shù)單位的基礎(chǔ)上生成新的分?jǐn)?shù)單位．

顧老師：把一張紙折成四份，二分之一就是二個(gè)四分之一，我覺得這個(gè)沒問題．但是小朋友得到這塊是四分之一，還是四份當(dāng)中的一份，他不會(huì)從“二分之一的一半是四分之一”來考慮．

從以上教師反饋可以看到，教師仍可能不愿意嘗試新的教學(xué)活動(dòng)．盡管前面測(cè)試結(jié)果表明學(xué)生有能力在直觀模型中找到相等分?jǐn)?shù)，也能通過等分構(gòu)造新的分?jǐn)?shù)單位，但是教材以及教師以往的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)對(duì)邊界對(duì)象的形成造成了障礙．

王老師之所以能很快進(jìn)入跨界學(xué)習(xí)的狀態(tài)，與她和研究者多次的交流有關(guān)．她在訪談中解釋說，因?yàn)檎n例研究在她的學(xué)校開展，所以她和研究者共同承擔(dān)了組織和協(xié)調(diào)的工作．同時(shí)研究者也經(jīng)常和她通過電話或網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行非正式的討論．這使她比其他教師更有機(jī)會(huì)了解研究者的意圖和研究的目的．同時(shí)，她還幫助調(diào)查了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，整理和分析了學(xué)生的測(cè)試結(jié)果．這使得她更有信心來嘗試這樣的做法．

另外，王老師也談到了她過去的一次經(jīng)歷．她曾經(jīng)去外地參加過一個(gè)課堂觀摩活動(dòng)，看到了執(zhí)教教師在課上使用分?jǐn)?shù)單位生成分?jǐn)?shù)的情形．由此，她更深刻地認(rèn)識(shí)到了分?jǐn)?shù)單位的重要意義，“其地位就如同整數(shù)中的單位1”．于是，當(dāng)研究者提到分?jǐn)?shù)單位的時(shí)候，一下子喚醒了她對(duì)過去這段經(jīng)歷的記憶．也就是說，她和研究者的協(xié)作和溝通，以及她對(duì)所教知識(shí)的理解和認(rèn)識(shí)，使新的教學(xué)活動(dòng)對(duì)她而言變得更加透明，也成為她愿意嘗試跨界學(xué)習(xí)的一個(gè)動(dòng)力．

3.3 課堂中的學(xué)習(xí)軌跡：實(shí)踐與協(xié)商

王老師設(shè)計(jì)的第一個(gè)教學(xué)任務(wù)來自于教材，借助直觀圖形從部分與整體出發(fā)，用相等分?jǐn)?shù)表示圖形中指定的部分．她先請(qǐng)學(xué)生猜一猜兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小，然后要求學(xué)生通過折紙操作，驗(yàn)證自己的猜想．

在第二個(gè)教學(xué)任務(wù)中，王老師利用直觀圖形，在已有分?jǐn)?shù)單位的基礎(chǔ)上，請(qǐng)學(xué)生再構(gòu)造新的分?jǐn)?shù)單位，由此建立兩個(gè)分?jǐn)?shù)之間的相等關(guān)系．在教學(xué)中，她強(qiáng)調(diào)了學(xué)生解釋分?jǐn)?shù)相等的原因．在開始的時(shí)候，學(xué)生的解釋還并不流暢，但是在教師利用了指導(dǎo)性的語言（把圖中的每一份再平均分成份，每一份變?yōu)椋t色部分變?yōu)榉?，就是個(gè)，是）反復(fù)練習(xí)之后，學(xué)生的口頭解釋變得越來越流利，學(xué)生還可以由此來構(gòu)造更加復(fù)雜的相等分?jǐn)?shù)，并能解釋其中的原因．

［王老師第一次教學(xué)中的片段］

師：現(xiàn)在你還能找到和四分之一相等的分?jǐn)?shù)嗎？

生：每一份平均分成六份，每一份變?yōu)槎姆种唬t色部分變?yōu)榱?，就是六個(gè)二十四分之一，就是二十四分之六．

師：誰再來說一說？

生：每一份平均分成十份，每一份變?yōu)樗氖种?，紅色部分變?yōu)樗氖种?/p>

師：我來問一個(gè)，你把每一個(gè)部分分成十份，四十哪來的？

生：四乘十是四十．

師：誰再來說一個(gè)，每一個(gè)平均分為幾份？

生：每一份平均分為五份，每一份變?yōu)槎种?，紅色部分變?yōu)槲宸?，就是五個(gè)二十分之一，是二十分之五．

在討論的過程中，出乎意料的是不再有教師質(zhì)疑新的教學(xué)活動(dòng)．大家討論的話題全部轉(zhuǎn)向如何有效地實(shí)施教學(xué)過程．與前面相比，盡管研究者多次向教師解釋和討論相關(guān)的理論和研究，然而對(duì)于部分教師而言，邊界對(duì)象還不透明，研究者和這些實(shí)踐者之間很難達(dá)到跨界協(xié)商的水平．但是當(dāng)他們看到王老師的課堂具體實(shí)施之后，參與教師的態(tài)度出現(xiàn)了明顯的轉(zhuǎn)變．

先前持反對(duì)態(tài)度的陸老師解釋說，在教學(xué)設(shè)計(jì)的討論過程中的“反對(duì)”和“質(zhì)疑”，主要是研究者和教師所處的立場不同．

陸老師：研究者通常在現(xiàn)有的教學(xué)理論背景下，依據(jù)研究的結(jié)論提出相應(yīng)教學(xué)活動(dòng)；而我們作為實(shí)踐者注重的是對(duì)學(xué)情分析，習(xí)慣從課堂實(shí)際出發(fā)確定教學(xué)方法．因此兩者之間的跨界協(xié)商必然不易達(dá)成．

同樣，前面有所顧慮的顧老師也表達(dá)了類似的觀點(diǎn)．

顧老師：研究者站在更高更理論的角度看待問題，但是我們考慮的總是具體的問題，比如，怎么幫助不同能力的學(xué)生等．

王老師實(shí)施的課堂，盡管在教學(xué)設(shè)計(jì)的階段，有少數(shù)教師持不同的觀點(diǎn)，但是不管如何，實(shí)施的課堂作為一個(gè)已經(jīng)完成的對(duì)象，是研究者和教師群體參與協(xié)商物化學(xué)習(xí)軌跡的結(jié)果．因此，在教學(xué)設(shè)計(jì)之后，研究課成為學(xué)習(xí)軌跡物化的邊界對(duì)象，幫助那些徘徊在共同體邊緣的教師邁出了跨界學(xué)習(xí)的第一步，理論和實(shí)踐在課堂中得到了聯(lián)結(jié)．

陸老師：之所以出現(xiàn)這樣的轉(zhuǎn)化，是因?yàn)槲覀冏鳛閷?shí)踐者想達(dá)到的教學(xué)效果與研究者預(yù)設(shè)的教學(xué)活動(dòng)沒有背離．我覺得我們彼此處于一段平行后產(chǎn)生了交點(diǎn)．

顧老師覺得這正是課例研究的魅力，可以借鑒他人課堂的成功之處，改進(jìn)自己的教學(xué)．

繆老師則更加明確地談到了作為課堂對(duì)于教師專業(yè)發(fā)展的重要意義．

繆老師：我覺得研究者更多的是從理論的層面，為我們解釋相關(guān)研究．對(duì)于我們一線教師而言，沒有親身經(jīng)過實(shí)踐的理論聽起來是模糊的．具體應(yīng)該怎么做？如何落實(shí)在課堂？這些我們都會(huì)有疑問．因此大道理說再多，不如動(dòng)手去做一做．當(dāng)王老師把理論融于課堂后，我們實(shí)實(shí)在在地看到了具體的落實(shí)過程，所以大家之前的反對(duì)或質(zhì)疑都消失了．

從教師的反饋來看，課堂作為學(xué)習(xí)軌跡物化的邊界對(duì)象（觀摩和研究的對(duì)象）可以更有效地協(xié)調(diào)不同的視角，使那些邊緣參與[37]的教師積極參與意義協(xié)商的互動(dòng)過程．

盡管如此，研究者和大部分教師都感覺王老師在第二個(gè)任務(wù)的實(shí)施過程中，反復(fù)操練的痕跡太重，教師控制得太多．王老師后來告訴研究者當(dāng)時(shí)她的顧慮．

王老師：用分?jǐn)?shù)單位解釋相等分?jǐn)?shù)是我在之前的教學(xué)中沒有嘗試過的．但我和其他老師一樣，我也有顧慮學(xué)生是否能夠說清楚分?jǐn)?shù)相等的本質(zhì)．因?yàn)槲覔?dān)心學(xué)生不會(huì)說，我就提供了指導(dǎo)性的語言．我又怕學(xué)生不理解，于是就講了平均分成二份、三份、四份等情況．剛開始時(shí)，指導(dǎo)性語言確實(shí)能幫助學(xué)生，但是到了后面，指導(dǎo)性語言反而會(huì)約束學(xué)生的思維和表達(dá)．

在第二次教學(xué)中，她接受了大家的建議，減少了第二個(gè)教學(xué)任務(wù)中的內(nèi)容，同時(shí)也減少了對(duì)學(xué)生的控制．在課堂中學(xué)生運(yùn)用自己的語言來表達(dá)他們對(duì)相等分?jǐn)?shù)的理解，實(shí)現(xiàn)了大家期望中的課堂．

在王老師看來，二次教學(xué)讓她更加了解學(xué)生的學(xué)習(xí)困難，共同體內(nèi)教師的建議讓她獲得了不同視角的反饋，使她能更準(zhǔn)地拿捏教學(xué)的重點(diǎn)．

王老師：二次教學(xué)過程，以及其他老師的建議和反饋，讓我能更加了解學(xué)生的困難，這對(duì)我調(diào)整教學(xué)起到了關(guān)鍵的作用．同時(shí)，也啟發(fā)我在今后的教學(xué)中應(yīng)當(dāng)多角度地思考學(xué)生可能存在的困難．

顧老師也表達(dá)了類似的觀點(diǎn)，認(rèn)為二次教學(xué)可以促進(jìn)執(zhí)教者的專業(yè)成長．

顧老師：對(duì)不同的學(xué)生上同樣的內(nèi)容，可以鍛煉教師“備學(xué)生”的能力，能幫教師更好地了解學(xué)生．不同教師對(duì)于同一課的研究，可以幫助教師打開思路，從不同角度思考問題．

也就是說，兩次教學(xué)可以使研究課中的學(xué)習(xí)軌跡，成為共同體持續(xù)協(xié)商的邊界對(duì)象，在此過程中執(zhí)教者可以對(duì)邊界對(duì)象獲得新的意義體驗(yàn)，可以增強(qiáng)他們體驗(yàn)新意義（跨界學(xué)習(xí)）的能力．

在繆教師看來，二次教學(xué)也讓她獲得了新的體驗(yàn)．

繆老師：多次教同一節(jié)內(nèi)容的課，大家在參與討論中才會(huì)對(duì)課有深刻的認(rèn)識(shí)和理解，才能把同一內(nèi)容挖得深、想得遠(yuǎn)．每次執(zhí)教都是不同的學(xué)生，參與討論的老師就能看到同一內(nèi)容在不同學(xué)生群體中執(zhí)教的效果，有助于大家反思和改進(jìn)教學(xué)活動(dòng)．

在此過程中，預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)軌跡，以物化為課堂實(shí)踐的方式，在多次實(shí)踐中，成為不斷具體化的邊界對(duì)象．

4 討論與啟發(fā)

研究展現(xiàn)了預(yù)設(shè)的相等分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)軌跡轉(zhuǎn)化為課堂實(shí)踐的過程．首先，研究者預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)軌跡，一開始只是引發(fā)了部分教師的興趣和認(rèn)同，成為最初的邊界對(duì)象．盡管研究者隨后又為教師提供了來自學(xué)生的調(diào)查數(shù)據(jù)，但還是有教師質(zhì)疑課堂實(shí)施的可行性．隨后，王老師欣然成為積極的跨界者．學(xué)生在課堂中的表現(xiàn)促進(jìn)了參與教師認(rèn)知的根本轉(zhuǎn)變．學(xué)習(xí)的軌跡物化為課堂實(shí)踐，成為有效的邊界對(duì)象，調(diào)和了兩個(gè)共同體之間的不同觀點(diǎn)，初步實(shí)現(xiàn)了理論向?qū)嵺`的轉(zhuǎn)化．最后，學(xué)習(xí)的軌跡繼續(xù)物化為改進(jìn)的課堂實(shí)踐，成為共同體持續(xù)協(xié)商意義的資源．教師不斷“卷入”其中，獲得新的意義體驗(yàn)．也就是說，教師通過跨界學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)理論向?qū)嵺`的轉(zhuǎn)化．

對(duì)理論轉(zhuǎn)化為實(shí)踐的啟發(fā)在于：首先，研究者要引入與學(xué)生學(xué)習(xí)密切相關(guān)的、具有潛在作用的理論（如相等分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)軌跡），以解決教師所關(guān)注的實(shí)際問題（如理解相等分?jǐn)?shù)）．例如，理論的選擇要與學(xué)生的學(xué)習(xí)密切相關(guān)，教學(xué)任務(wù)的選擇要根據(jù)理論進(jìn)行設(shè)計(jì)．第二，教師通過合作設(shè)計(jì)并嘗試課堂教學(xué)．在課例研究中，教師集體性的合作、參與和反思是不可或缺的．第三，根據(jù)學(xué)生在課堂教學(xué)中的表現(xiàn)，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果進(jìn)行合理評(píng)價(jià)．課例研究小組（包括教師和其他參與者）應(yīng)當(dāng)集體分析課堂的實(shí)施情況，找到改進(jìn)教學(xué)的方法，促進(jìn)教師的專業(yè)發(fā)展．第四，修改設(shè)計(jì)，再次對(duì)其他學(xué)生實(shí)施相同內(nèi)容的課堂教學(xué)，讓改進(jìn)的教學(xué)在實(shí)際課堂中發(fā)揮更好的作用，同時(shí)鼓勵(lì)發(fā)現(xiàn)新問題，激發(fā)教師圍繞新問題，繼續(xù)新的課例研究．

從實(shí)踐共同體的視角來看，研究者和教師兩個(gè)共同體的跨界是實(shí)現(xiàn)理論到實(shí)踐轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵．教師作為跨越共同體的中介者是不可或缺的關(guān)鍵要素．比如，王老師作為跨越邊界的中介者發(fā)揮了極其重要的作用．她從研究者那里帶回關(guān)于相等分?jǐn)?shù)預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)軌跡，應(yīng)用于自己的教學(xué)設(shè)計(jì)和課堂，促進(jìn)了從理論到實(shí)踐的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而影響和改變了其他教師的觀念．像王老師那樣率先嘗試跨界的教師，被索德（Sowder）等稱為“教師領(lǐng)導(dǎo)者”[38]．在理論轉(zhuǎn)化為實(shí)踐的過程中，教師領(lǐng)導(dǎo)者扮演了中介者的角色，起到了關(guān)鍵性的作用．他們不僅擁有豐富的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，更重要的是他們?cè)敢饨邮苄碌睦碚摳倪M(jìn)自己的教學(xué)．

就研究者而言，他們與教師看待問題的視角存在文化的差異．一般說來，研究者為了解決實(shí)踐中存在的問題，不得不深入學(xué)校和課堂開展實(shí)驗(yàn)性研究．然而，教師卻不太情愿把精力和時(shí)間花費(fèi)在這些尚無定論的方法上．因此，對(duì)研究者而言要想讓教師相信和認(rèn)同研究的成果并運(yùn)用于實(shí)踐，絕不是一件簡單的事情．為了實(shí)現(xiàn)理論向?qū)嵺`的轉(zhuǎn)化，研究者除了要學(xué)會(huì)傾聽教師的心聲，尊重教師的意見之外，更重要的是，要能比較全面地把握已有研究的進(jìn)展和尚且存在的不足，要善于從實(shí)踐者的角度來思考理論的合理性和可行性．比如，在相等分?jǐn)?shù)的課例研究中，一方面，研究者不僅要了解國內(nèi)課程的要求，不同教材預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)軌跡，而且要了解國內(nèi)外關(guān)于相等分?jǐn)?shù)教學(xué)研究的進(jìn)展和局限，不同文化環(huán)境中的教學(xué)差異．另一方面，研究者還要勇于轉(zhuǎn)變自己的角色和身份，從教師的立場來思考教學(xué)的實(shí)施，思考已有研究所預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)軌跡是否契合中國學(xué)生的具體實(shí)際．

致謝：感謝上海市浦東新區(qū)御橋小學(xué)以及參與此研究的各位老師給予的大力支持．同時(shí)感謝北京大學(xué)陳向明教授對(duì)文章提出的寶貴意見．

[1] CAI J, MORRIS A, HWANG S, et al. Improving the impact of educational research [J]. Journal for Research in Mathematics Education, 2017, 48 (1): 2-6.

[2]KIERAN C, KRAINER K, SHAUGHNESSY J M. Linking research to practice: Teachers as key stakeholders in mathematics education research [M]. NewYork: Third International Handbook of Mathematics Education, 2013: 361-392.

[3]SILVER E, LUNSFORD C. Compendium for research in mathematics education: Linking research and practices in mathematics education: Perspectives and pathways [M]. Reston: National Council of Mathematics Teachers, 2017: 28-47.

[4]BRYK A, GOMEZ L, LEMAHIEU P. Learning to improve: How America’s school can get better at getting better [M]. Cambridge: Harvard Education Press, 2016: 1-20.

[5]LEWIS C. What is improvement science? Do we need it in education? [J]. Educational Researcher, 2015, 44 (1): 54-61.

[6]MORRIS A K, HIEBERT J. Creating shared instructional products: An alternative approach to improving teaching [J]. Educational Researcher, 2011, 40 (1): 5-14.

[7]CAI J, MORRIS A, HWANG S, et al. Clarifying the impact of educational research on learning opportunities [J]. Journal for Research in Mathematics Education, 2017, 48 (3): 230-236.

[8]LEWIS C, TSUCHIDA I. A lesson is like a swiftly flowing river: How research lessons improve Japanese education [M]. American Educator, 1999, 2 (1): 48-56.

[9]LI X. Theory and practices of lesson study in mathematics: An international perspective: An analysis of Chinese lesson study from historical and cultural perspective [M]. New York: Springer, 2019: 201-228.

[10]HUANG R, FANG Y, CHEN X. Chinese lesson study: An improvement science, a deliberate practice, and a research methodology [J]. International Journal for Lesson and Learning Studies, 2017, 6 (4): 270-282.

[11]楊玉東．課例研究的國際動(dòng)向與啟示[J]．全球教育展望，2007，36（3）：47-49．

[12]HUANG X, HUANG R, HUANG Y, et al. Theory and practice of lesson study in mathematics: Lesson study and its role in the implementation of curriculum reform in China [M]. Cham: Springer, 2019: 229-252.

[13]HUANG R, GONG Z, HAN X. Implementing mathematics teaching that promotes students’ understanding through theory-driven lesson study [J]. ZDM Mathematics Education, 2016 (48): 425-439.

[14]DING L, JONES K, SIKKO S. Interconnectedness and difference between action research and a lesson design study in Shanghai, China [J]. Educational Action Research, 2020, 27 (4): 595-612.

[15]溫格．實(shí)踐共同體：學(xué)習(xí)、意義和身份[M]．李茂榮，歐陽忠明，任鑫，等譯．南昌：江西人民出版社，2018：67-79，96-113.

[16]MURATA A. Introduction: Conceptual overview of lesson study [M] // HART L C, ALSTON A S, MURATA A. Lesson study research and practice in mathematics education. Springer, 2011: 27-39.

[17]LEWIS C. How does lesson study improve mathematics instruction [J]. ZDM Mathematics Education, 2016, 48 (4): 571-580.

[18]LEWIS C, PERRY R, HURD J. Improving mathematics instruction through lesson study: A theoretical model and North American case [J]. Journal of Mathematics Teacher Education, 2009 (12): 285-304.

[19]XU H, PEDDER D. Lesson study: Professional learning for our time: An international review of the research [M]. London and New York, NY: Routledge, 2014: 29-58.

[20]HUANG R, SHIMIZU Y. Improving teaching, developing teachers and teacher developers, and linking theory and practice through lesson study in mathematics: An international perspective [J]. ZDM Mathematics Education, 2016, 48 (4): 393-409.

[21]RUNESSON U, THORSTEN A. How teachers’ practice knowledge is used and challenged in a learning study using variation research as a tool [J]. International Journal for Lesson and Learning Studies, 2015, 4 (3): 274-287.

[22] WENGER E. Conceptual tools for CoPs as social learning systems: Boundaries, identity, trajectories and participation [M] // BLACKMORE C. Social learning systems and communities of practice. London: Springer, 2010: 125-143.

[23]SIMON M. Prospective elementary teachers’ knowledge of division [J]. Journal for Research in Mathematics Education, 1993, 24 (3): 233-254.

[24]CLEMENTS D H, SARAMA J. Learning trajectories in mathematics education [J]. Mathematical Thinking and Learning, 2004, 6 (2): 81-89.

[25]SZTAJN P, CONFREY J, WILSON P H, et al. Learning trajectory based instruction: Toward a theory of thinking [J]. Educational Researcher, 2012, 41 (5): 147-156.

[26]CLEMENTS D, SARAMA J, SPITLER M, et al. Mathematics learned by young children in an intervention based on learning trajectories: A large-scale cluster randomized trial [J]. Journal for Research in Mathematics Education, 2011, 42 (2): 127-166.

[27]WILSON P H, SZTAJN P, EDGINGTON C, et al. Teachers’ uses of a learning trajectory in student-centered instructional practices [J]. Journal of Teacher Education, 2015, 66 (3): 227-244.

[28] 何聲清．“代表性啟發(fā)”對(duì)初中生古典概率內(nèi)容學(xué)習(xí)進(jìn)階的影響[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2020，29（4）：27-33．

[29] 李化俠．學(xué)習(xí)進(jìn)階視角下小學(xué)生統(tǒng)計(jì)思維發(fā)展水平研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019，28（6）：55-60．

[30] 吳穎康，鄧少博，楊潔．?dāng)?shù)學(xué)教育中學(xué)習(xí)進(jìn)階的研究進(jìn)展及啟示[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017，26（6）：40-46．

[31] KARA M, SIMON M, PLACA N. An empirically-based trajectory for fostering abstraction of equivalent-fraction concepts: A study of the learning through activity research program [J]. Journal of Mathematical Behavior, 2018 (52): 134-150.

[32] FUJII T, IITAKA S. Mathematics international Grade 4 [M]. Tokyo: Tokyo Shoseki, 2012: 40-50.

[33] ASKEY R, JACKSON B, KEMPE J. Primary mathematics: Teacher’s guide 3B [M]. Singapore: Marshall Cavendish Education, 2014: 20-30.

[34] 邱萬作，黃華．初中數(shù)學(xué)課本六年級(jí)（上）[M]．上海：上海教育出版社，2018：27-39．

[35] 上海市教育委員會(huì)．上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M]．上海：上海教育出版社，2006：41-52.

[36]全美州長協(xié)會(huì)和首席州立學(xué)校官員理事會(huì)．美國州際核心數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：歷史、內(nèi)容和實(shí)施[M]．蔡金法，孫偉，譯．北京：人民教育出版社，2016：27-32．

[37] 萊夫，溫格．情境學(xué)習(xí)：合法的邊緣性參與[M]．王文靜，譯．上海：華東師范大學(xué)出版社，2004：1-11．

[38] SOWDER J, BARNES D, HAGELBERGER B, et al. Harnessing the power of research for practice [R]. National Council of Teachers of Mathematics Board, 2005.

Transition from a Hypothetical Learning Trajectory to Classroom Practice through Lesson Study: A Case of Teaching Equivalent Fractions

HUANG Xing-feng1, HUANG Rong-jin2

(1. Research Institute for International and Comparative Education, Shanghai Normal University, Shanghai 200234, China;2. Department of Mathematical Sciences, Middle Tennessee State University, Tennessee, USA)

Linking theory to practice is a long-standing unsolved issue in the field of education. Lesson study is considered to be an effective way to address this problem. This study used the boundary objects in boundary crossing learning as an analytical tool to show how a learning trajectory can be utilized to improve classroom practice through the generation and refinement of boundary objects. The study indicated that: (1) Implementing research-oriented classroom teaching is an effective driving force to promote the transition from theory to practice; (2) brokers (teachers, researchers) across the boundary are the key elements to make the transition; and (3) attention to students’ learning is the most important goal of making the transition from theory to practice.

lesson study; theory to practice; learning cross-boundary; hypothetical learning trajectory

G40-03

A

1004-9894（2021）03-0025-07

黃興豐，黃榮金．預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)軌跡轉(zhuǎn)化為課堂實(shí)踐的課例研究——以相等分?jǐn)?shù)為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2021，30（3）：25-31．

2021-05-06

全國教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2018年度國家一般課題——中學(xué)生合作問題解決中認(rèn)知互動(dòng)與社會(huì)互動(dòng)及其關(guān)系的實(shí)證研究（BHA 180157）

黃興豐（1974—），男，江蘇南通人，副教授，博士，主要從事中小學(xué)數(shù)學(xué)教育研究．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、陳漢君]