譚東敏 孔令峰 張井衛(wèi)

[摘? ?要]高中物理教學(xué)中，有時會發(fā)現(xiàn)：一個問題從不同角度分析解答，會得出不同的結(jié)論，兩種分析解答過程似乎都有道理，是否真的如此呢？文章以兩道點(diǎn)電荷在電容器中的電勢能的變化問題為例進(jìn)行分析探討。

[關(guān)鍵詞]點(diǎn)電荷;電容器;電勢能

[中圖分類號]? ? G633.7? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）17-0039-04

一線教師在日常的備課、教學(xué)、解題及教學(xué)反饋等過程中，時常會發(fā)現(xiàn)各種各樣的問題。有的問題，真的值得我們一線教師深入探討。本文通過對兩道點(diǎn)電荷在平行板電容器中電勢能變化問題的分析解答，發(fā)現(xiàn)得到兩個相悖的結(jié)論，并以此為出發(fā)點(diǎn)探討產(chǎn)生相悖結(jié)論的原因，并在此基礎(chǔ)上對電勢能概念作深層次的分析探討。

一、相悖答案產(chǎn)生與思考

高二上學(xué)期的一次月考后，一位實(shí)習(xí)老師跟我們討論這次月考物理試卷上的一道關(guān)于電容器的試題（題目1）。

題目1.一平行板電容器充電后與電源斷開，正極板接地，在兩極間有一正電荷固定在P點(diǎn)，如圖1所示，以U表示兩極板間的電壓，E表示兩極板之間的場強(qiáng)，Ep表示該正電荷在P點(diǎn)的電勢能，若保持負(fù)極板不動，而將正極板移至圖中虛線所示位置，仍保持正極板接地，則（）。

A.[U]變小，[Ep]變大 B.[U]變小，[Ep]不變

C.[U]變大，[E]不變 ? D.[U]變大，[E]變大

解析：平行板電容器充電后與電源斷開，因此電容器的電荷量不變，將正極板移到圖中虛線所示的位置時，板間距離d減小，根據(jù)[C=εS4πkd]可知，電容器的電容C增大，Q一定，根據(jù)[U=QC]可知板間電壓U變小;根據(jù)[E=Ud]，[Q=CU]，[C=εS4πkd]，聯(lián)立可得[E=4πkQεS]，可知E與d無關(guān)，E不變;P與正極板間的距離減小，上極板與P點(diǎn)的電勢差由公式[U=Ed]可知，P與正極板之間的電勢差減小，且[U=0-φp]，則P點(diǎn)的電勢變大，正電荷在P點(diǎn)的電勢能[Ep]變大，故A正確，BCD錯誤，故選A。

關(guān)于電勢能[Ep]的變化，上述解釋是從[P]點(diǎn)的電勢變化著手，分析得出P點(diǎn)的電勢變大，那么在[P]點(diǎn)的正電荷的電勢能變大。

這位實(shí)習(xí)老師認(rèn)為，正點(diǎn)電荷固定不動，即點(diǎn)電荷沒有發(fā)生位移，那么電場力對其就沒有做功，根據(jù)“功是能量變化的量度”來分析，點(diǎn)電荷的電勢能不可能變化。而且這位實(shí)習(xí)老師還對比了2016年天津高考理綜試卷物理部分的第4題（題目2）。

題目2.如圖2所示，平行板電容器帶有等量異種電荷，與靜電計相連，靜電計金屬外殼和電容器下極板都接地，在兩極板間有一固定在[P]點(diǎn)的點(diǎn)電荷，以[E]表示兩板間的電場強(qiáng)度，[Ep]表示點(diǎn)電荷在[P]點(diǎn)的電勢能，[θ]表示靜電計指針的偏角。若保持下極板不動，將上極板向下移動一小段距離至圖中虛線位置，則（）。

A. [θ]增大，[E]增大 B. [θ]增大，[Ep]不變

C. [θ]減小，[Ep]增大D. [θ]減小，[E]不變

解析：若保持下極板不動，將上極板向下移動一小段距離，則根據(jù)[C=εS4πkd]可知，C變大，Q一定，則根據(jù)[Q=CU]可知，U減小，故靜電計指針偏角[θ]減小;根據(jù)[E=Ud]，[Q=CU]，[C=εS4πkd]，聯(lián)立可得[E=4πkQεS]，可知Q一定時，E不變;根據(jù)[U1=Ed1]可知P點(diǎn)離下極板的距離不變，E不變，則P點(diǎn)與下極板的電勢差不變，P點(diǎn)的電勢不變，則[EP]不變;故選項(xiàng)ABC錯誤，D正確。

相悖答案的發(fā)現(xiàn) 題目2中，點(diǎn)電荷同樣沒有移動，該題的解析同樣是從點(diǎn)電荷相對接地極板的電勢角度切入，解釋其電勢能不變。該實(shí)習(xí)老師是從電場力做功的角度分析電荷電勢能變化的：點(diǎn)電荷固定，電場力對該點(diǎn)電荷不做功，故電勢能不變化。從這兩個角度分析得到的結(jié)論相同，從電場力做功的角度解釋更為簡潔。

但是我校的這道月考題，如果按照參考答案，從電荷所處的電勢變化來分析，得到電荷的電勢能增大的結(jié)論;但是從電場力做功改變電勢能的角度來分析，電勢能則是不變的。眾所周知，一個正確的結(jié)論從不同角度分析都應(yīng)該是自洽的，從不同維度分析同一個問題得到的結(jié)論應(yīng)該也是相同的。出現(xiàn)不同的結(jié)論，問題在哪里呢？

二、從電勢能的概念探討“答案相悖”的原因

人教版教材中《電勢能和電勢》這節(jié)課的教學(xué)中常用類比重力勢能的方式引入電勢能的概念——“由于移動電荷時靜電力做的功與路徑無關(guān)，電荷在電場中也具有勢能，這種勢能叫作電勢能，可用[Ep]表示”，“電荷在某點(diǎn)的電勢能，等于把它從這點(diǎn)移到零勢能位置時靜電力做的功”;又從定義“電勢”[φ=Epq]的式子可演變出電勢能的表達(dá)式[Ep=qφ]。關(guān)于電勢能的變化，教材中的表述是：“功是能量變化的量度，靜電力做功等于電勢能的減少量”。如果對教材內(nèi)容的解讀不夠，人們就會產(chǎn)生這樣偏頗的觀點(diǎn)：從“表面”上看，電勢能好像是電荷的，認(rèn)為其電勢能的變化應(yīng)由該電荷所受靜電力做的功決定。

其實(shí)這位實(shí)習(xí)老師在這個問題的處理上忽略了兩點(diǎn)。

第一，電勢能的系統(tǒng)性。不管是重力勢能，還是電勢能，都是系統(tǒng)共同具有的，而不是物體或點(diǎn)電荷單獨(dú)具有的，但是我們?yōu)榱吮磉_(dá)簡要起見，往往說成“物體的重力勢能”或“電荷的電勢能”，在這樣的習(xí)慣性交流表達(dá)的大環(huán)境中，容易使人忽視勢能的系統(tǒng)性，所以作為教師，對勢能的理解一定要時刻銘記它的“系統(tǒng)性”。既然勢能具有系統(tǒng)性，那么勢能就不是由單個物體或單個點(diǎn)電荷決定的，而是由組成系統(tǒng)的各方共同決定。勢能是否變化也不能只看保守力對所謂的單個物體或單個點(diǎn)電荷做功的情況，而是從彼此之間的相互作用力對彼此各方的做功情況來分析。

在題目1中，由于接地的上極板帶正電與P點(diǎn)的正電荷相互排斥，上極板向下移動是靠近P點(diǎn)的正電荷，點(diǎn)電荷P雖然固定不動，但它們之間的相互作用力對上極板做負(fù)功，故點(diǎn)電荷與上極板之間的電勢能增加。這里我們只是討論點(diǎn)電荷與電容器之間的電勢能，撇開了電容器自身系統(tǒng)的靜電能。

第二，忽略了電勢能的相對性。重力勢能和電勢能的多少都是相對零勢能位置而言的。題目1中上極板接地，一般我們習(xí)慣認(rèn)為，上極板電勢為零。雖然在平移上極板的過程中，電場力對P點(diǎn)的電荷沒有做功，但是這個過程中極板間的電場強(qiáng)度沒有變化，P點(diǎn)與上極板的距離d發(fā)生了變化，那么P點(diǎn)與上極板的電勢差[U=Ed]一定發(fā)生變化，所以P點(diǎn)的電勢也就變化了，電勢能自然也要變化了。從“系統(tǒng)性”分析和從“相對性”分析都得到相同的結(jié)論：電勢能是增加的。所以，我們在解決問題的時候不妨嘗試從不同角度切入，嘗試用多種方法解決，在多種思路的交織中，我們會構(gòu)建更全面、更系統(tǒng)的思維關(guān)聯(lián)，對我們解決新的問題不斷提供啟發(fā)性思考。還有可能挖掘出新的問題，對這些新問題的思考、研究，會使我們對這類問題有更深層次的理解。

該實(shí)習(xí)老師在解題過程中發(fā)現(xiàn)的問題是關(guān)于物理概念的，物理概念是客觀事實(shí)的共同屬性和本質(zhì)特征在人腦中的準(zhǔn)確反映，是人們在長期認(rèn)知客觀事物和自然現(xiàn)象的過程中，經(jīng)過觀察、思考、猜想、建模、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、分析比較、歸納總結(jié)等環(huán)節(jié)而得到的抽象化表征。在中學(xué)物理概念教學(xué)過程中，學(xué)生或教師對物理概念認(rèn)識和理解上難免會出現(xiàn)一些偏差，對概念的廣度和深度認(rèn)知不夠、不透。但對一個物理概念全面、精準(zhǔn)的認(rèn)知，對物理教師而言至關(guān)重要，我們決不能將自己偏頗的認(rèn)識甚至錯誤的概念傳授給學(xué)生，這也是教師上課前要充分備課的重要原因。

三、解決“答案相?！眴栴}的過程中發(fā)現(xiàn)新問題

如果從系統(tǒng)電場力（相互作用力）做功的角度看，題目2中的電勢能也應(yīng)該是變化的。與上述解析結(jié)論是不統(tǒng)一的。上極板與固定在P點(diǎn)的點(diǎn)電荷無論是同種電荷還是異種電荷，兩者間距發(fā)生變化時，雖然電場力對P點(diǎn)的電荷沒有做功，但是電場力對上極板的電荷一定做功，那么，P點(diǎn)的電荷與極板之間的電勢能應(yīng)該發(fā)生變化，但是題目2的解析中結(jié)論是不變的，該問題不由使我們產(chǎn)生疑慮。關(guān)于這個疑慮的新問題，曾向同事請教。

同事認(rèn)為，點(diǎn)電荷在電場中擁有的電勢能的多少以及變化情況，都應(yīng)該以零勢面為參考，題目2中參考答案的解析是沒有問題的。至于做功問題，不應(yīng)該以上極板——非零勢極板，來討論電勢能的變化，因?yàn)殡妱菽苁窍鄬τ诹銊菝娑缘?。關(guān)于點(diǎn)電荷與電場之間的電勢能的變化不能“片面”地以單個極板與點(diǎn)電荷之間的相互作用力做功來討論，電容器之間的電場是兩極板共同形成的，那么，電荷在電容器電場中的電勢能是將兩極板共同“貢獻(xiàn)”糅合到以零勢面為參考的條件之中的。

該同事還以我們熟悉的重力勢能為例，類比解釋這個問題。如圖3所示，質(zhì)量為m的小球相對零勢面的重力勢能[Ep=mgh]，不會以上面的非參考平面a的（上）下移動而改變的，因?yàn)樾∏蛳鄬α銊菝鎎做功的“能力”沒有改變。同理，點(diǎn)電荷的電勢能也是相對零勢面而言的，題目2中平移電容器的上極板并不會影響電荷相對下極板（零勢面）的做功“能力”，故電荷的電勢能是不變化的。

該同事很好地用高中教材的相關(guān)知識進(jìn)行解釋，但是依然沒能解決“系統(tǒng)之間的靜電力（保守力）做了功 ，與系統(tǒng)的電勢能卻不變”之間的矛盾。那么，問題在哪里呢？一天放學(xué)后，我們針對圖3進(jìn)行深入探討，探討中發(fā)現(xiàn)電荷與電容器之間的電勢能和重力勢能存在一點(diǎn)不同：在地球表面重力場是地球單側(cè)形成的，而電容器極板間的電場是兩極板共同激發(fā)的。從這個“不同點(diǎn)”切入，找到了這個新問題的根源。

四、平行板電容器電勢能的理論分析

首先，我們要了解接地電容器的兩極板的電荷分布情況，從而確定電容器的電場情況，進(jìn)而清晰地分析點(diǎn)電荷在電容器兩極板間的電勢能。通過查閱與電容器相關(guān)的資料，找到了相關(guān)的內(nèi)容。由于極板接地，兩極板外側(cè)表面均無電荷，電容器兩極板面積相對兩極板的間距而言非常大（如圖4）。若忽略邊緣效應(yīng)，兩極板內(nèi)側(cè)表面均勻分布等量異種電荷，在極板間共同形成勻強(qiáng)電場。根據(jù)對稱性，兩極板的電荷在極板間激發(fā)的電場相同，合場強(qiáng)為單極板激發(fā)電場強(qiáng)度的兩倍[2]。

根據(jù)高斯定理，單個極板激發(fā)的電場強(qiáng)度[3]： [E+=E-=σ2ε0]? ? ? ? ?①

根據(jù)電場疊加，帶電電容器之間的電場強(qiáng)度： [E=E++E-=σε0]? ? ? ? ?②

點(diǎn)電荷靠近或遠(yuǎn)離帶電極板[Δd]與帶電極板靠近或遠(yuǎn)離點(diǎn)電荷[Δd]的過程中，其電勢能的改變效果是等價的，根據(jù)電勢能變化與靜電力做功之間的關(guān)系，不難理解，

電勢能均變化：[ΔEp=-W電=-qσ2ε0?Δd]③

①②③式中[σ]為極板電荷面密度，[ε0]為介電常數(shù)，q為點(diǎn)電荷的電量，[Δd]是點(diǎn)電荷與極板間距的變化量。

題目1中，因?yàn)橄聵O板沒有上下移動，所以點(diǎn)電荷與下極板之間的電勢能沒有變化，那么，點(diǎn)電荷與電容器之間的電勢能的變化只能來源于上極板向下移動而引起的“貢獻(xiàn)”。如果，上極板向下平移[Δd]，那么電量為q的正電荷與電容器的電勢能的增加量就是[ΔEp=qσ2ε0?Δd]。

如果按照題目1參考答案的解題思路去計算電勢能的變化，我們便會發(fā)現(xiàn)問題的端倪。若上極板向下平移[Δd]，由于極板間的電場強(qiáng)度[σε0]不變，則點(diǎn)電荷所處位置與上極板之間電勢差的變化量則為[ΔU=σε0?Δd]。因?yàn)樯蠘O板接地，我們認(rèn)為其電勢為0，所以，點(diǎn)電荷所處位置P點(diǎn)的電勢變化量為[Δφ=σε0?Δd]，因此點(diǎn)電荷與極板間的電勢能變化了[ΔEp=qσΔdε0]，與此過程中電場力做功不符，且為靜電力做功的兩倍。同樣，根據(jù)電勢能變化與靜電力做功之間的關(guān)系，題目2中上極板移動[Δd]距離，P點(diǎn)的電勢能也應(yīng)該變化[qσ2ε0?Δd]，但是按上述解析的思路分析，點(diǎn)電荷在P點(diǎn)的電勢能是不變的。這樣的結(jié)果真耐人尋味。

我們認(rèn)為，對孤立帶等量異種電荷的電容器來說，板間電場的零電勢面不應(yīng)為接地極板，應(yīng)與兩個孤立的等量異種點(diǎn)電荷的電場一樣，是與等量異種電荷（極板）等距的中央平面。

由于均勻帶電平面的電勢：[φ=-σ2ε0x]，[x]是到帶電平面的距離[4，5]。那么，帶等量異種電荷的兩極板的電荷面密度相同，均為[σ]。如果極板間距為d，設(shè)到正極板距離為x處電勢為零，則滿足：[-σ2ε0x+--σ2ε0（d-x）=0]，可知，[x=d2]。也就是說，帶等量異種電荷的極板共同激發(fā)的電場的零勢面為極板間的中央平面（如圖5）。電容器的極板相對它們的間距是很大的，但是一個平行板電容器相對可視的空間而言，則顯得非常小，那么帶電的電容器可看作有限區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)電荷系，無窮遠(yuǎn)是零勢點(diǎn)的最佳優(yōu)選點(diǎn)[4]。

以電容器極板間的中央平面為零勢面，題目1、題目2的矛盾也就迎刃而解了。題目1中，當(dāng)上極板向下平移[Δd]，則中央平面（零勢面）會向下移動[Δd2]，那么，P點(diǎn)到零勢面的電勢差減少了[ΔU=EΔd2=σ2ε0Δd]，顯然，P點(diǎn)電勢就增加了[Δφ=σ2ε0Δd]，那么，正電荷與電容器之間的電勢能增加了[ΔEP=qσ2ε0Δd]，這個結(jié)果與靜電力做功完全相符。

題目2的情景中，電荷與電容器之間的電勢能變化量與靜電力做功依然完全相符，這里不再贅述，讀者可以自行推導(dǎo)驗(yàn)證。

關(guān)于電荷與電容器之間的電勢能是高中課程中回避的一個問題，卻是一個值得我們探討的問題，從諸如題目2的高考真題中，我們可以看出，高考真題可能有意無意地避開了它，但面對這樣的問題，我們教師可以深入地思考探究。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 張維善.人教版課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《物理》選修3-1[M].北京：人民教育出版社，2017.

[2]? 繆鐘英.中學(xué)物理教師進(jìn)修用書《電磁學(xué)問題討論》[M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2019：8.

[3]? 梁燦彬.大學(xué)普通物理學(xué)教程《電磁學(xué)》[M].北京：高等教育出版社，2018.

[4]? 金仲輝，陳秉乾 .靜電場電位零點(diǎn)的選擇[J].大學(xué)物理，1984（8）：44-45.

[5]? 封小超.關(guān)于零電位選擇的幾個問題[J].大學(xué)物理，1986（7）：13-16.

（責(zé)任編輯 易志毅）