劉憲升

[摘 要]分析教材編排的“優(yōu)化烙法”不合情理的原因：沒有從整體出發(fā)，沒有抓住主要可變因素（厚度、面積及形狀等）進(jìn)行優(yōu)化，只是抓住了“交替烙”這一可變因素進(jìn)行優(yōu)化;更深層次的原因是對統(tǒng)籌與優(yōu)化思想理解的偏頗。

[關(guān)鍵詞]烙餅問題;優(yōu)化;主要因素

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）14-0004-02

《關(guān)于“烙餅問題”教材編寫和教學(xué)的研究（一）》分析了教材編寫存在的一些不足，下面就分析和探討教材如此設(shè)計(jì)的原因。

一、達(dá)成優(yōu)化烙餅方法受諸多隱含條件的制約

由教材（圖1）可知，“烙餅問題”的條件為：①用圓形平底鍋烙圓形的餅;②每次最多只能烙2張餅;③兩面都要烙，每面3分鐘;④烙3張餅。問題是“怎樣才能盡快吃上餅？”其實(shí)，在這些條件之下很難得出教材圖示的優(yōu)化方案。因?yàn)椋寣W(xué)生探究出教材設(shè)計(jì)的烙餅方法，不僅需要把問題改為“怎樣才能盡快烙完餅？”，還需要一些條件做保證。

首先，條件①只是由圖示得出的，教材并沒有強(qiáng)調(diào)這一條件。這一條件的合理性是建立在人們的習(xí)慣性思維或思維定式之上的。否則，學(xué)生就有可能抓住這一點(diǎn)進(jìn)行思考，得出更優(yōu)化的烙餅方案。例如，李茂林在《如何在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中處理好數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系——教學(xué)“烙餅問題”一課的思考》中指出，有的學(xué)生把第3張餅切開，填補(bǔ)到鍋的縫隙中，說出充分利用能源和空間的3張餅同時(shí)烙只需6分鐘的方案，這豈不比教材的烙法更好？故“用圓形（唯一不變）平底鍋烙餅，且餅是圓形（不變）的”這一條件必須明確，在此前提下，其他條件才有意義。

其次，對于條件②“每次最多只能烙2張餅”，要讓學(xué)生知道可以同時(shí)烙2張餅，這樣就能達(dá)到教材提示的“每次總烙2張餅就最省時(shí)間”。當(dāng)然，作為數(shù)學(xué)問題的條件假設(shè)無可厚非，可與實(shí)際問題相結(jié)合得思考為什么做此假設(shè)，假設(shè)的合理性何在，最起碼得讓學(xué)生考慮到“鍋里不能同時(shí)放3張餅”這一隱含條件。嚴(yán)格來說，研究（一）中已提到“在圖示圓形平底鍋大小不變，在3張圓餅直徑相同”的情況下，餅的直徑最大為鍋的半徑，但應(yīng)大于鍋半徑的[0.928]倍時(shí)，才不能同時(shí)放3張餅。若缺少此隱含條件的限制，鍋里就有可能同時(shí)放3張餅，一起烙6分鐘即可。如圖2所示的3幅教學(xué)視頻截圖，學(xué)生一眼就可看出：鍋里不僅可以同時(shí)烙3張餅，甚至可以同時(shí)烙4張或更多張餅（更有不少教師讓學(xué)生用小圓紙片或小手當(dāng)餅，用課桌面或黑板當(dāng)鍋）。因此，在這樣的教學(xué)過程中，當(dāng)教師讓學(xué)生探究烙3張餅最少需要多長時(shí)間時(shí)，就有學(xué)生說是6分鐘。雖然學(xué)生的結(jié)論是源于觀察或直覺，但觀察也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)或發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的重要方法。遺憾的是，由于不合教材或教師的設(shè)計(jì)套路，大多數(shù)教師都無視學(xué)生“6分鐘”的回答;個(gè)別教師雖然讓學(xué)生說想法，可當(dāng)學(xué)生說同時(shí)烙3張餅時(shí)，就會被教師強(qiáng)調(diào)一次最多只能烙2張餅懟了回去。這樣，既制約了學(xué)生觀察能力的發(fā)展，又約束了學(xué)生的思維，教師也失去了思考機(jī)會，不利于教學(xué)相長。

最后，條件③“兩面都要烙，每面3分鐘”也不只是一個(gè)簡單的條件假設(shè)。因?yàn)橐瑫r(shí)烙2張餅，并能同時(shí)烙熟且不煳，一個(gè)必要的、關(guān)鍵的前提條件是餅的厚度（基本）相同。否則，就不可能同時(shí)烙好、烙熟。其實(shí)，在火焰大小一定的情況下，餅的厚度才是影響烙熟快慢及2張餅同時(shí)烙熟的主要因素（可參考研究（一）中更優(yōu)化烙餅方案的論述）。

綜上，搟成的3張餅只有在滿足上述的隱含條件，且認(rèn)可餅的正反兩面都烙3分鐘，及烙1張餅和烙2張餅都用6分鐘能烙熟的假設(shè)，再加上圓形平底鍋及爐灶的火焰大小一定且每次都烙2張餅的條件下，才可能出現(xiàn)“交替烙”和“不交替烙”這兩種不同烙法的比較，才能滿足教材上所謂的優(yōu)化烙餅方法——9分鐘烙熟3張餅的時(shí)間最省。因此，若按照教材的思路設(shè)計(jì)教學(xué)，就需要處處控制學(xué)生的思維，這與教學(xué)目標(biāo)是相悖的。簡單地說，教材編寫的優(yōu)化烙餅方法是在添加諸多不可變隱含條件下的一種被逼無奈之不合情理的選擇，而不是抓住烙餅過程中的可變因素進(jìn)行統(tǒng)籌與優(yōu)化的主動、理性、科學(xué)思考的結(jié)果。再者，不少教學(xué)都把教材的最多烙2張餅改成了每次都烙2張餅，這說明教師也發(fā)現(xiàn)了這一問題。當(dāng)然，教材編寫有可能是考慮到學(xué)生的實(shí)際情況，故不可能列出這么多條件限制。

二、對統(tǒng)籌與優(yōu)化認(rèn)識的偏頗是教材如此編寫的根本原因

統(tǒng)籌，顧名思義，是指通盤籌劃或統(tǒng)一籌劃。而統(tǒng)籌的前提是要解決的問題必須存在一些可變因素，這樣才能提供統(tǒng)籌的可能與空間。否則，若要解決的問題中一個(gè)可變因素都不存在，那就失去了統(tǒng)籌的可能性。如，烙餅問題若規(guī)定了每張餅必須烙熟才能出鍋，那教材給出的優(yōu)化方法就不存在了;沏茶問題若規(guī)定必須用燒開的水燙茶杯來殺菌，那茶葉就不能在燒水的時(shí)候提前放了;田忌賽馬若規(guī)定必須用同等級的馬進(jìn)行比賽，孫臏就沒有了運(yùn)籌的空間。因此，統(tǒng)籌的首要任務(wù)就是從要解決問題的整個(gè)過程或全局的角度，去觀察及思考問題中有沒有可變因素，有哪些可變因素，哪些可變因素更合情合理，以及可變因素之間的關(guān)系（如前后邏輯關(guān)系、并行關(guān)系等）;然后，統(tǒng)籌考慮這些可變因素，尤其是抓住合理的可變因素進(jìn)行運(yùn)籌，提出或制訂不同的解決問題的方法，展現(xiàn)解決問題方法的多樣性，為解決問題提供比較和選擇的機(jī)會與空間，進(jìn)而選擇或確定最優(yōu)化的解決問題的方法;最后，按確定的最優(yōu)方法統(tǒng)籌安排解決問題的具體過程，實(shí)施并獲得問題的解決。這樣，只要可變因素考慮得全面，就不會顧此失彼，不因小失大，使問題得到圓滿解決。

從上面的分析可以看出，觀察、思考問題中的可變因素是統(tǒng)籌的前提，綜合可變因素及其之間的關(guān)系進(jìn)行運(yùn)籌，并提出不同解決問題的方法是統(tǒng)籌與優(yōu)化的關(guān)鍵，選擇并實(shí)施最優(yōu)方法解決問題是統(tǒng)籌與優(yōu)化的過程和結(jié)果?？傊?，統(tǒng)籌是從開始到結(jié)束的解決問題的過程，優(yōu)化只是其中的比較選擇環(huán)節(jié)。從數(shù)學(xué)的角度來說，數(shù)學(xué)問題的可變因素主要有兩方面：一是數(shù)量的變化;二是形式的變化。因此，統(tǒng)籌作為一種數(shù)學(xué)方法，其過程之本質(zhì)是抓住要解決問題的各種數(shù)量關(guān)系（比如餅的厚度和每個(gè)面的面積等）和空間形式（如餅的形狀）的可變因素及其之間的邏輯等相互關(guān)系進(jìn)行運(yùn)籌。只有運(yùn)籌到位，才有比較、優(yōu)化選擇的可能，才能給出最優(yōu)化的解決問題的方法。

基于上述認(rèn)識，教材的編排沒有從全局——整個(gè)烙餅過程的角度進(jìn)行統(tǒng)籌，忽略了搟餅的過程（這是數(shù)量關(guān)系和空間形式變化的關(guān)鍵），只抓住了烙餅過程中的部分程序（交替烙）進(jìn)行優(yōu)化。從哲學(xué)的角度講，就是沒抓住主要矛盾（因素），而是抓住了次要矛盾（因素）;只抓住了部分，而忽略了整體。因此，教材編寫的所謂優(yōu)化烙餅方法脫離實(shí)際，違背常識，且不是最優(yōu)方法就不足為怪了。

冒昧揣測，教材之所以如此編寫，可能與華羅庚先生的科普作品《優(yōu)選法評話及其補(bǔ)充》及《統(tǒng)籌法評話及補(bǔ)充》中，所舉工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的實(shí)例大都是工序安排問題有關(guān)。須知，統(tǒng)籌不只是工序問題，統(tǒng)籌或運(yùn)籌也不只是數(shù)學(xué)方法，只是現(xiàn)代才明確為一門學(xué)科（運(yùn)籌學(xué)）或方法（統(tǒng)籌法）。眾所周知，古代勞動人民沒有多少數(shù)學(xué)知識，但在生活中解決問題時(shí)也需要運(yùn)籌，成語“運(yùn)籌帷幄”就是現(xiàn)今運(yùn)籌學(xué)的實(shí)際應(yīng)用。再者，就是工序問題，搟餅當(dāng)然也是工序之一，且是最重要的、最先開始的工序，那為什么不考慮？當(dāng)然，教材編寫也有可能是在引用別人的舉例時(shí)忽略了問題的條件而簡單搬移的結(jié)果。

值得指出的是，小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容雖然簡單，但數(shù)學(xué)教育工作者切不可麻痹大意。這不僅因?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有著啟蒙的作用，還有著開啟思維促進(jìn)能力發(fā)展的作用。再者，小學(xué)生的思維更活躍，發(fā)散性思維和創(chuàng)新思維也更強(qiáng)，甚至?xí)幸恍┢嫠济钕?，如果?shù)學(xué)教育工作者對教材及教學(xué)設(shè)計(jì)淺嘗輒止，浮于表面，流于形式，那就有可能出現(xiàn)教師面對學(xué)生質(zhì)疑時(shí)只能尷尬應(yīng)對的局面，甚至?xí)`、禁錮或影響學(xué)生思維能力的發(fā)展。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 人民教育出版社，課程教材研究所.義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)（四年級上冊）[M].北京：人民教育出版社，2014.

[2] 李茂林.如何在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中處理好數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系：教學(xué)“烙餅問題”一課的思考[J].課程教育研究，2016（9）.

[3] 董桂云.談教學(xué)“烙餅問題”[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（小學(xué)版），2011（5）.

[4] 聞浩.“數(shù)學(xué)烙餅”豈能吃[J].教育實(shí)踐與研究（A），2011（2）.

【本文系濱州市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度立項(xiàng)課題“小學(xué)數(shù)學(xué)‘綜合與實(shí)踐領(lǐng)域教材編寫與優(yōu)化研究——以人教版第二學(xué)段數(shù)學(xué)教材為例”（BJK13520-109）成果之一?！?/p>

（責(zé)編 金 鈴）