李新

【摘 要】度量是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，學(xué)生學(xué)習(xí)長方形和正方形的面積是學(xué)習(xí)二維圖形大小度量的起步，從一維到二維，是認(rèn)識上的一次飛躍。分析蘇教版數(shù)學(xué)教材在這個(gè)單元的內(nèi)容設(shè)計(jì)與編排特點(diǎn)后，建議教師在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方式，經(jīng)歷概念建立、知識發(fā)現(xiàn)、問題解決的思維過程，理解度量本質(zhì)，形成量感，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】度量 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 量感 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是指在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生運(yùn)用有關(guān)工具，通過實(shí)際操作，在認(rèn)知和非認(rèn)知因素參與下進(jìn)行操作體驗(yàn)、探索發(fā)現(xiàn)、綜合實(shí)踐，理解數(shù)學(xué)知識、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、解決數(shù)學(xué)問題的一種學(xué)習(xí)活動(dòng)?！堕L方形和正方形的面積》在目標(biāo)指向、內(nèi)容安排、素材選擇、情境創(chuàng)設(shè)、活動(dòng)組織等諸多方面，都適宜以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方式開展學(xué)習(xí)。

下面，筆者以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為視角，就如何引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念建立、規(guī)律發(fā)現(xiàn)、問題解決的思維過程，理解度量本質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，對《長方形和正方形的面積》教材進(jìn)行簡要分析，并提出一些教學(xué)建議。

一、參與操作體驗(yàn)，經(jīng)歷概念的建構(gòu)過程

數(shù)學(xué)概念可以分為對象性概念、度量性概念、觀念性概念。度量性概念的獲得過程，不同于對象性概念的概念同化、概念形成，而是自主建構(gòu)的過程。《長方形和正方形的面積》中的概念，主要是面積的意義、面積單位，教學(xué)中，教師應(yīng)設(shè)置合理的探究空間，引導(dǎo)學(xué)生展開操作體驗(yàn)，經(jīng)歷概念的自主建構(gòu)過程，理解概念本質(zhì)，發(fā)展核心素養(yǎng)。

1.從定性到定量，在操作中理解面積的本質(zhì)

教材通過合理編排，精心選擇素材，引導(dǎo)學(xué)生操作體驗(yàn)，充分感知“物體表面的大小”“圍成的平面圖形的大小”，并發(fā)現(xiàn)“數(shù)方格”比較圖形面積大小的方法，感悟“什么是面積”。

教學(xué)時(shí)，可以創(chuàng)設(shè)比較情境，向?qū)W生提供比較“面的大小”的任務(wù)串：首先，對于黑板面和課本封面，學(xué)生憑觀察可以知道“黑板面比較大”，教師順勢提出“黑板面的大小是黑板面的面積”，使學(xué)生對面積獲得一種語義性理解;接著，比較“課桌面和椅子面的面積”“練習(xí)簿的封面、文具盒蓋的面、直尺的面的面積”“長方形和正方形的面積”，豐富學(xué)生的操作方式，不僅進(jìn)行觀察，也進(jìn)行觸摸、涂色，突出“面的大小”。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生比較如下兩個(gè)長方形面積的大?。ㄈ鐖D1），在操作、探究中，感受度量的必要，得到面積度量的雛形，初步形成面積概念。教學(xué)中，應(yīng)給學(xué)生提供實(shí)驗(yàn)工具，即兩個(gè)長方形和透明面積量具。學(xué)生運(yùn)用工具，首先發(fā)現(xiàn)“憑觀察不能比出大小”“憑重疊也不能比出大小”（實(shí)際上，觀察、重疊不是度量的本質(zhì)，但這是學(xué)生從生活經(jīng)驗(yàn)通向本質(zhì)理解的必經(jīng)之路），接著在教師的啟發(fā)下，用透明面積量具將兩個(gè)圖形覆蓋（如圖2），通過“數(shù)方格”解決了問題，感悟到了什么是這兩個(gè)長方形的面積，這是基于面積單位理解面積本質(zhì)的雛形。

學(xué)生建構(gòu)面積的概念，僅憑第一課時(shí)的學(xué)習(xí)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，后續(xù)學(xué)習(xí)中，教材繼續(xù)科學(xué)安排，逐步加深學(xué)生對面積概念的理解。比如，在學(xué)習(xí)了面積單位“平方厘米”后，讓學(xué)生回答下面的問題（如圖3）。教學(xué)中，可以此為藍(lán)本，組織兩個(gè)層次的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)。層次1：學(xué)生用6個(gè)1平方厘米的正方形拼長方形，體會(huì)“面積都是6平方厘米”“一個(gè)圖形的面積是多少，就看這個(gè)圖形里有多少個(gè)面積單位”;層次2：學(xué)生估計(jì)并測量郵票面、電話卡面的面積，深化對“一個(gè)圖形的面積是多少，就看這個(gè)圖形里有多少個(gè)面積單位”的理解。

2.從多元到統(tǒng)一，在操作中形成單位的量感

面積是通過工具得到的度量。這樣的度量“雖然方法可以多種多樣，但是為了傳播和交流的需要，必須建立統(tǒng)一的度量語言，這就是度量單位”。度量面積的單位是面積單位。關(guān)于面積單位，教材編排時(shí)突出了兩點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷面積單位從多元到統(tǒng)一的產(chǎn)生過程;引導(dǎo)學(xué)生充分感知，形成關(guān)于各個(gè)面積單位的量感。

引入面積單位時(shí)，教材引導(dǎo)學(xué)生用書本面、文具盒蓋面測量課桌面的面積。教學(xué)中，教師可以從數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的角度，進(jìn)一步豐富學(xué)生的實(shí)驗(yàn)工具，開放操作過程。比如，學(xué)生分組活動(dòng)，每組分別用大楷簿、茶杯墊、樹葉、數(shù)學(xué)簿鋪同樣的桌面，交流，產(chǎn)生疑問：“同樣的桌面，為什么表示面積大小的數(shù)不同？”感悟到“要用統(tǒng)一的面積單位”。

認(rèn)識面積單位時(shí)，教材先給出定義（如邊長1厘米的正方形，面積是1平方厘米），再通過豐富的活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生將面積單位與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立聯(lián)系（包括對這一面積單位的認(rèn)知，與某些已有概念如長度單位的區(qū)別，等等），最后形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這樣安排是符合學(xué)生學(xué)習(xí)面積單位的心理規(guī)律的。

面積單位的教學(xué)是很適合數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)開展的，或者說，學(xué)生以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方式學(xué)習(xí)面積單位，有利于有效建立面積單位概念，形成量感。以平方厘米的認(rèn)識為例，教師可以安排如下的學(xué)習(xí)過程：

學(xué)：測量邊長1厘米的正方形塑料片的邊長（教師揭示“邊長1厘米的正方形，面積是1平方厘米”）。

記：觀察這個(gè)1平方厘米的正方形，記住它（閉眼，想出它的樣子;在紙上畫出1平方厘米的正方形，用手中的塑料片對比，差異大的重畫）。

找：找生活中面積接近1平方厘米的物體表面（某個(gè)指甲蓋，方格紙上的方格子，某些按鈕的面，等等）。

拼：用6個(gè)面積為1平方厘米的正方形拼成長方形（這也是深入理解面積意義的操作過程，后面的估計(jì)、測量同樣如此）。

估：估計(jì)郵票面、電話卡面的面積。

量：測量郵票面、電話卡面的面積。

六次操作構(gòu)成一個(gè)關(guān)于1平方厘米的完整的體驗(yàn)活動(dòng)。經(jīng)歷這樣的活動(dòng)過程，學(xué)生對1平方厘米形成清晰的認(rèn)識，促進(jìn)量感的形成和直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展，為后續(xù)學(xué)習(xí)1平方分米、1平方米積累經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)操作、觀察、估計(jì)、交流等意識和能力得到提高。

二、參與探索研究，經(jīng)歷知識的發(fā)現(xiàn)過程

長方形和正方形的面積公式、面積單位間的進(jìn)率，都是小學(xué)數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識。從前后聯(lián)系來看，一方面，這些基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)是學(xué)生對于面積和面積單位概念的理解與掌握，另一方面，這些基礎(chǔ)知識是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)面積、體積等諸多知識的基礎(chǔ)。從學(xué)習(xí)心理來看，蘇霍姆林斯基建議“把基礎(chǔ)知識保持在學(xué)生的記憶里”“要不惜花費(fèi)時(shí)間，去深入思考所接觸到的事實(shí)、現(xiàn)象和規(guī)律的實(shí)質(zhì)，想得越深透，記得越牢固”。對學(xué)生來說，基于問題，借助一定的手段或工具展開探索研究，是促進(jìn)“深入思考接觸到的事實(shí)、現(xiàn)象和規(guī)律的實(shí)質(zhì)”的有效方法。

1.從具象到抽象，發(fā)現(xiàn)面積公式

教材對于長方形面積公式的推導(dǎo)安排了3個(gè)例題（如圖4、5、6）。在例題7之后，引導(dǎo)學(xué)生討論：長方形的面積與什么有關(guān)？可以怎樣求長方形的面積？由此得到長方形的面積公式。

分析三個(gè)例題，可以看出這是一個(gè)從具象到表象再到抽象的認(rèn)知過程，同時(shí)又是一個(gè)合情推理的思維過程：例題4的操作具體形象，學(xué)生初步發(fā)現(xiàn)長方形的面積（包含面積單位的個(gè)數(shù)）和長與寬的關(guān)系，提出猜想;例題5啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用表象進(jìn)行測量、思考，例題6引導(dǎo)學(xué)生將面積單位個(gè)數(shù)的計(jì)算方法與長、寬的內(nèi)在聯(lián)系抽象概括成面積公式。這種通過把握知識內(nèi)在因果關(guān)系而得出結(jié)論的過程，是一種科學(xué)歸納推理（歸納推理是合情推理的一種）。

教學(xué)中，教師要充分展開每個(gè)例題的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程，引導(dǎo)學(xué)生操作到位、感知到位、交流到位。例題4的教學(xué)，每個(gè)小組（一般每組2～4人）擺出不少于3個(gè)長方形，合作填表后，組內(nèi)交流，再全班交流，交流時(shí)既展示擺法，也展示表格，更要說清楚表中數(shù)的來歷、數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，這既是初步發(fā)現(xiàn)長方形的面積和長與寬的關(guān)系，也是對面積意義的再次深度理解（需要注意的是，不宜由例題4直接歸納出長方形的面積計(jì)算公式）。例題5的教學(xué)，可以將長方形印在學(xué)習(xí)單上，讓學(xué)生用面積單位測量面積，可能學(xué)生一開始仍將面積單位鋪滿長方形，鋪著鋪著，量著量著，學(xué)生會(huì)簡化測量的過程，只鋪一排、一列，直到不鋪（實(shí)際上，此時(shí)是頭腦中運(yùn)用表象在“鋪”）。此時(shí)組織交流，相互啟發(fā)，教師專門引導(dǎo)學(xué)生一起“看著空白長方形，在頭腦中用面積單位鋪”，促進(jìn)學(xué)生達(dá)到相同的表象思考水平。例題6的教學(xué)，學(xué)生中可能存在三種表現(xiàn)水平，一是仍用具體的面積單位來鋪（量），二是在頭腦中用面積單位來鋪（量），三是想到“長7厘米，一排能擺7個(gè)面積單位;寬2厘米，一列能擺2個(gè)，就是擺2排”而抽象成7×2（這種表現(xiàn)水平的學(xué)生應(yīng)是多數(shù)）。教師要充分暴露學(xué)生的想法，努力引導(dǎo)全體學(xué)生都能達(dá)到水平三的認(rèn)識，促使全體學(xué)生完成由具象到表象再到抽象的認(rèn)知過程，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)長方形的面積計(jì)算公式。

2.從一維到二維，探索單位換算

學(xué)生學(xué)習(xí)面積單位間的進(jìn)率及換算，容易受長度單位間的進(jìn)率及換算的負(fù)遷移影響。要克服這種負(fù)遷移，以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方式進(jìn)行教學(xué)，雖然花費(fèi)的時(shí)間長一些，但卻是行之有效的。

實(shí)驗(yàn)的工具比較簡單，每個(gè)學(xué)生1平方厘米、1平方分米面積單位各1個(gè)，1平方米的面積單位每組1個(gè)或全班1個(gè)。探索平方分米和平方厘米的關(guān)系可以這樣組織實(shí)驗(yàn)：

（1）引入問題。學(xué)生將1平方厘米放在1平方分米的一個(gè)角上，估計(jì)、猜測：1平方分米=（）平方厘米。

（2）制定方案。學(xué)生制定驗(yàn)證方案，可能有這幾種：實(shí)際地用1平方厘米鋪滿1平方分米;在頭腦中鋪;將1平方分米畫成1平方厘米的小方格;用面積公式計(jì)算，1分米×1分米，10厘米×10厘米。

（3）實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。學(xué)生按方案進(jìn)行驗(yàn)證，展示交流（不一定四種可能的方案都出現(xiàn)），優(yōu)選驗(yàn)證方法（顯然是第4種，這是基于實(shí)驗(yàn)的演繹推理）。

（4）反思提升。教師引導(dǎo)學(xué)生反思，為什么1分米=10厘米（進(jìn)率是10），但1平方分米=100平方厘米（進(jìn)率是100）？領(lǐng)悟“正因?yàn)?分米=10厘米，所以1平方分米是兩個(gè)10厘米相乘，是100平方厘米”，實(shí)現(xiàn)從一維到二維理解度量單位的思維進(jìn)階。

三、參與綜合實(shí)踐，經(jīng)歷問題的解決過程

綜合與實(shí)踐是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的課程內(nèi)容，通過綜合實(shí)踐，學(xué)生進(jìn)一步理解所學(xué)知識，形成并發(fā)展發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的綜合實(shí)踐，主要是指學(xué)生借助有關(guān)工具和材料，綜合運(yùn)用知識，開展數(shù)學(xué)問題解決的實(shí)踐活動(dòng)，以提升數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)，增強(qiáng)應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識，發(fā)展探究能力、實(shí)踐能力?！堕L方形和正方形的面積》教材中，安排有豐富的基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的綜合實(shí)踐課程資源，教師要充分發(fā)掘這些資源，組織學(xué)生開展綜合實(shí)踐，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)問題的解決過程。

1.靜與動(dòng)結(jié)合，加強(qiáng)度量概念的對比實(shí)踐

學(xué)習(xí)了面積、面積單位后，關(guān)于圖形大小的度量從一維發(fā)展到二維，長度單位與面積單位、周長與面積是兩對最需要對比辨析的度量概念。對此，教材做了恰當(dāng)安排，主要是在“想想做做”和“練習(xí)”“復(fù)習(xí)”中安排適量的有針對性的對比題。比如，學(xué)習(xí)了“面積和面積單位”后的“想想做做”第2題（如圖7），在“單元復(fù)習(xí)”中的第13題（如圖8），等等。

教學(xué)中，教師可以根據(jù)這些題目開發(fā)綜合實(shí)踐形態(tài)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生把靜態(tài)的觀察思考變?yōu)閯?dòng)態(tài)的實(shí)踐探索，正如董林偉等教授所說：“借助工具的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體現(xiàn)了操作與思維的統(tǒng)一，學(xué)生從可視化的數(shù)學(xué)內(nèi)容入手，通過動(dòng)手操作、動(dòng)腦思考，逐步對直觀的知識進(jìn)行抽象、推理，獲得數(shù)學(xué)結(jié)論?！币詧D8中的題為例，教師可以這樣設(shè)計(jì)教學(xué)：

嘗試：出示題目，學(xué)生讀題后嘗試畫一個(gè)。

交流：指名（2～3名）學(xué)生展示所畫的圖及思考過程。

小結(jié)：結(jié)合交流，師生小結(jié)思考方法。一是試驗(yàn)調(diào)整法，即先任意確定長、寬，畫好后，計(jì)算周長，如果不符合“20厘米”就進(jìn)行調(diào)整，直到符合;二是先算再畫法，即20÷2=10（厘米），這是“長+寬”，10分解成兩個(gè)數(shù)的和，就是長和寬，再畫出圖形。

再畫：學(xué)生選擇自己喜歡的方法，再畫幾個(gè)，并算出面積。

思考、交流：學(xué)生結(jié)合畫圖過程，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，思考“發(fā)現(xiàn)什么”，再交流。交流的主要內(nèi)容：關(guān)于畫圖方法的體會(huì)、關(guān)于周長和面積關(guān)系的體會(huì)。其中，關(guān)于周長和面積關(guān)系的體會(huì)，應(yīng)是開放的、多層次的、個(gè)性化的，不必統(tǒng)一提升到“周長一定，長與寬越接近面積就越大”。相反，對于“周長相同的長方形，面積不一定相等”的體會(huì)，需要深入研究其原因，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“周長是長方形一周邊線的總長，面積是長方形所包含的面積單位個(gè)數(shù)，邊線的圍法不同，區(qū)域內(nèi)的面積單位數(shù)可能不同”。

拓展：讓學(xué)生用20個(gè)1平方厘米的小正方形拼長方形，拼了幾次后，提出問題（引導(dǎo)學(xué)生提出：拼成的長方形周長分別是多少？），并自主展開研究、交流。

2.算與估結(jié)合，加強(qiáng)度量知識的應(yīng)用實(shí)踐

估測或估計(jì)是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)突出強(qiáng)調(diào)的內(nèi)容。估測或估計(jì)，既是一種意識的體現(xiàn)，也是一種能力的表現(xiàn);不僅具有現(xiàn)實(shí)的意義，而且也有助于學(xué)生感受度量單位的大小。對度量單位的大小感受是形成量感的重要表現(xiàn)，估測的意識和能力是在實(shí)踐中發(fā)展起來的。結(jié)合度量知識的學(xué)習(xí)，教材適時(shí)安排估測實(shí)踐任務(wù)，促進(jìn)學(xué)生加深對面積、面積單位的理解，發(fā)展空間觀念，比如“練習(xí)八”第5題、“練習(xí)九”第6題，等等。

教學(xué)中，要突出這些任務(wù)的實(shí)踐特點(diǎn)，也就是引導(dǎo)學(xué)生在任務(wù)驅(qū)動(dòng)（解決估測或估計(jì)的實(shí)際問題）下，主動(dòng)展開探索過程，尋找問題解決的多種方法，比較各種方法之間的聯(lián)系和區(qū)別，嘗試持續(xù)優(yōu)化方法，在豐富的實(shí)踐活動(dòng)中，增進(jìn)估計(jì)的意識和能力，加深對面積、面積單位的本質(zhì)理解。以圖9中的題為例，可以這樣組織教學(xué)：

嘗試：出示題目，學(xué)生嘗試估計(jì)左圖的面積。

交流：指名（2～3名）學(xué)生展示估計(jì)的過程、方法和結(jié)果。由于是第一次進(jìn)行這樣的估計(jì)活動(dòng)，多數(shù)學(xué)生采用的方法是：先數(shù)整格和很接近整格的（6格），再把不是整格的進(jìn)行拼補(bǔ)，憑借觀察認(rèn)為“圖中不是整格的合起來大約是2個(gè)整格”，所以大約是8平方厘米。這種方法較為靈活，但也較為煩瑣。教師可以引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)“估計(jì)”的含義：我們需要怎樣的精確度？如果只需要很粗略的估計(jì)，那么小方格里有圖形的就記作1，沒有圖形的就記作0，最后相加;如果需要精細(xì)一些，那么小方格里圖形有一半的記作1，不到一半的記作0，最后相加。

再試：學(xué)生按粗略的方法、比較精細(xì)的方法分別再次估測左圖的面積，并交流，比較三種方法之間得到的結(jié)果，體會(huì)相互之間的差異、思考造成的原因，并根據(jù)圖的特點(diǎn)，討論三種方法中哪種最優(yōu)。

應(yīng)用：學(xué)生選擇合適的方法估計(jì)右圖的面積。交流，進(jìn)一步比較、體會(huì)。

拓展：準(zhǔn)備小方格為1平方厘米的方格紙，描出手掌的輪廓圖，估計(jì)輪廓圖的面積。

總之，圖形的度量是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的重要載體，長方形和正方形的面積是圖形度量的基礎(chǔ)內(nèi)容，在整個(gè)圖形度量的教學(xué)體系中，起著承上啟下的關(guān)鍵作用，無論是對面積和面積單位本質(zhì)的理解，還是邏輯推理、直觀想象等素養(yǎng)的培育，都是實(shí)現(xiàn)學(xué)科育人的基本內(nèi)容和重要目標(biāo)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式，在《長方形和正方形的面積》的學(xué)習(xí)過程中，能與學(xué)習(xí)內(nèi)容完美融合，兩者相輔相成，促進(jìn)學(xué)生有效經(jīng)歷學(xué)習(xí)過程，真正理解內(nèi)容本質(zhì)，全面發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)。