楊盛慶，陳 樺，徐煒莉，劉美師，王 禹，鐘 超

（1.上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109；2.上海市空間智能控制技術(shù)重點實驗室，上海 201109；3.上海市宇航學(xué)會，上海 200235）

0 引言

隨著體系的日趨完善，全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)（GNSS）測量系統(tǒng)已成為近地軌道上航天器軌道確定的主要手段［1-2］。基于GNSS 測量信息能夠?qū)崿F(xiàn)高精度的實時導(dǎo)航與定軌，是實現(xiàn)航天器自主智能軌道控制的基礎(chǔ)［3-4］。傳統(tǒng)的軌道動力學(xué)，通常將航天器視為質(zhì)點進(jìn)行分析和軌道積分仿真。實際上，航天器在進(jìn)行姿軌耦合的剛體運(yùn)動。作為自主軌控輸入?yún)?shù)的實時導(dǎo)航與定軌領(lǐng)域，缺少姿軌耦合方面的研究工作。GNSS 接收機(jī)的原始測量數(shù)據(jù)基于瞬時的運(yùn)動狀態(tài)，測量點是GNSS 天線的相位中心［5］。早期，由于GNSS 測量精度在10 m 到100 m量級，GNSS 天線安裝位置與航天器質(zhì)心偏差造成的定軌誤差基本可以忽略［6］。與之相反，相對運(yùn)動的研究內(nèi)容為編隊坐標(biāo)系下的相對軌道特征參數(shù)。相對運(yùn)動過程中姿態(tài)變化對相對測量信息造成的影響較為明顯，姿軌耦合運(yùn)動造成的影響不容忽視［7-8］。此外，相較絕對軌道的參數(shù)確定，相對運(yùn)動可以忽略軌道攝動環(huán)境中的長期性和周期性影響。因此，航天器姿軌耦合問題的研究工作，起初主要針對航天器的交匯對接、在軌服務(wù)等任務(wù)［9-10］。當(dāng)GNSS 測量達(dá)到米級精度，導(dǎo)航與定軌的精度要求也隨之提高，單點幾何定軌的算法中GNSS 天線的安裝關(guān)系不能再被忽略。

目前，高精度的絕對軌道定軌工作主要集中在事后精密定軌領(lǐng)域［11-12］。經(jīng)精密定軌處理的軌道數(shù)據(jù)在地心軌道系徑切法方向已達(dá)到厘米級精度，可以作為軌道控制效果評估的手段［13-15］。但是，由于事后精密定軌歷史數(shù)據(jù)充分，數(shù)據(jù)批處理過程中位速參數(shù)的確定可以采用數(shù)據(jù)擬合插值，不僅僅依賴于測量信息［16］。但是，姿軌控系統(tǒng)的星載導(dǎo)航與定軌算法對實時性要求較高。算法一般采用基于測量信息的貫序數(shù)據(jù)處理方法，在構(gòu)造濾波算法時需要針對GNSS 天線的安裝關(guān)系進(jìn)行精準(zhǔn)的位速修正［17］。研究表明，GNSS 天線相位中心不同于天線的幾何參考點（Antenna Reference Point，ARP），需要結(jié)合相位中心偏差（Phase Center Offset，PCO）和天線相位中心變化（Phase Center Variations，PCV）進(jìn)行優(yōu)化，能夠使事后精密定軌得到毫米級的精度提升［18］。因為GNSS 天線相位中心的變化（毫米級）相對于天線的安裝關(guān)系（米級）是一個小量［13］，本文主要針對天線的幾何參考點與航天器質(zhì)心的安裝關(guān)系開展研究。

航天器作為剛體，不同質(zhì)點所受的引力偏差造成的影響表現(xiàn)為重力梯度力矩［19-20］。分析剛體的自由運(yùn)動情況較為復(fù)雜，考慮到航天器在軌的姿態(tài)指向與軌道系的關(guān)系相對明確，可以圍繞其姿態(tài)特征提煉出針對安裝關(guān)系的位速修正項，進(jìn)而分析由安裝關(guān)系造成的定軌誤差的解析解及其周期變化規(guī)律。航天器星載軟件的實時導(dǎo)航與定軌，通常采用基于測量信息轉(zhuǎn)換為慣性系狀態(tài)變量后的擴(kuò)展卡爾曼濾波算法。濾波算法中的狀態(tài)估計方程以地球引力中心項為主要因素，濾波過程能夠有效修正狀態(tài)量估計信息和GNSS 測量信息的白噪聲。對于在軌的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動，姿態(tài)抖動和GNSS 天線安裝關(guān)系導(dǎo)致的位速偏差可以視為狀態(tài)量信息與測量信息之間的噪聲。但是，針對SAR 衛(wèi)星載荷工作的多普勒頻移原理，往往需要進(jìn)行偏航為主的姿態(tài)導(dǎo)引補(bǔ)償［21-22］。此刻，GNSS 天線與航天器質(zhì)心之間的差異對導(dǎo)航與定軌的影響明顯。本文結(jié)合軌道動力學(xué)原理，提出了考慮安裝關(guān)系的高精度GNSS 測量信息模擬方法，圍繞具有姿態(tài)導(dǎo)引要求的航天器實時導(dǎo)航與定軌算法，數(shù)學(xué)仿真證明了GNSS 天線安裝關(guān)系補(bǔ)償?shù)谋匾浴?/p>

1 軌道動力學(xué)原理

1.1 二體問題的積分常數(shù)

已知慣性系位置r、速度v，二體相對運(yùn)動的微分方程［23-24］為

矢量叉積滿足

式中：r×v為積分常量，定義為軌道的動量矩為［1］

使用點積式（1），可得

作為積分常數(shù)，可以推導(dǎo)得到活力公式為

式中：a為軌道半長軸。

利用橢圓方程半通徑的定義p=a(1?e2)及，軌道半長軸滿足

1.2 慣性系下的剛體運(yùn)動

考慮空間中的剛體運(yùn)動，剛體中任意質(zhì)點可以描述為慣性空間oIxIyIzI的平移運(yùn)動和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，如圖1 所示，慣性空間中質(zhì)點mi的位置為

圖1 空間剛體的運(yùn)動學(xué)Fig.1 Kinematics of rigid body in space

式中：A為本體系相對于慣性空間的旋轉(zhuǎn)矩陣；A?Δrb為質(zhì)點mi關(guān)于質(zhì)心的修正項。安裝關(guān)系Δrb不變的情況下，慣性空間中質(zhì)點mi的速度為

因此，軌道半長軸的瞬態(tài)偏差為

1.3 軌道運(yùn)動特征

航天器作為剛體，在軌道運(yùn)動過程中姿態(tài)特征的一種為保證星體的穩(wěn)態(tài)對地指向。理想情況是航天器的本體系與軌道系重合，即零姿態(tài)運(yùn)動［25］。在理想情況的假設(shè)下，分析無攝軌道運(yùn)動在慣性空間中的閉合曲線運(yùn)動。如圖2 所示，本體系在一個軌道周期內(nèi)的指向變化相對于繞其yb旋轉(zhuǎn)1 周。

圖2 瞬時軌道運(yùn)動的坐標(biāo)系Fig.2 Coordinate systems describing instantaneous orbital motion

不妨假設(shè)緯度幅角u=0 處的本體系到慣性系轉(zhuǎn)換矩陣為A0，不同緯度幅角處A(u)=Ry(u) ?A0。導(dǎo)數(shù)形式，其中，n為軌道角速度。

在零姿態(tài)運(yùn)動假設(shè)的基礎(chǔ)之上，考慮本體系三軸獨(dú)立偏離質(zhì)心±2 m 的質(zhì)點，進(jìn)行速度項補(bǔ)償與不補(bǔ)償?shù)臄?shù)值仿真。仿真分析如圖3 和圖4 所示，可以發(fā)現(xiàn)在進(jìn)行式（8）所示速度項修正的基礎(chǔ)之上，本體系X軸（對應(yīng)軌道系航向）安裝與質(zhì)心的位置偏值對半長軸確定的影響軌道周期明顯，修正后半長軸確定精度改良明顯。在本體系Y軸（對應(yīng)軌道系法向）安裝與質(zhì)心的位置偏值對半長軸確定的影響較小。在本體系Z軸（對應(yīng)軌道系徑向指向地心）安裝與質(zhì)心的位置偏值對半長軸確定存在相同極性的偏值現(xiàn)象，可以理解為在零姿態(tài)運(yùn)動情況下質(zhì)點掃過的行程不同。此外，不同軸偏離質(zhì)心量的極性會影響波動周期的相位特性。

圖3 不進(jìn)行速度項修正的半長軸確定偏差Fig.3 Semi?axis determing errors without velocity correction

圖4 進(jìn)行速度項修正的半長軸確定偏差Fig.4 Semi?axis determining errors with velocity correction

2 GNSS 天線安裝與航天器質(zhì)心

2.1 GNSS 天線的安裝關(guān)系

在半長軸確定偏差的力學(xué)解析解基礎(chǔ)之上，進(jìn)一步分析姿態(tài)運(yùn)動對半長軸確定的影響。已知GNSS 天線幾何中心相對航天器質(zhì)心的安裝關(guān)系為Δrb=[Δx，Δy，Δz]T，使用刻畫軌道運(yùn)動的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換慣例，將航天器本體系到慣性系的轉(zhuǎn)換分為軌道系到慣性系、本體系到軌道系兩個步驟，物理含義清晰。如圖5 所示，假設(shè)GNSS 天線幾何中心相對航天器質(zhì)心的安裝關(guān)系在慣性系的表述為

圖5 GNSS 天線與航天器的安裝關(guān)系Fig.5 Installation relationship of GNSS antenna and spacecraft

已知慣性系航天器的質(zhì)心矢量rsat，GNSS 天線幾何中心的位置參數(shù)在慣性系下的描述為

記航天器質(zhì)心的速度為vsat，vsat=r?sat，GNSS 天線幾何中心的速度參數(shù)在慣性系下的描述為［26］

2.2 軌道系與慣性系的轉(zhuǎn)換

區(qū)別于理想情況的封閉軌道假設(shè)，實際情況軌道受攝運(yùn)動情況復(fù)雜，需要根據(jù)實時確定的軌道參數(shù)確定軌道系到慣性系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣Aoi，

2.3 本體系與軌道系的轉(zhuǎn)換

區(qū)別于理想情況的零姿態(tài)假設(shè)，實際情況需要考慮航天器在主動姿態(tài)運(yùn)動控制情況下，由實時測量的姿態(tài)角確定本體系到軌道系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣：

其導(dǎo)數(shù)項滿足：

3 導(dǎo)航算法的設(shè)計與驗證

3.1 GNSS 接收機(jī)測量信息的模擬

傳統(tǒng)的軌道仿真中，普遍采用軌道動力學(xué)積分得到的位置、速度疊加誤差噪聲作為GNSS 接收機(jī)測量數(shù)據(jù)的模擬量。本文提出了考慮姿軌耦合的GNSS接收機(jī)測量信息模擬方法，要求GNSS 接收機(jī)測量數(shù)據(jù)的模擬考慮航天器的剛體運(yùn)動特征、GNSS 天線的幾何中心rGNSS、vGNSS與航天器質(zhì)心rsat、vsat差別。

3.2 測量信息與導(dǎo)航定軌的濾波算法

航天器的姿軌控系統(tǒng)一般會對GNSS 接收機(jī)的測量數(shù)據(jù)進(jìn)行導(dǎo)航濾波與軌道確定。擴(kuò)展卡爾曼濾波（EKF）導(dǎo)航濾波算法流程可分為狀態(tài)估計、測量修正兩大步驟。濾波算法的狀態(tài)變量是慣性系的位置、速度X=[x，y，z，vx，vy，vz]T，濾波過程中使用軌道的二階微分方程進(jìn)行狀態(tài)估計，其單拍積分的有限差分形式為

式中：加速度項

式中：μ為地球引力常數(shù)；aJ2、aJ3、aJ4分別為地球引力場J2、J3和J4項攝動加速度矢量；axJ2、ayJ2、azJ2為aJ2的三軸分量；axJ3、ayJ3、azJ3為aJ3的三軸分量；axJ4、ayJ4、azJ4為aJ4的三軸分量。

3.3 導(dǎo)航算法的天線安裝修正

在模擬剛體運(yùn)動特征的GNSS 接收機(jī)測量信息的基礎(chǔ)之上，星載軟件的導(dǎo)航算法同樣需要結(jié)合姿態(tài)測量信息，將GNSS 天線測量的慣性系位置、速度轉(zhuǎn)換到航天器質(zhì)心。

以航天器質(zhì)心的慣性系位置、速度作為狀態(tài)變量和濾波觀測量，進(jìn)行EKF 濾波。濾波輸出的航天器質(zhì)心慣性系位置、速度與軌道動力學(xué)積分理論值的偏差，即為導(dǎo)航濾波的精度。

在軌導(dǎo)航系統(tǒng)已知rGNSS、vGNSS，可得

3.4 姿軌耦合導(dǎo)航濾波的算法驗證

在假設(shè)航天器質(zhì)心滿足軌道運(yùn)動特征的基礎(chǔ)之上，天線幾何中心相對航天器質(zhì)心的慣性系位置、速度需要補(bǔ)償修正項。在上述兩類質(zhì)點的慣性系位置、速度的基礎(chǔ)之上，分析軌道半長軸的確定偏差。

同時，結(jié)合導(dǎo)航濾波算法，分析不同質(zhì)點慣性系信息接入濾波時的定軌差別。為了驗證高精度姿軌耦合的導(dǎo)航算法，設(shè)計如圖6 所示的導(dǎo)航精度驗證系統(tǒng)。

圖6 導(dǎo)航精度分析的邏輯說明Fig.6 Logical illumination of the navigation precision analysis

仿真結(jié)果如圖7～圖9 所示。仿真結(jié)果顯示，當(dāng)航天器不進(jìn)行姿態(tài)導(dǎo)引時，使用GNSS 天線測量的慣性系位速信息、補(bǔ)償安裝關(guān)系后的航天器質(zhì)心慣性系位速信息作為EKF 的濾波輸入，定軌偏差較小。當(dāng)航天器進(jìn)行姿態(tài)導(dǎo)引時，定軌偏差出現(xiàn)與導(dǎo)引規(guī)律相應(yīng)的周期特性。

圖7 非導(dǎo)引狀態(tài)下兩種測量輸入的軌道平根Fig.7 Mean orbital elements without steering

圖8 導(dǎo)引狀態(tài)下兩種測量輸入的軌道平根Fig.8 Mean orbital elements with steering

圖9 仿真過程中導(dǎo)引狀態(tài)下半長軸平根變化情況Fig.9 Variations of the mean semi-major axis under the steering state during the simulation process

根據(jù)前文分析，本體系X軸安裝關(guān)系導(dǎo)致的周期特性明顯，設(shè)置Δrb=[±0.5，0.2，?1.5]T，單位m。如圖8（c）和圖8（d）所示，兩者安裝關(guān)系會導(dǎo)致周期性規(guī)律的極性偏差。

4 結(jié)束語

本文針對航天器自主軌控使用的軌道參數(shù)，圍繞具有偏航導(dǎo)引姿態(tài)控制特征的合成孔徑雷達(dá)（SAR）衛(wèi)星存在的導(dǎo)引與定軌數(shù)據(jù)的特征關(guān)聯(lián)問題，考慮采用不同質(zhì)點測量信息進(jìn)行導(dǎo)航濾波對定軌精度的影響，并進(jìn)行了仿真驗證。本文的研究基于軌道動力學(xué)原理，將航天器視為剛體運(yùn)動，分析了GNSS 天線幾何中心與航天器質(zhì)心在慣性系中的相對運(yùn)動關(guān)系，明確了實時定軌誤差與慣性系位置、速度的關(guān)系。姿軌控制系統(tǒng)在使用GNSS 接收機(jī)測量數(shù)據(jù)時，需求辨明測量數(shù)據(jù)屬于幾何法還是經(jīng)濾波處理的動力學(xué)版本。后續(xù)研究將圍繞在軌大角度機(jī)動狀態(tài)下的實時定軌精度與導(dǎo)航濾波參數(shù)優(yōu)化設(shè)計。結(jié)果表明，適當(dāng)?shù)卦龃笳`差協(xié)方差矩陣主對角線元素的速度相關(guān)項（認(rèn)為速度測量置信度低），能有效減小機(jī)動對速度項造成的影響，從而保證實時導(dǎo)航軌道平半長軸的穩(wěn)定性。