錢首元，高長生，荊武興

（哈爾濱工業(yè)大學航天學院，黑龍江哈爾濱 150001）

0 引言

從20 世紀70 年代以來，應(yīng)用衛(wèi)星技術(shù)迅速發(fā)展，對姿態(tài)控制系統(tǒng)的精度也越來越高，特別要求姿態(tài)控制系統(tǒng)的高精度長壽命和快速性。傳統(tǒng)衛(wèi)星通常采用以飛輪為主的三軸姿態(tài)控制系統(tǒng)控制星體姿態(tài)。

傳統(tǒng)衛(wèi)星的飛輪控制不需要消耗工質(zhì)，只需要消耗電能，在衛(wèi)星上太陽能電池陣的不斷補充下，不會像推力器那樣能源枯竭，適用于長時間工作。并且飛輪的精度要比噴氣控制高出一個數(shù)量級，適合于克服高軌衛(wèi)星受到的周期性擾動，不會對光學儀器造成污染。但是由于飛輪存在飽和、控制力矩比較小等特點，無法實現(xiàn)快速的姿態(tài)機動［1］。傳統(tǒng)的變質(zhì)心控制技術(shù)是通過調(diào)整飛行器內(nèi)部活動體與載體的相對位置，使得系統(tǒng)質(zhì)心發(fā)生變化，改變氣動力臂，從而打破原有的力矩平衡，實現(xiàn)對飛行器姿態(tài)的控制。變質(zhì)心控制技術(shù)的優(yōu)點是執(zhí)行機構(gòu)位于飛行器內(nèi)部［2-3］。在地球中高軌道上，衛(wèi)星受到氣動力和氣動力矩極小，變質(zhì)心機構(gòu)通過滑塊的滑動所產(chǎn)生的對載體的反作用力和反作用力矩改變星體的姿態(tài)，因而有著很快的響應(yīng)速度。目前，陸正亮等［4-7］研究了低軌衛(wèi)星利用受到的氣動力及氣動力矩配平攻角的變質(zhì)心控制問題。埃及曼蘇拉大學數(shù)學系的GOHAR 等［8-11］著重研究了三軸穩(wěn)定衛(wèi)星的變質(zhì)心姿態(tài)控制，并用李亞普諾夫方法證明了這種動力學模型的漸近穩(wěn)定性。但是由于滑塊移動距離精度有限以及衛(wèi)星本體慣性張量測定精度限制，變質(zhì)心機構(gòu)也存在控制精度低等缺點［12］。

上述文獻中還沒有針對滑塊與飛輪的協(xié)同控制衛(wèi)星姿態(tài)的研究。本文在中高軌道衛(wèi)星需要大角度快速機動的情況下，采用飛輪控制機構(gòu)與變質(zhì)心滑塊控制機構(gòu)協(xié)同控制的方法，首先針對包含單滑塊與3 個飛輪在內(nèi)的7 自由度衛(wèi)星建立了完整的剛體動力學方程，并分析了其運動特性和動力學系統(tǒng)的特點；其次根據(jù)姿態(tài)指令機動角度采用最小二乘法，反向求解出滑塊需要運動的距離，滑塊執(zhí)行機構(gòu)跟蹤星載計算機里預(yù)先規(guī)劃存儲好的正弦運動方式運動到指定位置，這為控制器根據(jù)姿態(tài)機動指令計算出滑塊需求運動距離提供了一種工程上可行的方法；最后飛輪執(zhí)行機構(gòu)開始工作，使得衛(wèi)星高精度地對指定角度定向。

這種聯(lián)合控制的方法，結(jié)合了衛(wèi)星在變質(zhì)心控制大角度機動下的快速響應(yīng)與飛輪控制高精度定向等優(yōu)點，能夠很好地完成中高軌衛(wèi)星的快速響應(yīng)機動的任務(wù)。

最后對比變質(zhì)心機構(gòu)與飛輪的協(xié)同控制的效果與單獨采用飛輪控制的效果，突出了兩者協(xié)同控制的優(yōu)越性。仿真結(jié)果表明，單滑塊變質(zhì)心衛(wèi)星在衛(wèi)星姿態(tài)機動過程中能快速響應(yīng)。這也為單滑塊變質(zhì)心衛(wèi)星設(shè)想提供了一些理論參考。

1 動力學模型

1.1 系統(tǒng)動力學模型

單滑塊模式構(gòu)型的飛行器由正方體形狀的衛(wèi)星本體和位于星體內(nèi)部的滑塊組成，滑塊位于系統(tǒng)質(zhì)心正前方，由電機驅(qū)動，沿平行于削平面且垂直于本體中心線方向的滑軌內(nèi)做平移運動，不可旋轉(zhuǎn)。滑塊相對本體的運動通過反作用力使得本體姿態(tài)發(fā)生變化。

本文的研究對象如圖1 所示，s、b、p 分別為系統(tǒng)、本體、滑塊的質(zhì)心?；瑝K的質(zhì)量、體積以及每個軸的轉(zhuǎn)動慣量與本體相比都較小，約為本體的1/10以下。

圖1 單滑塊變質(zhì)心衛(wèi)星示意圖Fig.1 Schematic diagram of single slider metamorphic core satellite

假設(shè)衛(wèi)星在中高軌道運行，主要受重力梯度力矩等干擾力矩影響，故可以忽略氣動力和氣動力矩的影響，只考慮外部的重力梯度力矩干擾。

定義慣性坐標系（OXYZ）、系統(tǒng)固連坐標系(osxsyszs)和載體固連坐標系(obxbybzb)，如圖1 所示。其中，系統(tǒng)固連坐標系的原點位于瞬時系統(tǒng)質(zhì)心，且跟隨本體旋轉(zhuǎn)［11］。

定義變量符號，m為質(zhì)量，I為慣性張量，下標s、b、p 分別為系統(tǒng)、載體和滑塊，rbp為從點b到點p的相對位置矢量，νb為載體相對于慣性坐標系的速度，ω為載體固連坐標系相對于慣性坐標系的旋轉(zhuǎn)角速度，g為重力。

在以系統(tǒng)質(zhì)心為原點的載體坐標系非慣性s系中表示為

而對于衛(wèi)星載體，根據(jù)相對微分法則，其角動量在非慣性s系中表示為

對于第i個飛輪，其角動量在非慣性s系中表示為

對于變質(zhì)心滑塊，其角動量在本體系s系下表示為

對衛(wèi)星系統(tǒng)整體相對于系統(tǒng)質(zhì)心s點列力矩平衡方程，并表示在本體系s系下有

因此，根據(jù)各矢量間關(guān)系以及載體系與慣性系間的相對微分法則，載體坐標系下姿態(tài)動力學方程為

式中：(?)×、(?)′、(?)″分別為矢量在載體坐標系的叉乘矩陣、矢量在載體坐標系下對時間的一階、二階導(dǎo)數(shù)。

由載體動力學方程可以看出單滑塊變質(zhì)心衛(wèi)星具有以下特點：與傳統(tǒng)飛輪控制的衛(wèi)星相比，飛行器載體還受到滑塊偏移產(chǎn)生的耦合作用力項，這些項將對載體姿態(tài)運動產(chǎn)生一定影響。因此，該系統(tǒng)是一個典型的非線性、強耦合的快時變復(fù)雜系統(tǒng)。

為了便于動力學分析，根據(jù)產(chǎn)生原因?qū)⒎匠逃疫叺母郊恿透郊恿胤殖梢韵聨醉棧?/p>

以上各項為單滑塊變質(zhì)心飛行器受到的特有的力和力矩，因此系統(tǒng)姿態(tài)動力學方程可以表示為

1.2 滑塊動力學模型

為了便于對直接作用在滑塊上的執(zhí)行機構(gòu)控制力大小進行分析，此處建立滑塊動力學方程。

由于滑塊相對載體只存在沿著滑軌的平移運動，而滑塊的質(zhì)量和體積相對載體來說較小，因此可將滑塊看作質(zhì)點，只用建立其質(zhì)心平動動力學模型：

式中：Rop為載體滑軌約束對滑塊的作用力；Fc為載體施加的對滑塊的控制力；Gp為滑塊重力。

將式（9）在載體坐標系下代入式（8）可以得到

由于衛(wèi)星處于整體失重狀態(tài)，忽略滑塊重力，即可得到載體坐標系下滑塊動力學方程的矢量形式：

式中：方程右邊的后三項即為載體姿態(tài)運動與滑塊運動的耦合作用對滑塊運動的影響項。

1.3 滑塊需求運動距離

當衛(wèi)星收到姿態(tài)機動指令，星載計算機會把姿態(tài)角指令轉(zhuǎn)化為變質(zhì)心滑塊執(zhí)行機構(gòu)的滑塊運動距離指令，進而滑塊通過跟蹤計算機生成的正弦運動規(guī)律達到控制衛(wèi)星姿態(tài)的效果。

本文采用最小二乘迭代方法把姿態(tài)角指令轉(zhuǎn)化為滑塊的運動距離指令，選取滑塊運動距離ξ為一維狀態(tài)量，建立如下殘差方程：

狀態(tài)量ξ的猜測誤差決定了殘差的大小，假設(shè)通過測量獲得N個采樣時刻的殘差gi(ξ)，然后建立如下最小二乘指標：

依據(jù)最小二乘原理的極值條件，可以得到如下迭代估計算法：

當前估計值與上一步的差的范數(shù)滿足一定精度時就停止迭代。一般經(jīng)過10～20 次的迭代即可停止，則當前的估計值ξ*即為得到的精確結(jié)果。

2 飛輪與滑塊的控制律設(shè)計

2.1 飛輪控制律設(shè)計

當衛(wèi)星的飛輪執(zhí)行機構(gòu)來控制衛(wèi)星姿態(tài)的時候，利用分配矩陣與安裝矩陣實現(xiàn)控制力矩的分配，設(shè)計帶有補償?shù)腜D 控制率在本體系下的表示為

式中：H為整星系統(tǒng)慣性張量，即瞬時的；M為力矩合；Csw為軌道系到本體質(zhì)心系的坐標轉(zhuǎn)換矩陣。

離心慣性力矩為

飛輪系離心慣性力矩為

滑塊運動產(chǎn)生的附加相對慣性力矩為

滑塊運動產(chǎn)生的附加哥氏慣性力矩為

根據(jù)1.1 節(jié)系統(tǒng)動力學方程，把飛輪對應(yīng)的控制率代入式（7），可以約去補償?shù)鸟詈狭兀?3-16］，得到

把各慣性力耦合項消掉后，減弱了僅有飛輪控制時姿態(tài)三通道的耦合效應(yīng)，使得加入耦合補償控制后的方程更簡潔且更接近于對慣性環(huán)節(jié)的控制。

2.2 滑塊控制律設(shè)計

在1.3 節(jié)已經(jīng)利用最小二乘迭代法設(shè)計好了滑塊的運動距離，滑塊的控制器只需把設(shè)計好的運動距離作為標稱值輸入來跟蹤上。假設(shè)滑塊采用最簡單的PD 控制率：

由于相對于小質(zhì)量的滑塊，執(zhí)行機構(gòu)的控制力很大，只要合理地設(shè)計控制參數(shù)，就可以使得滑塊精確地跟蹤設(shè)計好的位置時間曲線。在滑塊滑行末端，還會有鎖死機構(gòu)將滑塊鎖死，所以不存在最后的振蕩。

3 仿真校驗

本文仿真中，為簡化問題，突出現(xiàn)象，只考慮繞主軸Z軸轉(zhuǎn)動，其他方向的轉(zhuǎn)動可以轉(zhuǎn)換為多次繞主軸的轉(zhuǎn)動組合得到。

為使得滑塊的滑動對其他軸的姿態(tài)影響最小，本文仿真中假設(shè)滑軌設(shè)計在z=0 平面上。這樣滑塊滑動僅改變Z軸姿態(tài)，對其他兩軸沒有影響?；瑝K的質(zhì)量、體積以及轉(zhuǎn)動慣量與本體相比較小，設(shè)計為本體的1/10 左右，且只考慮外部的重力梯度力矩干擾。

3.1 僅飛輪控制衛(wèi)星姿態(tài)

當衛(wèi)星只采用飛輪控制姿態(tài)，衛(wèi)星姿態(tài)機動指令為繞著Z軸轉(zhuǎn)過?5°時，仿真結(jié)果如圖2 所示。根據(jù)圖中仿真結(jié)果可知，由于飛輪的作用力矩比較小，并且存在飽和的現(xiàn)象，所以在飛輪的作用下，衛(wèi)星姿態(tài)機動?5°需要130 s 的時間，衛(wèi)星的響應(yīng)時間遠長于變質(zhì)心控制。

圖2 僅飛輪控制時衛(wèi)星狀態(tài)量變化圖Fig.2 Variations of satellite state variables under flywheel control only

3.2 滑塊與飛輪協(xié)同控制衛(wèi)星姿態(tài)

當采用文中敘述的協(xié)同控制時，首先要用最小二乘法反解求得衛(wèi)星姿態(tài)繞著Z軸轉(zhuǎn)過?5°時，滑塊需要的運動距離；然后滑塊執(zhí)行機構(gòu)跟蹤星載計算機里預(yù)先規(guī)劃存儲好的正弦運動方式運動到指定位置，飛輪執(zhí)行機構(gòu)開始工作，使得衛(wèi)星高精度地對指定角度定向、仿真結(jié)果如圖3 和圖4 所示。

圖3 滑塊狀態(tài)量最小二乘迭代變化圖Fig.3 Variations of slider state variables under least squares iterations

圖4 滑塊狀態(tài)的迭代結(jié)果引起的衛(wèi)星姿態(tài)角變化圖Fig.4 Variations of satellite attitude angle due to slider state iterations

代入不同初值，迭代收斂的效果并不一樣。在迭代初值更接近真值的時候，迭代收斂效果最好，最終衛(wèi)星轉(zhuǎn)過的角度更接近于繞著Z軸轉(zhuǎn)?5°。

根據(jù)圖中結(jié)果，選代效果最好的初值，求得為使衛(wèi)星姿態(tài)繞著Z軸轉(zhuǎn)?5°，滑塊需求的運動為正向運行0.526 2 m。滑塊據(jù)此以正弦規(guī)律運行到需求位置，得出的衛(wèi)星在變質(zhì)心滑塊與飛輪姿態(tài)聯(lián)合控制的作用下，仿真結(jié)果如圖5 所示。

圖5 僅滑塊控制時衛(wèi)星狀態(tài)量變化圖Fig.5 Variations of satellite state variables under slider control only

從仿真結(jié)果可以看出，前2 s 滑塊作用，衛(wèi)星能快速機動到達期望角度附近。但是由于滑塊位移精度以及飛輪角動量的存在，使得繞著Z軸的轉(zhuǎn)動同時對其他兩軸也存在擾動，衛(wèi)星三軸間存在姿態(tài)耦合，所以變質(zhì)心的控制精度并不高。從2 s 到8 s，飛輪作用，衛(wèi)星高精度姿態(tài)定向，并且整個機動過程僅用時8 s，要遠優(yōu)于僅用飛輪單獨作用的130 s。

3.3 一種圓弧滑軌型單滑塊控制機構(gòu)的可行性

由于衛(wèi)星空間有限，無法實現(xiàn)長距離滑塊滑動，可以考慮把沿著直線滑動的滑塊改成沿著圓弧軌道滑動，設(shè)計為如圖6 所示的結(jié)構(gòu)。當采用新型結(jié)構(gòu)時，衛(wèi)星能快速機動更大的角度。

圖6 圓弧滑軌型單滑塊變質(zhì)心衛(wèi)星示意圖Fig.6 Schematic diagram of circular orbit type single slider metamorphic center satellite

當采用單滑塊變質(zhì)心與飛輪聯(lián)合控制時，衛(wèi)星機動指令為繞Z軸轉(zhuǎn)過?22°，得到的仿真結(jié)果如圖7 所示。從仿真結(jié)果可知：前16 s 滑塊運動，衛(wèi)星快速繞著Z軸轉(zhuǎn)動到?22°附近；隨后在16～25 s，飛輪作用使得衛(wèi)星姿態(tài)高精度定向。衛(wèi)星最終穩(wěn)定高精度定向時僅用時25 s。

而同樣的衛(wèi)星姿態(tài)機動指令為繞著Z軸轉(zhuǎn)過?22°時，只采用飛輪控制衛(wèi)星姿態(tài)，得到結(jié)果如圖8 所示。從仿真結(jié)果中可以看出，僅采用飛輪控制時，衛(wèi)星要460 s 才能穩(wěn)定到Z軸的?22°，所用時間比較長，消耗能量較多。

圖8 僅飛輪控制時衛(wèi)星狀態(tài)量變化圖Fig.8 Variations of satellite state variables under flywheel control only

仿真結(jié)果再次驗證了當用單滑塊變質(zhì)心與飛輪聯(lián)合控制僅用25 s 實現(xiàn)姿態(tài)機動，而僅用飛輪控制則需要460 s，遠遠長于單滑塊變質(zhì)心與飛輪的聯(lián)合控制。仿真結(jié)果同時驗證了新構(gòu)型的可行性，在沒有降低變質(zhì)心機動效率的前提下，極大地節(jié)省了衛(wèi)星載體內(nèi)部的空間和滑塊質(zhì)量與體積，使得這種聯(lián)合控制方案的可行性進一步提升。

4 結(jié)束語

本文的仿真結(jié)果再一次驗證了傳統(tǒng)衛(wèi)星的飛輪控制星體姿態(tài)。由于飛輪存在飽和、控制力矩比較小等特點，無法實現(xiàn)快速的姿態(tài)機動。變質(zhì)心控制機構(gòu)通過滑塊的滑動所產(chǎn)生的對載體的反作用力和力矩來改變星體的姿態(tài)，有著很快的響應(yīng)速度。本文采用飛輪與變質(zhì)心滑塊機構(gòu)協(xié)同控制的方法，提出并驗證了一種圓弧滑軌型單滑塊控制機構(gòu)的可行性。這種方法結(jié)合了變質(zhì)心控制快速響應(yīng)與飛輪控制高精度等優(yōu)點，克服了變質(zhì)心機構(gòu)存在的控制精度差等缺點。