關(guān)慶華 ，趙 鑫 ，溫澤峰 ，金學(xué)松

（西南交通大學(xué)牽引動(dòng)力國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610031）

車輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)將車輛和軌道系統(tǒng)通過輪軌接觸來實(shí)現(xiàn)車輛系統(tǒng)和軌道系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)相互作用計(jì)算，真實(shí)地反映了車輛和軌道的動(dòng)態(tài)特性，已廣泛應(yīng)用于鐵道車輛和軌道的動(dòng)力學(xué)計(jì)算、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及安全評估等[1].其中，輪軌法向力的計(jì)算是確定車輛及軌道系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)和振動(dòng)的基礎(chǔ)，法向力的計(jì)算還將影響到接觸斑和輪軌蠕滑力的大小，進(jìn)而將影響整個(gè)車輛和軌道系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性[2-3].

此外，通過有限元模型來分析車輛和軌道系統(tǒng)振動(dòng)[4]以及計(jì)算高頻輪軌沖擊力[5]和輪軌噪聲[6]中，也需要精確的輪軌力確定方法.20 世紀(jì)70 年代，英國鐵路技術(shù)研究所的Jenkins 等[7]在研究車輛和軌道參數(shù)對輪軌垂向力的影響時(shí)，給出了錐形踏面和磨耗型踏面的輪軌接觸常數(shù)公式，分別如式（1a）和式（1b）.

式中：Gc和Gw分別為1∶20 錐形踏面和磨耗型踏面的接觸常數(shù)；參數(shù)R與車輪輪徑r相等.

該經(jīng)驗(yàn)公式適用的輪徑范圍為0.150～0.600 m，對應(yīng)的鋼軌頂面廓形的橫向曲率半徑為0.230 m.根據(jù)式（1a）和式（1b）可確定出接觸變形量δ和法向力P之間的關(guān)系為

孫翔[8]根據(jù)Hertz 彈性體接觸理論，針對輪軌接觸特定情況，給出了確定輪軌接觸橢圓的直接方法，可通過參數(shù)ρ/r（ρ為由輪軌主曲率之和確定的常數(shù)）直接確定輪軌接觸橢圓的各個(gè)參數(shù)及無量綱蠕滑系數(shù)，但未給出彈性接觸力及接觸剛度的計(jì)算方法.

彈性理論及接觸力學(xué)著作[2,9]中僅給出了Hertz彈性接觸斑長、短軸系數(shù)的計(jì)算公式，關(guān)于彈性體Hertz 接觸剛度的計(jì)算及其數(shù)表尚不多見，僅文獻(xiàn)[3]中給出了9 組插值數(shù)據(jù)，不便于工程計(jì)算.Hertz 接觸理論屬于經(jīng)典的彈性接觸力學(xué)，在實(shí)際的接觸過程中材料塑性及阻尼也會對接觸力產(chǎn)生影響[9-16].

本文基于Hertz 彈性體接觸理論[2-3]，給出了滿足Hertz 接觸條件的的彈性體接觸剛度通用計(jì)算公式，并針對輪軌接觸特定條件，在文獻(xiàn)[8]研究結(jié)果的基礎(chǔ)上，確定了輪軌接觸剛度的簡化計(jì)算方法和計(jì)算數(shù)表，以期對車輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)中的輪軌力計(jì)算進(jìn)行修正，并為輪軌摩擦磨損、高頻沖擊振動(dòng)和噪聲研究中輪軌載荷確定提供計(jì)算依據(jù).

1 Hertz 彈性體接觸的基本公式

Hertz 接觸理論的基本假設(shè)如下：

條件1兩接觸體在初始接觸點(diǎn)附近的表面至少二階連續(xù).故表面在初始接觸點(diǎn)的二階微分鄰域內(nèi)可表示為橢圓拋物面、柱面或雙曲拋物面，可以用微分幾何的方法進(jìn)行分析.

條件2接觸是非共形的.在加載過程中由初始接觸點(diǎn)逐漸形成接觸區(qū).由于接觸區(qū)很小，在初始接觸點(diǎn)附近兩彈性體可視為彈性半空間.

條件3小變形.在初始接觸點(diǎn)附近，兩接觸表面與初始接觸點(diǎn)處公切面法線相交的點(diǎn)相接觸.

條件4無面內(nèi)摩擦，因而切向面力為0.

一般而言，對于非共形輪軌接觸，條件1～3 是滿足的，但輪軌蠕滑的存在使得條件4 不滿足.Johnson[9]指出，兩非共形體接觸時(shí)，只有當(dāng)其材料彈性常數(shù)不同時(shí)，摩擦力才會對法向接觸產(chǎn)生影響.因此，在目前的動(dòng)力學(xué)分析中，通常認(rèn)為法向接觸力和切向蠕滑力是解耦的，不考慮輪軌蠕滑對法向力的影響.

1.1 計(jì)算接觸橢圓及載荷變形關(guān)系的基本公式

考慮一般性條件，Hertz 接觸計(jì)算系數(shù)A和B可用式（3）、（4）求得.

式中：R11、R12和R21、R22分別為接觸體1 和接觸體2沿接觸坐標(biāo)系縱向、橫向的主曲率半徑；ψ為兩接觸體包含R11和R21法平面的夾角.

根據(jù)Hertz 彈性體接觸理論，系數(shù)A和B與接觸橢圓偏心率e之間的關(guān)系為

式中：e2=1-（be/ae）2，ae、be分別為接觸橢圓長、短半軸長度；K（e）、E（e）分別為以Φ為積分變量的第一、二類完整橢圓積分：

接觸點(diǎn)確定后，即可通過接觸體主曲率半徑及夾角ψ，根據(jù)式（3）～（7）計(jì)算出接觸橢圓的偏心率及其對應(yīng)的第一、二類完整橢圓積分.

根據(jù)接觸橢圓偏心率及第一、二類完整橢圓積分可確定出接觸橢圓長、短半軸長度分別為

式中：P為法向壓力；

其中：νi、Ei分別為接觸體i（i=1，2）的泊松比和彈性模量.

彈性接觸引起的壓縮量與法向力之間的關(guān)系為

式中：Knr為Hertz 接觸常數(shù)，可表示為

若換算為類似于式（1a）和式（1b）的表示方式，為

顯然，Knr和Gnr與彈性體的材料參數(shù)、主曲率半徑及其對應(yīng)的橢圓完整積分有關(guān).

1.2 以ρ/R11 為參數(shù)的接觸橢圓及載荷與變形計(jì)算

在輪軌接觸特定條件下，確定輪軌非線性接觸常數(shù)可進(jìn)一步簡化.

鋼軌縱向曲率為0，即1/R21=0，同時(shí)忽略ψ后，式（3）和（4）分別為

式中：R11為車輪的法向滾動(dòng)圓半徑，R11=rsecα，α為車輪踏面斜率角；R12為車輪踏面橫向曲率半徑，圓心指向車輪內(nèi)部時(shí)為正，否則為負(fù)；R22為鋼軌頂面橫向曲率半徑，凸形軌頭為正.

引入?yún)?shù)ρ：

式（18）給出了ρ/R11和θ的關(guān)系，分別對應(yīng)接觸橢圓長軸垂直于軌道縱向和沿軌道縱向的情況.

由式（8）、（9）及式（14），可將ae和be以ρ/R11分別表示為

根據(jù)式（5）即可計(jì)算接觸橢圓的偏心率，對于輪軌接觸，可根據(jù)式（19）～（22），通過ρ/R11來確定接觸橢圓長短軸大小及Hertz 接觸常數(shù)Knr和Gnr.

為便于計(jì)算中查表使用，將θ、A/B、ρ/R11、m、n及qk制作成數(shù)表，如附加材料表S1 所示.其中，θ、A/B、m、n及qk為通用參數(shù)，適用于任何滿足Hertz接觸條件的彈性體接觸計(jì)算，而ρ/R11可用于輪軌接觸的查表計(jì)算，與文獻(xiàn)[8]的插值表格對應(yīng)，可直接供車輛軌道耦合動(dòng)力學(xué)計(jì)算使用.

需要指出的是：式（1a）和式（1b）中R為車輪半徑，即R=r，在文獻(xiàn)[1,7-8]中均以此計(jì)算.由于Hertz接觸是以接觸體的主曲率半徑來計(jì)算的，應(yīng)以車輪的法向滾動(dòng)圓半徑R11來代替，因此，本文的公式和數(shù)表均以ρ/R11為參數(shù)給出.

2 Hertz 非線性接觸剛度

Hertz 接觸常數(shù)Knr有時(shí)也被稱為Hertz 非線性剛度，單位為N/m2/3，因此，其并非傳統(tǒng)意義的剛度，它依賴于接觸體的材料參數(shù)、接觸點(diǎn)的主曲率半徑及兩接觸體包含R11和R21法平面的夾角，與載荷無關(guān).

Jenkins 等[7]在計(jì)算輪軌沖擊力P1時(shí)，使用了線性化輪軌接觸剛度，其定義為

式中：khl與法向力P和靜輪載Po有關(guān)，需迭代求解.

根據(jù)剛度的定義，由式（10）可直接得到Hertz非線性接觸剛度為

顯然，khn不僅由Knr決定，還與P有關(guān).

3 典型輪軌接觸分析

3.1 接觸參數(shù)qk 的計(jì)算分析

按照本文公式，計(jì)算得到qk與θ的曲線如圖1所示.圖中數(shù)據(jù)表明，θ越小，qk越大，對應(yīng)的接觸常數(shù)Knr也越大；當(dāng)θ＞30°時(shí)，qk隨θ的增大逐漸趨于定值.相比于文獻(xiàn)[3]中結(jié)果，本文數(shù)表中的qk覆蓋范圍更廣，利用本文公式可計(jì)算θ為任意值時(shí)的接觸常數(shù)Knr.

圖1 qk 與θ 的關(guān)系曲線Fig.1 Relationship curve of qk with respect to θ

3.2 典型輪軌接觸工況分析

圖2（a）所示為LM 車輪踏面及其橫截面曲率半徑.圖2（b）為CN60 鋼軌廓形及橫截面曲率半徑，軌頂圓弧半徑為0.300 m，向兩側(cè)依次為0.080 m和0.013 m 的圓弧.

圖2 車輪和鋼軌踏面Fig.2 Profiles of wheel and rail tread

以上述踏面為例，選取某地鐵輪軌參數(shù)：車輪名義半徑為0.365 m，輪緣內(nèi)側(cè)距為1.353 m，軌距為1.435 m，軌底坡為1∶40，對橫移量在-20～20 mm時(shí)的Hertz 接觸常數(shù)進(jìn)行了計(jì)算，結(jié)果如圖3 所示.

圖3 LM 車輪踏面和CN60 鋼軌匹配下的接觸常數(shù)Fig.3 Contact constants for LM wheel profile and CN60 rail profile

由圖3 可知，應(yīng)用本文式（11）和式（12）計(jì)算得到的Hertz 接觸常數(shù)Knr和Gnr相比于采用式（1a）和式（1b）兩種踏面計(jì)算公式的計(jì)算結(jié)果在橫移量-20～20 mm 內(nèi)均有較大差異.其中，基于式（1a）計(jì)算的Knr相比于本文結(jié)果的變化范圍為 -25.97%～71.23%，最小相差為0.68%；基于式（1b）計(jì)算得到的Knr均高于本文結(jié)果，相對變化范圍為0.40%～131.42%.基于式（1a）計(jì)算得到的Gnr相比于本文結(jié)果的變化范圍為 -30.13%～22.20%，最小相差0.45%；基于式（1b）計(jì)算的Gnr均低于本文結(jié)果，相對變化范圍為 -42.84%～-0.26%.

以名義接觸位置為例，利用式（11）計(jì)算的Knr為6.77 × 1010N/m3/2，而通過式（1a）和式（1b）計(jì)算得到的Knr分別為8.17 × 1010N/m3/2和11.08 ×1010N/m3/2，相對于式（11）計(jì)算結(jié)果分別增大了20.77%和63.77%.利用式（12）以及式（1a）和式（1b）計(jì)算的Gnr分別為6.02 × 10-8、5.31 × 10-8m/N2/3和4.33 × 10-8m/N2/3，利用式（1a）和式（1b）的Gnr計(jì)算結(jié)果相對于式（12）計(jì)算結(jié)果分別減小了11.82%和28.03%.

3.3 輪徑對接觸常數(shù)的影響

為分析輪徑對接觸常數(shù)Knr和Gnr的影響，分別對名義滾動(dòng)圓位置和輪緣角接觸位置進(jìn)行了計(jì)算.

圖4 為名義滾動(dòng)圓附近計(jì)算結(jié)果，計(jì)算中，不考慮接觸角的影響，R12=-0.500 m，R22=0.300 m.圖中結(jié)果表明，名義滾動(dòng)圓附近，Knr和Gnr精確計(jì)算結(jié)果與式（1b）計(jì)算結(jié)果相對接近，Knr的誤差范圍為0.02%～3.49%，與式（1a）計(jì)算結(jié)果相差較大，Knr的誤差范圍為25.94%～27.26%.

圖4 名義滾動(dòng)位置的接觸常數(shù)Fig.4 Contact constants for nominal contact position

圖5 為輪緣角與鋼軌R13 圓弧接觸時(shí)的計(jì)算結(jié)果，計(jì)算中，接觸角取為70°，R12=-0.014 m，R22=0.013 m.圖中結(jié)果表明，輪緣角接觸位置，Knr和Gnr精確計(jì)算結(jié)果與式（1a）和式（1b）的計(jì)算結(jié)果相差均較大，其中，式（1b）計(jì)算Knr結(jié)果相對于本文式（11）計(jì)算結(jié)果的誤差范圍為17.32%～27.70%，式（1a）的計(jì)算誤差范圍為41.74%～44.89%.

圖5 輪緣角位置的接觸常數(shù)Fig.5 Contact constants for flange corner position

4 結(jié) 論

1）基于Hertz 彈性體接觸理論，給出了彈性體接觸參數(shù)的計(jì)算方法和接觸剛度參數(shù)數(shù)表，計(jì)算公式考慮到接觸體主曲率半徑、接觸斑形狀以及材料參數(shù)及載荷，計(jì)算數(shù)表可用于任意滿足Hertz 接觸條件（如輪軌、軸承、齒輪等）的彈性體接觸斑大小和接觸剛度的統(tǒng)一計(jì)算，填補(bǔ)了目前彈性理論及接觸力學(xué)中Hertz 接觸數(shù)表缺乏接觸剛度查表參數(shù)的不足.本文數(shù)表還融合了以ρ/R11為參數(shù)的輪軌特定接觸條件的接觸剛度插值，可為車輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)中輪軌力計(jì)算提供修正.

2）目前采用的輪軌接觸常數(shù)計(jì)算公式為近似的經(jīng)驗(yàn)公式，僅以錐形踏面和磨耗型踏面區(qū)分來考慮輪徑的影響，限定于特定的輪徑范圍和鋼軌廓形，在實(shí)際應(yīng)用中具有明顯不足.以LM 踏面和CN60鋼軌的典型匹配為例，當(dāng)車輪踏面名義中心附近圓弧與軌頂中心圓弧接觸時(shí)，現(xiàn)有經(jīng)驗(yàn)公式中的磨耗型踏面公式計(jì)算結(jié)果與本文計(jì)算結(jié)果相比誤差較小；其它接觸位置時(shí)，經(jīng)驗(yàn)公式與本文計(jì)算結(jié)果誤差較大，最大誤差超過131%.

3）本文的接觸剛度參數(shù)計(jì)算公式，適用于滿足Hertz 接觸條件的彈性接觸力計(jì)算.實(shí)際的接觸過程涉及復(fù)雜的力學(xué)問題和非線性因素，材料塑性變形、第三介質(zhì)、接觸能量耗散等都可能會影響到法向接觸力.在多體系統(tǒng)的接觸力計(jì)算中，除Hertz 彈性接觸力外，通常還引入阻尼項(xiàng)來考慮接觸過程中的能量損耗.此外，接觸過程中的塑性變形和黏彈性阻尼特性以及彈性體波動(dòng)效應(yīng)等也需要予以考慮.對于高速輪軌系統(tǒng)，如何考慮高速滾動(dòng)接觸過程中的材料塑性、表面粗糙度、摩擦、彈性波動(dòng)等引起的能量耗散對法向接觸力和蠕滑力的影響，尚有待于進(jìn)一步的理論研究和試驗(yàn)驗(yàn)證.

備注：附加材料在中國知網(wǎng)本文的詳情頁中獲取.

致謝：感謝牽引動(dòng)力國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室自主研究課題（2020TPL-T02）支持.