林東貴

【摘要】物理學(xué)中的數(shù)學(xué)方法是物理思維和數(shù)學(xué)思維高度融合的產(chǎn)物，借助數(shù)學(xué)方法可以使一些復(fù)雜的物理問題顯示出明顯的規(guī)律性，達(dá)到快速簡(jiǎn)捷地解決問題的目的。高考物理試題的求解過程離不開數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的應(yīng)用，隨著近幾年全國(guó)卷物理高考對(duì)數(shù)學(xué)要求越來越高，讓學(xué)生掌握必備的數(shù)學(xué)物理方法勢(shì)在必行。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)方法;解決;物理問題

數(shù)學(xué)方法在物理解題中的應(yīng)用是非常普遍的，從近幾年的高考可以看出，明顯加強(qiáng)了數(shù)學(xué)方法解決物理問題的考查。我們?cè)谖锢斫虒W(xué)中不僅要培養(yǎng)學(xué)生的基本運(yùn)算能力，同時(shí)也要學(xué)生掌握幾種常見的數(shù)學(xué)方法。例如，通過圖像提取物理信息，函數(shù)求極值，不等式求極值，幾何法分析三力平衡等。下面筆者談?wù)剮追N常見的數(shù)學(xué)方法在物理解題中的應(yīng)用。

一、用圖像法解決物理問題。

圖像在解決物理問題中經(jīng)常用到，比如，運(yùn)動(dòng)學(xué)里面的V-t圖，S-t圖，a-t圖等。電學(xué)實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常使用到U-I圖，我們通過圖像可以直觀地得出物理規(guī)律。一些復(fù)雜的物理問題很快就可以迎刃而解。比如通過V-t圖分析追及相遇問題，使多次相遇問題可以通過圖像直觀展現(xiàn)出來。

教學(xué)案例1用圖像法解決交變電場(chǎng)問題。

例1.如圖1（a）所示，兩平行正對(duì)的金屬板A、B間加有如圖（b）所示的交變電壓，一重力可忽略不計(jì)的帶正電粒子被固定在兩板的正中間P處。若在t0時(shí)刻釋放該粒子，粒子會(huì)時(shí)而向A板運(yùn)動(dòng)，時(shí)而向B板運(yùn)動(dòng)，并最終打在A板上則t0可能屬于的時(shí)間段是（）

問題分析，此題是一道交變電場(chǎng)題，如果按照常規(guī)思維則學(xué)生會(huì)去研究粒子的具體運(yùn)動(dòng)過程，但是題目沒有給出明確的釋放粒子時(shí)刻，因此沒法分析粒子具體的運(yùn)動(dòng)過程。我們?nèi)绻嫵瞿承┨厥鈺r(shí)刻開始釋放粒子的V-t圖，我們就可以直觀地看出圖像是如何變化的。

具體解題過程如下：設(shè)粒子的速度方向、位移方向向右為正，依題意知，粒子的速度方向時(shí)而為正，時(shí)而為負(fù)，最終打在A板上時(shí)位移為負(fù)，速度方向?yàn)樨?fù)。分別作出t0=0、、、時(shí)粒子運(yùn)動(dòng)的V-t圖象，如圖2所示，由于v-t圖線與時(shí)間軸所圍面積表示粒子通過的位移，則由圖象知，0T時(shí)情況類似。因粒子最終打在A板上，則要求粒子在每個(gè)周期內(nèi)的總位移應(yīng)小于零，對(duì)照各項(xiàng)可知B正確。

二、用數(shù)學(xué)函數(shù)解決物理極值問題

1.用二次函數(shù)求某些物理量的最值

教學(xué)案例2 用二次函數(shù)求極值解決平拋水平距離最大問題。

例2.如圖3，半圓形光滑軌道固定在水平地面上，半圓的直徑與地面垂直，一小物塊以速度v從軌道下端滑入軌道，并從軌道上端水平飛出，小物塊落地點(diǎn)到軌道下端的距離與軌道半徑有關(guān)，此距離最大時(shí)，對(duì)應(yīng)的軌道半徑為（重力加速度大小為g）（）

問題分析，此題是2017年全國(guó)高考II卷的第17題，屬于豎直方向上的圓周運(yùn)動(dòng)與平拋運(yùn)動(dòng)結(jié)合求平拋運(yùn)動(dòng)水平最大距離綜合問題。解決此題主要是寫出平拋水平距離的表達(dá)式，寫出表達(dá)式x=2會(huì)發(fā)現(xiàn)更好里面是個(gè)關(guān)于半徑r的二次函數(shù)，當(dāng)當(dāng)r= 對(duì)稱軸時(shí)，x最大。

具體解題過程如下：小物塊由最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過程，由機(jī)械能守恒定律得mv2=2mgr+mv12，小物塊做平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)，落地點(diǎn)到軌道下端的距離x=v1t，t=2，聯(lián)立解得，x=2，

由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，當(dāng)r = 時(shí)，x最大，故選項(xiàng)B正確。

2.用三角函數(shù)解決物理極值問題

例4.如圖4所示，一質(zhì)量m=0.4 kg的小物塊，在與斜面成某一夾角的拉力F作用下，沿斜面向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)t=2 s的時(shí)間物塊由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，物塊在A點(diǎn)的速度為v0=2 m/s，A、B之間的距離L=10 m.已知斜面傾角θ=30°，物塊與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=，重力加速度g取10 m/s2 .

（1）求物塊加速度的大小及到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大小。

（2）拉力F與斜面夾角多大時(shí)，拉力F最??？拉力F的最小值是多少？

問題分析，本題中第二問如果用三角函數(shù)的輔助角公式就可以很好第求出拉力F的最小值。因?yàn)槭茄匦泵鎰蚣铀傧蛏线\(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律列出有關(guān)F的方程，結(jié)合垂直斜面方向的力的平衡方程。然后得到拉力F與夾角ɑ（ɑ為拉力F與斜面的夾角）關(guān)系。最后問題就可以輕易解決了。

具體解題過程如下（1）設(shè)物塊加速度的大小為a，到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大小為v，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得

①

②

聯(lián)立①②式，代入數(shù)據(jù)得

a=3 m/s2 ③

v=8 m/s ④

（2）設(shè)物塊所受支持力為FN，所受摩擦力為Ff，拉力與斜面的夾角為α，受力分析如圖所示，由牛頓第二定律得

Fcos α-mgsin θ-Ff=ma ⑤

Fsin α+FN-mgcos θ=0 ⑥

又Ff=μFN ? ? ? ? ? ? ? ? ⑦

聯(lián)立⑤⑥⑦式得

F=? ? ? ⑧

由數(shù)學(xué)知識(shí)得cos α+sin α=sin（60o+α） ⑨

由⑧⑨式可知對(duì)應(yīng)F最小時(shí)與斜面間的夾角α=30° ⑩

聯(lián)立③⑧⑩式，代入數(shù)據(jù)得F的最小值為Fmin=N

三、用幾何法解決物理問題

例5.如圖9所示，質(zhì)量均可忽略的輕繩與輕桿，A端用鉸鏈固定，滑輪在A點(diǎn)正上方（滑輪大小及摩擦均可不計(jì)），B端吊一重物?，F(xiàn)將繩的一端拴在桿的B端，用拉力F將B端緩慢上拉，在AB桿達(dá)到豎直前（）

A.繩子拉力不變? ? ? ?B.繩子拉力減小

C.AB桿受力增大? ? ? D.AB桿受力不變

問題分析，此題是高中物理教學(xué)中常用例子，此類問題有一個(gè)共同點(diǎn)是總數(shù)有個(gè)力繞某支點(diǎn)在轉(zhuǎn)動(dòng)，比如，某小球在某圓表面緩慢沿圓弧移動(dòng)。往往通過與受力相似的三角形邊長(zhǎng)變化確定受力三角形各力的變化情況。

具體解題過程如下：以B點(diǎn)為研究對(duì)象，分析受力情況：重物的拉力FT1（等于重物的重力G）、輕桿的支持力FN和繩子的拉力FT2，作出受力圖如圖所示：

由平衡條件得，F(xiàn)N和FT2的合力與FT1大小相等、方向相反，根據(jù)三角形相似可得：

又F=FT2

解得：FN=·G，F(xiàn)=·G

∠BAO緩慢變小時(shí)，AB、AO保持不變，BO變小，則FN保持不變，F(xiàn)變小。故選項(xiàng)B、D正確。

總之，物理與數(shù)學(xué)存在著緊密的聯(lián)系，隨著數(shù)學(xué)方法在高中物理的廣泛應(yīng)用。巧用數(shù)學(xué)方法解決物理問題有助于革新物理教學(xué)理念，更有利于新高考的備考。

參考文獻(xiàn)：

[1]漆安慎，杜嬋英.普通物理學(xué)教程力學(xué)（第二版）[M].高等教育出版社，2012.

責(zé)任編輯? 鐘春雪