李加強(qiáng)

一、中職數(shù)學(xué)概率內(nèi)容的教材分析及教學(xué)現(xiàn)狀

根據(jù)《中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2020年版）》的教學(xué)指示，數(shù)學(xué)教學(xué)要緊密聯(lián)系生活實(shí)際，教師在課堂上可創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)那榫?，幫助學(xué)生感知隨機(jī)事件的真實(shí)存在，了解隨機(jī)事件及概率的意義，認(rèn)識(shí)古典概型與互斥事件的特征。筆者基于課程標(biāo)準(zhǔn)的教育理念，對(duì)中職數(shù)學(xué)（基礎(chǔ)模塊）下冊(cè)教材進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)課本是通過(guò)擲骰子的試驗(yàn)，引入事件可能發(fā)生的六種結(jié)果，進(jìn)而定義各種不同的事件，并探究不同事件之間的關(guān)系及運(yùn)算，最后得出概率的基本性質(zhì)。

然而，根據(jù)筆者了解的中職數(shù)學(xué)概率教學(xué)的現(xiàn)狀，很多教師在實(shí)際的課堂教學(xué)中并沒(méi)有按照教材的展開(kāi)方式與學(xué)生進(jìn)行骰子試驗(yàn)，也不能有效地運(yùn)用骰子試驗(yàn)結(jié)果，通過(guò)類比集合的思想，幫助學(xué)生建立概率的知識(shí)架構(gòu)。即使有些學(xué)生基本掌握了概率的運(yùn)算和公式，但對(duì)于概率的基本性質(zhì)、運(yùn)算的原理及公式的運(yùn)用程度卻很低。而且大部分的學(xué)生只是停留在簡(jiǎn)單的概率數(shù)字運(yùn)算上，很難把握概率性質(zhì)及原理的運(yùn)用范圍，且不能很好地運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)思維解決實(shí)際問(wèn)題。

因此，筆者認(rèn)為概率教學(xué)若是對(duì)著教材“照本宣科”肯定不能達(dá)到良好的教學(xué)效果，而要對(duì)教材的概率性質(zhì)和類比集合的思想進(jìn)行研究和分析，深究其來(lái)源和規(guī)律，敢于在教學(xué)方式上作適當(dāng)?shù)膭?chuàng)新和改變，采用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)概率模型，開(kāi)展實(shí)踐和情景的課堂教學(xué)。故筆者運(yùn)用了“構(gòu)造概率模型+類比集合”的教學(xué)方法，旨在激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)他們從類比集合之間的關(guān)系與運(yùn)算中理解概率的關(guān)系與運(yùn)算，逐步掌握概率的教學(xué)內(nèi)容，進(jìn)而培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和邏輯推理等核心素養(yǎng)。

二、利用“模型化教學(xué)法”改進(jìn)課堂教學(xué)

（一）教學(xué)設(shè)計(jì)理念

新課標(biāo)指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程應(yīng)注重對(duì)基本概念和數(shù)學(xué)思想的理解和掌握，對(duì)于核心的概念、基本原理及思想要貫穿教學(xué)始終，幫助學(xué)生逐步加深理解?！币虼?，在引入概率的基本性質(zhì)前，筆者首先會(huì)通過(guò)列舉生活中學(xué)生熟悉的例子，幫助他們?cè)谡J(rèn)知體系中構(gòu)建隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)思想及隨機(jī)事件的相關(guān)概念;再進(jìn)一步創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型問(wèn)題，從模型的結(jié)果事件類比集合的關(guān)系及運(yùn)算，建立事件與集合之間一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，并結(jié)合相應(yīng)的集合維恩圖來(lái)幫助學(xué)生理解隨機(jī)事件的包含關(guān)系以及相等事件、并事件、交事件、互斥事件和對(duì)立事件的概念，最終歸納出概率的基本性質(zhì)及運(yùn)算方法。

（二）創(chuàng)設(shè)生活情境，引入隨機(jī)思想

師：在客觀世界中，人類所觀察到的現(xiàn)象可以分為兩類：一類是有確定性的結(jié)果，即一定條件下，事先就能判斷其結(jié)果發(fā)生或不發(fā)生。例如：A.夏天過(guò)去，秋天來(lái)到。B.太陽(yáng)從西邊升起。同學(xué)們能判斷上述結(jié)果是否會(huì)發(fā)生嗎？

生：上述現(xiàn)象A是必定會(huì)發(fā)生的，而現(xiàn)象B是必定不會(huì)發(fā)生的。

師：回答正確，故我們可以稱A為必然事件，B為不可能事件，而它們統(tǒng)稱為確定性事件。但有另一類事件，在給定的條件下其結(jié)果事先是無(wú)法確定的，例如：擲一枚均勻的硬幣于桌面上，哪一面朝上;某人所購(gòu)彩票中獎(jiǎng)與否……由于這些事件發(fā)生結(jié)果的不確定性，我們就稱這類事件為隨機(jī)事件。

（三）隨機(jī)取數(shù)模型

例：從數(shù)字1，2，3，4中任意取出1個(gè)數(shù)。

在這個(gè)取數(shù)模型中，可能得到4種不確定的結(jié)果，每種結(jié)果可看作一個(gè)隨機(jī)事件，我們用集合形式定義這些事件：

A₁={取到數(shù)字1}，

A₂={取到數(shù)字2}，

A₃={取到數(shù)字3}，

A₄={取到數(shù)字4}，

師：在這個(gè)取數(shù)模型中，還能用集合形式定義其他事件嗎？

引導(dǎo)學(xué)生得到類似如下事件：

A₅={取到數(shù)字小于2}，

A₆={取到數(shù)字為奇數(shù)}，

A₇={取到數(shù)字為偶數(shù)}，

A₈={取到數(shù)字小于5}，

A₉={取到數(shù)字小于1}，

A₁₀={取到數(shù)字小于3}，

師：上述事件中有哪些是必然事件？哪些是隨機(jī)事件？哪些是不可能事件？

生：事件A₈為必然事件，事件A₉為不可能事件，其他事件均為隨機(jī)事件。

師：對(duì)的。特別地，對(duì)類似于A₉的不可能事件，可以用空集表示。

（四）取數(shù)模型與類比集合的融合，探究事件之間的關(guān)系和概念

（五）建立集合與事件的概率對(duì)應(yīng)關(guān)系，歸納出概率的基本性質(zhì)

1.事件的頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系。在取數(shù)模型中，不能預(yù)先判斷某個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小，但通過(guò)重復(fù)大量的取數(shù)模型試驗(yàn)并分析結(jié)果，會(huì)發(fā)現(xiàn)某個(gè)事件發(fā)生的頻率呈現(xiàn)穩(wěn)定的規(guī)律，由此可以通過(guò)頻率來(lái)估計(jì)事件發(fā)生的可能性大小。由于事件的頻數(shù)總是小于或等于試驗(yàn)的次數(shù)，即頻率在0～1之間，從而任何事件的概率都在0～1之間，故對(duì)于任何事件的概率的范圍是：0≤P（A）≤1。

在每次實(shí)驗(yàn)中，必然事件一定發(fā)生，因此它的頻率是1，從而必然事件的概率為1，例如在取數(shù)模型的試驗(yàn)中，可以取到最大數(shù)字為4<5，因此P（A₈）=1。而在每次實(shí)驗(yàn)中，不可能事件一定不發(fā)生，因此它的頻率是0，從而不可能事件的概率為0，例如在取數(shù)模型的試驗(yàn)中，P（A₉）=0。

2.概率事件之間的運(yùn)算。當(dāng)事件A與事件B互斥時(shí)，A∪B的頻率Fn（AUB）=fn（A）+fn（B），由此得到互斥事件中概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P（A∪B）=P（A）+P（B）。例如在取數(shù)模型中，在一次試驗(yàn)時(shí)，事件A₁與事件A₂不會(huì)同時(shí)發(fā)生，因此A₁∪A₂發(fā)生的頻數(shù)等于A₁發(fā)生的頻數(shù)與A₂發(fā)生的頻數(shù)之和，故P（A₁∪A₂）=P（A₁）+P（A₂）。

特別地，當(dāng)事件A與事件B是對(duì)立事件時(shí)，因?yàn)锳∪B為必然事件，A∩B為不可能事件，故概率P（A∪B）=1，得到對(duì)立事件的運(yùn)算規(guī)律P（A）=1-P（B）。例如在取數(shù)模型的試驗(yàn)中，A₆與A₇互為對(duì)立事件，因此P（A₆）=1-P（A₇）。

3.集合與事件的運(yùn)算對(duì)應(yīng)關(guān)系表：

（六）利用上述概率的性質(zhì)，合作探究轉(zhuǎn)盤(pán)游戲模型

制作一個(gè)簡(jiǎn)易的圓形轉(zhuǎn)盤(pán)，轉(zhuǎn)盤(pán)平均分為八個(gè)扇形區(qū)域，分別填充了紅綠兩種顏色（如右圖所示），讓學(xué)生上臺(tái)隨意轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)，使指針落在某個(gè)扇形區(qū)域，組織學(xué)生思考討論以下問(wèn)題。

（1）指針落在紅色區(qū)域（事件A）的概率是多少？

（2）指針落在綠色區(qū)域（事件B）的概率是多少？

第（1）小題，學(xué)生經(jīng)探索，易知此轉(zhuǎn)盤(pán)模型事件A發(fā)生的概率為“指針?lè)謩e落在四個(gè)紅色扇形區(qū)域”的四個(gè)互斥事件的概率和;第（2）小題可以利用事件A和事件B為對(duì)立事件關(guān)系，它們的概率和為1解得。

三、總結(jié)與反思

“構(gòu)建多樣課程，在數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)的過(guò)程中，使學(xué)生逐步提高數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，初步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)思維分析世界、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界”是中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)的課程目標(biāo)。中職學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，因此筆者從現(xiàn)實(shí)生活和具體情境中探索數(shù)學(xué)概率問(wèn)題，并創(chuàng)設(shè)形象的概率模型，讓學(xué)生在發(fā)展隨機(jī)觀念、認(rèn)識(shí)概率的同時(shí)，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維。通過(guò)師生一起探討取數(shù)模型、轉(zhuǎn)盤(pán)游戲兩個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，不僅能調(diào)動(dòng)學(xué)生的課堂積極性，而且有助于培養(yǎng)他們的學(xué)習(xí)興趣和數(shù)學(xué)概率應(yīng)用意識(shí)。并在符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律下，運(yùn)用構(gòu)造模型和類比集合的融合教學(xué)方法，能讓學(xué)生自然而然地體驗(yàn)到概率事件之間關(guān)系的發(fā)現(xiàn)和探索的歷程。最后結(jié)合相應(yīng)的集合維恩圖讓學(xué)生不斷經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、類比與建構(gòu)等思維過(guò)程，從而改善中職數(shù)學(xué)概率內(nèi)容的教學(xué)效果。