董旭 黃永盛 唐光毅 陳姍紅 司梅雨 張建勇

1) (河海大學(xué)理學(xué)院，南京 210098)

2) (中國科學(xué)院高能物理研究所，北京 100049)

環(huán)形正負(fù)電子對(duì)撞機(jī)(CEPC)束流能量的精確標(biāo)定是希格斯粒子質(zhì)量寬度、W/Z玻色子質(zhì)量的精確測(cè)量, 從而精確檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)模型的基本實(shí)驗(yàn)依據(jù).基于此, 束流能量的誤差控制要求在10–5水平.康普頓背散射方法是適用于百GeV高能電子對(duì)撞機(jī)束流能量高精度標(biāo)定的測(cè)量方法.本文擬采用微波電子康普頓背散射后對(duì)散射光子能量的精確測(cè)量, 來反推CEPC束流能量, 理論預(yù)計(jì)精度可達(dá)到3 MeV左右.首先根據(jù)設(shè)計(jì)需求選定圓波導(dǎo)傳輸TM01模微波, 并求解該條件下的電磁場(chǎng)分布情況及坡印廷矢量.根據(jù)波導(dǎo)內(nèi)光子分布傳輸情況提出設(shè)計(jì)思路簡(jiǎn)化計(jì)算的復(fù)雜程度, 結(jié)合高純鍺探測(cè)器靈敏度、同步輻射本底等限制條件聯(lián)立方程求解符合設(shè)計(jì)要求的參數(shù).使用最優(yōu)的一組波導(dǎo)內(nèi)徑、微波波長(zhǎng)、電子入射角數(shù)據(jù)求得微波功率為100 W時(shí)的微分散射截面對(duì)能量的導(dǎo)數(shù)及對(duì)撞亮度, 進(jìn)一步求得15 MeV能量的散射光子數(shù)密度, 根據(jù)該能量下同步輻射光子數(shù)密度的大小分析了信噪比.理論上論證了該方案的可行性并討論了該方案有待進(jìn)一步研究的技術(shù)難點(diǎn)與問題.

1 引 言

歐洲核子中心的大型強(qiáng)子對(duì)撞機(jī)(LHC)于2012年發(fā)現(xiàn)希格斯粒子并將希格斯粒子質(zhì)量的不確定度降低到160 MeV即mH= (125.18 ± 0.16)GeV[1].CEPC的目標(biāo)之一是將不確定度降低到5.9 MeV, 其中束流能量是該方案的輸入信號(hào)之一[2].因此, 希格斯粒子質(zhì)量的不確定度也將取決于束流能量測(cè)量的不確定度, 所以需要設(shè)計(jì)一個(gè)束流能量測(cè)量系統(tǒng)使其滿足系統(tǒng)的精度需求.

目前較為成熟的測(cè)量束流能量方法有很多, 例如: 共振去極化技術(shù)、激光康普頓背散射方法、激光康普頓背散射與光束跟蹤方法等, 但已有測(cè)量方法中只有激光康普頓背散射方法能夠達(dá)到測(cè)量的精度要求[3].1923年, Compton[4]發(fā)現(xiàn)當(dāng)波長(zhǎng)為λ0的X射線入射到碳靶上, 散射X射線波長(zhǎng)與入射相比變長(zhǎng), 電子獲得部分入射光子的能量, 該散射過程稱為康普頓散射.電子-光子康普頓散射過程如下式[5]:

其中λθ為散射光子波長(zhǎng);θ是電子-光子對(duì)撞角;h為普朗克常數(shù);m是電子的靜止質(zhì)量;c為光速.當(dāng)電子能量大于150 MeV時(shí), 電子將會(huì)把能量傳給光子.對(duì)稱分布的散射光子在實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系下觀察會(huì)集中在電子入射方向的一個(gè)小角度內(nèi), 且散射光子的能量比入射光子的能量顯著增大[5].該過程能量由電子轉(zhuǎn)移到光子, 因此被稱為康普頓背散射[6,7].康普頓背散射在1963年被提出用于高能光子產(chǎn)生[7], 啁啾脈沖放大技術(shù)和高電流、高亮度電子加速器的皮秒級(jí)太瓦激光器的迅速發(fā)展, 使得高能光子的產(chǎn)生在實(shí)驗(yàn)中得到成功[8?10].可調(diào)單色x/γ射線源, 其產(chǎn)生過程可以借助激光-高能電子散射來完成, 入射電子能量、入射光子能量、散射光子能量三者之間的關(guān)系如下式所示:

其中ωx為產(chǎn)生光子的能量;ω0為入射光子能量;γ為相對(duì)論因子可以代表電子能量的大小;ψ為微波光子與電子對(duì)撞角,a0與光子能量有關(guān).

康普頓背散射方法目前已經(jīng)應(yīng)用在BEPCⅡ和VEPP得到很好的應(yīng)用, 并到達(dá)了1.2 × 10–5的不確定度[11,12].該方法測(cè)量的束流能量均在10 GeV以下, 在測(cè)量120 GeV電子束時(shí), 測(cè)量系統(tǒng)將受到同步輻射的極大影響.一方面同步輻射增加了本底數(shù)量影響精確度, 另一方面高能同步輻射光子還會(huì)對(duì)探測(cè)器造成很大破壞, 降低探測(cè)器使用壽命.由于高精度探測(cè)器的唯一選擇是高純鍺探測(cè)器[13], 所以需要將散射光子最大能量控制在20 MeV以內(nèi), 同時(shí)為了避免低能區(qū)同步輻射光子產(chǎn)生的巨大本底, 散射光子最大能量還要控制在10 MeV以上.對(duì)散射光子最大能量的限制又帶來了新的問題, 這將要求激光和高能電子束的對(duì)撞夾角約為0.04 rad, 由于對(duì)束流能量測(cè)量的精度要求是1 MeV, 所以角度的不確定度應(yīng)在0.5 μrad左右.對(duì)夾角控制這么小的不確定度是相當(dāng)困難的,同時(shí)如此小的對(duì)撞角將降低散射的亮度, 對(duì)撞亮度只有頭對(duì)頭對(duì)撞的萬分之一, 由此將帶來很大的統(tǒng)計(jì)誤差[14].因此研究并解決在百GeV量級(jí)的加速器上實(shí)現(xiàn)如此精確的能量測(cè)量是國際公認(rèn)的難題,具有重要的創(chuàng)新意義.

本研究基于康普頓背散射原理, 設(shè)計(jì)厘米波段的微波-電子康普頓背散射系統(tǒng), 計(jì)算了100 W功率的微波源與高能電子束對(duì)撞產(chǎn)生的散射光子數(shù)密度, 并進(jìn)一步計(jì)算信噪比.

與傳統(tǒng)激光方案相比, 厘米波段的微波-電子康普頓背散射系統(tǒng)主要解決了康普頓背散射方法在百GeV量級(jí)的加速器束流能量測(cè)量中的夾角問題.在保證散射光子能量維持在探測(cè)器最佳工作范圍內(nèi)的前提下, 同時(shí)要求束流能量的不確定性小于1 MeV.通過計(jì)算可得若使用激光方案則對(duì)撞角過小, 此時(shí)激光與電子束對(duì)撞角的誤差上限為4.2 × 10–7rad, 而CO2激光器的指向穩(wěn)定性只有10–5rad, 不能滿足精度要求.對(duì)此解決方案有二種: 一是針對(duì)現(xiàn)有激光器增加準(zhǔn)直系統(tǒng), 不過預(yù)期會(huì)相當(dāng)嚴(yán)重的損失激光功率; 二是采用中紅外光纖耦合激光器, 激光波長(zhǎng)在2—5 μm, 指向穩(wěn)定性在0.1 μrad, 可以滿足要求.但是理論上需要2 km的真空管來傳輸激光, 才能達(dá)到較好的準(zhǔn)直效果,使得該項(xiàng)導(dǎo)致的束流能量不確定度能在合理范圍內(nèi).本文所使用的微波-電子康普頓背散射系統(tǒng), 對(duì)撞角約為88°, 相比于激光方案, 對(duì)撞角的誤差問題在微波方案中不攻自破.

本文參照激光-電子康普頓背散射的物理過程,在考慮不同波導(dǎo)的微波系統(tǒng)中光子分布情況后, 提出了CEPC束流能量測(cè)量的微波-電子康普頓背散射系統(tǒng), 理論上論證了該方案的可行性, 為解決百GeV對(duì)撞機(jī)束流能量的精確測(cè)量提供了一種新方案, 并討論了該方案有待進(jìn)一步研究的技術(shù)難點(diǎn)與問題.

2 波導(dǎo)光場(chǎng)分布

2.1 波導(dǎo)及電磁波模式的選擇

電磁波在場(chǎng)中傳播, 頻率不同則電磁能量傳輸問題的分析方式也不同.低頻情況下, 不直接研究場(chǎng)的分布, 而用電路方程解決實(shí)際問題.高頻情況中, 場(chǎng)的波動(dòng)性愈加顯著, 電流、電壓的概念也失去其具體意義[15], 我們通過研究電磁場(chǎng)和電路上電荷電流的相互作用, 解出電磁場(chǎng)理解電磁能量傳輸?shù)木唧w細(xì)節(jié), 根據(jù)CEPC束流傳播情況選擇合適的波導(dǎo)和電磁波傳播模式.

根據(jù)傳輸頻率的不同, 電磁波的傳輸方式可以分為: 雙線傳輸、同軸線傳輸和波導(dǎo)傳輸.其中, 雙線傳輸適用于低頻電力系統(tǒng), 同軸線傳輸適用于中低頻率傳輸.頻率較高時(shí), 介質(zhì)中的熱損耗及內(nèi)導(dǎo)線的焦耳損耗變得嚴(yán)重, 此時(shí)需要用波導(dǎo)管代替同軸傳輸線.波導(dǎo)傳輸適用于微波波段, 因此本文設(shè)計(jì)討論的方案中使用的電磁波傳導(dǎo)方式為波導(dǎo)傳播.

相比于矩形波導(dǎo), 圓波導(dǎo)具有對(duì)稱性強(qiáng)、邊界條件單一等特點(diǎn), 常用于毫米波的遠(yuǎn)距離通信、精密衰減器、微波諧振器等, 因此本方案中使用圓波導(dǎo)進(jìn)行微波傳輸.對(duì)于圓波導(dǎo)如圖1, 波導(dǎo)截面半徑為a, 截面坐標(biāo)采用極坐標(biāo)(ρ,φ), 波導(dǎo)軸線為z軸, 電磁波傳輸方向?yàn)檎?若使電磁波能夠在波導(dǎo)中進(jìn)行傳輸, 必須選擇合適的傳輸模式, 并且保證電磁波的波長(zhǎng)小于截止波長(zhǎng)λc.

圖1 圓形波導(dǎo)及坐標(biāo)系Fig.1.Circular waveguide and coordinate system.

根據(jù)電場(chǎng)和磁場(chǎng)在傳播方向上的分量不同, 導(dǎo)行波波型大致分為三類: 橫電磁波(TEM模)、TE模和TM模.TEM模是雙導(dǎo)體結(jié)構(gòu)傳輸系統(tǒng)的主模, 單導(dǎo)體結(jié)構(gòu)的波導(dǎo)中不能傳輸TEM模.圓波導(dǎo)中的常用模式有TE11, TM01和TE01三種模式.TE11模盡管是圓波導(dǎo)中的主模, 卻不宜作為傳輸模式.原因在于TE11模存在極化簡(jiǎn)并, 且由于圓波導(dǎo)加工中可能出現(xiàn)細(xì)微的不均勻性, 會(huì)使傳輸過程中電磁場(chǎng)的極化面會(huì)發(fā)生旋轉(zhuǎn).TE01模是一種無極化簡(jiǎn)并現(xiàn)象的軸對(duì)稱模式, 只有Eφ,Hρ和Hz三個(gè)場(chǎng)分量, 壁電流分布只有φ分量, 因此不易設(shè)計(jì)束流入射孔.TM01模為軸對(duì)稱或圓對(duì)稱模,截止波長(zhǎng)λc= 2.613a.因?yàn)閙= 0, 所以TM01模無極化簡(jiǎn)并現(xiàn)象.TM01模只有Eφ,Hρ和Hz三個(gè)場(chǎng)分量, 由于模的場(chǎng)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及軸對(duì)稱性, 該模常用于雷達(dá)天線饋電系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)鉸鏈中.TM01模的壁電流分布只有z分量, 所以對(duì)于傳輸該模式的圓波導(dǎo), 常常沿波導(dǎo)縱向開窄槽, 插入金屬探針作為測(cè)量線使用.綜合考慮以上三種傳輸波型在圓波導(dǎo)中的特點(diǎn), 本方案使用TM01模作為微波的傳導(dǎo)波型, 利用電磁場(chǎng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及軸對(duì)稱性便于分析計(jì)算電磁場(chǎng)與高能電子束的相互作用, 利用圓波導(dǎo)TM01模壁電流的分布特點(diǎn)可以在波導(dǎo)壁上開孔使CEPC高能電子束通過.

2.2 圓波導(dǎo)TM01模電磁場(chǎng)及能流分析

分析波導(dǎo)中的電磁波, 就是要得出導(dǎo)行電磁波沿軸向(縱向)的傳播規(guī)律以及電磁場(chǎng)在橫截面內(nèi)的分布情況.通?？梢允褂每v向分量法的思想: 將導(dǎo)行系統(tǒng)中的電磁場(chǎng)矢量分解為縱向分量和橫向分量, 由亥姆霍茲方程得出縱向分量滿足的標(biāo)量微分方程, 求解該標(biāo)量微分方程, 得到縱向分量; 再根據(jù)麥克斯韋方程組, 找出橫向分量與縱向分量之間的關(guān)系, 用縱向分量來表示橫向分量.TM模滿足Hz= 0,Ez(ρ,φ,z) =Ez(ρ,φ)e–jβj, 在極坐標(biāo)中Ez(ρ,φ)的標(biāo)量波動(dòng)方程如(3)式, 應(yīng)用分離變量法可以得到Ez的基本表達(dá)式如(4)式:

根據(jù)電磁場(chǎng)分量的縱橫關(guān)系可以得到各個(gè)場(chǎng)分量的一般解(基本解的線性疊加)的表達(dá)式:

其中ρ為波導(dǎo)內(nèi)一點(diǎn)到軸線的距離0 <ρ

由此可知, 圓波導(dǎo)TM01模電磁場(chǎng)中, 電場(chǎng)存在ρ和z分量, 磁場(chǎng)僅存在φ分量.則波導(dǎo)中的坡印廷矢量S=E×H=(Eρ+Ez)×Hφ, 將(9)式—(11)式代入得坡印廷矢量z,ρ分量的值為

由坡印廷矢量的結(jié)算結(jié)果可以分析能流沿坐標(biāo)軸的變化情況, 坡印廷矢量的z,ρ分量?jī)H與z,ρ坐標(biāo)變化有關(guān), 且坡印廷矢量z,ρ分量的常數(shù)項(xiàng)數(shù)量級(jí)基本一致, 因此在分析能流的變化情況時(shí),可以僅考慮含坐標(biāo)z,ρ的函數(shù)變化情況.由坡印廷矢量的結(jié)算結(jié)果可以得到Sz,Sρ沿z,ρ坐標(biāo)在波導(dǎo)空間中的變化情況如圖2(c)和圖2(d)所示.分析(12)式前式可知: 坡印廷矢量的z分量Sz在平行于z軸方向上, 其大小沿z軸呈sin2(βz)函數(shù)周期分布, 沿z軸方向的周期情況如圖2(b); 同一截面內(nèi),Sz大小與角度φ無關(guān), 僅與ρ有關(guān), 隨著ρ由0增大至半徑a,Sz的大小先由0增大至極值點(diǎn)后減小至非零值, 沿ρ方向的變化情況如圖2(a).分析(12)式后式可知: 坡印廷矢量的ρ分量Sρ其大小沿z軸呈sin(βz)cos(βz)函數(shù)周期分布, 周期為與Sz相同, 沿z軸方向的周期情況如圖2(b); 同一截面內(nèi),Sρ的大小與角度φ無關(guān), 僅與ρ有關(guān),隨著ρ由0增大至半徑a,Sρ的大小先增大再減小至0, 沿ρ方向的變化情況如圖2(a).

圖2 波導(dǎo)中坡印廷矢量變化情況 (a)各分量沿ρ方向變化情況; (b) 各分量沿z方向變化情況; (c)坡印廷矢量z分量在空間中的變化情況; (d) 坡印廷矢量ρ分量在空間中的變化情況Fig.2.Poynting vector variation in the waveguide: (a) The variations of each Poynting vector’s components along the ρ axis;(b) the variations of each Poynting vector’s components along the z axis; (c)variations of the z component of Poynting vector in space; (d) variations of the ρ component of Poynting vector in space.

3 優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1 設(shè)計(jì)思路

對(duì)于在波導(dǎo)中的導(dǎo)行電磁波, 其波導(dǎo)軸線方向不是電磁波傳輸?shù)恼鎸?shí)方向[16].在垂直于z軸的截面上, 導(dǎo)行電磁波還存在駐波分量, 其平均坡印廷矢量為零, 但是瞬時(shí)坡印廷矢量不為零.因此, 波導(dǎo)中的導(dǎo)行電磁波實(shí)際上是曲折前進(jìn)的, 并非沿著z直線傳播.波導(dǎo)中光子的傳播速度并不等于光速c和相速度, 而是等于群速度:

其中λ為微波波長(zhǎng);λc為電磁波傳輸?shù)慕刂共ㄩL(zhǎng).由能流分布情況可知, 波導(dǎo)中的光子沿z軸方向周期分布, 每個(gè)周期內(nèi)的光子沿z軸軸對(duì)稱分布, 波導(dǎo)內(nèi)的光子方向僅存在z方向和ρ方向并按照群速度向傳導(dǎo)方向集體傳輸.由于電子束的長(zhǎng)度相對(duì)于波導(dǎo)管的長(zhǎng)度不能忽略, 電子束的速度相對(duì)于電磁波的群速度不可忽略, 因此若電子入射角固定,則與電子發(fā)生相互作用的光子分布隨時(shí)間變化的情況較為復(fù)雜.所以可以考慮巧妙設(shè)置電子束入射夾角使電子速度的z分量與電磁波傳輸?shù)娜核俣缺３忠恢? 則當(dāng)電子束與微波發(fā)生相互作用時(shí), 電子束在微波坐標(biāo)系下z方向保持不變, 僅在微波坐標(biāo)系中固定橫截面內(nèi)與微波的光子發(fā)生散射, 這樣就減小了計(jì)算的復(fù)雜程度.但在具體設(shè)計(jì)時(shí), 由于需要考慮高純鍺探測(cè)器(HPGe Detector)靈敏度、同步輻射本底的存在等很多因素[17], 所以需要考慮較多限制條件, 我們?cè)噲D在滿足HPGe探測(cè)器靈敏度、總體設(shè)計(jì)誤差需求的同時(shí)找到合適的波導(dǎo)規(guī)格、微波波段和對(duì)撞夾角.

束流測(cè)量是依靠測(cè)量微波-電子康普頓背散射光子的能量來反推電子束的能量來實(shí)現(xiàn)的(圖3).BEPCⅡ采用激光-電子康普頓背散射的方法使束流能量的測(cè)量精度達(dá)到了2 × 10–5.該系統(tǒng)利用二氧化碳激光器產(chǎn)生的0.117 eV能量的光子與束流正碰, 電子束由二級(jí)磁鐵偏轉(zhuǎn), 背散射產(chǎn)生的γ光子被HPGe探測(cè)器收集并標(biāo)定能量[11].BEPCⅡ的物理取數(shù)計(jì)劃主要集中在3到4.6 GeV之間, 散射γ光子的能量在4到9 MeV之間, 這個(gè)能量區(qū)間的光子可以由HPGe探測(cè)器精確測(cè)量.由于CEPC電子束能量較大, Higgs模式時(shí)電子束能量約120 GeV, 所以散射光子的能量必然比BEPCⅡ束流能量測(cè)量裝置中的散射光子能量大得多, 為保證HPGe探測(cè)器工作在最佳探測(cè)能區(qū), 需要選擇合適的微波波長(zhǎng)和對(duì)撞角保證散射光子能量在15到20 MeV之間[18].

圖3 微波法設(shè)計(jì)圖Fig.3.Design drawings for microwave measurement method.

相對(duì)論性電子在磁場(chǎng)作用下沿彎曲軌道運(yùn)動(dòng)時(shí), 在運(yùn)動(dòng)軌道切線方向上會(huì)發(fā)射電磁輻射, 稱之為同步輻射[19].同時(shí), 由于散射光子和同步輻射光子同時(shí)產(chǎn)生且速度相同, 所以同步輻射光子作為本底與散射光子同時(shí)到達(dá)探測(cè)器并被探測(cè)記錄.在初步設(shè)計(jì)計(jì)算中, 暫未考慮同步輻射的屏蔽設(shè)計(jì)問題, 而是通過提高散射光子數(shù)與同步輻射光子數(shù)的比值即信噪比, 來實(shí)現(xiàn)滿足束流標(biāo)定系統(tǒng)的整體誤差要求.由于同步輻射光子數(shù)隨著能量增大而減小, 所以希望通過探測(cè)器測(cè)量散射光子最大能量來反推入射電子的能量.CEPC束流能量為120 GeV時(shí)同步輻射參數(shù)下表1[2]所列.

表1 CEPC同步輻射參數(shù)值Table 1.Parameters of CEPC synchrotron radiation.

3.2 系統(tǒng)參數(shù)設(shè)定

為減小分析難度和計(jì)算復(fù)雜程度, 需設(shè)計(jì)電子束入射夾角使電子速度的z分量與電磁波傳輸?shù)娜核俣缺３忠恢? 即 c osθ=vg/ve≈vg/c, 其中θ為入射電子與波導(dǎo)的夾角,vg為微波群速度,ve為電子速度近似取光速c.滿足該條件的電子束與微波發(fā)生相互作用時(shí), 電子束在微波坐標(biāo)系下z方向保持不變, 減小了計(jì)算的復(fù)雜程度.由(13)式知微波光子的群速度為圓波導(dǎo)TM01模單模傳輸需滿足2.057a<λ<λc= 2.613a, 所以群速度vg≤ 0.617c.

在滿足探測(cè)器精度要求的前提下, 為了得到較高的信噪比, 系統(tǒng)設(shè)計(jì)過程中要控制好各個(gè)參數(shù)使散射光子最大能量ωmax為15 MeV.散射光子最大能量計(jì)算入(2)式, 其中,a0與光子能量有關(guān),近似取0.將ω=hυ代入得微波波長(zhǎng)與對(duì)撞角之間的關(guān)系式:

其中h為普朗克常數(shù), 當(dāng)微波波長(zhǎng)滿足2.057a<λ< 2.613a即單模傳輸時(shí), 需在滿足以上兩種限制條件的前提下分析角度、微波波長(zhǎng)、群速度和波導(dǎo)尺寸四者之間的關(guān)系.聯(lián)立以上兩式使對(duì)撞角ψ=電子入射角θ得(15)式, 若方程式有解, 則該思路可行.

由圖4可知, 滿足以上兩個(gè)限制條件的同時(shí)該方程組有解, 若使用標(biāo)準(zhǔn)圓形波導(dǎo)管, 則可以從中得到9組數(shù)據(jù), 對(duì)應(yīng)的波導(dǎo)半徑a、微波波長(zhǎng)λ等參數(shù)如表2所列.

表2 單模傳輸時(shí)微波-電子系統(tǒng)各參數(shù)值Table 2.Parameters of microwave-electronic system in single mode transmission.

圖4 單模傳輸波長(zhǎng)-內(nèi)徑解Fig.4.Solution of wavelength and inner diameter for single mode transmission.

表中Tz為坡印廷矢量軸向周期長(zhǎng)度,Tt為能流傳過坡印廷矢量軸向最小周期長(zhǎng)度所用的時(shí)間.CEPC在Higgs模式運(yùn)行時(shí), 每束電子束團(tuán)間隔時(shí)間為680 ns, 為保證系統(tǒng)的時(shí)間控制精度,Tt應(yīng)接近百納米量級(jí), 故本方案采用第五組數(shù)據(jù): 波導(dǎo)半徑a= 3.5685 × 10–3m, 微波波長(zhǎng)λ= 9.319 mm,電子入射夾角的余弦值cosθ= 0.035405.對(duì)撞角θ約為88°, 電子束軸向跨度Δz= 4.4 mm ×cosθ≈ 0.156 mm, 坡印廷矢量軸向周期長(zhǎng)度Tz=13.1601 mm, Δz/Tz≈ 0.59%.由于電子所在能流面上所含ρ方向傳播的光子占比很小, 故可以認(rèn)為與電子束發(fā)生散射的微波光子均沿z傳播.

3.3 散射光子數(shù)密度計(jì)算

決定對(duì)撞機(jī)產(chǎn)生事件能力的物理量用亮度L表示, 亮度是事件率dN/dt與被觀測(cè)事件的散射截面σ之間的比例系數(shù)[20].所以微波光子與電子發(fā)生康普頓背散射每秒產(chǎn)生的散射光子數(shù)滿足關(guān)系式(16)式, 兩邊對(duì)能量ω同時(shí)微分, 散射光子數(shù)密度表示為(17)式.

若考慮非極化電子束和非偏振光子的康普頓背散射, 且不考慮對(duì)剩余電子的自旋和散射光子的極化時(shí), 微分散射截面的表達(dá)式如下[21]:

所以散射截面對(duì)能量的導(dǎo)數(shù)為(20)式, 將參數(shù)代入可知自變量為散射光子能量ωγ, 因此可以得到dσ/dω與散射光子能量ωγ之間的關(guān)系圖如圖5所示.從圖5中可以看出, 當(dāng)散射光子能量達(dá)到最大15 MeV時(shí), dσ/dω的值最大, 此時(shí)對(duì)應(yīng)的散射光子數(shù)密度也最大.代入?yún)?shù)得當(dāng)散射光子最大能量為15 MeV時(shí), dσ/dω= 7.92267 ×10–30m2·MeV–1

圖5 散射光子不同能量對(duì)應(yīng)的dσ/dωFig.5.Different energies of scattered photons corresponding to the dσ/dω.

為了從散射截面進(jìn)一步得到康普頓背散射的事例數(shù), 需要計(jì)算微波光子和電子散射的亮度, 這里考慮CEPC的單束電子束和連續(xù)微波相互作用的情況.由于微波中的光子傳播方向與坡印廷矢量各個(gè)分量方向一致, 所以光子傳播方向只有沿z軸方向和沿半徑方向傳播.為了計(jì)算方便, 僅計(jì)算一束電子束與微波光子相互作用的情況.假設(shè)該電子入射時(shí), 入射電子束的中心位置恰好在坡印廷矢量z分量極大,ρ分量為0的能流截面上.并且不失一般性的認(rèn)為, 電子束的粒子密度服從高斯分布, 微波光子分布與能流分布情況一致.分團(tuán)束流與連續(xù)束團(tuán)碰撞的亮度用以下表達(dá)式計(jì)算[22]:

式中,N1是微波光子數(shù);N2是每束的電子數(shù);B是束團(tuán)數(shù);f為回旋頻率;c是光速;f1是微波光子的歸一化分布函數(shù);f2是電子束團(tuán)的歸一化分布函數(shù);角度φ為光子電子的對(duì)撞角.在目前的計(jì)算中, 只分析一個(gè)電子束團(tuán)與微波光子相互作用的情況, 所以B取為1, CEPC在Higgs模式下運(yùn)行每束電子束團(tuán)的電子數(shù)N2為15 × 1010[2], 回旋頻率f等于電子速度除以CEPC儲(chǔ)存環(huán)的周長(zhǎng), 其值約為3000, 描述微波光子分布的參數(shù)N1和歸一化函數(shù)f1可由光子面密度σmic(ρ)表示.坡印廷矢量S表示的是單位時(shí)間通過垂直單位面積的能量, 單位是W/m2也可以寫成J/(m2·s), 則單位時(shí)間通過單位垂直面積的光子數(shù)等于坡印廷矢量除以單個(gè)光子的能量:σmic(ρ)=S/(hν) , 單位是N/(m2·s),N是光子數(shù).因?yàn)殡娮邮牧Ｗ用芏确母咚狗植既?22)式, 所以電子束團(tuán)與連續(xù)微波對(duì)撞的亮度寫成(23)式的形式:

以上電子束團(tuán)與連續(xù)微波對(duì)撞的亮度計(jì)算公式是在各自參考系中的形式, 在實(shí)際計(jì)算中需要統(tǒng)一微波和電子束的坐標(biāo)系, 如圖6.以波導(dǎo)Z軸為Z坐標(biāo), 電子路徑與Z軸所在平面為X-Z平面, 從(xi,yi,zi) 坐標(biāo)系到實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系 (x,y,z) 的變換坐標(biāo)滿足關(guān)系:x1=X,y1=Y,z1=Z;x2=Xcosθ?Zsinθ,y2=Y,z2=X/sinθ=Z/cosθ.

圖6 電子束團(tuán)、微波統(tǒng)一坐標(biāo)系Fig.6.Unified coordinate system for electron beam cluster and microwave.

所以分布函數(shù)f2寫成(24)式:

若微波功率為100 W, 將各參數(shù)代入(25)式,則亮度L100 W為2.81744 × 1036m–2·s–1.由(17)式光子數(shù)密度計(jì)算公式知: 散射光子數(shù)密度等于亮度乘散射截面對(duì)能量的導(dǎo)數(shù), 當(dāng)微波功率為100 W時(shí), 散射光子數(shù)密度

此時(shí)同步輻射光子數(shù)密度為0.25 s–1·Me·V–1[18], 所以信噪比為8.92886 × 107符合系統(tǒng)整體誤差的要求, 因此該方案可行.為了更好地說明微波方案的優(yōu)勢(shì)和可行性, 司梅雨等[23]對(duì)CEPC同步輻射、束流標(biāo)定微波方案、波導(dǎo)微波結(jié)構(gòu)及束流與微波之間的背散射進(jìn)行了Geant4物理模擬, 模擬結(jié)果表明微波-電子康普頓背散射的方法在百GeV的大型對(duì)撞機(jī)中具有很好的應(yīng)用前景.

4 討論與結(jié)論

通過分析微波光子與相對(duì)論電子的康普頓背散射過程, 提出了測(cè)量微波-電子康普頓背散射產(chǎn)生的高能光子的方法反推電子束能量的方法.分析了微波-電子散射系統(tǒng)的對(duì)撞條件、探測(cè)器精度限制和系統(tǒng)精度要求, 確定了內(nèi)徑為3.5685 × 10–3m圓波導(dǎo)TM01模微波傳導(dǎo)的方案.考慮到波導(dǎo)中光子并不沿單一方向傳播, 為減少電子束團(tuán)與連續(xù)微波對(duì)撞過程的復(fù)雜程度, 通過理論計(jì)算合理設(shè)計(jì)電子入射夾角、微波波長(zhǎng)和波導(dǎo)內(nèi)徑等參數(shù), 保證電子速度的z分量與電磁波傳輸?shù)娜核俣缺３忠恢?使得電子束與微波光子相互作用的過程中, 電子束僅在微波坐標(biāo)系中固定橫截面內(nèi)與微波的光子發(fā)生散射, 這樣就減小了計(jì)算的復(fù)雜程度.最后在此設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上計(jì)算了微波100 W時(shí)散射γ光子在15 MeV能量的產(chǎn)額, 通過計(jì)算散射光子數(shù)密度與同步輻射光子數(shù)密度的比值得到探測(cè)器數(shù)據(jù)的信噪比, 100 W微波產(chǎn)生的信噪比符合系統(tǒng)的誤差要求, 論證了該方案的可行性.與BEPC等已有正負(fù)電子對(duì)撞機(jī)的束流能量測(cè)量系統(tǒng)相比, 該設(shè)計(jì)方案解決了激光-電子康普頓背散射法在百GeV量級(jí)對(duì)撞機(jī)中使用的理論困難.

本研究?jī)H在理論上進(jìn)行設(shè)計(jì)和計(jì)算, 并未考慮實(shí)際情況波導(dǎo)管接口處對(duì)微波的影響, 考慮到實(shí)際情況中微波在接口處分布可能較復(fù)雜且在傳播中有輻射損耗, 所以有待于進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.在計(jì)算微波光子與電子束發(fā)生康普頓背散射的光子產(chǎn)額時(shí), 僅計(jì)算了單束電子與z方向傳播光子的散射光子數(shù)密度, 其他電子束與光子散射的情況各不相同, 可以考慮之后使用統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算出每分鐘的光子產(chǎn)額, 使方案更有實(shí)用性.盡管探測(cè)100 W微波與電子相互作用的光子在高能區(qū)(大于15 MeV)能夠得到較大的信噪比, 但是由于低能端同步輻射本底非常高, 低能端的噪聲會(huì)對(duì)探測(cè)器造成影響,所以后期同步輻射的屏蔽工作也非常重要.