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圓錐曲線參數(shù)范圍類題型求解策略

2021-08-05 09:51:46
數(shù)理化解題研究 2021年10期
關(guān)鍵詞:題設(shè)判別式橢圓

韋 能

(廣西欽州市第二中學(xué) 535099)

圍繞圓錐曲線參數(shù)范圍求解目標(biāo),結(jié)合常見參數(shù)范圍求解題型,本文從不等關(guān)系建立角度出發(fā),將此類題型細(xì)分為四大類:題設(shè)條件類不等關(guān)系、圓錐曲線位置不等關(guān)系、圓錐曲線范圍類不等關(guān)系、基本判別式類不等關(guān)系.通過對(duì)上述四類圓錐曲線參數(shù)類題型求解的典型案例分析,從解題技巧上幫助學(xué)生掌握求解方法,從而實(shí)現(xiàn)靈活應(yīng)用.

一、利用題設(shè)條件建立不等關(guān)系

利用題設(shè)條件求解圓錐曲線參數(shù)范圍類題型屬于較為直接和基礎(chǔ)類的題型,通過對(duì)題設(shè)條件中已有的不等關(guān)系進(jìn)行直接應(yīng)用,正向構(gòu)建含參不等關(guān)系.在此類題型的求解過程中,需要緊密關(guān)注對(duì)應(yīng)圓錐曲線的類型及取值范圍,并結(jié)合圓錐曲線的定義判定范圍.

點(diǎn)評(píng)利用題設(shè)條件建立不等式,求解圓錐曲線不等關(guān)系類題型屬于直接正向求解思維的應(yīng)用.在實(shí)際求解過程中,切忌疏忽大意,必須緊密留意圓錐曲線自身的范圍,避免多解問題的出現(xiàn).

二、利用位置關(guān)系建立不等關(guān)系

在圓錐曲線中利用位置關(guān)系建立不等式,需要深入挖掘潛在信息,建立圓錐曲線相關(guān)的目標(biāo)函數(shù)與參數(shù)之間的不等關(guān)系,才能實(shí)現(xiàn)此類題型的求解.

解析設(shè)兩點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2)為橢圓C上關(guān)于直線l對(duì)稱的兩點(diǎn),點(diǎn)M(x,y)為弦AB的中點(diǎn).由于點(diǎn)A、B均在橢圓C上,故可知3x1+4y1=12、3x2+4y2=12,

聯(lián)立兩式得到關(guān)系式

3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0

簡(jiǎn)化后得到

結(jié)合點(diǎn)M與點(diǎn)A、B之間的位置關(guān)系可知,

x1+x2=2x、y1+y2=2y,

即是3x-y=0,再與y=4x+m

聯(lián)立方程組得到交點(diǎn)M(-m,-3m).由于點(diǎn)M在橢圓內(nèi),得到

點(diǎn)評(píng)圓錐曲線位置關(guān)系類不等關(guān)系題型的求解,可以概括為先將已知條件中涉及的基本量轉(zhuǎn)化為圓錐曲線位置關(guān)系,本題再利用點(diǎn)與圓錐曲線的位置關(guān)系:點(diǎn)在圓錐曲線內(nèi)、圓錐曲線上及圓錐曲線外,得到不等關(guān)系,進(jìn)而判定參數(shù)范圍,順利實(shí)現(xiàn)求解.

三、利用曲線范圍建立不等關(guān)系

圓錐曲線自身范圍具備多種特征,針對(duì)橢圓、雙曲線等圓錐曲線,其定義域、值域、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等等,都是此類題型常用的位置關(guān)系,求解此類題型的關(guān)鍵在于建立參數(shù)與曲線位置之間的不等關(guān)系.

解析設(shè)點(diǎn)P(x,y),由于點(diǎn)P位橢圓上的動(dòng)點(diǎn),故有-4≤x≤4.

化簡(jiǎn)后得到

結(jié)合-4≤x≤4,最終可知m≥1.

點(diǎn)評(píng)利用圓錐曲線范圍建立不等關(guān)系求解參數(shù)范圍時(shí),關(guān)鍵在于對(duì)圓錐曲線幾何特征的應(yīng)用,這就要求學(xué)生必須熟練掌握?qǐng)A錐曲線的基本特性,尤其是位置關(guān)系與函數(shù)表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)化,只有建立相關(guān)聯(lián)系后才能準(zhǔn)確判定參數(shù)范圍.

四、利用判別式建立不等關(guān)系

利用判別式確定不等關(guān)系類題型常出現(xiàn)于直線與圓錐曲線相交的題型中,通過直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立方程組,進(jìn)而得到一元二次方程,最后結(jié)合判別式中所含有的參數(shù)不等式進(jìn)行求解.

再將直線l的表達(dá)式帶入橢圓C的表達(dá)式,得到

此時(shí)利用判別式定理得到

點(diǎn)評(píng)當(dāng)題中已知條件為直線與圓錐曲線之間的位置關(guān)系時(shí),此時(shí)容易聯(lián)想到聯(lián)立直線與圓錐曲線之間的方程組,最終得到一個(gè)一元二次方程形式的含參表達(dá)式,結(jié)合判別式或基本不等式即可實(shí)現(xiàn)求解.

總之,求解圓錐曲線參數(shù)范圍類題型,最關(guān)鍵之處在于不等式關(guān)系的建立,再結(jié)合已知條件,利用圓錐曲線性質(zhì)、幾何特征、判別式或基本不等式等方式,從而構(gòu)建含參不等關(guān)系,最終實(shí)現(xiàn)參數(shù)范圍的判定.

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