劉彥永
(吉林省長春市東北師范大學附屬中學 130000)
2020年高考新課標Ⅰ卷文科第21題,引起了筆者的深入探索和思考.題目如下:
(1)求E的方程;
(2)證明:直線CD過定點.
本題也是2020年高考全國1卷理科第20題,考查了曲線的方程和圓錐曲線中直線過定點問題.問題由淺入深,對計算難度、思維深度的要求逐步提高.考查學生的推理論證能力和代數(shù)運算能力.考查層次分明、區(qū)分度較高,能使學生充分展示理性思維的廣度和深度和數(shù)學核心素養(yǎng).
圖1
本題第(2)問的解法很多,不同的解法體現(xiàn)不同的思維層次和思考角度,要求學生要有一種勇于探索、敢于實踐的精神.
解析(1)根據(jù)題意作圖如下:
下面對第二問深入探討:
解法1設點表線解決問題
(2)證明:設P(6,t),則直線AP的方程為
整理得(t2+9)x2+6t2x+9t2-81=0,
點評對滿足一定條件曲線上兩點連結(jié)所得直線過定點問題,設該直線上兩點的坐標,建立點的坐標滿足的方程,求出相應的直線,然后再說明直線過定點.
解法2 設點設線解決問題
(*)
整理得4x1x2-15(x1+x2)+36=0,
即4(ty1+n)(ty2+n)-15(ty1+ty2+2n)+36=0,
點評解法2巧妙利用坐標的平方,再結(jié)合點在橢圓上處理問題,這就是曲線代換,2011年四川理科高考圓錐曲線題就可以用曲線代換解決.反設直線也避免了討論斜率是否存的情況,事實上,先討論斜率不存在,再設直線CD方程為y=kx+m解決問題也會有巧妙處理技巧,在此不贅述.
解法3整體法解決問題
同解法2可知,2tny1y2=(9-n2)(y1+y2)
(**)
整理得2ty1y2+3(n-3)y1-(n+3)y2=0,結(jié)合(**)式有
(2n2-9n+9)y1+(-2n2-3n+9)y2=0,
點評解法3利用韋達定理很難處理,然而利用(**)式進行替換,利用整體法就很巧妙地解決了問題.這種代數(shù)變形的技巧需要積累多了才能用得靈活.
解法4先猜后證解決問題
證明:根據(jù)已知條件的特征和橢圓的對稱性,可以猜想到該定點一定在x軸上.
當直線CD斜率不存在時,得t2=3,
解法5 參數(shù)方程解決問題
設P(6,t)、C(3cosα,sinα)、D(3cosβ,sinβ).
點評利用參數(shù)方程巧妙地用一個參數(shù)表示出橢圓上點的坐標,結(jié)合三角函數(shù)公式快速解決問題.2010年陜西、遼寧、寧夏高考圓錐曲線解答題均可用參數(shù)方程解決.
解法6 極點極線解決問題
點評基于高等數(shù)學的極點和極線知識命題是命題人的一個常見思路,這在全國各地的考題中屢見不鮮.盡管此法簡潔,但不宜作為解答題的解法,也不建議教師突出本解法而沖淡常規(guī)解法.值得一提的是本題的第(2)問與2010年江蘇高考試題18題第(3)問本質(zhì)完全一樣,幾乎就是“撞衫”題.
圓錐曲線中的定點問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量,那么就要用變化的量表示目標量,目標量不受變化的量所影響的那個點就是要求的定點.化解這類問題難點的關鍵就是引進變的參數(shù)表示目標量,根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量.
圓錐曲線解答題主要考察學生的運算能力,因此在備考過程中要培養(yǎng)學生敢想、會算、有信心能算對.這就要求教師首先對試題的解法深入的探究,然后在教學中踐行所掌握的知識技能和思想方法,最后使學生的思維更廣闊、思想更深刻.