押少帥，趙興旺，胡豪杰，劉超，陳健

(安徽理工大學 空間信息與測繪工程學院，安徽 淮南 232001)

0 引 言

全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)(GNSS)是基于時間測量的系統(tǒng)，準確的距離測量實際上就是時間測量[1].星載原子鐘作為導航定位的星上時間基準，又是導航衛(wèi)星的核心有效負荷之一，其性能直接影響導航定位精度[2]，如時間系統(tǒng)上1 ns 的誤差，導致3 dm 的距離誤差[3].由國際 GNSS 服務(IGS)提供的最終星歷，其鐘差精度可以達到75 ps[4]，但是這個產(chǎn)品要延遲12～18 天，不能用于實時定位.因此，如何利用較少的數(shù)據(jù)提高鐘差的精度以滿足實時定位的要求成為研究的重點.

目前，國內(nèi)外許多學者對鐘差的預報模型做了大量的研究，取得了豐富的成果.常用的模型有時間序列模型(ARIMA)[5]、灰色模型(GM)[6]、一次多項式(LP)模型[7]、二次多項式(QP)模型[8]、譜分析模型[9]和卡爾曼濾波模型[10].由于這些模型適應性不同[11]，且原子鐘受外部環(huán)境和自身特性的影響，很難找出適合所有衛(wèi)星的鐘差預報模型.近些年，一些學者用機器學習進行鐘差預測得到了很好的精度[12-14]，但是機器學習的方法需要設置許多參數(shù)，目前對參數(shù)的選取還沒有一個科學的理論支持，需要不斷的嘗試才能找到最優(yōu)參數(shù)，這是在機器學習算法中一個未完善的部分.隨著北斗三號(BDS-3)的建設到全球組網(wǎng)成功，對BDS 系統(tǒng)原子鐘的性能評估也成為一個熱點.文獻[15]對BDS-3 的原子鐘進行了周期性分析和穩(wěn)定性分析，文獻[16]對BDS 系統(tǒng)原子鐘進行了頻率穩(wěn)定性分析性，但它們只是選取了一部分衛(wèi)星，沒有對全部衛(wèi)星進行評估.文獻[17]基于北斗二號(BDS-2)的事后鐘差產(chǎn)品對三種軌道衛(wèi)星性能和預報精度進行了分析，為BDS-3 提供了一些有意義的結論.以上文獻多數(shù)是對BDS-2 原子鐘和預報模型進行研究，缺少對BDS-3 和不同原子鐘類型的預報分析.

鑒于以上分析，本文在分析BDS-3 衛(wèi)星鐘的穩(wěn)定性的基礎上，選取LP、QP、GM、ARIMA 四種模型對鐘差進行預報，總結了不同類型原子鐘的預報精度，并且對預報模型的穩(wěn)定性進行了評估.

1 衛(wèi)星鐘差預報分析

衛(wèi)星鐘差預報對實時導航定位應用具有重要的意義，然而預報精度受到模型適用性、原子鐘穩(wěn)定性等多方面因素的影響[18].因此，為了客觀分析BDS-3衛(wèi)星鐘差預報的精度，本文對原子鐘的頻率穩(wěn)定性和四種預報模型做了比較分析，以便在鐘差預報時選用合適的模型.

1.1 衛(wèi)星鐘頻率穩(wěn)定性

衛(wèi)星鐘的穩(wěn)定性是衡量衛(wèi)星鐘的輸出頻率隨機起伏變化狀況的一個指標.由于衛(wèi)星鐘的輸出頻率不是一個固定的值[1].BDS 衛(wèi)星鐘大多搭載的是銣鐘，具有明顯的頻漂，因此，本文用Hadamard 方差對衛(wèi)星鐘的頻率穩(wěn)定性進行分析.

對于頻率數(shù)據(jù)序列yn,n={1,2,···,M}，其采樣間隔 τ0，M為采樣個數(shù)，基于頻率數(shù)據(jù)的Hadamard 方差可表達為

1.2 衛(wèi)星鐘差預報方法

1)多項式模型通常是根據(jù)原子鐘的相位、頻率和頻漂等時頻特性來構造的，主要包括LP 模型、QP 模型.QP 模型的觀測方程為：

對于星載原子鐘頻漂特性不明顯的衛(wèi)星，鐘差預報模型可簡化為LP 模型

2) GM 模型是將原始時間序列按順序進行累加，使之形成具有明顯特征規(guī)律的新序列，然后用一階線性微分方程的解來逼近的過程[19]，模型如下：

3) ARIMA 模型是通過對自回歸模型(AR)和滑動平均模型(MA)進行組合，然后引入差分方法處理非平穩(wěn)時間序列的預測模型[20].GNSS 衛(wèi)星鐘差序列具有明顯的非平穩(wěn)特征，ARIMA 模型能夠很好地通過差分消除非平穩(wěn)序列的趨勢項和周期項，從而實現(xiàn)對處理后的鐘差序列進行建模預報.基于差分數(shù)據(jù)的ARIMA(p,d,q)模型，記為{xt} ～ARIMA(p,d,q).其中 {xt} 是數(shù)據(jù)序列，p和q為模型的階數(shù)，d為差分的次數(shù).當d=0 時，即ARMA 模型為

式 中：ai、bj分別為自回歸參數(shù)和滑動平均參數(shù)；{εt}～WN(0,σ2) 為白噪聲(WN)序列；σ2為WN 方差.

以上模型具有不同的特性，因此在鐘差預報時也會存在一定的差異性.如多項式模型具有計算簡單、充分體現(xiàn)原子鐘的物理特征和短期預報精度高等優(yōu)點.但是，存在的預報誤差會隨著時間的累積迅速增大.灰色預測具有建模數(shù)據(jù)少，適合長期預報的優(yōu)點，但在實際應用中，預報結果并不穩(wěn)定，有時會造成巨大誤差.ARIMA 模型存在模型識別和階數(shù)確定的問題，當建模數(shù)據(jù)量較少時該模型的識別和階數(shù)確定問題存在困難，因此ARIMA 不適合進行建模數(shù)據(jù)較少情況下的長期預報.

2 算例分析

2.1 實驗數(shù)據(jù)及方案

自2019 年1 月1 日起，武漢大學開始提供BDS-3公開精密鐘差產(chǎn)品(WUM)，為BDS-3 參與多GNSS精密定位提供了產(chǎn)品基礎，同時，該產(chǎn)品也為BDS-3衛(wèi)星原子鐘性能研究及鐘差模型精化提供了數(shù)據(jù)支撐.為了分析不同衛(wèi)星鐘差預報模型在不同預報時長下的鐘差預報精度，本文選用LP 模型、QP 模型、GM 模型、ARIMA 模型進行鐘差預報.實驗數(shù)據(jù)選取2020 年年積日151—180 天內(nèi)采樣間隔為30 s 的WUM 精密鐘差產(chǎn)品.統(tǒng)計不同方案下的鐘差預報精度.通過對比BDS-3 衛(wèi)星所搭載的新型銣鐘和氫鐘在不同預報模型下的表現(xiàn)，分析適用于新型銣鐘和氫鐘的鐘差預報模型，為BDS-3 鐘差模型精化提供最優(yōu)的基礎參考模型.具體方案為：1)用Hadamard 方差評估衛(wèi)星原子鐘的頻率穩(wěn)定性時，采用不間斷的數(shù)據(jù)進行計算；2)基于30 天的WUM 鐘差數(shù)據(jù)，使用LP 模型、QP 模型、GM 模型以及ARIMA 模型進行擬合預報，即基于每天前12 h 的鐘差數(shù)據(jù)擬合，預報后12 h 的衛(wèi)星鐘差，并按3 h、6 h 和12 h 三個預報弧段進行精度分析.以WUM 精密鐘差產(chǎn)品為參考值，從均方根(RMS)、最大、最小誤差差值兩方面評價預報效果.由于在WUM 精密鐘差產(chǎn)品中存在著相位跳變和數(shù)據(jù)缺失的異常情況，需要對BDS 衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)進行預處理，采用數(shù)據(jù)分段處理鐘差數(shù)據(jù)相位跳變，采用中位數(shù)(MAD)和Baarda 組合方法識別異常值，采用線性插值方法填補缺失數(shù)據(jù)[21].

2.2 衛(wèi)星穩(wěn)定性分析

圖1～圖3 分別給出了BDS-2 銣鐘、BDS-3 新型銣鐘、BDS-3 氫鐘三種類型原子鐘的穩(wěn)定性隨時間變化的趨勢.從圖中可以看出，三種原子鐘的穩(wěn)定性數(shù)值隨著時間的增加而降低，且在千秒之前穩(wěn)定性整體呈現(xiàn)線性變化.但是BDS-2 銣鐘的穩(wěn)定性在萬秒之后出現(xiàn)非規(guī)律性變化，而BDS-3 的穩(wěn)定性在2 000 s 之后開始趨于平穩(wěn)，在萬秒附近有一個明顯的凸起，這是由于周期特性引起的[15]，之后呈現(xiàn)出波浪狀向下的變化趨勢.

圖1 BDS-2 銣鐘的Hadamard 方差

圖2 BDS-3 新型銣鐘的Hadamard 方差

圖3 BDS-3 氫鐘 的Hadamard 方差

為了分析不同原子鐘穩(wěn)定性的高低，BDS-2 和BDS-3 每顆衛(wèi)星的千秒穩(wěn)定性、萬秒穩(wěn)定性和日穩(wěn)定性，分別如圖4、圖5 所示.不同類型鐘的穩(wěn)定性統(tǒng)計結果如表1 所示.由圖4 和圖5 可知BDS-2 的千秒穩(wěn)定性大多數(shù)都在10?13量級，萬秒穩(wěn)定性和日穩(wěn)定性基本都在10?14量級；BDS-3 的千秒穩(wěn)定性和萬秒穩(wěn)定性都在10?14量級，日穩(wěn)定性大多數(shù)都在10?15量級.結合表1 的統(tǒng)計信息可以得出，BDS-3 氫鐘的穩(wěn)定性要優(yōu)于BDS-2 的銣鐘和BDS-3 的新型銣鐘，其中BDS-2 的銣鐘穩(wěn)定度最差.BDS-3 新型銣鐘和氫鐘的千秒穩(wěn)定性要高于BDS-2 銣鐘一個量級；BDS-2、BDS-3 原子鐘的萬秒穩(wěn)定性差別不大；而BDS-3 氫鐘的日穩(wěn)定性均為10?15量級遠優(yōu)于BDS-2 的銣鐘和BDS-3 新型銣鐘，尤其是C27 可以達到10?16量級.從穩(wěn)定性的最大值最小值可以得出，BDS-2 銣鐘在不同衛(wèi)星間穩(wěn)定性差異較大，BDS-3 氫鐘的穩(wěn)定性最好.對于BDS-2 的C06 衛(wèi)星鐘和BDS-3 的C24 衛(wèi)星鐘的日穩(wěn)定性比千秒穩(wěn)定性和萬秒穩(wěn)定性都要差這一反?，F(xiàn)象，可能是由于C06、C24 衛(wèi)星鐘的數(shù)據(jù)不穩(wěn)定導致的.

表1 頻率穩(wěn)定性統(tǒng)計結果

圖4 BDS-2 的頻率穩(wěn)定性

圖5 BDS-3 的頻率穩(wěn)定性

2.3 鐘差預報精度分析

圖6～圖8 分別給出了3 h、6 h 和12 h 預報時長，不同衛(wèi)星原子鐘在LP、QP、GM 和ARIMA 模型下的預報結果的RMS 值，箱型圖為30 天的預報結果RMS 分布情況，其中灰色代表BDS-2 銣鐘，黃色代表BDS-3 新型銣鐘，紅色代表BDS-3 氫鐘.表2 給出了各類型原子鐘在不同預報時長下各個模型預報結果RMS 的均值.

表2 四種模型不同預報時長下鐘差結果RMS 均值 ns

由圖6～圖8 可以看出，在預報時長為3 h 下，BDS-3 氫鐘的RMS 值在LP、QP、GM 模型下均處于0.5 ns 內(nèi)，在ARIMA 模型下該指標可達到0.2 ns內(nèi)，優(yōu)于同模型下BDS-3 新型銣鐘和BDS-2 銣鐘.同樣地，在6 h 和12 h 下BDS-3 氫鐘的RMS 值優(yōu)于BDS-3新型銣鐘和BDS-2 銣鐘.在不同模型下，BDS-3 新型銣鐘要比BDS-2 銣鐘的精度高，且BDS-2 銣鐘在不同衛(wèi)星間精度變化比較大，這可能是由于衛(wèi)星在太空中運行，受到復雜的外部環(huán)境的影響，致使衛(wèi)星鐘的內(nèi)部零件損壞和老化，因此衛(wèi)星運行時間越長對原子鐘影響越大.

圖6 四種模型3 h 預報結果RMS 值

圖7 四種模型6 h 預報結果RMS 值

圖8 四種模型12 h 預報結果RMS 值

由表2 所示，3 h 預報時長下BDS-3 氫鐘各模型RMS 均值為0.17 ns，新型銣鐘為0.34 ns，BDS-2 銣鐘為0.88 ns；6 h 預報時長下BDS-3 氫鐘各模型RMS均值為0.26 ns，新型銣鐘為0.59 ns，銣鐘為1.42 ns；12 h 預報時長下氫鐘、新型銣鐘及銣鐘各模型RMS均值分別為0.44 ns、1.24 ns 和2.86 ns.因此，BDS-3所搭載的氫鐘具有最優(yōu)的預報精度，且在預報12 h情況下預報精度仍保持在0.5 ns 以內(nèi).

對不同原子鐘的預報模型分析知，BDS-2 銣鐘在不同的時間下ARIMA 模型預報精度最好為0.44 ns、0.76 ns、1.48 ns，GM 模型的預報精度最差為1.44 ns、2.16 ns、4.30 ns，ARIMA 模型的預報精度明顯優(yōu)于GM 模 型.BDS-3 新型銣鐘在不同時間下，ARIMA 和QP 模型的預報精度分別為0.22 ns、0.47 ns、1.11 ns 和0.28 ns、0.50 ns、1.04 ns，這兩個模型的預報精度相當且都優(yōu)于LP 和GM 模型；隨著預報時間的增加，QP 模型的預報精度要優(yōu)于ARIMA 模型.BDS-3 氫鐘在不同時間下，ARIMA 模型的預報精度都要優(yōu)于其他三種模型.

Range 表示最大誤差與最小誤差的距離，體現(xiàn)了預報結果的穩(wěn)定性.圖9～圖11 分別給出了3 h、6 h 和12 h 預報時長，不同衛(wèi)星原子鐘在LP、QP、GM 和ARIMA 模型下的預報結果的Range 值，表2 給出了各類型原子鐘在不同預報時長下各個模型預報結果Range 的均值.

由圖9～圖11 可知，從Range 值的箱型圖分布情況可以看出，BDS-3 氫鐘的預報穩(wěn)定性在四種模型下都優(yōu)于BDS-3 新型銣鐘和BDS-2 銣鐘；四種模型的Range 值都在隨著預報時時間的增加而增加；BDS-2 不同衛(wèi)星的Range 值有較大的差別.BDS-3 氫鐘在3 h、6 h 和12 h 下Range 均值為0.28 ns、0.47 ns和0.88 ns；相對于BDS-3 新型銣鐘的0.45 ns、0.47 ns和2.25 ns，BDS-2 銣鐘的1.20 ns、2.32 ns 和5.49 ns，四種模型不同預報時長下鐘差結果Range 均值如表3所示.由表3 可知，BDS-3氫鐘的預報穩(wěn)定性遠優(yōu)于BDS-3 新型銣鐘和BDS-2 銣鐘.

表3 四種模型不同預報時長下鐘差結果Range 均值 ns

圖9 四種模型3 h 預報結果Range 值

圖10 四種模型6 h 預報結果Range 值

圖11 四種模型12 h 預報結果Range 值

通過對比不同模型的Range 均值可知，LP 和ARIMA模型的Range 均值要優(yōu)于QP 和GM 模型，這可能跟模型本身的特性有關.但對于BDS-3 新型銣鐘，在不同預報時間下QP 模型的Range 均值為0.43 ns、0.86 ns、1.97 ns，要優(yōu)于其他三種模型的Range 均值，這說明了QP 模型對BDS-3 新型銣鐘進行鐘差預報的穩(wěn)定性要優(yōu)于LP、GM、ARIMA 三個模型.

作為兩個基礎的預報模型，LP 和QP 在BDS-3不同類型原子鐘預報的適用性問題更加值得注意.通過對比各個時長下，LP 和QP 模型在不同原子鐘下的預報結果，可以看出，LP 模型更加適合做BDS-3 氫鐘鐘差數(shù)據(jù)預報，而QP 模型更加適合做BDS-3 新型銣鐘.結合表2 和表3，在3 h、6 h 和12 h 預報時長下BDS-3 新型銣鐘采用QP 模型進行預報的結果RMS均值為0.28 ns、0.50 ns 和1.04 ns，對應的Range 均值為0.43 ns、0.86 ns 和1.97 ns，優(yōu)于LP 模型下RMS 均值的0.39 ns、0.63 ns 和1.27 ns，以及Range 均值的0.44 ns、0.94 ns 和2.22 ns；因此，BDS-3 新型銣鐘采用QP 模型預報效果較優(yōu).在3 h、6 h和12 h 預報時長下，BDS-3 氫鐘采用LP 模型進行預報的結果RMS均值為0.18 ns、0.23 ns 和0.35 ns，均優(yōu)于0.5 ns，其對應的Range 均值為0.27 ns、0.41 ns 和0.68 ns，優(yōu)于QP 模型下RMS 均值的0.20 ns、0.34 ns 和0.68 ns，以及Range 均值的0.32 ns、0.60 ns 和1.31 ns；因此，BDS-3 氫鐘采用LP 模型預報效果較優(yōu).

由于BDS-2 與BDS-3 都搭載有銣鐘，因此BDS-2銣鐘的變化可以給BDS-3 新型銣鐘一些有意義的參考.銣鐘具有明顯的頻漂，因此對銣鐘進行預測時采用顧及頻漂的QP 模型要比LP 模型要準確，但是根據(jù)表2 和表3 統(tǒng)計的結果可以看出，LP 模型對BDS-2的預報精度和預報穩(wěn)定性要優(yōu)于QP 模型，而BDS-3新型銣鐘的QP 模型優(yōu)于LP 模型.因此可以得出，銣鐘在運行一定時間后，用LP 模型進行鐘差預報要優(yōu)于QP 模型.

為了直觀的了解三種原子鐘在不同模型下的預報精度和穩(wěn)定性，圖12 給出了第156 天BDS 衛(wèi)星鐘差預報12 h 的偏差序列.可以看出在LP、QP、GM及ARIMA 模型中，ARIMA 模型具有最優(yōu)的預報結果，GM 模型預報效果最差，LP 模型預報結果稍遜于ARIMA 模型，整體上優(yōu)于QP 模型.結合表2 和表3，ARIMA 模型12 h 預報結果RMS 均值為0.96 ns，6 h預報結果RMS 均值為0.47 ns，在0.5 ns 以內(nèi)；12 h、6 h和3 h 預報結果Range 均值分別為2.02 ns、0.97 ns和0.54 ns.相對于其他三種模型ARIMA 具有最優(yōu)的預報結果，但是，該模型需要明確模型階次和數(shù)據(jù)差分次數(shù)信息，靈活性較差.LP 模型在3 h、6 h 和12 h下預報結果RMS 均值為0.45 ns、0.64 ns 和1.12 ns，對應的Range 均值為0.56 ns、0.99 ns 和2.07 ns；其預報效果僅次于ARIMA 模型.QP 模型在3 h 時長下預報結果與LP 模型相當，但隨著預報時長的增加，QP 模型精度較差.GM 模型短期預報效果稍遜于LP模型和QP 模型但相差不大，在3 h 預報時長下GM模型預報結果RMS 均值為0.7 ns，對應Range 均值為0.75 ns；在6 h 和12 h 預報時長下的精度與穩(wěn)定性在四種模型中最差.

圖12 四種模型12 h 預測偏差序列（DOY 156）

在建模時長為一定的情況下，預報誤差會隨著預報時長的增加而增加.整體上，BDS 衛(wèi)星鐘差在3 h、6 h 和12 h 預報結果RMS 值分別為0.46 ns、0.76 ns和1.51 ns，對應的Range 值分別為0.64 ns、1.25 ns 和2.87 ns.在進行定位應用過程中，衛(wèi)星鐘差存在1 ns的誤差就會產(chǎn)生0.3 m 的等效距離誤差，因此，仍需對基礎鐘差模型進行精化以滿足高精度定位的要求.

3 結 論

本文基于30 天BDS 精密鐘差數(shù)據(jù)，對BDS-2和BDS-3 的穩(wěn)定性和不同預報時長下LP、QP、GM和ARIMA 四種模型的預報結果進行分析，得到了一些有益的結論，為BDS-3 衛(wèi)星鐘差模型精化提供了參考基礎：

1) BDS-3 氫鐘在三個時間段上的頻率穩(wěn)定性都是最優(yōu)，其中千秒穩(wěn)定性要比BDS-2 銣鐘高出一個量級，在日穩(wěn)定性上氫鐘都達到了10?15量級，其中C27 達到10?16量級，要遠優(yōu)于BDS-2 銣鐘和BDS-3 新型銣鐘.

2) BDS-3 氫鐘的預報精度和預報穩(wěn)定性要優(yōu)于BDS-2 銣鐘，特別是BDS-3 氫鐘的結果最優(yōu)，在3 h、6 h 和12 h 下預報結果RMS 均值為0.17 ns、0.26 ns和0.44 ns，對應的Range 均值為0.28 ns、0.47 ns 和0.88 ns；在較長的預報時長下，BDS-3 氫鐘仍能保持較優(yōu)的預報精度和穩(wěn)定性.這在一定程度上也說明了氫鐘的頻率穩(wěn)定性越好，預報精度越高.

3) 對比四種不同模型預報結果，ARIMA 模型預報結果最優(yōu)，GM 模型預報結果最差.對于BDS 整體而言，LP 模型在12 h 下預報精度為1.12 ns，優(yōu)于QP 模型的1.88 ns.

4)本文對考慮原子鐘物理特性的LP 模型和QP 模型在不同原子鐘下的精度進行了比較，結果表明，BDS-2 的銣鐘隨著運行時間的增加更適合忽略頻漂的LP 模型,此結論可以為BDS-3 鐘差模型的進一步精化提供有利的參考.

致謝：感謝國際GNSS 監(jiān)測評估系統(tǒng)(iGMAS)提供的數(shù)據(jù).