呂明慧，李薇，張寶成，柴艷菊

(1.中國(guó)科學(xué)院精密測(cè)量科學(xué)與技術(shù)創(chuàng)新研究院，武漢 430071；2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

0 引 言

精密單點(diǎn)定位(PPP)是指利用接收機(jī)獲取衛(wèi)星到地面觀測(cè)點(diǎn)的偽距和載波相位信息，結(jié)合事后高精度的軌道和鐘差產(chǎn)品，利用函數(shù)模型和其他誤差改正模型來(lái)削弱衛(wèi)星端、接收機(jī)端以及傳播路徑上的誤差影響，實(shí)現(xiàn)高精度定位定軌的方法[1-3].

全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(GNSS)單點(diǎn)定位模型包括函數(shù)模型和隨機(jī)模型.函數(shù)模型保證了定位過(guò)程中各數(shù)據(jù)參量之間相互關(guān)系的準(zhǔn)確性，隨機(jī)模型則描述了觀測(cè)量的先驗(yàn)統(tǒng)計(jì)特性.現(xiàn)有的隨機(jī)模型有等權(quán)模型、高度角模型以及信噪比(SNR)模型等，很多學(xué)者針對(duì)這幾種模型的適用條件以及各模型之間的精度比較做了細(xì)致地研究[4-5].針對(duì)PPP 中不同觀測(cè)條件等因素的影響，現(xiàn)已存在一些相應(yīng)的研究，以上述傳統(tǒng)隨機(jī)模型為基礎(chǔ)發(fā)展了新的方法.王郁茗等[6]針對(duì)海面GNSS 觀測(cè)中多路徑誤差對(duì)定位精度存在嚴(yán)重影響的情況，將海面反射對(duì)衛(wèi)星信號(hào)傳播路徑的影響考慮進(jìn)去，結(jié)合高度角模型提出了一種自適應(yīng)選權(quán)隨機(jī)模型.潘宇明等[7]認(rèn)為觀測(cè)值的噪聲無(wú)法準(zhǔn)確地用一個(gè)特定的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛠?lái)描述，因此利用濾波中的寬窄巷組合觀測(cè)值實(shí)時(shí)地估計(jì)衛(wèi)星觀測(cè)值的噪聲，從而得到自適應(yīng)偽距-相位比隨機(jī)模型.對(duì)流層殘余延遲在PPP 解算過(guò)程中為未建模誤差，有學(xué)者利用衛(wèi)星高度角與大氣延遲殘留誤差強(qiáng)相關(guān)的特性，提出了一種基于天頂映射函數(shù)的隨機(jī)模型，用于降低殘余誤差較大的衛(wèi)星觀測(cè)值的權(quán)重.利用該模型驗(yàn)證了低、中、高緯度地區(qū)的測(cè)站，結(jié)果表明天頂映射函數(shù)相關(guān)的隨機(jī)模型在高緯度地區(qū)的精度改善效果最好[8].上述大部分研究都是針對(duì)某一特殊需求對(duì)傳統(tǒng)隨機(jī)模型做出改進(jìn)，但以精化隨機(jī)模型來(lái)整體地提高定位精度尚沒(méi)有太多研究.本文利用主成分分析法(PCA)確定高度角和SNR 在GNSS 觀測(cè)噪聲中的貢獻(xiàn)建立精化隨機(jī)模型，實(shí)現(xiàn)了在不增加PPP 基本計(jì)算量的同時(shí)提高定位精度，并通過(guò)實(shí)際算例驗(yàn)證和分析該精化隨機(jī)模型在高緯度地區(qū)實(shí)施PPP 的效果.

1 單點(diǎn)定位模型

1.1 單點(diǎn)定位函數(shù)模型

在GNSS 觀測(cè)中，函數(shù)模型由單點(diǎn)定位的基本原理確定，描述了已知量與未知參數(shù)之間的關(guān)系，利用衛(wèi)星位置作為已知點(diǎn)位，通過(guò)空間距離后方交會(huì)確定地面觀測(cè)點(diǎn)的位置.

忽略某些誤差的影響后，某一歷元的基本觀測(cè)方程[9]為

各觀測(cè)量和已知量之間的函數(shù)關(guān)系已確定，但該函數(shù)模型是在各觀測(cè)值同精度的情況下建立的，實(shí)際觀測(cè)中由于各種因素的影響會(huì)使得最小二乘計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生較大偏差，隨機(jī)誤差增大，因此針對(duì)復(fù)雜的觀測(cè)環(huán)境建立精化隨機(jī)模型以提高定位結(jié)果的精度是非常有必要的.

1.2 單點(diǎn)定位隨機(jī)模型

1.2.1 高度角模型

單點(diǎn)定位中的隨機(jī)模型通過(guò)某一評(píng)價(jià)指標(biāo)描述GNSS 衛(wèi)星觀測(cè)值的統(tǒng)計(jì)特性.高度角模型以衛(wèi)星高度角為變化量反映衛(wèi)星觀測(cè)數(shù)據(jù)的質(zhì)量，研究表明：衛(wèi)星高度角越高，觀測(cè)數(shù)據(jù)的質(zhì)量越好，定位結(jié)果的精度越高[10].但有學(xué)者認(rèn)為高度角模型中包含多路徑誤差，對(duì)定位精度產(chǎn)生了不好的影響[6].衛(wèi)星高度角模型[8,11]一般表示為

式中：σ2為各衛(wèi)星觀測(cè)值的方差；為參考方差；α 為衛(wèi)星高度角.本文將利用該高度角模型進(jìn)行精化隨機(jī)模型的構(gòu)建.

范士杰等[12]認(rèn)為低高度角衛(wèi)星觀測(cè)值中包含了更多的大氣信息，利用這些大氣信息有助于得到更高精度的對(duì)流層天頂延遲(ZTD)，從而建立了以余弦函數(shù)為基礎(chǔ)的隨機(jī)模型

經(jīng)國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究證明，該隨機(jī)模型的ZTD 與國(guó)際GNSS 服務(wù)(IGS)產(chǎn)品相差2 mm 左右，優(yōu)于其他隨機(jī)模型[13].低高度角衛(wèi)星觀測(cè)值被賦予較大權(quán)重時(shí)，多路徑誤差的影響也隨之增大，因此該模型只適用于單獨(dú)研究ZTD 誤差.

1.2.2 SNR 模型

GNSS 觀測(cè)噪聲對(duì)數(shù)據(jù)質(zhì)量有很大影響，SNR 是指觀測(cè)過(guò)程中接收到的有效信息與噪聲信息的比值，SNR 越大說(shuō)明數(shù)據(jù)質(zhì)量越好，因此可以利用SNR 反映觀測(cè)數(shù)據(jù)的質(zhì)量.Brunner 建立了一種利用SNR 表示載波相位中誤差的隨機(jī)模型[14-15]

式中：Ci為一個(gè)常數(shù)，在利用L1載波的SNR 計(jì)算時(shí)，取C1=0.002 24 m2Hz，利用L2載波的SNR 進(jìn)行計(jì)算時(shí)，取C2=0.000 77 m2Hz.C為載波的能量密度，N0為噪聲的能量密度，C/N0即為SNR.

2 引入PCA 的高度角-SNR 隨機(jī)模型

基于對(duì)上述隨機(jī)模型的研究，僅顧及高度角或SNR 的傳統(tǒng)隨機(jī)模型無(wú)法滿(mǎn)足現(xiàn)階段高精度定位的需求，且不同的隨機(jī)模型對(duì)于某些誤差有很好地削弱效果，但總體定位精度仍然有待提高.戴吾蛟等[4]的研究表明：高度角模型在處理對(duì)流層殘余誤差方面的效果較好，針對(duì)衛(wèi)星信號(hào)傳輸過(guò)程中引起的衍射誤差的削弱效果則不如SNR 模型，因?yàn)楦叨冉侵递^大的衛(wèi)星發(fā)生衍射后仍被賦予較高的權(quán)重，使得定位結(jié)果坐標(biāo)序列的平滑性不如SNR 模型，因此建立一種綜合考慮對(duì)流層殘余誤差、衍射誤差和其他誤差影響的精化隨機(jī)模型是非常有必要的.已有研究表明高度角與SNR 之間呈正相關(guān)關(guān)系[16]，但并不是簡(jiǎn)單的線性關(guān)系.PCA 主要用于將一組可能存在相關(guān)性的變量通過(guò)正交變換轉(zhuǎn)換成一組新的線性不相關(guān)的變量，轉(zhuǎn)換后的變量被稱(chēng)為主成分[17].接下來(lái)將利用PCA對(duì)高度角和SNR 進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，確定它們?cè)诰S機(jī)模型中的信息貢獻(xiàn)率.

2.1 PCA

PCA[18]方法最早是由Fukunaga 給出了詳細(xì)介紹，主要思想是利用降維的方法在損失很少原始信息的前提下把多個(gè)指標(biāo)轉(zhuǎn)化為幾個(gè)不相關(guān)的綜合指標(biāo)，即每個(gè)主成分都是原始變量的線性組合，且各個(gè)主成分之間互不相關(guān)，使得主成分比原始變量具有某些更優(yōu)越的性能.

2.2 高度角-SNR 隨機(jī)模型

已有研究表明衛(wèi)星高度角與SNR 之間存在相關(guān)性且并非簡(jiǎn)單的線性關(guān)系，而衍射誤差和對(duì)流層誤差在PPP 的過(guò)程中是不可被忽略的，對(duì)高度角和SNR進(jìn)行主成分分析，新的主成分之間并不存在相關(guān)性，這一點(diǎn)有利于隨機(jī)模型中方差協(xié)方差陣的計(jì)算，并且所得到的主成分可以基本保留原數(shù)據(jù)的全部信息，不會(huì)出現(xiàn)正交化或降維后的信息損失，因此該方法滿(mǎn)足PPP 對(duì)隨機(jī)模型的需求.

基于PCA 確定GNSS 觀測(cè)噪聲中高度角和SNR的貢獻(xiàn)時(shí)，首先要得到新的主成分，從而確定權(quán)重，處理策略為：將衛(wèi)星高度角 α 和SNRS組合成矩陣X，此處的S指GPS 衛(wèi)星信號(hào)中L1載波的SNR 數(shù)據(jù)，其他載波相應(yīng)的精化隨機(jī)模型可依此類(lèi)推.指標(biāo)因子的個(gè)數(shù)為p，此模型中p=2，分別是高度角和SNR 因子，設(shè)第j個(gè)指標(biāo)因子的數(shù)據(jù)有n個(gè)，n為衛(wèi)星的數(shù)量.則矩陣X的表達(dá)式為

對(duì)矩陣X標(biāo)準(zhǔn)化，將其從一個(gè)變量轉(zhuǎn)化為無(wú)量綱的純數(shù)字，以便處理量級(jí)和單位不同的指標(biāo)，從而進(jìn)行主成分分析.若兩種評(píng)價(jià)指標(biāo)的數(shù)值不在一個(gè)數(shù)量級(jí)上，則標(biāo)準(zhǔn)化步驟必不可少.對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行0～1 標(biāo)準(zhǔn)化處理得到：

式中，y1、y2分別為第一主成分和第二主成分.理論上選取能夠?qū)⒃畔⒈磉_(dá)出85%的主成分即可，以便于更好地達(dá)到降維的目的.對(duì)于高度角-SNR 精化模型來(lái)說(shuō)，該模型的原變量只有高度角和SNR，能夠提取出的主成分有兩個(gè)，并沒(méi)有降維方面的需求，為了能更好地表達(dá)隨機(jī)模型對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)質(zhì)量的先驗(yàn)統(tǒng)計(jì)信息，將兩個(gè)主成分全部納入到隨機(jī)模型中，可得

權(quán)重可以看作是原指標(biāo)在各個(gè)主成分中對(duì)應(yīng)的方差貢獻(xiàn)率，因此求得各主成分中不同指標(biāo)對(duì)應(yīng)線性組合的系數(shù)，而后進(jìn)行歸一化處理即可得到指標(biāo)權(quán)重.

式中，bj為第j主成分的信息貢獻(xiàn)率.主成分表達(dá)式由原指標(biāo)的線性組合形式給出，根據(jù)線性組合系數(shù)可求得原指標(biāo)占該主成分的信息貢獻(xiàn)率為

式中，Bα、BS分別為高度角和SNR 在精化隨機(jī)模型中的權(quán)重.為保證精化隨機(jī)模型不受單位的限制，將高度角和SNR 數(shù)據(jù)進(jìn)行0～1 標(biāo)準(zhǔn)化，按比例進(jìn)行縮放使其處在一個(gè)特定的區(qū)間以去除量綱的限制.設(shè)分別為歸一化處理后的高度角與SNR 在GNSS 觀測(cè)噪聲中的權(quán)重，包含了SNR 和高度角模型0～1 標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)學(xué)信息.綜合考慮高度角與SNR對(duì)GNSS 觀測(cè)數(shù)據(jù)質(zhì)量的影響所得到的方差為

將方差乘以參考方差即為PPP 函數(shù)模型的權(quán)陣.為方便敘述，下文將此引入PCA 的高度角-SNR 精化隨機(jī)模型簡(jiǎn)稱(chēng)為精化隨機(jī)模型.

對(duì)GNSS 觀測(cè)值中高度角和信噪比進(jìn)行相關(guān)性分析得出：其相關(guān)性因子為0.9，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中一般認(rèn)為相關(guān)性因子大于0.7 時(shí)，數(shù)據(jù)之間存在相關(guān)性，因此高度角與信噪比強(qiáng)相關(guān).利用主成分分析法確定了GNSS 觀測(cè)噪聲中高度角與信噪比的貢獻(xiàn)率分別為29.3%和70.7%，可以表達(dá)出累計(jì)信息量的100%.同時(shí)還利用熵權(quán)法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，高度角的信息熵為0.98，相應(yīng)信息效用值為0.020 1；而信噪比的信息熵為0.99，信息效用值為0.008 3，因而熵權(quán)法確定高度角與信噪比的權(quán)重分別為：70%與30%.經(jīng)數(shù)據(jù)驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)其精度不及主成分分析法確定的隨機(jī)模型高，特別是在高程方向，誤差增加約5%～10%.

3 實(shí)驗(yàn)與分析

在全球范圍內(nèi)均勻選取2019 年2 月19 日8 個(gè)IGS 站實(shí)施PPP，比較精化隨機(jī)模型和僅顧及高度角或SNR 的傳統(tǒng)隨機(jī)模型的三維點(diǎn)位精度，相關(guān)解算策略如表1 所示.IGS 測(cè)站信息及其解算精度統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2 所示，可以發(fā)現(xiàn)精化隨機(jī)模型對(duì)于高緯度地區(qū)定位精度的改善最為明顯.初步分析由于地理位置的影響，中低緯度地區(qū)對(duì)流層延遲的未建模誤差較大，高度角模型對(duì)于對(duì)流層延遲未建模誤差的削弱效果較好，而SNR 模型在解決由于傳輸路徑引起的衍射誤差影響的方面更有優(yōu)勢(shì).精化隨機(jī)模型中高度角的權(quán)重要小于SNR，因此對(duì)于中低緯度地區(qū)的定位精度的改善效果相對(duì)較差.從實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)看也驗(yàn)證了這一設(shè)想，在中低緯度地區(qū)實(shí)施PPP，高度角模型效果好于SNR 模型，且精化隨機(jī)模型定位精度較差的測(cè)站其ZTD 的精度也比較低.

表1 PPP 相關(guān)解算策略

表2 均勻選取2019 年2 月19 日8 個(gè)IGS 測(cè)站信息及分析結(jié)果

為了進(jìn)一步驗(yàn)證這一想法，重新選取了高緯度地區(qū)6 個(gè)測(cè)站14 天的數(shù)據(jù)，南極和北極各3 個(gè)IGS站，其中THU2 測(cè)站由于數(shù)據(jù)缺失選取了其他時(shí)段，時(shí)長(zhǎng)仍為14 天，測(cè)站信息如表3 所示.

表3 高緯度IGS 測(cè)站信息

為比較不同隨機(jī)模型對(duì)高緯度地區(qū)PPP 的效果，圖1 給出6 個(gè)測(cè)站14 天的坐標(biāo)均方根(RMS).

圖1 6 個(gè)測(cè)站的三種隨機(jī)模型定位結(jié)果在不同方向上的比較

從圖1 可以看出，精化隨機(jī)模型在天(U)方向上精度提高較大，在北(N)、東(E)方向上與只顧及高度角或SNR 的傳統(tǒng)隨機(jī)模型差別不大.PPP 平面位置精度可以達(dá)到mm 級(jí)，高程定位精度約為平面的1/3，因此U 方向是提高整體定位精度的關(guān)鍵.表4 給出了三種隨機(jī)模型在不同方向上的RMS 值以及精化隨機(jī)模型相對(duì)于其他兩種模型的精度提高率.

表4 南北極6 個(gè)IGS 測(cè)站在不同隨機(jī)模型中的PPP 精度的比較

由表4 可知，精化隨機(jī)模型相比于高度角模型對(duì)定位精度的提高率基本為正值.在U 方向上的提高率分別為15.39%、65.53%、15.37%、26.80%、40.89%和59.94%；在N、E 方向上的提高率大部分約在10%～20%，其中MAW1 測(cè)站以及THU2 測(cè)站的N、E 方向和NYAL 以及DAV1 測(cè)站的E 方向上的提高率為負(fù)值.這種情況是由于精化隨機(jī)模型此時(shí)在此測(cè)站的水平定位精度不及高度角模型或SNR 模型，主要原因是數(shù)據(jù)質(zhì)量有多路徑誤差的影響，并且南極地區(qū)可觀測(cè)衛(wèi)星數(shù)較少，正弦函數(shù)隨機(jī)模型并不能準(zhǔn)確地描述數(shù)據(jù)質(zhì)量隨高度角的復(fù)雜變化，因此在之后的研究中考慮加入位置精度因子(PDOP)值進(jìn)行改善.但精化隨機(jī)模型的三維定位結(jié)果在可接受范圍內(nèi)，說(shuō)明精化隨機(jī)模型完全可以在高緯度地區(qū)的高精度定位中代替高度角模型并提高定位精度.精化隨機(jī)模型較信噪比模型的定位精度提高率不及高度角模型明顯，但在U 方向上也均為正值，分別為16.81%、50.54%、16.46%、5.171%、17.54%以及38.05%.U 方向上定位精度為cm 級(jí)，因此在N、E 方向上mm 級(jí)定位精度的效果被放大了，下面將在表5 中給出六個(gè)測(cè)站的三維點(diǎn)位精度及精化隨機(jī)模型相比于其他兩種傳統(tǒng)隨機(jī)模型定位精度的提高率.

由表5 可知，精化隨機(jī)模型較高度角模型的三維定位精度提高了約10%～50%，NYA1 站的效果最好，為53.52%；較SNR 模型提高約5%～30%，THU2站效果最顯著，為30.64%.

表5 6 個(gè)IGS 站在3D 方向上不同隨機(jī)模型定位精度比較

為進(jìn)一步分析精化模型對(duì)高緯地區(qū)PPP 的改進(jìn)效果，選取該地區(qū)5 個(gè)測(cè)站2016—2019 年每年1 周的數(shù)據(jù)進(jìn)行研究，定位結(jié)果如圖2 所示，橫軸為年積日，縱軸為PPP 在U 方向上的平均中誤差.精化隨機(jī)模型在N、E 方向上的效果與傳統(tǒng)隨機(jī)模型相近，改善U 方向上的定位精度才是亟待解決的問(wèn)題.

圖2 5 個(gè)測(cè)站在2016—2019 年三種隨機(jī)模型在U 方向上的定位精度比較

如圖2 所示，絕大多數(shù)情況5 個(gè)測(cè)站的精化隨機(jī)模型效果優(yōu)于僅考慮高度角或SNR 的傳統(tǒng)隨機(jī)模型.圖中綠色百分?jǐn)?shù)為精化模型較高度角模型的提高率，整體提高約37%；紅色百分?jǐn)?shù)為較SNR 模型的提高率，整體提高約24%.精度提高較大的測(cè)站是CSA1站和THU2 站.

可以看出2016—2020 五年的數(shù)據(jù)中精化隨機(jī)模型更加穩(wěn)定，并且另三個(gè)測(cè)站的結(jié)果也驗(yàn)證了精化隨機(jī)模型能夠在一定程度上提高PPP 的定位精度.因此，本文提出的精化隨機(jī)模型在高緯度地區(qū)測(cè)站實(shí)施PPP 效果要明顯優(yōu)于其他兩種隨機(jī)模型.

精化隨機(jī)模型在高緯度測(cè)站的PPP 解算中保持了較好的穩(wěn)定性，在U 方向上的定位精度優(yōu)于僅考慮高度或SNR 的傳統(tǒng)隨機(jī)模型.只有2018 年在DAV1 測(cè)站精化隨機(jī)模型的優(yōu)勢(shì)不那么顯著，分析數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)該時(shí)間段DAV1 測(cè)站的可見(jiàn)衛(wèi)星數(shù)以及觀測(cè)環(huán)境較差，從圖2 中也可以看出其平均RMS 值較其他年份大了近一倍.通常情況下，高度角模型的定位結(jié)果精度是不及SNR 模型的，圖2 也進(jìn)一步驗(yàn)證了這一說(shuō)法，我們可以看出：PPP 的隨機(jī)模型中，使用高度角模型的定位結(jié)果最差，SNR 模型次之，而精化隨機(jī)模型的精度要高于二者.

4 結(jié) 語(yǔ)

本文利用PCA 確定了GNSS 觀測(cè)噪聲中高度角和SNR 的貢獻(xiàn)，建立了精化隨機(jī)模型，通過(guò)對(duì)高緯度地區(qū)IGS 站實(shí)施PPP 的效果進(jìn)行分析，得到了如下結(jié)論：

1)對(duì)比高緯度測(cè)站的PPP 定位結(jié)果來(lái)看，U 方向上精化隨機(jī)模型的RMS 值最小，定位精度最高，SNR 隨機(jī)模型次之，高度角模型效果最差.精化隨機(jī)模型的三維點(diǎn)位精度較高度角隨機(jī)模型提高約30%，較SNR 隨機(jī)模型提高20%左右，將該模型應(yīng)用于高緯度地區(qū)PPP 解算可以有效地提高定位精度且計(jì)算量沒(méi)有增加.

2)在驗(yàn)證過(guò)程中出現(xiàn)了精化隨機(jī)模型水平定位精度不及高度角或SNR 模型的情況，精化隨機(jī)模型不及高度角定權(quán)時(shí)，由于衛(wèi)星星座結(jié)構(gòu)較好，衛(wèi)星數(shù)據(jù)的質(zhì)量基本隨高度角的增加而提高，低高度角衛(wèi)星的數(shù)據(jù)質(zhì)量受多路徑誤差影響，此時(shí)加入SNR 所確定的權(quán)重可能會(huì)破壞解算質(zhì)量；不及SNR 定權(quán)結(jié)果時(shí)，雖然低高度角數(shù)據(jù)質(zhì)量較差，但考慮到南極區(qū)域可觀測(cè)衛(wèi)星數(shù)量較少，利用低高度角觀測(cè)能增加可觀測(cè)衛(wèi)星數(shù)量，此時(shí)正弦函數(shù)模型便不適用了.因此高度角和SNR 還不能全面地評(píng)價(jià)觀測(cè)數(shù)據(jù)的質(zhì)量，在今后的研究中我們考慮將PDOP 值納入到評(píng)價(jià)指標(biāo)中，利用PCA 做進(jìn)一步的分析和降維處理，以完善和驗(yàn)證本文方法.