張哲浩，潘林,2

(1.中南大學(xué) 地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，長沙 410083；2.廣西空間信息與測繪重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 桂林 541004)

0 引 言

全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(GNSS)偽距單點(diǎn)定位具有算法簡單、使用成本低、機(jī)動靈活等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于民用導(dǎo)航等領(lǐng)域.隨著北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(BDS-3)的正式開通，多系統(tǒng)融合已成為衛(wèi)星導(dǎo)航定位技術(shù)應(yīng)用的主流.相較于單系統(tǒng)，多系統(tǒng)組合可以顯著增加可見衛(wèi)星數(shù)量，改善衛(wèi)星的幾何分布，從而提高偽距單點(diǎn)定位精度及可靠性[1-2].

多系統(tǒng)組合定位時(shí)，由于各系統(tǒng)的星歷精度、觀測噪聲不同，這會使觀測值的精度存在系統(tǒng)性差異，從而導(dǎo)致隨機(jī)模型難以精確構(gòu)建.如何進(jìn)行精確定權(quán)，是提高多系統(tǒng)偽距單點(diǎn)定位精度的關(guān)鍵問題.段舉舉等[3]利用Helmert 方差分量估計(jì)確定了GPS/GLONASS 組合偽距單點(diǎn)定位時(shí)兩類觀測值的權(quán)比(約為5∶1)，結(jié)果表明相比于GPS 或GLONASS 單系統(tǒng)偽距單點(diǎn)定位，雙系統(tǒng)組合能使定位精度得到改善.何俊等[4]比較了等權(quán)模型、高度角模型、Helmert方差分量估計(jì)模型，GPS/GLONASS/北斗二號衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(BDS-2)三系統(tǒng)組合偽距單點(diǎn)定位定位性能的差異，結(jié)果表明后兩者模型定位精度明顯優(yōu)于等權(quán)模型，但二者差異不大.李文凱等[5]采用基于用戶等效測距誤差(UERE)的Helmert 方差分量估計(jì)模型，有效地提高了GPS/GLONASS/Galileo/BDS-2 四系統(tǒng)組合偽距單點(diǎn)定位精度.隨著北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(BDS)的迅速發(fā)展，當(dāng)前正處于BDS-2 向BDS-3 過渡階段，BDS-2 與BDS-3 觀測值共存.張乾坤等[6]針對二者的差異，對北斗單系統(tǒng)偽距單點(diǎn)定位隨機(jī)模型進(jìn)行優(yōu)化，結(jié)果表明基于UERE 的Helmert 方差分量估計(jì)模型定位精度優(yōu)于等權(quán)模型.

時(shí)至今日，隨著各系統(tǒng)的現(xiàn)代化建設(shè)不斷加快，GNSS 的觀測精度已經(jīng)有了較大提升，早些時(shí)期的結(jié)論可能不再適用.另一方面，尚沒有多系統(tǒng)組合偽距單點(diǎn)定位隨機(jī)模型的研究覆蓋當(dāng)前所有可用的GNSS星座.因此，需要對GPS/GLONASS/Galileo/BDS-2/BDS-3 組合偽距單點(diǎn)定位的隨機(jī)模型進(jìn)一步研究.本文將四大GNSS 系統(tǒng)的觀測值劃分為五類(BDS 分為BDS-2 和BDS-3)，分別采用高度角模型、UERE模型及基于二者的驗(yàn)后Helmert 方差分量估計(jì)模型進(jìn)行四系統(tǒng)組合偽距單點(diǎn)定位，并對定位結(jié)果進(jìn)行對比分析，以研究多系統(tǒng)組合偽距單點(diǎn)定位時(shí)構(gòu)建隨機(jī)模型的最優(yōu)方法.

1 多系統(tǒng)組合偽距單點(diǎn)定位數(shù)學(xué)模型

1.1 函數(shù)模型

顧及各系統(tǒng)間時(shí)間基準(zhǔn)的差異，將GPS 系統(tǒng)作為參考基準(zhǔn)，對GLONASS、Galileo 與BDS 的基準(zhǔn)統(tǒng)一后，四系統(tǒng)組合偽距單點(diǎn)定位觀測方程[7-8]可表示為

1.2 隨機(jī)模型

設(shè)同一歷元內(nèi)，各衛(wèi)星觀測值互不相關(guān)，且測量誤差服從正態(tài)分布，則可得權(quán)陣

式中，N為法方程的系數(shù)矩陣.

由式(7)和式(8)可知，隨機(jī)模型構(gòu)建不合理將會影響定位精度.為探究最優(yōu)的構(gòu)建方法，本文選取了以下幾種定權(quán)模型進(jìn)行對比分析.

1.2.1 高度角模型

高度角可以間接反映衛(wèi)星的觀測值精度.當(dāng)高度角較低時(shí)，觀測值含有較大的大氣層延遲及多路徑效應(yīng)誤差，其精度較低，故可以根據(jù)高度角的大小確定觀測值方差[9].高度角模型有很多種，本文采用正弦函數(shù)模型

式中：p、q為誤差因子，本文取p=3 dm，q=3 dm；α 為高度角.基于高度角模型的定權(quán)公式為

1.2.2 UERE 模型

UERE 是與衛(wèi)星及信號傳播相關(guān)的各種誤差源對偽距測量影響的綜合反映[5-6]，其表達(dá)式為

基于UERE 模型的定權(quán)公式為

1.2.3 Helmert 方差分量估計(jì)模型

實(shí)踐證明，利用先驗(yàn)方差構(gòu)建的隨機(jī)模型一般是不夠精確的，為了提高隨機(jī)模型精度，可采用驗(yàn)后估計(jì)調(diào)整權(quán)陣[10].驗(yàn)后估計(jì)的方法很多，本文采用Helmert方差分量估計(jì)，將GPS 觀測值分為第一類，GLONASS觀測值分為第二類，Galileo 觀測值分為第三類，BDS-2 觀測值分為第四類，BDS-3 觀測值分為第五類.

按上述分類原則，將式(2)重寫為

依先驗(yàn)?zāi)Ｐ投?quán)及初次平差后，按Helmert 方差分量估計(jì)近似計(jì)算公式計(jì)算各類觀測值單位權(quán)方差

式中：Pi為第i類觀測值的權(quán)陣；ni為第i類觀測值個(gè)數(shù)；解得單位權(quán)方差后，對各類觀測值的權(quán)進(jìn)行調(diào)整

Helmert 方差分量估計(jì)需迭代計(jì)算，其計(jì)算步驟如下：

1) 將觀測值分類后，依據(jù)先驗(yàn)隨機(jī)模型定權(quán)；

4) 反復(fù)進(jìn)行第2)、第3)步，直至收斂.本文迭代終止條件為≤0.001，其中i、j=1,2,···,5 且i≠j.

2 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

2.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

為了分析不同定權(quán)模型對四系統(tǒng)偽距單點(diǎn)定位精度的影響，本文在全球范圍內(nèi)選取了10 個(gè)多GNSS實(shí)驗(yàn)跟蹤網(wǎng)MGEX(Multi-GNSS Experiment)觀測站，其分布如圖1 所示.各測站選取自2020 年4 月5 日至4 月11 日連續(xù)7 天的觀測數(shù)據(jù)，采樣率為30 s，截止高度角設(shè)為10°.所有測站數(shù)據(jù)均包含GPS、GLONASS、Galileo、BDS-2及BDS-3 觀測值.

圖1 2020 年4 月5 日至4 月11 日各MGEX 測站分布圖

2.2 可見衛(wèi)星數(shù)及PDOP 分析

表1 給出了各測站7 天平均可見衛(wèi)星數(shù)及位置精度因子(PDOP)均值.從表中可知，GPS、GLONASS、Galileo 可見衛(wèi)星數(shù)在全球范圍內(nèi)變化相對較小，分別為8～9 顆，5～7 顆，4～7 顆.相比之下，BDS 衛(wèi)星數(shù)變化較大.當(dāng)測站位于30°E～50°E 時(shí)，可觀測到的BDS衛(wèi)星數(shù)為8～17 顆，其中BDS-2 與BDS-3 分別為4～11 顆、5～8 顆(MIZU 站由于硬件原因僅能觀測到1～3 顆BDS-3 衛(wèi)星)，而當(dāng)測站位于60°W～120°W時(shí)，由于無法觀測到BDS 地球靜止軌道(GEO)衛(wèi)星與傾斜地球同步軌道(IGSO)衛(wèi)星，其可見BDS衛(wèi)星數(shù)下降至5～8 顆，其中BDS-2 與BDS-3 分別為0～2 顆、3～7 顆.從上述測站平均結(jié)果來看，各站單歷元可見衛(wèi)星數(shù)為31.9 顆，PDOP 值為1.0，這說明多系統(tǒng)組合能明顯增加可見衛(wèi)星數(shù)，并且基于更多的觀測值能夠提升衛(wèi)星與用戶間幾何圖形強(qiáng)度，降低PDOP 值.

表1 各站7 天平均可見衛(wèi)星數(shù)及PDOP 值

2.3 結(jié)果分析

分別采用高度角模型(ele)、UERE 模型(uere)、基于高度角的Helmert 模型(ele+hel)及基于UERE 的Helmert 模型(uere+hel)對各站7 天的觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行解算.將解算結(jié)果與國際GNSS 服務(wù)(IGS)提供的測站坐標(biāo)對比，計(jì)算各方向的定位誤差.首先根據(jù)各測站單天定位誤差序列計(jì)算均方根(RMS)統(tǒng)計(jì)值，然后對每個(gè)測站連續(xù)7 天的RMS 統(tǒng)計(jì)值取平均，結(jié)果如圖2 所示.表2 進(jìn)一步給出了各站的平均結(jié)果.

圖2 各站7 天平均定位精度

表2 第三列與第五列括號中的百分?jǐn)?shù)為Helmert方差分量估計(jì)模型相對于相應(yīng)先驗(yàn)?zāi)Ｐ投ㄎ痪鹊母纳坡?由表2 及圖2 可以看出，相較先驗(yàn)高度角模型，基于高度角的Helmert 模型定位精度在東(E)、北(N)、天(U)三方向上分別提高了4%～17%、6%～24%、2%～12%，在三維(3D)方向上，定位精度平均提高了0.143 m.相較先驗(yàn)UERE 模型，基于UERE的Helmert 模型定位精度在三個(gè)方向上分別提高了6%～20%、5%～27%、2%～12%，在3D 方向上，定位精度平均提高了0.155 m.以上結(jié)果說明，驗(yàn)后的Helmert 估計(jì)模型定權(quán)更為精確，其各方向的定位誤差更小，能夠更好地反映不同觀測值之間的差異，從而提高偽距單點(diǎn)定位精度.

表2 不同定權(quán)模型平均定位精度對比

由于各測站所處的地理環(huán)境不同、各星座可見衛(wèi)星數(shù)差異明顯，這使得Helmert 方差分量估計(jì)后各站各方向的定位精度提升率也不同.由圖1 及表1 可知，CEDU、KAT1 測站位于澳洲，能夠觀測到大量衛(wèi)星，兩站3D 方向的定位精度分別提升了約0.57 m和0.21 m.相對的，位于北美地區(qū)的UCAL 及UNB3站由于緯度高、可見衛(wèi)星數(shù)較少(其中BDS-2 可見衛(wèi)星數(shù)只有0～2 顆，遠(yuǎn)少于BDS-3 衛(wèi)星)，在Helmert方差分量估計(jì)后，兩站3D 方向的精度改善僅有幾個(gè)厘米，并且在N 方向出現(xiàn)了略微變差的情況.故只有當(dāng)衛(wèi)星數(shù)量充足且星座間差異不大時(shí)，Helmert 方差分量估計(jì)才能夠達(dá)到最佳性能.

進(jìn)一步分析表2 可知，不同先驗(yàn)?zāi)Ｐ图膀?yàn)后模型間的解算精度也有不同.圖3 展示了高度角模型較UERE 模型、基于高度角的Helmert 模型較基于UERE 的Helmert 模型在3D 方向定位精度的提升度(負(fù)值時(shí)表示精度降低).從圖3 可以看出，對于大部分測站，高度角模型比UERE 模型定位精度提升了0.4～4.6 cm，平均提升2.3 cm，基于高度角的Helmert模型比基于UERE 的Helmert 模型定位精度提升了0.2～3.1 cm，平均提升1.1 cm.以上說明高度角模型優(yōu)于UERE 模型，且基于高度角的Helmert 模型結(jié)果最優(yōu).

圖3 先驗(yàn)及驗(yàn)后高度角模型相比于相應(yīng)UERE 模型3D 方向定位精度提升度

出現(xiàn)上述現(xiàn)象的原因，可能是UERE 模型考慮的因素太多，削弱了高度角模型的優(yōu)勢.表3 給出了KAT1 測站在2020 年4 月5 日一天中部分衛(wèi)星在不同時(shí)刻的觀測值方差具體構(gòu)成.從表中可以看出，UERE 模型主要由URA 及電離層誤差決定，URA 是一些固定常數(shù)，電離層誤差由模型計(jì)算所得，并不精確.計(jì)算UERE 時(shí)，由于二者與高度角誤差相差一至兩個(gè)數(shù)量級，在利用式(11)求和后削弱了高度角相關(guān)測量誤差的貢獻(xiàn)，因而影響了定位精度.部分低緯測站出現(xiàn)了UERE 模型更優(yōu)的情況，但定位精度僅有約2～4 mm 的微小提升，并不明顯.綜上所述，建議在四系統(tǒng)融合偽距單點(diǎn)定位時(shí)采用基于高度角的Helmert 模型定權(quán)，以達(dá)到最優(yōu)結(jié)果.

表3 UERE 模型觀測值方差具體構(gòu)成

3 結(jié) 論

本文聚焦于多系統(tǒng)融合偽距單點(diǎn)定位時(shí)隨機(jī)模型的構(gòu)建，將觀測值分為了五大類(BDS 分為BDS-2 和BDS-3)，采用先驗(yàn)高度角模型、先驗(yàn)UERE 模型及基于二者的驗(yàn)后Helmert 方差分量估計(jì)模型，對10 個(gè)多GNSS 實(shí)驗(yàn)跟蹤網(wǎng)MGEX 觀測站連續(xù)7 天的觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行解算，得出以下結(jié)論：

1) 與先驗(yàn)?zāi)Ｐ拖啾?，?yàn)后Helmert 方差分量估計(jì)模型定權(quán)更合理、解算結(jié)果更優(yōu)，3D 定位精度平均提升了15 cm.當(dāng)衛(wèi)星數(shù)足夠多且星座間差異不大時(shí)，Helmert 方差分量估計(jì)模型能發(fā)揮最優(yōu)性能.

2) 基于高度角模型的偽距單點(diǎn)定位定位結(jié)果優(yōu)于UERE 模型，3D 定位精度約有2～3 cm 的提升，且基于高度角的Helmert 模型定位結(jié)果最優(yōu).