郭宇奇，侯德藻，李一丁，衣 倩，黃燁然

（交通運輸部公路科學(xué)研究院，北京 100088）

隨著自動駕駛技術(shù)的不斷發(fā)展，同時含有自動駕駛車輛和人工駕駛車輛的異構(gòu)交通場景下的宏觀交通流建模成為研究的熱點。從車輛的跟馳模型入手，通過對不同自動駕駛車輛混入率下流量、密度和速度之間的關(guān)系進行分析，構(gòu)建異構(gòu)交通場景下的LWR（Lighthill，Whitham and Richards）模型［1-2］；基于氣體動力學(xué)描述交通流的空間密度、速度的動力學(xué)特征，在自動駕駛車輛加速度方程式中增加當(dāng)前車輛與頭車速度差的協(xié)同因子系數(shù)，建立宏觀異構(gòu)交通流模型［3］；將ARZ（Aw-Rascle-Zhang）模型［4］嵌入二階交通流模型，在速度與密度的動力學(xué)方程中加入特定參數(shù)來表示自動駕駛車輛比例，從而構(gòu)建異構(gòu)場景下的宏觀交通流模型，該模型可以更加全面地表征異構(gòu)場景下的交通流特性［5］。上述幾類連續(xù)模型都是基于偏微分方程建立的，求解難度大，并且求解時對模型離散化處理的步長難以選取，易造成無解等問題。

針對連續(xù)模型的不足，以元胞傳輸模型（CTM）描述宏觀異構(gòu)交通流模型［6-10］成為了新的研究方向。從微觀駕駛行為出發(fā)，考慮自動駕駛車輛與人工駕駛車輛在跟馳模型中反應(yīng)時間的不同，建立混合多類CTM［11］；基于自動駕駛和人工駕駛的跟馳模型，得到異構(gòu)場景下混合密度計算公式、流量與密度之間的關(guān)系［12-13］，以及元胞通行能力、臨界擁堵密度等基本參數(shù)與自動駕駛車輛混入比例的量化映射關(guān)系，從而構(gòu)建異構(gòu)交通場景下的CTM。相比于傳統(tǒng)CTM，已有文獻并沒有給出異構(gòu)交通場景下宏觀交通流模型相關(guān)參數(shù)的計算方法，導(dǎo)致模型的顯式表達仍是一個待解決的問題。

基于高速公路的交通流基本圖，分析不同自動駕駛車輛混入率下人工駕駛車輛與自動駕駛車輛跟馳行為對路段“流量-密度-速度”的影響，進而推導(dǎo)出基本圖中的元胞參數(shù)（通行能力、臨界擁堵密度、反向波速、最大擁堵密度等）隨不同自動駕駛車輛混入率的變化規(guī)律及相應(yīng)的量化映射關(guān)系。對傳統(tǒng)CTM進行改進，并將改進的CTM嵌入動態(tài)圖混雜自動機［14-16］，然后以交通流密度為狀態(tài)變量，推導(dǎo)出不同自動駕駛車輛混入率下路段中每個元胞的密度更新方程，最后建立高速公路宏觀交通流的分段仿射系統(tǒng)模型。

1 異構(gòu)交通場景下的基本圖分析

通常使用如圖1所示的三角基本圖來表征路段“流量-密度”。由于通過交通流量和交通流密度可以推導(dǎo)出交通流速度，因此該基本圖可以描述宏觀交通流模型中流量、速度和密度三者之間的基本關(guān)系。三角基本圖的參數(shù)及其含義如表1所示。

圖1 “流量-密度-速度”三角基本圖Fig.1 Triangle fundamental diagram of“flow volume-density-speed”

表1 基本圖參數(shù)描述Tab.1 Parameter description of fundamental diagram

選取應(yīng)用較為廣泛的IDM（intelligent driver model）［17］作為人工駕駛車輛跟馳模型，其具體描述如下所示：

式中：vn(t)是車輛n在t時刻的速度；(t)是車輛n在t時刻的加速度；Δv n(t)是車輛(n-1)與車輛n在t時刻的速度差；hn(t)是車輛n在t時刻的車頭間距；a是車輛最大加速度參數(shù)；v0是自由流速度；S0是最小安全停車間距；T是安全車頭時距；b是舒適減速度；LV是車長。

自動駕駛車輛為智能網(wǎng)聯(lián)車輛（CAV），包括協(xié)同自適應(yīng)巡航控制（CACC）和自適應(yīng)巡航控制（ACC）2種行駛方式。選擇加州大學(xué)伯克利分校PATH實驗室所驗證的CACC與ACC作為2類車輛的跟馳模型［1］。

ACC車輛跟馳模型如下所示：

式中：ta是ACC車輛期望車間時距參數(shù)；k1是車間距誤差控制系數(shù)；k2是速度差控制系數(shù)。

CACC車輛跟馳模型如下所示：

式中：vn(t+Δt)是車輛n在(t+Δt)時刻的速度；Δt是CACC系統(tǒng)控制步長；en(t)是車輛n在t時刻的實際車頭間距與期望車頭間距的誤差；n(t)是en(t)對時間t的微分；tc是CACC車輛期望車間時距參數(shù)；kp是CACC車輛車間距誤差控制系數(shù)；kd是CACC車輛車間距誤差微分項控制系數(shù)。

根據(jù)文獻［1］可知，當(dāng)異構(gòu)交通流中所有車輛以平衡態(tài)速度ve行駛時，交通流所覆蓋的道路長度可表示為所有車輛車頭間距之和，計算式如下所示：

式中：L是異構(gòu)交通流所覆蓋的道路長度；N是總的車輛數(shù)；Pm、Pc和Pa分別是人工駕駛車輛、CACC車輛以及ACC車輛在交通流中的混入比例；hm、hc和ha分別是人工駕駛車輛、CACC車輛以及ACC車輛的車頭間距。

根據(jù)交通流密度定義，可推導(dǎo)出異構(gòu)交通流密度計算公式，如下所示：

結(jié)合式（1）～（5），可推導(dǎo)出異構(gòu)交通場景下混合密度的計算公式以及流量與密度之間的關(guān)系，如下所示：

式中：ρ是異構(gòu)交通場景下的交通流密度；q是流量；P是自動駕駛車輛比例，P=Pc+Pa。

為了分析不同自動駕駛車輛混入率對道路基本參數(shù)的影響，選取長度為1 000 m、最大限速為120 km·h-1的四車道高速公路為研究對象，基于式（6）計算不同自動駕駛車輛混入率下的流量和密度。通過進一步分析可知，在異構(gòu)交通場景下，隨著自動駕駛車輛混入率的增加，路段的最大限速V和最大擁堵密度ρm不變，但臨界擁堵密度ρ0、通行能力C和反向波速W等都呈現(xiàn)增大的趨勢。根據(jù)文獻［1］中元胞通行能力隨自動駕駛車輛混入率的變化值，進一步計算出如表2所示臨界擁堵密度、通行能力和反向波速與自動駕駛車輛混入率的對應(yīng)關(guān)系。

根據(jù)混合密度的計算公式，繪制了表征異構(gòu)交通場景下流量和密度關(guān)系的基本圖，如圖2所示。

圖2 不同自動駕駛車輛混入率下流量和密度關(guān)系Fig.2 Flow volume-density relationship under different mixing ratios of automated driving vehicles

由于自動駕駛車輛的混入使得路段的通行能力、臨界擁堵密度、反向波速等參數(shù)發(fā)生了量變，進而導(dǎo)致異構(gòu)交通場景下CTM中相應(yīng)的基本參數(shù)需乘以相應(yīng)系數(shù)來表示與傳統(tǒng)CTM［18］的區(qū)別。根據(jù)表2的分析結(jié)果，可計算出通行能力提升倍數(shù)λ、臨界擁堵密度提升倍數(shù)η和反向波速提升倍數(shù)δ的具體取值與自動駕駛車輛混入率的對應(yīng)關(guān)系，如表3所示。

表2 元胞基本參數(shù)分析結(jié)果Tab.2 Analytical results of cell fundamental parameters

通過對表2和表3計算結(jié)果的分析可以得出以下結(jié)論：在異構(gòu)交通場景下，人工駕駛車輛和自動駕駛車輛的性能可以通過交通流基本圖相關(guān)參數(shù)的變化反映；隨著自動駕駛車輛混入率的增加，道路的通行能力、臨界擁堵密度和反向波速隨之增大，而最大限速作為道路固定的值保持不變，最大擁堵密度也保持不變；相比于全是人工駕駛車輛的情況，當(dāng)所有車輛全部為自動駕駛車輛時，道路的通行能力、臨界擁堵密度和反向波速增加2倍以上；自動駕駛車輛的增加可使道路的利用率得到有效提升。

表3 元胞基本參數(shù)變化率Tab.3 Change rate of cell fundamental parameters

2 異構(gòu)交通場景下分段仿射系統(tǒng)模型

無論是同構(gòu)交通環(huán)境，還是異構(gòu)交通環(huán)境，道路的基本拓撲結(jié)構(gòu)未發(fā)生變化，因此可用動態(tài)有向圖加以描述。以高速公路為例，按照其出入口匝道的位置、車道數(shù)變化位置以及道路曲率半徑發(fā)生變化的位置，將其分為若干個小路段，每個小路段稱為一個元胞；每個元胞可看作是有向圖［14］的頂點，如果相鄰的2個頂點之間存在交通流，則交通流向可以看作有向圖的有向邊，若無交通流則圖的邊不存在，即圖的頂點是固定的（等于元胞數(shù)目），其邊是隨著交通流動態(tài)變化的，可用動態(tài)圖對道路的基本拓撲結(jié)構(gòu)進行描述。本研究中以交通流密度為元胞的狀態(tài)，每個頂點（元胞）的模態(tài)也隨著交通流密度的連續(xù)變化而變化，當(dāng)交通流密度從零開始增加到臨界擁堵密度時，路段開始由自由流模態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)閾矶履B(tài)；隨著車輛的減少，當(dāng)交通流密度由最大降低到臨界擁堵密度時，路段由擁堵模態(tài)向自由流模態(tài)轉(zhuǎn)變。由連續(xù)變量的變化導(dǎo)致元胞離散模態(tài)轉(zhuǎn)變的特性符合混雜動態(tài)系統(tǒng)，因此可以用混雜自動機［15-16］對元胞的狀態(tài)變化進行描述。最終，將動態(tài)圖和混雜自動機相結(jié)合而構(gòu)成的動態(tài)圖混雜自動機來描述快速路的拓撲結(jié)構(gòu)（具體的分析和推導(dǎo)過程詳見文獻［18-19］）。

對于異構(gòu)場景下的元胞i而言，i=1，…，N，若其密度滿足0＜ρi≤ηiρi0，則稱其為自由流狀態(tài)（F：free flow）；若其密度滿足ηiρi0＜ρi≤ρim，則稱其為擁堵流狀態(tài)（C：congested flow）。因此，每個元胞都有F和C 2種模態(tài)。

對于2個元胞l和i連接的情況共有5種組合模態(tài)，具體的組合模態(tài)以及對應(yīng)模態(tài)下元胞之間的傳輸流量如表4所示。

表4 2個元胞的組合模態(tài)分析結(jié)果Tab.4 Analytical results of combination modes for two cells

對于3個元胞l、i和j連接的情況共有8種組合模態(tài)，根據(jù)如表4所示的2個相鄰元胞之間傳輸流量的分析結(jié)果，對3個相鄰元胞對應(yīng)的每種模態(tài)下元胞i的密度更新方程進行推導(dǎo)，具體結(jié)果如表5所示。表5中，ts是采樣間隔，Ll、Li和Lj表示元胞l、i和j的長度。

對于包含n個元胞的情況，可以按照上述分析方法推導(dǎo)出所有的組合模態(tài)，如圖3所示。最終，將異構(gòu)交通場景下的CTM嵌入動態(tài)圖混雜自動機，建立異構(gòu)交通場景下分段仿射線性系統(tǒng)模型，如下所示：

圖3 n個元胞組合模態(tài)演化過程Fig.3 Evolution process of combination modes for n cells

式中：x=(x1，…，xn)T是所有元胞的密度向量；u=(qin，qout)T是路段的輸入，其中qin、qout分別表示時間間隔[tts，(t+1)ts]內(nèi)流入和流出本路段的車輛數(shù)；Aσ(t)、Bσ(t)分別是系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣；Fσ(t)是由元胞基本參數(shù)構(gòu)成的仿射向量；gσ(t)是與元胞的最大擁堵密度相關(guān)的向量；εσ(t)是與元胞的臨界擁堵密度相關(guān)的向量。

結(jié)合表4和表5的計算結(jié)果，對異構(gòu)交通場景不同組合模態(tài)下相應(yīng)矩陣進行計算，結(jié)果如下所示：

表5 3個元胞的組合模態(tài)分析結(jié)果Tab.5 Analytical results of combination modes for three cells

與傳統(tǒng)的宏觀交通流模型相比，自動駕駛車輛的混入使得元胞的通行能力、臨界擁堵密度和反向波速發(fā)生了變化，進而導(dǎo)致元胞的密度更新方程發(fā)生了變化，最終體現(xiàn)在式（7）中矩陣Aσ(t)、，Bσ(t)和Fσ(t)的改變。因此，將表4和表5中相應(yīng)的結(jié)果代入式（7）中，可計算出不同自動駕駛車輛混入率下對應(yīng)宏觀交通流模型表達式。

3 仿真實例分析

3.1 仿真環(huán)境及參數(shù)設(shè)定

通過對比只有人工駕駛車輛和有自動駕駛車輛混入2種情況下元胞相關(guān)參數(shù)的變化，驗證本建模方法的可行性。然后，利用所建立的模型對異構(gòu)交通場景下交通流傳輸進行仿真，實現(xiàn)對交通流密度的預(yù)測。

OpenModelica是基于Modelica語言的完全開源的宏觀仿真軟件［20-22］，基于Modelica語言已經(jīng)開發(fā)了交通領(lǐng)域相關(guān)的程序庫，實現(xiàn)了基于元胞傳輸模型的傳統(tǒng)交通網(wǎng)絡(luò)建模。因此，選取OpenModelica軟件對所建立的異構(gòu)交通場景下宏觀交通流模型進行驗證。建立如圖4所示的包含7個元胞、1個入口匝道的高速路。元胞1和8是源元胞，用于提供交通需求；元胞7是阱元胞，表示路網(wǎng)中車輛的終點，可容納無限輛車；元胞2至6是單向四車道并具有相同基本參數(shù)，長度為1 000 m，最大限速為120 km·h-1，通行能力為2 016輛·h-1，臨界擁堵密度為16.8輛·km-1，反向波速為17 km·h-1，最大擁堵密度為135輛·km-1。

圖4 8個元胞結(jié)構(gòu)Fig.4 Structure of eight cells

設(shè)定以下3種自由流狀態(tài)下的仿真場景：

（1）保持元胞的所有參數(shù)均不變，模擬只含有人工駕駛車輛的場景。

（2）保持元胞的最大限速和最大擁堵密度不變，分別將通行能力、臨界擁堵密度和反向波速增加1.5倍，同時在源元胞1中增加交通需求，模擬自動駕駛車輛混入的場景。

（3）在場景（2）的基礎(chǔ)上，通過調(diào)整源元胞1和8中的交通需求，模擬異構(gòu)交通場景下元胞組合模態(tài)由全自由流到全擁堵流的過程，實現(xiàn)交通流密度的預(yù)測。

3.2 仿真結(jié)果分析

分別對場景（1）和（2）進行仿真，并隨機選取元胞2和元胞5的仿真結(jié)果進行分析。圖5是自動駕駛車輛混入前后通過元胞2的車輛數(shù)的對比結(jié)果。圖6是自動駕駛車輛混入前后通過元胞5的車輛數(shù)的對比結(jié)果。從仿真結(jié)果可以看出：在保證交通需求充足的前提下，通過元胞的車輛數(shù)與元胞的通行能力成正比，進而說明該模型可以模擬元胞的通行能力隨著自動駕駛車輛混入率的增加而增大的規(guī)律；自動駕駛車輛混入后，同時增加交通需求，元胞仍未出現(xiàn)擁堵，這也可說明所建立的模型可以模擬元胞臨界擁堵密度隨著自動駕駛車輛混入率的增加而增大的規(guī)律。因此，所提出的方法可用于異構(gòu)場景下的宏觀交通流建模。

圖5 元胞2的仿真結(jié)果對比Fig.5 Comparison of simulation results of Cell 2

圖6 元胞5的仿真結(jié)果對比Fig.6 Comparison of simulation results of Cell 5

第3個場景中，自動駕駛車輛混入率為80%情況下，通過調(diào)整源元胞1和8的交通需求，模擬元胞2、3、4、5的組合模態(tài)從全自由流（FFFF）到全擁堵流（CCCC）的變化過程，進而實現(xiàn)利用所建模型對元胞交通流密度的預(yù)測。元胞的初始密度取15輛·km-1，相應(yīng)元胞密度的演化結(jié)果如圖7所示。

圖7 元胞2，3，4和5的交通流密度仿真結(jié)果Fig.7 Simulation results of traffic flow densities for Cell 2,3,4 and 5

通過對元胞2、3、4、5密度變化曲線的分析得到以下結(jié)論：

（1）4個元胞以初始值15輛·km-1自由流狀態(tài)開始，隨著元胞間的流量傳輸，元胞5的密度最先達到臨界擁堵密度，擁堵依次向上游元胞4、3、2傳遞，最后4個元胞都達到擁堵狀態(tài)，此過程與所建立的模型中元胞組合模態(tài)的演變過程是一致的。

（2）此實驗中交通流密度的演變是通過所建立的模型推演得到的，因此可借助所建立的模型實現(xiàn)異構(gòu)交通場景下的交通狀態(tài)預(yù)測。

4 結(jié)語

通過對人工駕駛車輛和自動駕駛車輛構(gòu)成的異構(gòu)交通場景下基本圖的分析，得到了在保證元胞最大限速不變的情況下，隨著自動駕駛車輛混入率的增加，元胞的通行能力、反向波速和臨界擁堵密度等參數(shù)隨之增加的結(jié)論，并計算了元胞基本參數(shù)與自動駕駛車輛混入率之間的量化關(guān)系?；诖私Y(jié)果，對傳統(tǒng)CTM進行了改進，計算了不同元胞組合模態(tài)下對應(yīng)的矩陣，建立了宏觀交通流的分段仿射系統(tǒng)模型。最后，通過OpenModelica開源軟件搭建了仿真平臺，對所建立的模型進行了仿真分析。通過在仿真中改變元胞的通行能力來模擬有自動駕駛車輛混入的情況，在保證交通需求充足的前提下，得出了通過元胞的車輛數(shù)與元胞的通行能力成正比的結(jié)論，進而證明了該模型可以對元胞的通行能力隨著自動駕駛車輛混入率的增加而增大這一規(guī)律進行重現(xiàn)。進一步，在給定元胞初始密度的情況下，動態(tài)調(diào)整交通需求并利用所建立的模型模擬元胞組合模態(tài)的變化過程，實現(xiàn)了異構(gòu)交通場景下元胞交通流密度的預(yù)測。

作者貢獻說明：

郭宇奇:相關(guān)概念討論，數(shù)據(jù)分析及論文撰寫。

侯德藻:總體架構(gòu)設(shè)計及論文語言組織。

李一丁:實驗設(shè)計及數(shù)據(jù)處理。

衣 倩:論文格式修改及結(jié)果分析。

黃燁然:論文審閱及架構(gòu)討論。