潘超 張垂權(quán)

【摘 要】 提升數(shù)學(xué)課堂練習(xí)成效不僅要著力于學(xué)生的“練”，還要著力于教師的“導(dǎo)”.教師對課堂練習(xí)的“導(dǎo)”體現(xiàn)在課堂練習(xí)開展的“五步”程式中，即“習(xí)題呈現(xiàn)與審題”“自主練習(xí)與交流”“解題展示與剖析”“方法歸納與點評”“拓展訓(xùn)練與反思”;教師對學(xué)生的解題方法的指導(dǎo)上要采用“五化”策略，即“通法”要強(qiáng)化、“巧法”要淡化、“笨法”要簡化、“偏法”要弱化、“錯法”要點化.

【關(guān)鍵詞】 初中數(shù)學(xué);課堂練習(xí);程式;指導(dǎo)策略

數(shù)學(xué)課堂練習(xí)是數(shù)學(xué)課的重要學(xué)習(xí)活動之一，是學(xué)生習(xí)得知識、掌握技能、感悟思想、積累經(jīng)驗必須經(jīng)歷的生命歷程[1]，具有深化認(rèn)知、拓展新知、診斷反饋、強(qiáng)化技能、積累經(jīng)驗、感悟思想等多樣功能[2].數(shù)學(xué)課堂練習(xí)的設(shè)計或開展過程中，教師一般要考慮“什么時候練習(xí)？”“練習(xí)什么？”“練習(xí)多少？”“怎么練習(xí)？”“練習(xí)得怎么樣？”等系列問題，從而關(guān)注練習(xí)時機(jī)的精準(zhǔn)性、練習(xí)內(nèi)容的針對性[3]、練習(xí)量度的適當(dāng)性、練習(xí)過程的層次性[3]、練習(xí)反饋的及時性等，這些關(guān)注點都聚焦于學(xué)生的“練”，著力點主要在學(xué)生身上，這是提升課堂練習(xí)成效的根本.除此之外，教師還要考慮自身的指導(dǎo)作用，關(guān)注點同樣不能忽略教師的“導(dǎo)”，即提升數(shù)學(xué)課堂練習(xí)成效還應(yīng)著力于教師的“導(dǎo)”，這是提升課堂練習(xí)成效的要素.如果教師在課堂上很好地發(fā)揮“導(dǎo)”的作用，就有助于實現(xiàn)課堂練習(xí)的功能.筆者以九年級“相似三角形的性質(zhì)”為例，在該課的課堂練習(xí)環(huán)節(jié)設(shè)計上重點思考了教師如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行課堂練習(xí)的問題，設(shè)計了“習(xí)題呈現(xiàn)與審題”“自主練習(xí)與交流”“解題展示與剖析”“方法歸納與點評”“拓展訓(xùn)練與反思”五步程式.按照這個程式，張老師在班級中進(jìn)行了教學(xué)嘗試，對不同的練習(xí)題靈活地使用了“五步”程式進(jìn)行了引導(dǎo)，體現(xiàn)了不同的側(cè)重點和策略，取得了很好的教學(xué)效果.課后，筆者根據(jù)課堂實錄進(jìn)一步對課堂練習(xí)題的解題進(jìn)行了整理，并針對“方法歸納與點評”環(huán)節(jié)提出了引導(dǎo)解法的“五化”指導(dǎo)策略.限于篇幅，僅選取該課中一道練習(xí)題為例來說明開展課堂練習(xí)的“五步”程式和解題方法引導(dǎo)的“五化”策略.

1 課堂練習(xí)開展的“五步”程式

組織學(xué)生開展課堂練習(xí)可以基于整節(jié)課，即形成完整的習(xí)題課，也可以針對課堂的某一練習(xí)環(huán)節(jié).對于練習(xí)環(huán)節(jié)而言，組織開展課堂練習(xí)一般可以采用如下“五步”程式：“習(xí)題呈現(xiàn)與審題”“自主練習(xí)與交流”“解題展示與剖析”“方法歸納與點評”“拓展訓(xùn)練與反思”.

程式一 習(xí)題呈現(xiàn)與審題

“習(xí)題呈現(xiàn)與審題”是引導(dǎo)課堂練習(xí)的第一個程式，是依據(jù)教學(xué)內(nèi)容的安排，為強(qiáng)化知識和技能在恰當(dāng)?shù)臅r機(jī)引入練習(xí)題目，并引導(dǎo)學(xué)生開展審題的過程.

人教版九年級（下）第58頁第11題：如圖1，△ABC是一塊銳角三角形材料，邊BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上，這個正方形零件的邊長是多少？

本題是一道經(jīng)典的課本問題，設(shè)計的目的在于檢驗學(xué)生綜合運(yùn)用三角形相似知識解決實際問題的能力，對所學(xué)知識、方法進(jìn)行拓展.在習(xí)題展示后，張老師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行了讀題、審題，找出了本題的已知條件、求解問題，并在圖中標(biāo)識了數(shù)據(jù)和字母.張老師特別強(qiáng)調(diào)了正方形EGHF與△ABC的位置關(guān)系.

程式二 自主練習(xí)與交流

“自主練習(xí)與交流”是基于“習(xí)題呈現(xiàn)與審題”后的第二程式，這是課堂練習(xí)的重要步驟.本程式強(qiáng)調(diào)學(xué)生獨立地嘗試，體驗思考和動筆操作的過程.期間，教師可以根據(jù)學(xué)生實際情況給予必要的思路引導(dǎo).在自主練習(xí)的過程中或練習(xí)后，教師設(shè)定短暫的時間進(jìn)行交流，起到相互了解、相互啟發(fā)的作用，為后續(xù)程式開展做準(zhǔn)備.交流的方式可以選用生生交流或師生交流，自由交流或分組交流等.在該程式中，張老師首先組織同學(xué)們進(jìn)行自主練習(xí)，要求先獨立思考，并規(guī)范寫出解題過程.然后，張老師巡視課堂，關(guān)注學(xué)生解題情況，并對個別學(xué)生給予指導(dǎo).

程式三 解題展示與剖析

“解題展示與剖析”是由主動舉手的學(xué)生、小組代表或教師抽點的學(xué)生按照某種方式展示，并解說解題方法、解題思路、解題步驟等內(nèi)容的過程.學(xué)生展示解題的方式包括上臺演算、口述、展臺展示、分組匯報等.在該程式中，張老師鼓勵學(xué)生主動上臺利用展示臺展示了各種解法.在學(xué)生展示解題過程中，特別要求學(xué)生說出思路和解題方法的特點.這個過程中，學(xué)生給出了如下解法：

程式四 方法歸納與點評

“方法歸納與點評”是引導(dǎo)學(xué)生課堂練習(xí)的第四程式，是對“自主練習(xí)與交流”程式產(chǎn)生結(jié)果的整理和升華.本程式是學(xué)生知識、方法得以內(nèi)化的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，對學(xué)生系統(tǒng)掌握知識或技能起畫龍點睛的作用.在該程式中，張老師引導(dǎo)學(xué)生對呈現(xiàn)的解題方法進(jìn)行了歸納和點評.下面是教學(xué)片斷.

師：剛才同學(xué)們展示了這道題的幾種解法？

生：7種.

師：同學(xué)們真能干，想出這么多方法，說明同學(xué)們思維很活躍.這么多方法，我們可否對它們進(jìn)行歸類呢？又如何歸類？

生：我認(rèn)為這些方法都很好，各有特點，就可以分為7類.

師：7種方法之間有沒有相同之處呢？

生：有相同之處，它們都列了方程.

師：對了，都列出了方程.用方程的思想解決應(yīng)用題.從應(yīng)用的方法方面來看呢？

生：解法3、解法4、解法6是用的面積法來解，而其余解法用的新學(xué)的方法.

師：看到了關(guān)鍵，其實，完全可以把這些方法歸為2類.也就是解法1、2、5、7用的是剛剛學(xué)的三角形相似的性質(zhì)來解，我們把它稱為“相似法”吧，而另外的方法用的是以前學(xué)的面積法，并且解法3和解法6中的面積法還是比較巧妙的，用以前所學(xué)的三角形和圖形的面積公式就可以解決問題，這里的“巧”是以面積易求為前提的，關(guān)鍵要找出“面積關(guān)系”，在一些復(fù)雜的圖形關(guān)系中，找面積關(guān)系更加復(fù)雜，所以這些方法略有欠缺.進(jìn)一步看，事實上，解法2也用到了面積，但是該方法是用的“面積比”的關(guān)系來計算，而其它面積法是用的“面積和”的關(guān)系來計算，它們是有區(qū)別的.

張老師一邊講一邊開始板書（見圖4）：

師：我們再看解法1和解法2，兩種解法都用到了三角形相似的性質(zhì).解法1利用了“相似三角形對應(yīng)線段比等于相似比”，而解法2利用了“相似三角形面積比等于相似比的平方”.這兩種方法都要先找到兩個相似三角形，然后才能運(yùn)用其性質(zhì)，即關(guān)鍵要找到“相似關(guān)系”.一般來講，圖中有直線平行的關(guān)系，如“A型”圖，相似三角形還是容易找到，這種方法是比較通用的.

師：還有，解法5得到的答案也是48.但是解題時，我們能自己添加或改變條件而用于解題嗎？不能，解法5添加了限定條件雖然仍符合題意（仍為銳角三角形），但變得更特殊，邏輯上不嚴(yán)謹(jǐn)了，這是錯誤的方法.

生：解決填空題或選擇題還可以.

師：是的，但是這種“特殊值法”的猜想過程不嚴(yán)謹(jǐn)，可以幫我們提供思路，嚴(yán)格的話需要驗證，不過，用動態(tài)的眼光看幾何問題值得肯定.

師：另外，解法3比解法6顯得更復(fù)雜，走了彎路，可以直接將△ABC的面積分解為解法6中的面積關(guān)系，因此，面積法中最好采用更簡捷的解法6.最后一種解法7，本質(zhì)上同解法1，這需要添加輔助線，且找相似關(guān)系的方法略顯偏門，不太可取.

程式五 拓展訓(xùn)練與反思

“拓展訓(xùn)練與反思”是引導(dǎo)學(xué)生課堂練習(xí)的第五程式，既是充實內(nèi)容、問題補(bǔ)救的延續(xù)，又是經(jīng)驗總結(jié)和解題反思的時機(jī).該程式的安排比較靈活，主要根據(jù)學(xué)生表現(xiàn)、課堂時間、教學(xué)內(nèi)容等因素來確定，并且可以安排在課內(nèi)完成，也可以安排在課后完成.在本程式中，張老師以上題為原型，通過改變題目的條件、設(shè)問方式等，引導(dǎo)學(xué)生開展了變式練習(xí)，最后進(jìn)行反思、總評.

2 練習(xí)題解法的“五化”指導(dǎo)策略

在練習(xí)題處理過程中，張老師在每一步中都扮演好了“導(dǎo)”的角色，學(xué)生在整個過程思維很開放、活躍，課堂參與積極性高漲，常有驚喜的表現(xiàn)，達(dá)到了課堂練習(xí)的目標(biāo).這樣的練習(xí)活動和課堂指導(dǎo)，由題及類，解剖一題，帶活一串，注意數(shù)學(xué)思想方法的滲透，這樣的教學(xué)不僅深化了基礎(chǔ)知識，提高了學(xué)習(xí)效率，而且有助于發(fā)展學(xué)生思維的發(fā)散性，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，提高學(xué)生思維的獨創(chuàng)性，使學(xué)生形成良好的思維品質(zhì)[4].從教師對數(shù)學(xué)解題方法的指導(dǎo)視角來看，有如下具體“五化”策略.

2.1 “通法”要強(qiáng)化

“通法”就是解決這一類問題的最合理的想法、最基本的思路、最常用的方式、最普遍的操作程序[5].在數(shù)學(xué)課堂練習(xí)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生強(qiáng)化通法的重要意義和作用，注重培養(yǎng)解決一類問題規(guī)律性的技能，防止一味地機(jī)械模仿、高技巧和高難度的訓(xùn)練.強(qiáng)化通法不僅有利于學(xué)生快速抓住數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，形成有效解決問題的策略，而且有利于消除學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的畏懼心理，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心.上題是與“三角形相似的性質(zhì)”內(nèi)容相匹配的習(xí)題，根據(jù)習(xí)題立意，應(yīng)該將相似圖形的性質(zhì)運(yùn)用的方法作為通法，因此，張老師在練習(xí)指導(dǎo)中著重強(qiáng)化解法1和解法2.解法1強(qiáng)化“相似三角形對應(yīng)線段比等于相似比”的知識和方法，解法2強(qiáng)化“相似三角形面積比等于相似比的平方”.這正是本節(jié)課需要強(qiáng)化的新知內(nèi)容.

2.2 “巧法”要淡化

“巧法”就是解決這一類問題的技巧性較強(qiáng)的方式方法，較之于“通法”具有獨特性.在難度不太大的練習(xí)題中，“巧法”的體現(xiàn)不太明顯，而對于較高難度的練習(xí)題，“巧法”體現(xiàn)出高度技巧性，問題解決的入口狹窄，思維的量度和縝密度要求高，教師對于這樣的“巧法”要淡化，只需找準(zhǔn)“巧”的關(guān)鍵，指出“巧”的內(nèi)在機(jī)理即可，不能花費太大功夫.在本課堂練習(xí)中，雖然學(xué)生找出了很多解法，但張老師引導(dǎo)學(xué)生的關(guān)注點不是在“多”，也不是“巧”，而是在“精”，因此，面積法在解決該題時盡管很“巧”，但對于學(xué)生的思維價值不會太大，這種技巧就要淡化.

2.3 “笨法”要簡化

數(shù)學(xué)是思維的體操，而思維的訓(xùn)練需要精致過程.課堂練習(xí)時，要減少學(xué)生的機(jī)械訓(xùn)練和枯燥重復(fù).“多想少算”是數(shù)學(xué)解題的指導(dǎo)思路之一，教師在指導(dǎo)學(xué)生練習(xí)時要倡導(dǎo)“多想少算”.與之相反的，“少想多算”“多想多算”可能會導(dǎo)致解法的“走彎路”“走倒路”現(xiàn)象，趣稱這種解法為“笨法”（非貶義）.如果學(xué)生出現(xiàn)解題“笨法”，說明理解題目的本質(zhì)不夠透徹，知識邏輯還不夠通暢，或是方法運(yùn)用不夠熟練.此時，教師要將學(xué)生的“笨法”進(jìn)行簡化.本題的解法3中，學(xué)生能運(yùn)用面積法解決問題，但過程復(fù)雜，計算量略大，這個方法就是“笨法”.張老師指明了該法應(yīng)在哪里“簡”以及如何“簡”.當(dāng)然，簡化“笨法”并不是否定方法，而是提煉和精致的過程，回歸數(shù)學(xué)思想方法的本質(zhì).

2.4 “偏法”要弱化

學(xué)生在練習(xí)過程中，會經(jīng)常產(chǎn)生一些“偏法”，即不經(jīng)常使用、處于非主流的方法，或者觀察、思維視角比較狹隘的一些方法.這些“偏法”往往也能解決問題，具備一定的思維價值.比如，上題中解法7相對于該題的一般解法（解法1、2）就是偏法，具有一定的“奇異性”，對于這種解法，教師要肯定其正確性和創(chuàng)造性，但也不能大肆鼓勵這種奇異性，關(guān)注點仍然應(yīng)放在方法的本質(zhì)上.反過來，教師若鼓勵“偏法”的使用，就會忽視“通法”的重要性，思維的導(dǎo)向就會引向“大路不走走小路”的現(xiàn)象，甚至于出現(xiàn)一些學(xué)生為了追求“偏法”而專走“不平凡路”.總體說來，允許學(xué)生思維的開創(chuàng)性，方法的獨特性，但注意“度”的把握問題.

2.5 “錯法”要點化

學(xué)生在課堂練習(xí)中出現(xiàn)解法錯誤是不可避免的正常現(xiàn)象，某種程度上也是一種教學(xué)資源.教師在教學(xué)過程中要有效利用這種“錯法”資源開展針對性的指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯誤原因，加深錯法的深層認(rèn)知，真正改正錯誤.在數(shù)學(xué)課堂練習(xí)中，學(xué)生的一些錯法表現(xiàn)出典型的認(rèn)知上的偏差，往往具有普遍性，可能是全班學(xué)生的共同錯誤.對于這些錯誤，教師應(yīng)深入分析學(xué)生在錯誤中呈現(xiàn)的知識錯誤、思維錯誤以及習(xí)慣錯誤，引導(dǎo)學(xué)生梳理并建立起完備的知識體系，加強(qiáng)核心知識點與其他知識點在縱橫經(jīng)緯上的交織與關(guān)聯(lián)，形成完善的知識網(wǎng)絡(luò).在構(gòu)建知識體系時，教師可借助思維導(dǎo)圖這一教學(xué)工具，加強(qiáng)知識聯(lián)系的形象性，避免因數(shù)學(xué)知識抽象而導(dǎo)致知識體系形式化.此外，教師可根據(jù)錯誤的特點，調(diào)整部分題干或問題，設(shè)計與錯題相似但解題切入點不同的變式練習(xí)[6].上題的解法5是錯誤的，張老師給予了明確的說明.同時，也指出了“錯法”的可取之處，錯中有“精彩”，維護(hù)了學(xué)生閃現(xiàn)的思維火光和課堂參與積極性.

以上數(shù)學(xué)課堂練習(xí)“五化”策略不僅是數(shù)學(xué)解題方法的指導(dǎo)策略，更是一種解題方法的意識導(dǎo)向.但是，課堂練習(xí)是基于現(xiàn)場的，有許多的不確定因素影響學(xué)生的課堂表現(xiàn)，教師要善于捕捉課堂反饋信息，因材施教、因勢利導(dǎo)、因境而變、因課制宜[7].把探求適合學(xué)生的解法作為指導(dǎo)課堂練習(xí)的準(zhǔn)則，而適合學(xué)生的解法要易于被學(xué)生接受、通過學(xué)習(xí)后能快速掌握并將其應(yīng)用到類似問題的解決上[8].

參考文獻(xiàn)

[1]徐國裕.數(shù)學(xué)課堂需要追求有效練習(xí)[J].教學(xué)與管理，2012（17）：28-30.

[2]吳立寶，王富英.數(shù)學(xué)教材習(xí)題“七功能”[J].教學(xué)與管理，2014（31）：66-68.

[3]陳瑞輝.數(shù)學(xué)課堂練習(xí)應(yīng)關(guān)注五個方面[J].教學(xué)與管理，2019（32）：31-33.

[4]孫樹德.從習(xí)題的挖掘與引申談學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)[J].中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2014（4）：34-37，48.

[5]卓斌.數(shù)學(xué)解題教學(xué)應(yīng)讓通解通法落地生根[J].數(shù)學(xué)通報，2018，57（2）：45-49.

[6]孟品超，姜志俠，尹偉石.科學(xué)利用學(xué)生數(shù)學(xué)錯誤的思考[J].教學(xué)與管理，2016（3）：97-99.

[7]潘超.基于高效教學(xué)的動力機(jī)制研究[J].中國教育學(xué)刊，2016（5）：66-70.

[8]鄭學(xué)濤.尋找最適合的解法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2019（6）：61-62.

作者簡介 潘超（1975—），男，教授，碩士生導(dǎo)師.研究方向：數(shù)學(xué)教育與教師教育.張垂權(quán)（1975—），男，中學(xué)高級教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究.