顧廣林 帥建卓

【摘 要】 初中“數(shù)學(xué)活動”將抽象的知識用鮮活的實踐體現(xiàn).育人的教學(xué)過程應(yīng)該圍繞真實情境而展開，解決問題的的過程要引導(dǎo)學(xué)生在“做”中體驗建構(gòu)，重視問題的提出和建模等數(shù)學(xué)化過程，使學(xué)生在問題解決中深化理解和拓展知識，提升數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】 “數(shù)學(xué)活動”;教學(xué)過程;問題解決;教學(xué)結(jié)構(gòu)

初中“數(shù)學(xué)活動”分布在教材章末，具有鮮明的“活動”特點，本質(zhì)是基于真實情境的問題解決.問題的條件需要自己探索，是常規(guī)解題的逆向思考.因此，“數(shù)學(xué)活動”教學(xué)應(yīng)該有別于常規(guī)數(shù)學(xué)教學(xué)，教學(xué)過程應(yīng)該圍繞蘊含數(shù)學(xué)本質(zhì)問題的真實情境展開，引導(dǎo)學(xué)生在“做”中主動體驗建構(gòu)，能夠在真實情境的問題解決中深化理解和結(jié)構(gòu)化知識，提升遷移應(yīng)用能力，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng).文章擬結(jié)合《“數(shù)學(xué)活動”——超市中的數(shù)學(xué)》從教學(xué)主題、教學(xué)準(zhǔn)備、組織活動等方面闡述“數(shù)學(xué)活動”教學(xué)過程的構(gòu)建.

1 確定“數(shù)學(xué)活動”教學(xué)主題

“數(shù)學(xué)活動”突出數(shù)學(xué)與生活的關(guān)聯(lián)，提高學(xué)生以數(shù)學(xué)的眼光看待、分析及理解情境的能力，提高學(xué)生的獨立思考、合作交流、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、抽象、建模等能力和素養(yǎng)，與學(xué)科教學(xué)在育人功能上相互補充.“數(shù)學(xué)活動”的情境有的主題明確，學(xué)生直接探索問題解決方法.有些情境結(jié)構(gòu)復(fù)雜，具有較強的開放性，學(xué)生能夠提出許多問題作為研究內(nèi)容，需要明確活動的主題，活動才有針對性.對于“超市中的數(shù)學(xué)”，要求學(xué)生去超市考察，提出系列數(shù)學(xué)問題，比如，怎樣設(shè)計包裝紙箱使所用材料最少？這個超市應(yīng)該設(shè)置幾個收款通道？每天各個時段分別開放多少個收款通道？進貨時選擇哪些型號的商品最暢銷？……，不同的主題為開展“數(shù)學(xué)活動”提供豐富的教學(xué)資源.文章擬從活動主題——開放幾個收款通道，談?wù)劷虒W(xué)過程的構(gòu)建.

2 制定“數(shù)學(xué)活動”教學(xué)目標(biāo)

“數(shù)學(xué)活動”是一個完整的學(xué)習(xí)單位，是一個微課程，更能凸顯育人價值.有了主題就要設(shè)計教學(xué)目標(biāo)，目標(biāo)定位作為教學(xué)活動的第一要素及最終歸宿，要在數(shù)學(xué)活動課程總體目標(biāo)統(tǒng)領(lǐng)下，結(jié)合活動內(nèi)容、學(xué)生發(fā)展、師生活動等制定適當(dāng)?shù)幕顒幽繕?biāo).從知識和技能的角度分析，“數(shù)學(xué)活動”教學(xué)在應(yīng)用中要深化理解和拓展延伸所學(xué)內(nèi)容，認(rèn)識數(shù)學(xué)知識的本質(zhì).從育人角度思考，要體現(xiàn)“數(shù)學(xué)活動”培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識、創(chuàng)新能力和社會交往能力及自我意識的喚醒、數(shù)學(xué)文化認(rèn)同等育人價值.為此，確定本次“數(shù)學(xué)活動”教學(xué)目標(biāo)：學(xué)生能夠從超市情境中提出問題，能夠根據(jù)主題擬定調(diào)查方案收集數(shù)據(jù)，培養(yǎng)學(xué)生提出問題、信息處理和交往等能力;在選擇模型解決問題過程中深化對方程、不等式和函數(shù)等知識的理解，提升實際問題數(shù)學(xué)化的能力.

3 “數(shù)學(xué)活動”教學(xué)前期準(zhǔn)備

“數(shù)學(xué)活動”與常規(guī)教學(xué)有所區(qū)別，需要一定的實施條件，課前應(yīng)該準(zhǔn)備好必要的硬件、軟件等活動工具或素材.根據(jù)主題和學(xué)生可能提出的問題，需要了解學(xué)生活動的認(rèn)知基礎(chǔ)，具體分析解決問題過程中，學(xué)生已經(jīng)具備哪些知識、技能和經(jīng)驗.學(xué)生能否靈活運用這些知識，也就是是否具備一定的知識遷移能力，需要根據(jù)學(xué)情對相關(guān)知識和能力進行適當(dāng)?shù)牡南刃薪M織，這樣才能準(zhǔn)確把握教學(xué)的邏輯起點，同時根據(jù)差異情況，預(yù)設(shè)“腳手架”.有些“數(shù)學(xué)活動”需要社會調(diào)查或?qū)嶋H測量，要加強安全管理，協(xié)調(diào)好相關(guān)場所.外出實踐活動也需要組建活動小組，明確各自的任務(wù)，分工協(xié)作.解決“開放幾個收款通道”的問題，學(xué)生需要能夠解決“至少開放幾個閘口（檢票口）”的認(rèn)知基礎(chǔ)，如果欠缺，適當(dāng)復(fù)習(xí)，以便解決更深層次的問題.本次“數(shù)學(xué)活動”需要以小組學(xué)習(xí)的方式走進超市，根據(jù)主題進行不同視角下的調(diào)查統(tǒng)計，收集相關(guān)數(shù)據(jù)，需要指導(dǎo)小組策劃調(diào)查方案.

4 “數(shù)學(xué)活動”教學(xué)過程設(shè)計

“數(shù)學(xué)活動”教學(xué)過程設(shè)計需要宏觀分析活動過程，分析“數(shù)學(xué)活動”教學(xué)結(jié)構(gòu)，設(shè)計要點，能夠培養(yǎng)哪些能力和素養(yǎng)，如何落實在教學(xué)過程中.

4.1 宏觀分析活動過程

“數(shù)學(xué)活動”教學(xué)，一般是給定真實情境，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光審視、思考情境與哪個數(shù)學(xué)模型具有較高的關(guān)聯(lián)，提出問題，運用數(shù)學(xué)模型分析和解決問題，要注重“數(shù)學(xué)”和“活動”的有機統(tǒng)一，利用“活動”促進學(xué)生的探索、思考，使思維活動指向發(fā)現(xiàn)問題和解決問題，解決了問題，還需要引導(dǎo)學(xué)生抽象和反思.

4.2 “數(shù)學(xué)活動”的教學(xué)結(jié)構(gòu)

“數(shù)學(xué)活動”主要有設(shè)計、測量、實驗探究、調(diào)查.根據(jù)以上教學(xué)過程宏觀分析，提出不同類型的“數(shù)學(xué)活動”教學(xué)結(jié)構(gòu).

規(guī)劃設(shè)計的一種教學(xué)結(jié)構(gòu)，如圖1.

測量的一種教學(xué)結(jié)構(gòu)，如圖2.

實驗探究類一種教學(xué)結(jié)構(gòu)，如圖3.

調(diào)查類一種教學(xué)結(jié)構(gòu)，如圖4.

4.3 教學(xué)過程設(shè)計要點

“數(shù)學(xué)活動”具有豐富的內(nèi)涵，獨特的活動形式，在促進學(xué)生發(fā)展等方面，與常規(guī)數(shù)學(xué)課側(cè)重點有所不同，形成互補關(guān)系，能夠有效培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用、創(chuàng)新能力，是育人的重要載體，教學(xué)過程應(yīng)關(guān)注：

1.重視提出問題.“數(shù)學(xué)活動”重要價值就在于其實踐性的情境能夠激發(fā)學(xué)生的好奇心，易產(chǎn)生問題，因此要尊重學(xué)生的主體性，讓學(xué)生充分經(jīng)歷和體驗，從數(shù)學(xué)的視角提出問題，并嘗試解決問題.問題具有衍生性和討論性，分析、解決問題過程中會不斷提出新的問題，問題意識是創(chuàng)新的基礎(chǔ)，創(chuàng)新能力會得到培養(yǎng).

2.重視問題解決過程.“數(shù)學(xué)活動”關(guān)注現(xiàn)實生活，賦予學(xué)習(xí)意義.要讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、思考、合作、修正方案、求解、反思等完整的問題解決活動，注重調(diào)動和重組已有經(jīng)驗將實際情境數(shù)學(xué)化的關(guān)鍵過程，強調(diào)在“做”中體驗建構(gòu)，在應(yīng)用中深化理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，促進知識的內(nèi)化、關(guān)聯(lián)和遷移.

3.以評價發(fā)揮“數(shù)學(xué)活動”的育人功能.評價要營造活動的民主氛圍，誘導(dǎo)活動興趣，在豐富的“活動”經(jīng)歷中，獲得積極的情感和良好的心理品質(zhì)，積極的情感才能使學(xué)生全身心投入學(xué)習(xí).評價要鼓勵學(xué)生分析問題的創(chuàng)新表現(xiàn)，體現(xiàn)開放性和嚴(yán)謹(jǐn)性的有機統(tǒng)一.要注重表現(xiàn)性評價，怎樣的活動才能發(fā)展學(xué)生的能力和核心素養(yǎng)，表現(xiàn)水平怎樣.

4.4 “超市中的數(shù)學(xué)”教學(xué)過程設(shè)計

圍繞主題“開放幾個收款通道”，談?wù)劷虒W(xué)過程的設(shè)計.

這是調(diào)查類的“數(shù)學(xué)活動”，可以根據(jù)上面介紹的教學(xué)結(jié)構(gòu)展開，其教學(xué)組織形式如圖5.

1.課前小組調(diào)查活動

調(diào)查活動分小組實施，小組活動是學(xué)習(xí)的主陣地.各個小組擬定調(diào)查方案，要明確小組成員的職責(zé)，共同協(xié)作才能提高調(diào)研質(zhì)量.調(diào)查的過程和數(shù)據(jù)可以制成視頻和PPT.由于各個小組調(diào)查結(jié)果的不確定因素，教師也要參與調(diào)查，掌握必要的教學(xué)資源，充分準(zhǔn)備教學(xué)預(yù)案.

2.小組匯報并構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決問題

課上小組匯報調(diào)研數(shù)據(jù)，采取圖片、視頻和講解等方式，既能回顧實踐體驗過程和勞動成果，又能調(diào)動課堂氣氛，提高學(xué)生應(yīng)用信息技術(shù)的能力.然后選取數(shù)學(xué)模型分析數(shù)據(jù)，體驗從數(shù)據(jù)到模型解釋的過程，提高數(shù)據(jù)處理能力.

課前擬定調(diào)查方案中，學(xué)生提出：開設(shè)幾個通道，關(guān)鍵需要了解結(jié)賬的速度.但各人結(jié)賬速度不同，為此，建議對實際情境理想化思考，以便學(xué)習(xí)探索情境的數(shù)學(xué)問題.將購物分為購物較少、購物較多兩種情況進行統(tǒng)計調(diào)查.

匯報一 統(tǒng)計部分顧客結(jié)賬時間，然后取其平均值得到兩種購物的結(jié)賬速度，也有認(rèn)為取中位數(shù)作為結(jié)賬速度.

經(jīng)歷這個統(tǒng)計活動，培養(yǎng)學(xué)生的信息收集和處理能力，鞏固相關(guān)統(tǒng)計學(xué)概念.知道了結(jié)賬速度，還要鼓勵學(xué)生進一步提出問題.匯報二 經(jīng)小組討論，需要觀察兩個通道的數(shù)據(jù)：A通道購物少的8人，購物多的7人，14.5分鐘結(jié)算完成;B通道購物少的11人，購物多的5人，13分鐘結(jié)算完成.

提出問題1：兩種情況平均結(jié)算時間多長？

這個問題學(xué)生建立方程組模型，很快求出購物較少、購物較多平均用時分別為0.5分鐘、1.5分鐘.

應(yīng)用題是根據(jù)已知條件列方程（組）解決問題，這個解決情境中的問題是應(yīng)用題的逆向思考.需要自己探索平均結(jié)算時間與哪些量高度關(guān)聯(lián)，需要一定的逆向思維能力和創(chuàng)新能力.這樣的問題解決會對方程的本質(zhì)得到較為深刻的理解和再建構(gòu).

怎樣解決開放幾個結(jié)賬通道的問題呢？根據(jù)調(diào)查，有的希望通過時間不超過15分鐘，也有表示不愿意等待，……

為此，提出問題2：在問題1的前提下，若顧客希望排隊和結(jié)賬時間不超過15分鐘，超市什么情況下需要增開收款通道？

分析：設(shè)某一時刻購物較少、購物較多的顧客分別有m、n人，若對一個通道而言，要增開通道，則

0.5m+1.5n>15，即m+3n>30.

先考慮特殊情形：若全是購物較少的顧客，也就是n=0，則m>30，即當(dāng)排隊人數(shù)超過30人時，就需要增開.若全是購物較多的顧客，也就是m=0，則n>10.即當(dāng)排隊人數(shù)超過10人時，就需要增開.

一般情形如何解決呢？引發(fā)學(xué)生深度思維.啟發(fā)學(xué)生考慮數(shù)形結(jié)合，從函數(shù)視角理解m+3n>30，設(shè)m+3n=30，則n=-1/3m+10，圖象如圖6所示，則人數(shù)滿足直線上方陰影區(qū)域內(nèi)的整數(shù)點時，都需要增開收款通道.這個應(yīng)用環(huán)節(jié)學(xué)生再次感受到數(shù)形結(jié)合和函數(shù)思想的魅力和價值，構(gòu)建了方程、不等式、函數(shù)的聯(lián)系，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu).重要的是師生的互動，產(chǎn)生了積極的情感，學(xué)生的研究意識也得到加強.

由此，超市應(yīng)根據(jù)每個時段的顧客人數(shù)、結(jié)賬時間和顧客愿意等候的時間等因素，通過模型分析可以確定開放幾個收款通道.

為了培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，在問題2的基礎(chǔ)上提出問題3：如果超市必須設(shè)置三個收款通道，且購物較少與購物較多的顧客比為2∶1.能否確定該超市這時排隊結(jié)賬的顧客數(shù)量范圍？

分析：由問題2知道，每個隊伍最后一名顧客通過時間超過15分鐘就需要增開通道.由于現(xiàn)在必須設(shè)置三個收款通道，則30<0.5m+1.5n≤45，即60

以上過程充滿數(shù)學(xué)邏輯的分析、綜合、歸納、推理，揭示了問題的深層結(jié)構(gòu)，在用數(shù)學(xué)中提高了學(xué)生的分析、解決問題的能力.

匯報三 經(jīng)過小組討論知道，隊伍消失與已有排隊人數(shù)，收款通道每分鐘結(jié)賬人數(shù)和增加人數(shù)有關(guān)，假設(shè)隊伍人數(shù)增加速度、兌換速度一定，為此，只要觀察多長時間隊伍消失.比如，超市某個時段兌換獎品顧客較多，專門開設(shè)通道兌換獎品.若干分鐘前就開始排隊，開放一個通道，20分鐘隊伍消失;開放兩個通道，8分鐘隊伍消失.提出問題4：開放三個通道，隊伍幾分鐘消失？

三個量未知，而只有兩個條件，可以巧妙利用分式進行代數(shù)推理解決問題.此環(huán)節(jié)培養(yǎng)了學(xué)生抽象能力和整體思想.通過以上深度思維，培養(yǎng)了抽象、建模等多種能力和素養(yǎng).

“數(shù)學(xué)活動”不能僅滿足解決問題，還要設(shè)“疑”，使問題新穎和開放，通過在不同情境中的數(shù)學(xué)建模、抽象等探究活動，整合、拓展、提升知識，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識和能力.解決問題要鼓勵學(xué)生獨立思考基礎(chǔ)上的合作學(xué)習(xí)、質(zhì)疑學(xué)習(xí)，做好過程性評價和表現(xiàn)性評價，對反饋的信息要及時調(diào)控，高質(zhì)量落實“數(shù)學(xué)活動”的目標(biāo).

3.形成報告

通過以上問題提出和問題解決，學(xué)生對主題問題有了較為深刻的認(rèn)識，需要自我反思問題的解決過程，形成調(diào)查報告.

總之，“數(shù)學(xué)活動”從學(xué)生生活出發(fā)，是一種體驗課程，問題解決的特例，其教學(xué)過程設(shè)計應(yīng)該具有開放性，充滿創(chuàng)造性，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生充分觀察、體驗、猜想、探究、討論等自主學(xué)習(xí)，運用數(shù)學(xué)模型關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活，將抽象的知識用鮮活的實踐體現(xiàn)，這是設(shè)計好“數(shù)學(xué)活動”教學(xué)的關(guān)鍵要素.

作者簡介 顧廣林（1964—），男，中小學(xué)正高級教師，江蘇省特級教師，主要從事初中“數(shù)學(xué)活動”研究.

帥建卓（1984—），男，一級教師，泰州市教學(xué)能手，主要從事初中數(shù)學(xué)研究.