李 晨, 陳國一, 方 勃, 臧 健, 張業(yè)偉

(1.沈陽航空航天大學 航空宇航學院，沈陽 110136；2.天津航天瑞萊科技有限公司，天津 300462)

非線性能量阱(nonlinear energy sink，NES)是有別于傳統(tǒng)線性吸振器的新型減振裝置，具有附加質(zhì)量小，吸振頻帶寬等優(yōu)點。Gourc等[1]從理論和實驗兩方面研究了耦合了非線性型能量阱的線性振子在簡諧受迫振動下的動態(tài)響應(yīng)。Al-shudeifat等[2]提出了一種基于磁力的非線性能量阱，為在工程應(yīng)用中尋找非線性立方剛度提供了思路。楊凱等[3]提出了適用于空間環(huán)境的非線性消振器結(jié)構(gòu)及動力學模型，仿真結(jié)果表明，該被動非線性消振器對系統(tǒng)的能量耗散率可以達到92%，可以實現(xiàn)非常好的振動抑制效果，能夠適應(yīng)空間環(huán)境，并提高航天系統(tǒng)的可靠性。Li等[4]在一個夾層梁里耦合了非線性能量阱，通過研究發(fā)現(xiàn)非線性能量阱對抑制夾層梁的自由振動有很好的效果。Chen等[5]將壓電能量采集與非線性能量阱結(jié)合起來，使得結(jié)構(gòu)既能進行振動抑制，也可以進行振動能量采集。Zhang等[6]研究了帶有非線性能量阱的軸向運動梁的受迫振動控制，發(fā)現(xiàn)非線性能量阱有很好的控制過度振動的潛力。Sun等[7]將非線性能量阱與飛輪系統(tǒng)結(jié)合進行減振，研究表明該系統(tǒng)具有良好的減振效果。臧健等[8]研究了非線性能量阱的復雜動力學以及振動抑制評價方法，首次針對非線性能量阱，提出了一種廣義振動傳遞率的振動抑制評價方法。劉海平等[9]采用單根歐拉梁成功構(gòu)建出可在工程中應(yīng)用的非線性能量阱，且給出了發(fā)生靶能量傳遞的初始條件。熊懷等[10]研究了阻尼對耦合非線性能量阱系統(tǒng)的影響，給出了非線性能量阱具有吸振能力時線性振子阻尼有效范圍。陳恒等[11]研究了非線性能量阱對帶控制截面機翼結(jié)構(gòu)的顫振抑制，通過分岔圖結(jié)合數(shù)值模擬的峰值圖，討論在不同風速下的減振效果，結(jié)果表明機翼結(jié)構(gòu)顫振可以部分甚至全部抑制。楊凱等[12]基于非線性輸出頻響函數(shù)，對引入非線性能量阱的單自由度振動系統(tǒng)進行了分析，對其進行了動力學參數(shù)設(shè)計，其分析結(jié)果對于工程領(lǐng)域中NES的設(shè)計具有非常重要的指導意義。魯正等[13]對非線性能量阱的設(shè)計與應(yīng)用進行了評述，指出了其在工程應(yīng)用中的優(yōu)勢與不足，并針對實際工程可能遇到的問題提出了建議,對非線性能量阱技術(shù)的后續(xù)研究進行了展望。張也弛等[14]研究了兩自由度非線性耦合振子間的靶能量傳遞現(xiàn)象，經(jīng)數(shù)值仿真驗證,所推導的方程可準確計算兩振子間完全能量傳遞所需的初始能量,并適用于強非線性系統(tǒng)。

對常規(guī)的非線性能量阱進行結(jié)構(gòu)改進，可以提高非線性能量阱的吸振性能，進一步減輕附加質(zhì)量。陳建恩等[15]采用并聯(lián)非線性能量阱的方法來對結(jié)構(gòu)進行減振，研究了在溫度變化時，非線性能量阱吸振效能的變化。Savadkoohi 等[16]實驗研究了連接并聯(lián)非線性能量阱的四自由度主振子的響應(yīng)，研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)并聯(lián)非線性能量阱具有良好的減振效果。Nguyen等[17]對常規(guī)的并聯(lián)非線性能量阱進行了優(yōu)化設(shè)計，提高了并聯(lián)非線性能量阱的吸振效能。Gendelman 等[18]對比研究了串聯(lián)非線性能量阱與常規(guī)非線性能量阱的吸振效能，發(fā)現(xiàn)在相同附加質(zhì)量條件下，串聯(lián)非線性能量阱的吸振效能要優(yōu)于常規(guī)非線性能量阱。Grinberg 等[19]分析了連接串聯(lián)非線性能量阱的線性主振子的周期、準周期和混沌響應(yīng)，同樣肯定了串聯(lián)非線性能量阱吸振效能。李繼偉等[20]建立了沖擊減振器與非線性能量阱耦合系統(tǒng)的新型吸振模型,數(shù)值模擬的結(jié)果驗證了該吸振裝置的高效性。鐘銳等[21]研究了單自由度非線性能量阱和兩自由度串聯(lián)非線性能量阱的吸振效能，重點分析了串聯(lián)非線性能量阱對高分支響應(yīng)的抑制作用。結(jié)果表明，串聯(lián)NES能夠在較大幅值激勵范圍內(nèi)保持較高吸振效能。Zang等[22]提出了一種新型杠桿型非線性能量阱(LNES)，研究發(fā)現(xiàn)杠桿型非線性能量阱比傳統(tǒng)非線性能量的吸振性能更好而且附加質(zhì)量更小。Zhang等[23]將非線性能量阱和鎳鈦合金鋼絲繩結(jié)合應(yīng)用于整星系統(tǒng)，研究發(fā)現(xiàn)在不改變系統(tǒng)固有頻率的情況下，加入鎳鈦合金鋼絲繩的非線性能量阱可以有效減小整星系統(tǒng)的過度振動。姚紅良等[24]研發(fā)了一種可調(diào)的雙穩(wěn)態(tài)非線性能量阱(BNES)，研究表明該BNES對懸臂梁的瞬態(tài)時域響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)頻域響應(yīng)都有很好的振動抑制能力。劉艮等[25]研究了非線性能量阱在懸臂薄板振動抑制中的應(yīng)用，為懸臂結(jié)構(gòu)在工程應(yīng)用中提供了理論上的支持。王菁菁等[26]將調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(TMD)與非線性能量阱(NES)相結(jié)合，提出非線性-線性聯(lián)合控制方法，通過數(shù)值模擬結(jié)果表明，相較于完全非線性和完全線性的方法，非線性-線性聯(lián)合控制方法具有更強的減震魯棒性。劉中坡等[27]設(shè)計了NES振動控制實驗并進行了振動臺實驗，試驗結(jié)果表明NES有較好的寬頻控制效果,即使其剛度偏離優(yōu)化值或被控對象動力學特性發(fā)生一定改變,NES依然能發(fā)揮較好的振動控制作用。劉海平等[28]將歐拉屈曲梁和線性彈簧并聯(lián)使用,構(gòu)建非線性動力吸振器，并研究了歐拉屈曲梁的初始撓度、初始傾角和阻尼系數(shù)對其振動抑制性能的影響。

本文基于傳統(tǒng)杠桿型非線性能量阱，應(yīng)用并聯(lián)非線性能量阱的方法，構(gòu)成一個杠桿型并聯(lián)非線性能量阱系統(tǒng)。對采用并聯(lián)非線性能量阱后的杠桿非線性能量阱系統(tǒng)進行振動控制研究，對杠桿型并聯(lián)非線性能量阱與杠桿型單個非線性能量阱的吸振性能進行對比研究。

1 帶有杠桿式并聯(lián)非線性能量阱的單自由度系統(tǒng)

傳統(tǒng)單個杠桿型非線性能量阱模型如圖1所示，本文所研究系統(tǒng)模型如圖2所示，質(zhì)量m1、線性彈簧k1以及線性阻尼c1組成了單自由度系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)質(zhì)量m1受到一個外部的諧波激勵F=Acos(ωt)。杠桿式并聯(lián)非線性能量阱由質(zhì)量m2、m3阻尼c2、c3以及非線性剛度k2、k3組成的兩個非線性能量阱并聯(lián)組成，與一根忽略質(zhì)量的剛性桿相連。剛性桿的A點與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量相連，C點通過彈簧k2、阻尼c2與m2相連，D點通過彈簧k3、阻尼c3與m3相連。

圖1 帶有杠桿式單個非線性能量阱的單自由度系統(tǒng)

圖2 帶有杠桿式并聯(lián)非線性能量阱的單自由度系統(tǒng)

由牛頓第二定律得到系統(tǒng)的動力學方程

k3[(1-α2)x1-x3]3+(1-α2)c3[(1-

(1)

式中：xi表示結(jié)構(gòu)mi(i=1，2，3)的位移，x0是D點的位移，A點的位移與結(jié)構(gòu)m1相同，并聯(lián)非線性能量阱在C點位置懸掛的為內(nèi)懸掛位置，用α1表示，α1是長度AC與AB的比值；在D點懸掛的為外懸掛位置，用α2表示，α2是長度AD與AB的比值。

無量綱參數(shù)如下

(2)

把方程(1)進行無量綱處理得

(3)

式中:l為線性彈簧k1在100 N作用下的伸長。

基于諧波平衡法，方程(1)的振動響應(yīng)可以近似為一組有限諧波的疊加。因為系統(tǒng)僅含立方非線性，設(shè)解響應(yīng)為1次諧波與3次諧波的疊加。

u1(τ)=a11cos(γτ)+b11sin(γτ)+a31cos(3γτ)+

b31sin(3γτ),

u2(τ)=a12cos(γτ)+b12sin(γτ)+a32cos(3γτ)+

u3(τ)=a13cos(γτ)+b13sin(γτ)+a33cos(3γτ)+

b33sin(3γτ),

(4)

式中：aij和bij(i=1，2，3)，(j=1，2，3)為待確定的諧波系數(shù)。

將方程(4)代入方程(3)中，平衡sin(iγτ)與cos(iγτ)(i=1,3)的系數(shù)，得到一組非線性代數(shù)方程。

b32sin(3τγ))3+ζ2(1-α1)(-a11γsin(τγ)+b11γcos(τγ)-3a31γsin(3τγ)+3b31γcos(3τγ))+

b11sin(τγ)+a31cos(3τγ)+b31sin(3τγ)-a13cos(τγ)-b13sin(τγ)-a33cos(3τγ)-b33sin(3τγ))3+

(1-α2)ζ3((1-α2)(-a11γsin(τγ)+b11γcos(τγ)-3a31γsin(3τγ)+3b31γcos(3τγ))+a13γsin(τγ)-

在Al-Si鋁合金成分的基礎(chǔ)上添加Cu元素，Cu元素可以和Al形成二元共晶體(α-Al2Cu)，其起到強化作用．合金中加入Cu元素后發(fā)達的樹枝晶會發(fā)生破碎，使粗大樹枝晶端部發(fā)生鈍化且變?yōu)榧毿〉幕ǘ錉罹Я?，使合金晶粒形態(tài)發(fā)生改變，從而減輕合金的微觀偏析．由于α-Al2Cu金屬間化合物在凝固前期彌散析出，阻礙了晶界遷移而降低晶粒的長大速度，在快速冷卻的條件下典型的樹枝晶會發(fā)生細化，使晶粒分布更加均勻，從而提高了合金的致密性．Cu元素的加入能夠顯著降低合金的液相線溫度，且Cu元素溶解度很小，因此可以形成較大的濃度過冷而促進生核，還能使晶體的分枝形成細的縮頸，易于產(chǎn)生晶體增殖，因而能使晶粒顯著細化．

b13γcos(τγ)+3a33γsin(3τγ)-3b33γcos(3τγ))+fcos(τγ)=0,

a32cos(3τγ)+b32sin(3τγ)-(1-α1)(a11cos(τγ)+b11sin(τγ)+a31cos(3τγ)+b31sin(3τγ)))3+

ζ2(-a12γsin(τγ)+b12γcos(τγ)-3a32γsin(3τγ)+3b32γcos(3τγ)-(1-α1)(-a11γsin(τγ)+

b11γcos(τγ)-3a31γsin(3τγ)+3b31γcos(3τγ)))=0，

a33cos(3τγ)+b33sin(3τγ)-(1-α2)(a11cos(τγ)+b11sin(τγ)+a31cos(3τγ)+b31sin(3τγ)))3+

ζ3(-a13γsin(τγ)+b13γcos(τγ)-3a33γsin(3τγ)+3b33γcos(3τγ)-(1-α2)(-a11γsin(τγ)+b11γcos(τγ)-3a31γsin(3τγ)+3b31γcos(3τγ)))=0

(5)

通過結(jié)合偽弧長延伸法我們可以得到各階諧波系數(shù)，進而確定幅頻特性曲線。為了有效的描述帶有高階系數(shù)的幅頻特性曲線，在這里我們用均方根值來處理系統(tǒng)的響應(yīng)。

(6)

下面對由諧波平衡法得到的幅頻響應(yīng)進行數(shù)值驗證，系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。

表1 系統(tǒng)參數(shù)

通過比較諧波解析解與數(shù)值解發(fā)現(xiàn)，總體上，三階諧波解與數(shù)值解已經(jīng)很吻合了，如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)幅頻響應(yīng)解析解與數(shù)值解的對比

2 杠桿型并聯(lián)非線性能量阱的質(zhì)量、剛度以及懸掛位置對系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響

2.1 質(zhì)量對系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響

下面討論杠桿并聯(lián)非線性能量阱的質(zhì)量λ2和λ3對系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響。

圖4展示了質(zhì)量λ3對系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響。從圖中我們可以看出，從圖中我們可以看出，當λ3質(zhì)量較小時，質(zhì)量參數(shù)由0.006 94變化至0.013 89，幅頻響應(yīng)曲線的峰值僅由237.98降至229.03，下降幅度很小，但曲線的形狀趨于穩(wěn)定。伴隨著λ3質(zhì)量的增大，系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線向右彎曲，彎曲的范圍在頻率0.87和0.89附近；繼續(xù)增大λ3質(zhì)量，在共振頻率附近出現(xiàn)了一個孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)；接著，伴隨著λ3質(zhì)量的逐漸增大，孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)逐漸遠離系統(tǒng)原本的幅頻特性曲線，并逐漸減??；繼續(xù)增大λ3質(zhì)量，孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)消失；最后伴隨著λ3質(zhì)量的繼續(xù)增大，幅頻響應(yīng)曲線的峰值逐漸增大。

(a)λ3=0.006 94

圖5展示了質(zhì)量λ2對系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響。從圖中可以看出，在質(zhì)量λ2參數(shù)較小時，隨著質(zhì)量λ2的增大，幅頻響應(yīng)曲線的峰值逐漸降低。在參數(shù)為0.034 03時，在共振頻率附近出現(xiàn)孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)。伴隨質(zhì)量λ2的增大，孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)逐漸變小，并遠離系統(tǒng)原本的幅頻響應(yīng)曲線。在參數(shù)為0.058 33時，孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)消失，幅頻響應(yīng)曲線的峰值由135.65降至122.83。繼續(xù)增大質(zhì)量λ2，幅頻響應(yīng)曲線的峰值又開始逐漸增大。

(a)λ2= 0.004 17

綜上，我們可以看出伴隨著非線性能量阱的質(zhì)量λ2和λ3參數(shù)的增大，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的峰值先逐漸減小至最小值然后再逐漸增大，在共振頻率附近出現(xiàn)的孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)會逐漸減小并遠離原幅頻響應(yīng)曲線直至消失。所以，適當質(zhì)量的λ2和λ3可以有效降低系統(tǒng)的振幅。

2.2 非線性剛度對系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響

下面討論杠桿型并聯(lián)非線性能量阱的非線性剛度β2和β3對系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響。

圖6展示了非線性剛度β3對系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響。從圖中可以看出，伴隨著非線性剛度β3的增大，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的峰值逐漸降低，這種下降的趨勢一直保持到大約在β3=5.277 74時停止；繼續(xù)增大非線性剛度β3，在共振頻率附近出現(xiàn)了一個孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)。從圖中可以看出，這個孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)逐漸向原來的幅頻響應(yīng)曲線靠近，并逐漸變大。繼續(xù)增大剛度，孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)與原來的幅頻響應(yīng)曲線相連。最終，環(huán)狀孤立響應(yīng)與原幅頻響應(yīng)曲線相融合。

(a)β3=1.759 01

當環(huán)狀孤立響應(yīng)出現(xiàn)時，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的峰值會逐漸增大。這說明孤立環(huán)狀共振響應(yīng)的出現(xiàn)會導致系統(tǒng)的振幅增大。所以，當利用非線性進行振動抑制的同時，我們要關(guān)注到額外引入非線性對振動系統(tǒng)的危害。

圖7展示了非線性剛度β2對系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響。從圖中可以看出，在非線性剛度β2較小時，隨著β2參數(shù)的增大系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的峰值逐漸降低；當非線性剛度β2達到8.707 12時，在共振頻率附近出現(xiàn)了孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)。接著伴隨著非線性剛度β2的增大，孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)逐漸遠離系統(tǒng)原本的幅頻響應(yīng)曲線，并逐漸減小；繼續(xù)增大非線性剛度β2，孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)消失，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的峰值降低。接著增大非線性剛度β2，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的峰值逐漸增大。

(a)β2=1.759 01

綜上，我們可以看出伴隨著非線性能量阱的非線性剛度β2,和β3的逐漸增大，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的峰值先逐漸減小至最小值然后再逐漸增大。不同的是，隨著非線性剛度β2的增大，在共振頻率附近出現(xiàn)的孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)會逐漸減小并遠離原幅頻響應(yīng)曲線直至消失。而隨著非線性剛度β3的增大，在共振頻率附近出現(xiàn)的孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)會逐漸增大并與原幅頻響應(yīng)曲線融合。所以，適當?shù)姆蔷€性剛度β2和β3可以有效降低系統(tǒng)的振幅。

2.3 懸掛位置對系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響

下面討論杠桿型并聯(lián)非線性能量阱的內(nèi)懸掛位置α1和外懸掛位置α2對系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響。

在調(diào)節(jié)參數(shù)α1時，通過保證AB與BD的長度不變，改變C點的位置來調(diào)節(jié)參數(shù)α1。在調(diào)節(jié)參數(shù)α2時，通過保證AB與BC的長度不變，改變BD的長度來調(diào)節(jié)參數(shù)α2。

圖8展示了外懸掛位置α2對系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響。從圖中可以看出，在α2較小時，隨著α2的增大，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的峰值逐漸降低。當α2=3.05時，系統(tǒng)在原幅頻響應(yīng)曲線上方出現(xiàn)了一個孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)，由于孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)的產(chǎn)生，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的峰值升高。繼續(xù)增大α2，孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)也隨著增大。當α2=4.05時，孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)與原幅頻響應(yīng)曲線融合。由此我們可以看出，利用杠桿型非線性能量阱對結(jié)構(gòu)進行振動抑制時，單純的應(yīng)用杠桿原理對杠桿型非線性能量阱進行參數(shù)優(yōu)化是不合適的。當孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)繼續(xù)增大時，系統(tǒng)原幅頻響應(yīng)是一直降低的，說明孤立的共振響應(yīng)對系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)的影響是不能忽略的，即使原結(jié)構(gòu)的幅頻響應(yīng)逐漸降低。

(a)α2=2.30

圖9展示了內(nèi)懸掛位置α1對系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響。從圖中可以看出，在α1較小時，隨著α1的增大，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的峰值逐漸降低；當α1=2.05時，在共振頻率附近出現(xiàn)了孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)。接著伴隨著α1增大，孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)逐漸遠離系統(tǒng)原本的幅頻響應(yīng)曲線，并逐漸減??；繼續(xù)增大α1，孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)消失，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的峰值降低。接著增大α1，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的峰值逐漸下降。

(a)α1 =1.10

綜上，我們可以看出伴隨著非線性能量阱的內(nèi)懸掛位置參數(shù)α1逐漸增大，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的峰值會逐漸減小，在共振頻率附近出現(xiàn)的孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)會逐漸減小并遠離原幅頻響應(yīng)曲線直至消失。而隨著外懸掛位置參數(shù)α2的增大，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的峰值先逐漸減小至最小值再逐漸增大，在共振頻率附近出現(xiàn)的孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)會逐漸增大并與原幅頻響應(yīng)曲線融合。所以，非線性能量阱適當?shù)膽覓煳恢每梢杂行Ы档拖到y(tǒng)的振幅。

3 杠桿型并聯(lián)非線性能量阱與杠桿型單個非線性能量阱性能的比較

下面我們對杠桿型并聯(lián)非線性能量阱與杠桿型單個非線性能量阱的吸振性能進行系統(tǒng)比較，將幅頻響應(yīng)的峰值以及總體附加質(zhì)量作為評價非線性能量阱吸振性能的指標。為了便于比較，我們將主結(jié)構(gòu)分別耦合杠桿型并聯(lián)非線性能量阱以及杠桿型單個非線性能量阱。

在總體附加質(zhì)量較小時，帶有杠桿型非線性能量阱的系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)都會出現(xiàn)孤立的共振響應(yīng)。所以如果要比較兩個系統(tǒng)的吸振性能，首先我們要找出孤立的共振響應(yīng)消失時的附加質(zhì)量參數(shù)。以帶有杠桿型單個非線性能量阱的單自由度系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)參數(shù)如表格1所示。質(zhì)量參數(shù)λ對系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響如圖10所示。

(a)λ=0.016 67

從圖10中可以看出，當孤立的環(huán)狀共振響應(yīng)消失時，質(zhì)量參數(shù)為λ=0.030 56。所以，我們?nèi)「軛U型并聯(lián)NES系統(tǒng)質(zhì)量參數(shù)λ3=0.030 56不變，通過改變質(zhì)量參數(shù)λ與λ2，保持參數(shù)λ與λ2和λ3之和相等來比較兩個系統(tǒng)的吸振性能。

如圖11所示，當總體附加質(zhì)量較小時(圖11(a)λ=0.033 33)，杠桿型并聯(lián)非線性能量阱系統(tǒng)與杠桿型單個非線性能量阱系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的峰值分別為127.69和131.01。當總體附加質(zhì)量適中時(圖11(b)λ=0.041 67)，杠桿型并聯(lián)非線性能量阱系統(tǒng)與杠桿型單個NES系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的峰值分別為127.31和141.01。當總體附加質(zhì)量較大時(圖11(c)λ=0.055 56)，杠桿型并聯(lián)非線性能量阱系統(tǒng)與杠桿型單個非線性能量阱系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的峰值分別為127.21和157.22。綜上可以看出，隨著總體附加質(zhì)量的增加，杠桿型單個非線性能量阱系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的峰值逐漸增大，杠桿型并聯(lián)非線性能量阱系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的峰值是逐漸減小的。在總體附加質(zhì)量參數(shù)的變化過程中，杠桿型并聯(lián)非線性能量阱系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的峰值是一直低于杠桿型單個非線性能量阱系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的峰值的。這說明，杠桿型并聯(lián)非線性能量阱的吸振性能是要優(yōu)于杠桿型單個非線性能量阱的。

(a)λ=0.033 33

4 結(jié) 論

本文研究了諧波激勵下帶有杠桿式并聯(lián)非線性能量阱系統(tǒng)的振動響應(yīng)。通過應(yīng)用諧波平衡法確定了系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)，通過調(diào)節(jié)并聯(lián)非線性能量阱的質(zhì)量、非線性剛度以及懸掛位置等參數(shù)，研究這些參數(shù)對系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響。對比研究了杠桿式并聯(lián)非線性能量阱與杠桿式單個非線性能量阱的吸振性能。具體結(jié)論如下：

(1)隨著杠桿型并聯(lián)非線性能量阱的質(zhì)量、非線性剛度和外懸掛位置的逐漸增大，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的峰值會逐漸降低至最小值然后再逐漸增大。而內(nèi)懸掛位置的參數(shù)變化范圍有限，隨著其參數(shù)逐漸增大，幅頻響應(yīng)的峰值會逐漸減小。

(2)杠桿型并聯(lián)非線性能量阱的質(zhì)量、非線性剛度和懸掛位置參數(shù)逐漸增大的過程中，會使系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線出現(xiàn)孤立的共振響應(yīng)。這種孤立的共振響應(yīng)在杠桿型單個非線性能量阱中同樣會出現(xiàn)，孤立的共振響應(yīng)的出現(xiàn)會導致系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的峰值增大。

(3)在孤立的共振響應(yīng)消失后，對比杠桿型單個非線性能量阱與杠桿型并聯(lián)非線性能量阱的吸振性能，發(fā)現(xiàn)在附加質(zhì)量相同的情況下，杠桿型并聯(lián)非線性能量阱的吸振性能要優(yōu)于杠桿型單個非線性能量阱。