張子祥，王檢耀，王鴻東，易 宏

(1.上海交通大學 海洋工程國家重點實驗室，上海 200240；2.上海交通大學 海洋智能裝備與系統(tǒng)教育部重點實驗室，上海 200240)

充液管道在艦船內(nèi)部分布廣泛，其振動所產(chǎn)生的噪聲對艦船戰(zhàn)斗力有重大的影響：① 管道振動經(jīng)艦船通?？谙蛲獠枯椛湓肼?，是除了螺旋槳噪聲、水動力噪聲和設備基座噪聲以外主要的輻射噪聲源[1]；② 管道振動誘發(fā)的頻率與聲納設備的工作頻率相近，降低艦船的探測能力，是艦船自噪聲的主要來源[2]。因此對充液管道開展振動特性的研究具有重要意義。

如果管道內(nèi)沒有充滿液體而完全被空氣包圍，空氣對結(jié)構的作用通?？梢院雎?。這類不考慮外部流體對結(jié)構振動特性影響，求解結(jié)構固有頻率和模態(tài)的問題稱為干模態(tài)問題。對充液管道而言，壁面上流體(如水、油等)與固體結(jié)構的耦合現(xiàn)象通常不可忽略，耦合形式主要包括摩擦耦合、泊松耦合和連接耦合等[3-4]，一般表現(xiàn)為管道固有頻率相對干模態(tài)的下降。這類考慮流固耦合效應求解結(jié)構固有頻率和模態(tài)的問題稱為濕模態(tài)問題[5]。對流固耦合的處理方式包括附加質(zhì)量法、單向流固耦合和雙向流固耦合等。附加質(zhì)量法[6]一般直接將流體在單位長度上的質(zhì)量等價為管道在單位長度上的附加質(zhì)量，周名德等[7]考慮流固耦合作用給出了兩端簡支單管附加質(zhì)量的解析解。單向流固耦合[8]忽略管壁上的位移協(xié)調(diào)，首先計算流體對靜止管道內(nèi)壁的作用力，再將充液管道視為有預應力作用的未充液管道進行仿真計算。由于忽略了位移協(xié)調(diào)條件，當管道剛度較低或激勵幅值較大造成管道發(fā)生較大位移時，計算與試驗結(jié)果的誤差較大[9]。雙向流固耦合同時考慮管壁上的位移協(xié)調(diào)條件和力平衡條件，通過直接求解流固耦合方程組或流體與固體計算迭代收斂的方法[10]進行求解，是最符合實際情況的流固耦合處理方式。充液管道濕模態(tài)的雙向流固耦合數(shù)值計算方法主要包括傳遞矩陣法和有限元法。傳遞矩陣法[11-17]將充液管道離散為若干管段，在聯(lián)立管道和流體在橫向、軸向和周向運動微分方程組的基礎上建立相鄰管段的傳遞矩陣，計算效率相對直接有限元法高，但對彎管、變截面管和復雜管系等的處理比較困難。有限元法對分析對象的要求較傳遞矩陣法低，可以適應各種形狀的管道和各種形式的管系，因此無論在理論研究還是工程應用上都更具現(xiàn)實意義。類似于傳遞矩陣法，一些學者提出了專用于管道分析研究的有限元模型，在計算結(jié)果基本相同的條件下，比直接離散化的有限元模型仿真計算成本更低。Hansson等[18]將軸對稱的管道殼單元和一維可壓無黏流體單元相結(jié)合，建立了專用于研究充液管道的有限元模型單元，并與ABAQUS的仿真結(jié)果進行了比較。Seo等[19]建立了與理想流體雙向耦合的薄圓柱殼單元，用于進行無流速管道和有流速管道的模態(tài)分析，并與試驗結(jié)果和NASTRAN的仿真結(jié)果進行了比較。另一些學者將充液管道按固體單元和流體單元分別直接離散，基于有限元法進行復雜管道或管系的雙向流固耦合濕模態(tài)分析。Li等[20]對飛機液壓管道中的充液直管和充液彎管進行了有限元仿真和試驗，仿真與試驗得到的固有頻率吻合良好。黃益民等[21]基于對充液直角彎管的有限元仿真，進行了結(jié)構參數(shù)對固有頻率的靈敏度分析和防共振可靠性計算。Makaryants等[22]對整個沖床液壓管系的振動特性進行了有限元仿真，指出了管系結(jié)構失效的原因和相應改進措施。姜峰等[23]對浸沒在海水中且內(nèi)部充滿石油的海洋立管的振動特性進行有限元仿真，并在此基礎上開展了結(jié)構設計優(yōu)化。

為了進一步實現(xiàn)充液管道的減振降噪，常常通過調(diào)整管道支承的剛度，實現(xiàn)避免結(jié)構共振和減少振動傳遞到船體的能量[24]。然而這類管道支承的實際裝配效果與理論設計可能存在偏差，根據(jù)理論設計建立的有限元模型并不能反映實際情況。因此在對充液管道的振動特性進行分析前，需要對這類彈性約束進行修正。目前這類問題的研究對象主要集中于橋梁結(jié)構，以充液管道為對象的研究較少，但利用優(yōu)化法修正有限元模型的思想是基本相同的。以仿真與試驗的誤差為目標函數(shù)，以彈性約束的值作為決策變量，彈性約束的修正就轉(zhuǎn)換為了一般的優(yōu)化問題[25]。通過仿真與試驗分別能得到多階模態(tài)參數(shù)，因此仿真與試驗之間的各階誤差可以組成一個誤差向量。一般或是出于實際工程需要，或是受限于優(yōu)化手段，通常將該誤差向量各分量的平方和作為優(yōu)化的目標函數(shù)，于是原問題簡化為一個單目標優(yōu)化問題。Cao等[26]為了區(qū)分對不同階數(shù)的誤差要求，在誤差向量中引入權重系數(shù)，使用優(yōu)化方法得到了橋梁邊界的連接剛度。施洲等[27]在最小二乘優(yōu)化的基礎上，為提升計算效率引入矩陣攝動，對橋梁的附加支撐剛度進行了修正。鄒向農(nóng)等[28]為得到橋梁有限元模型的縱向約束剛度等參數(shù)，采用逐步回歸法得到橋梁固有頻率的響應面代理模型，再通過基于遺傳算法的單目標優(yōu)化進行模型修正。一般而言，單目標優(yōu)化較多目標優(yōu)化的操作更簡單，但存在難以確定合適的權重，當誤差中有多種物理量時目標函數(shù)的物理意義不清晰等問題。因此也有部分研究者采取各種手段直接求解多目標優(yōu)化問題，力圖使誤差向量的各個分量盡可能最小化，如Ntotsios等[29]通過將求解原多目標優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為求解大量權重分布不同的單目標規(guī)劃問題，實現(xiàn)橋臺、橋墩等位置約束條件的修正。Jaishi等[30]采用目標規(guī)劃法，通過為各個優(yōu)化目標指定目標值和權重，將原多目標規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為單目標規(guī)劃問題并實現(xiàn)對各個目標的同時優(yōu)化，進行橋臺剛度、橋墩剛度等參數(shù)的修正。總體而言，使用多目標優(yōu)化方法對充液管道未知約束進行修正的研究較少，有待發(fā)掘更多的方法進行探索。

本文開展了彈性約束充液管道的干濕模態(tài)試驗研究，并基于雙向流固耦合的有限元法和多目標遺傳算法NSGA-Ⅱ提出了對未知彈性約束充液管道頻域特性的預報方法，分析流程如圖1所示。首先進行管道干模態(tài)試驗獲得管道的固有頻率和振型，并建立相應的有限元模型。然后以未知的彈性約束為決策變量，以仿真與試驗固有頻率的誤差向量為目標函數(shù)，建立多目標優(yōu)化問題，并基于NSGA-Ⅱ進行求解并修正彈性約束。最后將該彈性約束代入充液管道的濕模態(tài)有限元模型求解，比較濕模態(tài)仿真與試驗的固有頻率和振型，驗證上述預報方法的可行性并分析管道充液前后的振動特性變化。

圖1 分析流程

1 有限元建模理論

1.1 干模態(tài)理論

結(jié)構振動的有限元方程可以表達為[31]：

(1)

對干模態(tài)問題，求解激勵力向量{FS}為零時結(jié)構的運動微分方程，即結(jié)構的自由振動方程。一般情況下結(jié)構的阻尼較小，對固有頻率和固有振型影響不大，所以常常略去總體阻尼矩陣，干模態(tài)問題轉(zhuǎn)化為求解：

(2)

1.2 濕模態(tài)理論

對濕模態(tài)問題，本文假設周圍流場中的流體滿足以下要求：① 流體為理想流體；② 流場無旋；③ 流場沒有宏觀流動；④ 流場中無體積力；⑤ 流場中的振動幅度非常小。

此時流體單元內(nèi)的等效積分方程表達式為

(3)

式中：c為聲波在流體介質(zhì)中的速度；p為聲壓；ρF為流體密度；ΓFSI為流固耦合面；nFSI為ΓFSI上某點的法向量。

將計算域離散化，各個單元的聲壓和位移都可以用其節(jié)點的聲壓與位移插值表示：

p=[N]{p}(e)

(4)

u=[N′]{u}(e)

(5)

式中：{p}(e)、{u}(e)分別為各個單元每一個節(jié)點的聲壓和位移組成的向量；[N]、[N′]分別為聲壓和位移的形函數(shù)陣。

將式(4)和式(5)代入式(3)，可以得到流場單元的波動方程：

(6)

其中:

將式(6)中的單元矩陣疊加，形成流體的總體波動方程：

(7)

流固耦合面ΓFSI上的結(jié)構單元受到流體聲壓的作用，單元節(jié)點上作用力的大小為：

[R(e)]{p}(e)

(8)

將式(8)中的單元矩陣疊加，形成結(jié)構的總體聲壓作用力的表達式：

{Fpr}=∑[R(e)]{p}(e)=[R]{p}

(9)

則結(jié)構的總體雙向流固耦合振動方程可以表達為：

(10)

綜上所述，濕模態(tài)問題即求解式(7)和式(10)聯(lián)立的雙向流固耦合方程組[32]：

(11)

1.3 彈性約束的處理

為了簡化問題，本文假設約束的主要成分是徑向的、作用在管道與約束接觸面上的、均勻的彈性支承約束，忽略其它約束作用。

管道與約束接觸面ΓES上的結(jié)構單元受到彈性支承約束的作用，單元節(jié)點上作用力的大小為：

(12)

式中，k為管道與約束接觸面ΓES單位面積上產(chǎn)生單位長度位移所形成的彈性支承約束力。

將式(12)中的單元矩陣疊加，形成結(jié)構的總體彈性約束作用力的表達式：

(13)

在這里，將干燥管道與彈性約束的綜合稱為干模態(tài)系統(tǒng)，將充液管道與彈性約束的綜合稱為濕模態(tài)系統(tǒng)。本文假設無論是干模態(tài)系統(tǒng)還是濕模態(tài)系統(tǒng)，兩種系統(tǒng)中對應的彈性約束都沒有發(fā)生變化。這是因為：① 沒有對彈性約束進行替換或調(diào)整松緊程度，彈性約束的剛度作為其固有屬性沒有發(fā)生變化；② 沒有對彈性約束的位置進行調(diào)整，彈性約束對管道的作用位置沒有發(fā)生變化。所以，干模態(tài)系統(tǒng)和濕模態(tài)系統(tǒng)中總體彈性約束作用力的表達式是完全相同的。將式(13)分別代入式(2)和式(11)，得到干模態(tài)問題和濕模態(tài)問題的完整表達：

(14)

(15)

2 試驗方案與裝置

由振動理論，頻響函數(shù)矩陣[H(jω)]第p行的各個元素分別為p號測點對各個對應測點處激勵的頻響函數(shù)，表達式為

(16)

式中：ω為輸入的激勵頻率；N為測點數(shù)；ζr為模態(tài)阻尼比；ωr為第r階模態(tài)的固有頻率；{U}r={u1r,u2r,…,uNr}T為質(zhì)量歸一化后的第r階模態(tài)振型。顯然，只要獲得[H(jω)]某一行的所有元素，就可以將整個頻響函數(shù)矩陣確定下來。

本文為了獲得管道試件在干模態(tài)和濕模態(tài)下的固有振型和頻率，使用錘擊法進行模態(tài)試驗，采用移動敲擊力錘，固定加速度傳感器的方式進行：敲擊力錘依次激勵管道外表面上布置的測點，動態(tài)信號采集分析系統(tǒng)同時采集敲擊力錘的輸入信號與加速度傳感器的輸出信號，可以得到所有錘擊測點與傳感器測點間的頻響曲線。各階固有頻率ωr和模態(tài)阻尼比ζr通過對頻響曲線進行擬合獲得，代入式(16)即可得到各階振型{U}r。

用于試驗的管道試件為316L鋼質(zhì)直管。直管的外徑為22 mm，內(nèi)徑為18 mm，長度為1 150 mm。316L鋼的密度為8 027 kg/m3，楊氏模量為206 GPa，泊松比為0.3。管道內(nèi)部的流體為水，密度為998.2 kg/m3，聲速為1 482.1 m/s。

試驗系統(tǒng)由計算機、LMS 動態(tài)信號采集分析系統(tǒng)、三向加速度傳感器、敲擊力錘、流體循環(huán)系統(tǒng)以及試件工裝等組成。試驗系統(tǒng)簡圖見圖2。試驗現(xiàn)場見圖3。其中：約束的基座固定在桌面上，使用可調(diào)節(jié)松緊的箍套實現(xiàn)對管道試件的約束。進行濕模態(tài)試驗時，關閉水閥并將水槽灌滿水，穩(wěn)定后即可實現(xiàn)流體靜止的充液管道。

圖2 試驗系統(tǒng)簡圖

圖3 試驗現(xiàn)場

試件上每間隔50 mm在上、下、前、后各布置一個測點，總計設置84個測點：沿軸向從右向左編號依次加1，沿周向按前、上、后、下的順時針順序編號依次加21。測點布置情況示意見圖4。三向加速度傳感器布置在23號測點的位置，約束A和B分別以20號測點和11號測點所在管道截面為中橫剖面布置。

圖4 測點的布置

3 干模態(tài)仿真計算

3.1 干模態(tài)仿真物理模型

建立管道試件的物理模型，見圖5。管道試件的模型由7段組成。管道左右端部的2段為連接軟管，字母A和B處為約束管道的箍套。忽略管道兩端的連接軟管對振動的影響，將箍套對管道的約束簡化為徑向均勻的彈性約束。約束A的左端距管道左端75 mm，約束B的左端距管道左端570 mm。兩處彈性約束的長度均為10 mm，剛度未知。使用殼單元進行網(wǎng)格劃分，單元數(shù)為1 870，節(jié)點數(shù)為1 880。頻率分析范圍為0～1 600 Hz。

圖5 干模態(tài)的物理模型

3.2 多目標優(yōu)化理論

為了找到最接近真實彈性約束的彈性約束剛度，以管道試件固有頻率的仿真結(jié)果和試驗結(jié)果的誤差最小化為導向，建立最優(yōu)化問題：

(17)

式中：k為A和B處的彈性約束剛度組成的向量；K為定義域；ffem(k)和fexp(k)分別為管道試件通過仿真和試驗得到的固有頻率組成的向量；E(k)為誤差向量。

對多目標優(yōu)化問題，一般難以找到令所有目標同時最優(yōu)的可行解。因此需要引入非支配解的概念。

對優(yōu)化問題的可行解k*∈K,若不存在k′∈K且k′≠k*，使目標函數(shù)E(k′)滿足[33]：

E(k′)≤E(k*)

(18)

且至少有一個嚴格不等式成立，則稱k*為該多目標優(yōu)化的非支配解。若干非支配解k*形成的曲面稱為非支配前沿面，要找的彈性約束剛度就在該前沿面上。

利用多目標遺傳算法NSGA-Ⅱ求解上述多目標優(yōu)化問題。遺傳算法的基本原理為通過選擇、交叉和變異等手段生成和保留適應度高的個體。對多目標優(yōu)化問題，適應度的定義方法是在所有個體中尋找所有非支配解，形成第一層非支配前沿面，再尋找剩下個體中的所有非支配解并形成下一層非支配前沿面，直到所有個體被分類完畢。層級越低的個體被分配到越高的適應度。NSGA-Ⅱ的特點包括[34]：① 相比NSGA算法，NSGA-Ⅱ采用的快速非劣排序算法速度更快；② 采用精英策略將父代個體組合入子代，避免損失優(yōu)秀個體，加速算法收斂；③ 依據(jù)擁擠度對同一前沿面上的個體進行排序，無需額外指定參數(shù)即可確保個體的分散和多樣性。NSGA-Ⅱ的算法流程圖見圖6。

圖6 多目標遺傳算法NSGA-Ⅱ流程圖

經(jīng)過多目標遺傳算法NSGA-Ⅱ得到非支配前沿面后，根據(jù)實際工程經(jīng)驗選擇合適的非支配解作為優(yōu)化結(jié)果，修正彈性約束。

3.3 彈性約束剛度優(yōu)化

干模態(tài)振動試驗得到的管道試件固有頻率見表1的序號A0。當彈性約束剛度無限大時，即直接在約束面上加載理想約束，使約束面不發(fā)生位移和變形時，固有頻率的有限元仿真結(jié)果見序號B0。聯(lián)合干模態(tài)有限元仿真與NSGA-Ⅱ優(yōu)化得到的彈性約束剛度的部分方案見序號C1到C6。

表1 彈性約束剛度部分優(yōu)化結(jié)果

如果直接使用理想約束進行仿真，干模態(tài)固有頻率的誤差最多可以超過100%，且階數(shù)越低誤差越大。而經(jīng)過NSGA-Ⅱ優(yōu)化后，非支配前沿面上的剛度方案有效地降低了各階固有頻率的誤差水平。其中，C2方案的平均誤差δmean為3.06%，是所有方案中較小的。

干模態(tài)試驗與仿真得到的固有頻率對比見圖7。

圖7 干模態(tài)試驗與仿真固有頻率對比

對比結(jié)果顯示，C2方案的固有頻率誤差最高為6.19%，出現(xiàn)在第2階；最低為0，出現(xiàn)在第4階。

比較干模態(tài)振動試驗與C2方案仿真得到的固有振型見表2，可以觀察到兩者各階固有振型的形狀均相似。綜合考慮固有頻率和固有振型的吻合程度，采用C2的彈性約束剛度方案，作為修正后的彈性約束開展后續(xù)的濕模態(tài)分析。

表2 干模態(tài)試驗與仿真的固有振型

4 濕模態(tài)仿真計算

4.1 濕模態(tài)仿真物理模型

濕模態(tài)計算基于干模態(tài)的物理模型與多目標優(yōu)化算法NSGA-Ⅱ得到的彈性約束剛度，在管道內(nèi)部建立流場域并生成流固耦合面。濕模態(tài)的物理模型見圖8。

圖8 濕模態(tài)的物理模型

使用流體單元對流場域進行網(wǎng)格劃分，單元數(shù)為39 116，節(jié)點數(shù)為181 006。頻率分析范圍為0～1 600 Hz。

4.2 仿真與試驗結(jié)果分析

濕模態(tài)振動試驗的試驗與仿真結(jié)果見表3和表4。

表3 濕模態(tài)試驗與仿真的固有頻率

表4 濕模態(tài)試驗與仿真的固有振型

濕模態(tài)試驗與仿真得到的固有頻率對比見圖9。對比結(jié)果顯示：采用C2的彈性約束剛度方案，固有頻率誤差最高為5.30%，出現(xiàn)在第4階；最低為0.09%，出現(xiàn)在第3階。

圖9 濕模態(tài)試驗與仿真固有頻率對比

干模態(tài)與濕模態(tài)仿真結(jié)果的固有頻率與試驗結(jié)果的平均誤差分別為3.06%和2.47%，最大誤差分別不超過6.19%和5.30%，可以基本滿足實際要求，驗證了本文提出方法的可行性。造成誤差的主要原因包括：① 忽略了箍套的非線性彈性和阻尼作用；② 彈性支承對管道的作用被簡化為是沿管道周向和軸向均勻分布的，忽略了彈性作用的不均勻性。

干模態(tài)和濕模態(tài)試驗得到的固有頻率對比見圖10。試驗結(jié)果顯示，相同階的濕模態(tài)固有頻率均低于干模態(tài)固有頻率，頻率漂移比例的平均值為-6.68%。同時，不同階數(shù)頻率偏移的波動非常小，沒有明顯的增加或減少趨勢，基本可以認為在一定范圍內(nèi)頻率偏移基本不變。因此，在選擇彈性約束方案時，若存在重點關注的階數(shù)或固有頻率范圍，應該優(yōu)先選擇該階數(shù)下干模態(tài)仿真誤差小的彈性約束方案，有利于在該階數(shù)上得到更符合實際的濕模態(tài)固有頻率。

圖10 試驗固有頻率對比

4.3 本文方法的合理性驗證

濕模態(tài)與干模態(tài)的各階模態(tài)存在著對應關系：在相似的固有振型下，濕模態(tài)的固有頻率相對于干模態(tài)發(fā)生漂移。所以如果忽略試驗誤差和仿真誤差等因素，同一剛度方案在干模態(tài)下對不同階固有頻率誤差的相對差別，不同剛度方案在干模態(tài)下對同一階固有頻率誤差的相對差別都可以通過這種對應關系傳遞到濕模態(tài)上。

觀察干模態(tài)與濕模態(tài)各階頻率平均誤差的相關性，從實際計算結(jié)果驗證本文提出方法的合理性：選取在彈性約束剛度優(yōu)化過程中計算過的剛度方案，對這些剛度方案下的干濕模態(tài)固有頻率進行仿真。以干模態(tài)固有頻率平均誤差為橫坐標，濕模態(tài)固有頻率平均誤差為縱坐標如圖11所示。

圖11 干濕模態(tài)固有頻率平均誤差的關系

圖11顯示干模態(tài)固有頻率平均誤差與濕模態(tài)固有頻率平均誤差近似呈正比例的線性關系：干模態(tài)固有頻率平均誤差越低的剛度方案，其濕模態(tài)固有頻率的誤差水平也越低。從該圖可以推論C2方案應用于濕模態(tài)預報的可靠性，也驗證了本文方法的合理性。

5 結(jié) 論

本文開展了彈性約束充液管道的干濕模態(tài)試驗研究，并提出了對未知彈性約束充液管道頻域特性的預報方法?；谖闹械募僭O，該方法總體適用于管道結(jié)構的阻尼較小，管內(nèi)流體無流速或流速較低且約束的主要成分為彈性約束的情況。仿真與試驗結(jié)果表明：

(1)彈性約束經(jīng)過多目標遺傳算法NSGA-Ⅱ修正后，干模態(tài)有限元仿真結(jié)果與試驗結(jié)果的固有頻率平均誤差為3.06%，最大誤差在6.19%以內(nèi)，振型基本相同。

(2)基于經(jīng)過修正的彈性約束，濕模態(tài)有限元仿真結(jié)果與試驗結(jié)果的固有頻率平均誤差為2.47%，最大誤差在5.30%以內(nèi)，振型基本相同，驗證了本文預報方法的可行性與合理性。

(3)濕模態(tài)的固有頻率較干模態(tài)有明顯降低，且各階頻率漂移比例基本相同，約為-6.68%。若存在重點關注的階數(shù)或固有頻率范圍，應該優(yōu)先選擇該階數(shù)下干模態(tài)仿真誤差小的彈性約束方案，以獲得更加準確的濕模態(tài)固有頻率和振型。