陳曦

新課程標(biāo)準(zhǔn)下的初中數(shù)學(xué)課堂應(yīng)當(dāng)是靈動(dòng)、和諧的，這當(dāng)中肯定少不了智慧教師的妙語連珠，更少不了在教師引領(lǐng)下的學(xué)子數(shù)學(xué)思維的大放異彩.當(dāng)然，想要培養(yǎng)出“會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”的學(xué)生，教師對數(shù)學(xué)課堂教學(xué)“過程”的設(shè)置必得尤為重視，只有精心打造這個(gè)“過程”，才能創(chuàng)造“以生為本”的課堂，從而給學(xué)生提供相對民主的學(xué)習(xí)氛圍，促使他們展開富有智慧的討論，并發(fā)揚(yáng)獨(dú)立思考的精神，最終讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得以落實(shí).那么，到底如何開展一堂“以生為本”的數(shù)學(xué)課呢？

在人教版八年級上冊《數(shù)學(xué)》第十二章第2節(jié)“全等三角形的判定（第5課時(shí)）”的教學(xué)過程中，大部分學(xué)生對于教師闡述的“邊邊角”不適用于三角形全等的判定始終耿耿于懷.盡管教師已經(jīng)利用幾何畫板給學(xué)生進(jìn)行了形象生動(dòng)的動(dòng)態(tài)展示，但對于樂學(xué)善思的學(xué)生而言，這些顯然是不夠的.有一部分學(xué)生依舊主張要再給“邊邊角”一個(gè)機(jī)會(huì)，他們始終堅(jiān)信在某些特殊情況下，“邊邊角”是可以派上用場的.所以在教完本章節(jié)教學(xué)內(nèi)容后，筆者又追加開設(shè)了一堂課，用來和學(xué)生探討“邊邊角”是否真的不能驗(yàn)證兩個(gè)三角形全等.在這節(jié)課中，筆者要給足學(xué)生思考的空間和交流的時(shí)間，讓學(xué)生暢所欲言，打造“以生為本”課堂，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一、溫故知新，開啟思索之門

教學(xué)片段1：

教師：如圖1，到今天為止，對于判定兩個(gè)三角形全等，我們都有哪些方法？

學(xué)生1：有邊邊邊（SSS）、邊角邊（SAS）、角邊角（ASA）、角角邊（AAS）、斜邊直角邊（HL）.

教師：斜邊直角邊（HL）對于任意兩個(gè)三角形的全等判定都適用嗎？

學(xué)生2：不是，斜邊直角邊（HL）僅限于證明兩個(gè)直角三角形全等，其余四條判定定理則適用于判定任意形狀的兩個(gè)三角形全等.

教師：思路很棒.不知同學(xué)們是否還記得當(dāng)初我們在探究如何判定兩個(gè)三角形全等的條件時(shí)是從何入手的？

學(xué)生3：起初我們考慮固定一組對應(yīng)邊或一組對應(yīng)角相等，發(fā)現(xiàn)可以畫出的三角形形狀無法固定;接著又固定了兩組對應(yīng)邊相等、兩組對應(yīng)角相等或一組對應(yīng)邊和一組對應(yīng)角同時(shí)相等，發(fā)現(xiàn)由此確定的三角形形狀也不唯一;最后把固定元素拓寬到三組，明確了其中幾種組合可以唯一確定三角形的形狀.

教師：那請同學(xué)們再回憶一下，我們當(dāng)時(shí)在固定了三組元素后又是怎樣篩選出最后的判定定理的？

學(xué)生4：首先，我們考慮固定三組對應(yīng)邊或三組對應(yīng)角，結(jié)果發(fā)現(xiàn)固定三組對應(yīng)邊可以唯一確定三角形的形狀，但是僅固定三組對應(yīng)角的話卻無法唯一確定三角形的形狀，比如常見的等邊三角形就有大有小.接下來我們就開始考慮固定兩組對應(yīng)邊和一組對應(yīng)角，當(dāng)然又細(xì)化為兩種情況：一種是固定的兩組對應(yīng)邊和兩邊之間的夾角，發(fā)現(xiàn)可以唯一確定三角形的形狀;但是當(dāng)固定的一角處于與其中一邊相對的位置關(guān)系時(shí)，三角形的形狀就不能再被唯一確定了.然后，我們再考慮固定兩組對應(yīng)角和一組對應(yīng)邊，發(fā)現(xiàn)無論是固定的兩組對應(yīng)角和兩角之間的夾邊，還是固定兩組對應(yīng)角和與其中一角處于相對的位置關(guān)系的一組對應(yīng)邊時(shí)，都可以唯一確定三角形的形狀.

教學(xué)說明：學(xué)習(xí)新知識(shí)后，階段性小結(jié)是必不可少的，特別是幾何概念和定理的發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證的過程更值得及時(shí)進(jìn)行系統(tǒng)性小結(jié)，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).教師在帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行階段性復(fù)習(xí)時(shí)除了進(jìn)行常規(guī)的知識(shí)整合歸納外，更應(yīng)當(dāng)注重學(xué)生在消化新知識(shí)后對這些知識(shí)產(chǎn)生的猜想和爭議.面對這些爭議中比較有價(jià)值的個(gè)體，教師如果能夠把握契機(jī)，便能扭轉(zhuǎn)一堂復(fù)習(xí)課常規(guī)平淡的局勢，從而化“平庸”為“經(jīng)典”.本節(jié)課正是因?yàn)榻處熣覝?zhǔn)了切入點(diǎn)，學(xué)生在現(xiàn)有的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上，體驗(yàn)了一堂“以生為本”的復(fù)習(xí)課，從而提升了自身的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).所以，“溫故”這個(gè)環(huán)節(jié)，恰好可以引燃我們這堂復(fù)習(xí)課的“爆點(diǎn)”.

二、循序漸進(jìn)，深度思考，舉一反三，獲取新知

教學(xué)片段2：

教師：剛才有同學(xué)說，在固定兩組對應(yīng)邊和一組對應(yīng)角的情況中當(dāng)固定的一角處于與兩邊其中的一邊相對的位置關(guān)系時(shí)，三角形形狀就不能再被唯一確定了，正如圖2所示：我們把AC的長度和∠A的度數(shù)固定后，假設(shè)AD這條射線是三角形第三邊所在的直線，再以點(diǎn)C為圓心，以固定長度的線段為半徑畫弧，發(fā)現(xiàn)會(huì)和射線AD有兩個(gè)交點(diǎn)D和B，連接CD和CB，就構(gòu)成了△ACD和△ABC.所以，此舉無法唯一確定三角形的形狀.這是之前我就給大家展示過的，大家都認(rèn)同嗎？還是同學(xué)們有新的想法？

學(xué)生5：我覺得如果用來畫弧的半徑恰好和點(diǎn)C到射線AD的距離相等，那不就和射線AD只有一個(gè)交點(diǎn)了！

教師：這位同學(xué)說得很有道理.的確，如你所說，半徑的取值決定著到底能否唯一確定三角形的形狀.那請同學(xué)們現(xiàn)在自己動(dòng)手試一試，如果你們多取幾種半徑的長度，看看還會(huì)發(fā)生什么情況？

學(xué)生6：哇！我發(fā)現(xiàn)我畫的圖可以唯一確定三角形的形狀.不過我這個(gè)半徑取的值就剛好等于點(diǎn)C到射線AD的距離，這樣畫弧就和射線AD只有一個(gè)交點(diǎn)，并且確定出來的△ABC還是一個(gè)直角三角形，如圖3.

學(xué)生7：我這邊的情況也差不多，也可以唯一確定三角形的形狀，但△ABC不是直角三角形.我取的半徑比固定長度的邊AC長，所以當(dāng)我畫弧時(shí)發(fā)現(xiàn)只能和射線AD有一個(gè)交點(diǎn)B，如圖4.

教學(xué)說明：面對新知識(shí)時(shí)，學(xué)生的認(rèn)知是需要被科學(xué)地牽引的.智慧的教師總能夠巧妙地設(shè)置問題的層次，使得學(xué)生循序漸進(jìn)地思考，從而抽絲剝繭，直指核心.在本環(huán)節(jié)中，學(xué)生想順利回答問題顯然是不容易的，所以教師的導(dǎo)學(xué)提問法便派上了大用場.教師的提問為學(xué)生的思考指明了方向，讓學(xué)生獨(dú)立思考也好，小組合作討論也罷，都能夠有的放矢.比起教師在課堂上對知識(shí)“單刀直入”地講述展示，由淺入深的引導(dǎo)式提問更能促使學(xué)生主動(dòng)思考問題，并且隨著問題設(shè)置難度的層層遞進(jìn)，思考的深度也隨之加深，從而使學(xué)生對于知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)和遷移有更加明確的認(rèn)知.如此層層深入遞進(jìn)，使得原本較為復(fù)雜的知識(shí)脈絡(luò)逐漸清晰起來，為下一環(huán)節(jié)的深度學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

三、挑戰(zhàn)激發(fā)求知欲，挖掘鑄就深度學(xué)

教學(xué)片段3：

教師：通過剛才的實(shí)踐，大家發(fā)現(xiàn)了什么呢？

學(xué)生8：看來這個(gè)“邊邊角”也不是完全不能用??！圖2中，在固定∠A<90°的前提條件下，如果∠A的對邊BC

學(xué)生9：那如果圖2中的∠A=90°或者∠A>90°，剛才學(xué)生8的說法還能成立嗎？

教師：同學(xué)們還等什么呢？剛才那么難的情況你們都能分析得如此透徹，這個(gè)問題對你們來說肯定也沒什么挑戰(zhàn)性.加油，等你們給我結(jié)論.

學(xué)生10：哇！我發(fā)現(xiàn)如果固定∠A=90°的話，豈不就是我們之前學(xué)的“斜邊直角邊（HL）”，不過只有當(dāng)BC>AC畫弧時(shí)才能和射線AD有交點(diǎn)，也才能唯一確定Rt△ABC.如果BC≤AC，畫弧時(shí)就無法與射線AD有交點(diǎn)，更別說確定三角形了，如圖5.

學(xué)生11：是的，我發(fā)現(xiàn)固定∠A>90°時(shí)，也是只有當(dāng)BC>AC畫弧時(shí)才能和射線AD有交點(diǎn)，也才能唯一確定△ABC.如果BC≤AC，畫弧時(shí)就無法與射線AD有交點(diǎn)，更別說確定三角形了，如圖6.

教學(xué)說明：隨著整堂課的推進(jìn)，本節(jié)課的難點(diǎn)也浮出水面.面對較大的難度跨度，學(xué)生更需要教師的有效引導(dǎo)方可順利突破難點(diǎn).而富有挑戰(zhàn)性的問題，對于學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)力的激發(fā)、學(xué)習(xí)能力的提升、學(xué)習(xí)毅力的鍛煉都有重要的意義.一堂充滿生命力的課一定是富有挑戰(zhàn)性的，當(dāng)課堂前段積累了一定基礎(chǔ)認(rèn)知，課堂后段的挑戰(zhàn)性對于持續(xù)調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)思考，促使學(xué)生積極參與探究就變得尤為重要.但是在設(shè)置富有挑戰(zhàn)性教學(xué)活動(dòng)的同時(shí)，教師又不能脫離學(xué)生已有的基礎(chǔ)，所以尤為考驗(yàn)教師的教學(xué)設(shè)計(jì)水平.適當(dāng)?shù)淖兪教釂柨梢宰寣W(xué)生感受到教師對自己的信任，從而增強(qiáng)自信心和學(xué)習(xí)動(dòng)力，更加自主地投身于對數(shù)學(xué)新知的深度思考和全力探索中.

四、整合歸納知識(shí)，優(yōu)化拓展思維

在學(xué)習(xí)新知識(shí)后，能對當(dāng)堂所學(xué)知識(shí)進(jìn)行一個(gè)復(fù)述、歸納，甚至是辯駁，無疑都是學(xué)生在本堂課學(xué)有所思的體現(xiàn).在引導(dǎo)學(xué)生整合歸納知識(shí)的過程中，教師如果能夠適當(dāng)增加問題的難度，對于學(xué)生進(jìn)行深度思考是有巨大的促進(jìn)作用的，尤其是對于新舊知識(shí)體系的鏈接，還有經(jīng)驗(yàn)方法的積累和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，都是直指核心.

教學(xué)片段4：

導(dǎo)學(xué)1：同學(xué)們真的非常不錯(cuò)，通過自己的動(dòng)手實(shí)踐，可以把教科書中的疑難問題都剖析得如此透徹，值得表揚(yáng).那么在本課的最后，請你們總結(jié)一下在哪些情況下“邊邊角”可以確定一個(gè)三角形的形狀？

導(dǎo)學(xué)2：“邊邊角”在哪些情況下又可以用來判定兩個(gè)三角形全等呢？

教學(xué)說明：學(xué)生在前段學(xué)習(xí)的過程中通過大膽猜想、實(shí)際操作、合作討論，最終探究出了新的結(jié)論.這不僅是學(xué)習(xí)幾何的基本方法，也是對數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)進(jìn)行深入鉆研的必經(jīng)之路.導(dǎo)學(xué)1的設(shè)置把整個(gè)問題又提升了一個(gè)認(rèn)知高度，顯然想把這個(gè)問題歸納表述清楚，是需要學(xué)生再次利用相對充足的時(shí)間反復(fù)斟酌的.在這個(gè)過程當(dāng)中，教師萬萬不可替代學(xué)生直接給出結(jié)論，那樣做提出的問題就變得沒有誠意了，但可以在學(xué)生表述時(shí)追問、辯駁，讓學(xué)生不斷深入思考，直指核心.而導(dǎo)學(xué)2的設(shè)置，更是本節(jié)課的畫龍點(diǎn)睛之筆，可以讓學(xué)生通過小組合作的形式對整堂課作出總結(jié)：如果是兩個(gè)鈍角三角形，則可利用“邊邊角”判定其全等;如果是兩個(gè)直角三角形，“邊邊角”實(shí)際上就是前面所學(xué)“斜邊直角邊（HL）”的變式;如果是兩個(gè)銳角三角形，那么“邊邊角”的使用要尤為謹(jǐn)慎，必須在滿足一定條件下方可使用.這樣一來，學(xué)生真正成了整堂課的主人，充分發(fā)揮了主觀能動(dòng)性，積極進(jìn)行了高階思維活動(dòng).整個(gè)教學(xué)過程貌似“慢”一些，但正是在這段“慢時(shí)光”中，智慧的火花才得以迸發(fā).

其實(shí)，初中數(shù)學(xué)教育歸根結(jié)底就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，無論是傳授數(shù)學(xué)知識(shí)還是開展實(shí)踐活動(dòng)，都是為了讓學(xué)生深切地感受數(shù)學(xué)之美.所以那些以“學(xué)生體驗(yàn)”為主的課堂往往深得學(xué)生喜愛，更能促使學(xué)生在親歷驗(yàn)證猜想的“慢時(shí)光”中獲得“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”的成就感.長此以往，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心就更強(qiáng)了.一旦發(fā)覺數(shù)學(xué)的“妙不可言”，學(xué)生就會(huì)發(fā)揮主觀能動(dòng)性，在探究數(shù)學(xué)的道路上披荊斬棘，一路高歌，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)自然水到渠成.所以，如何全力打造“以生為本”的課堂值得所有教師潛心鉆研思索，相信在這段潛心探究的“慢時(shí)光”中，獲益的不只有學(xué)生，教師自身的專業(yè)技能和教學(xué)水平也會(huì)飛速提升.

◇責(zé)任編輯 邱 艷◇