李會(huì)芳

【摘要】本文首先提出解決極限問(wèn)題的首要步驟，接著對(duì)極限過(guò)程進(jìn)行具體分類，然后針對(duì)不同類型提出了行之有效的解決方法.

【關(guān)鍵詞】極限;基本初等函數(shù);分類

極限是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是近代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，把我們研究的領(lǐng)域從有限元過(guò)渡到無(wú)限元，實(shí)現(xiàn)了質(zhì)的飛躍.同時(shí)極限是高等數(shù)學(xué)后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，可以說(shuō)高數(shù)每一個(gè)領(lǐng)域的研究都離不開(kāi)極限的思想，例如函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)的定義、積分的定義等.

在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，我們首先接觸到的是極限的定義及計(jì)算.很多學(xué)生不適應(yīng)大學(xué)數(shù)學(xué)的思維模式，導(dǎo)致其對(duì)這部分內(nèi)容掌握得不扎實(shí)，一做題就出錯(cuò).經(jīng)過(guò)多年的教學(xué)實(shí)踐，筆者發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生在剛開(kāi)始接觸極限的計(jì)算時(shí)存在很多問(wèn)題，比如極限類型分不清，具體計(jì)算時(shí)思維混亂，經(jīng)常半途而廢等，究其原因就是學(xué)生對(duì)極限的理解不到位，沒(méi)有把握住求極限的本質(zhì)，并且此時(shí)還沒(méi)講導(dǎo)數(shù)，不能使用洛必達(dá)法則，故筆者在此探討不使用洛必達(dá)法則計(jì)算函數(shù)極限的方法.

我們?cè)谟?jì)算極限之前，首先需要把極限過(guò)程代入目標(biāo)函數(shù)，得到極限類型.這一步至關(guān)重要，是我們計(jì)算所有極限的大前提，只有判斷對(duì)了類型，才能根據(jù)不同的極限類型采用不同的方法，才有助于我們快速而有效地解決極限問(wèn)題.判斷對(duì)了類型后，我們接下來(lái)要“對(duì)號(hào)入座”，針對(duì)不同類型采取不同方法.

一、可以直接帶入求值型極限

當(dāng)我們把極限過(guò)程代入目標(biāo)函數(shù)后，發(fā)現(xiàn)函數(shù)極限已經(jīng)可以直接得到，例如：

limx→π2sin 2xcos x-1=0-1=0

這種類型比較簡(jiǎn)單，對(duì)于該種類型的極限，帶入極限過(guò)程后我們發(fā)現(xiàn)可以直接計(jì)算出結(jié)果，其根本原因就是待求極限的初等函數(shù)在極限點(diǎn)是連續(xù)的，所以極限值等于該點(diǎn)的函數(shù)值.這是一種基本類型，我們?cè)谇髽O限的所有題目中都會(huì)用到這種方法，一般情況下，我們得到極限值的最后一步都是使用該方法.

特別地，我們要注意0a（a≠0），k·∞（k≠0），（+∞）+（+∞），（-∞）+（-∞），∞+a均屬于該種類型.

二、00型或者0·∞型極限

當(dāng)我們把極限過(guò)程代入后，發(fā)現(xiàn)所求極限為00型或者0·∞型時(shí)，我們接著要這么分析：

1.如果極限的分子分母只是單純的冪函數(shù)形式，那么我們就利用因式分解或者分子分母有理化的方式消去零因子，具體來(lái)說(shuō)就是如果函數(shù)里面含有根號(hào)我們就有理化，否則就因式分解，有時(shí)需要二者結(jié)合，要具體問(wèn)題具體分析，例如：

limx→1x2-1x3-1=limx→1（x+1）（x-1）（x-1）x2+x+1=limx→1x+1x2+x+1=23

limx→4x-2x-4=limx→4（x-2）（x+2）x-4（x+2）=limx→41x+2=14

2.如果極限的分子或分母中含有三角函數(shù)、反三角函數(shù)、冪函數(shù)或者指數(shù)函數(shù)等其他初等函數(shù)，我們就要使用等價(jià)無(wú)窮小代換.在這里我們要熟悉無(wú)窮小代換的形式，并且明白在公式中我們可用f（x）整體代替x，只要f（x）→0.我們要熟記以下代換公式：當(dāng)f（x）→0時(shí)，sin f（x）∶f（x），tan f（x）∶f（x），arcsin f（x）∶f（x），arctan f（x）∶f（x），1-cos f（x）∶12f 2（x），ef（x）-1∶f（x），ln（1+f（x））∶f（x），1+f（x）-1∶12f（x），（1+f（x））a-1∶af（x），舉例如下：

limx→0etan x-11-esin x=limx→0tan x-sin x=limx→0x-x=-1

limx→0lnx2+1arcsin22x=limx→0x24x2=14

3.如果遇到0·∞型極限，我們就要先把0·∞型轉(zhuǎn)換為01∞=00型，然后按照前面的兩種情況進(jìn)行計(jì)算.例如：

limx→∞x·sin1x=limx→∞sin1x1x=1

三、∞∞型極限

當(dāng)我們遇到∞∞類型的題目時(shí)，要先找到分子分母的最高次冪，然后分子分母同時(shí)除以未知量的最高次冪，舉例如下：

limx→∞3x4-5x2-3x4+x3-2x2+6=limx→∞3-5x2x4-3x41+x3x4-2x2x4+6x4=3

我們?cè)谑褂眠@個(gè)方法時(shí)要注意，這里的無(wú)窮大可以為+∞或者-∞，并且只能是冪函數(shù)時(shí)使用，遇到其他類型函數(shù)我們一般使用洛必達(dá)法則.

當(dāng)我們熟練使用該方法后會(huì)發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律：當(dāng)分子最高次冪等于分母最高次冪時(shí)，極限結(jié)果為分子分母最高次冪的系數(shù)比;當(dāng)分子最高次冪高于分母最高次冪時(shí)極限結(jié)果為∞;當(dāng)分子最高次冪低于分母最高次冪時(shí)極限結(jié)果為0.

四、1∞型極限

對(duì)于這種類型的極限，我們要使用第二重要極限，并且即便學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中的洛必達(dá)法則，一般情況下第二重要極限的計(jì)算過(guò)程也要簡(jiǎn)便于洛必達(dá)法則.舉例如下：

limx→0（cos x）csc x

=limx→0（1+cos x-1）1cos x-1·（cos x-1）sin x

=elim[]x→0 （cos x-1）sin x=elim[]x→0 - 12x2x=1

從上題可以看出我們使用的是第二重要極限的推廣形式，也可以用f（x）整體代替x，只要f（x）→0.也就是說(shuō)當(dāng)我們遇到以下類型極限時(shí)均要使用第二重要極限：limf（x）→0（1+f（x））1f（x）及l(fā)imf（x）→∞（1+1f（x））f（x）.

五、∞-∞型極限

帶入極限過(guò)程后，如果極限類型為∞-∞，我們就需要通分或者將分子分母有理化轉(zhuǎn)化為00或者∞∞型，舉例如下：

limx→+∞（x2-3-x2+x）

=limx→∞（x2-3-x2+x）（x2-3+x2+x）（x2-3+x2+x）

=limx→∞-x-3（x2-3+x2+x）

=limx→∞-1-3x1-3x2+1+xx2=-12

六、其他類型極限

1.利用無(wú)窮小的性質(zhì)計(jì)算極限

limx→+∞sin xx=limx→+∞1x·sin x=0

這是根據(jù)無(wú)窮小的性質(zhì)：無(wú)窮小和有界函數(shù)的乘積仍為窮小.

2.根據(jù)無(wú)窮小和無(wú)窮大的關(guān)系計(jì)算極限

limx→+∞x+2ln xxln x

=limx→+∞1+2ln xxln x=1+0∞=0

我們利用無(wú)窮大和無(wú)窮小的關(guān)系計(jì)算極限，即：無(wú)窮大的倒數(shù)是無(wú)窮小，無(wú)窮小的倒數(shù)是無(wú)窮大.

3.利用夾逼準(zhǔn)則計(jì)算極限

1=limn→∞nn2+n≤limn→∞∑ni=11n2+i≤nn2+1=1

這種計(jì)算極限的思想就是利用兩個(gè)較簡(jiǎn)單的極限從兩邊夾著目標(biāo)極限，并且這兩個(gè)極限要收斂于同一個(gè)數(shù)值，我們的放縮不能過(guò)大或過(guò)小，所以該種方法的重點(diǎn)是如何找到合適的極限，這是一個(gè)難點(diǎn).

4.變量代換法

limx→-∞x2+xx2+2t=-x

=limt→+∞tt-t2+2t+t2+2t+t2+2=-1

變量代換時(shí)我們一般要把不會(huì)做的類型轉(zhuǎn)換為見(jiàn)過(guò)的類型，把未定式轉(zhuǎn)化為定式.

極限有很重要的理論地位，筆者依據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，參考同類院校的不同教學(xué)方法，總結(jié)出了在學(xué)習(xí)極限初期如何幫助學(xué)生快速、準(zhǔn)確地計(jì)算極限的方法和步驟.在教學(xué)過(guò)程中我們應(yīng)該結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)度不斷總結(jié)方法，以便我們的高等數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)更加清晰，教學(xué)過(guò)程更加順利.為了讓學(xué)生徹底掌握極限的算法，教師需要在課堂上將極限分類清晰地教給學(xué)生，向?qū)W生強(qiáng)調(diào)判斷類型的重要性，通過(guò)“判斷類型”→“對(duì)號(hào)入座”→“計(jì)算總結(jié)”這幾個(gè)步驟反復(fù)練習(xí).

【參考文獻(xiàn)】

[1]南京理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]楊偉傳，關(guān)若峰.高等數(shù)學(xué)（理工類專業(yè)）[M].北京：清華大學(xué)出版社，2007.