郭敏，閆維賢

（1. 山西大學(xué) 理論物理研究所，山西 太原030006；2. 山西大學(xué) 物理電子工程學(xué)院，山西 太原030006）

0 引言

近十幾年來(lái)，單層碳原子石墨烯［1-2］的發(fā)現(xiàn)激發(fā)了人們對(duì)開(kāi)發(fā)各種類(lèi)型的二維材料的熱情。物理學(xué)家寄希望于石墨烯來(lái)革新下一代電子應(yīng)用并且使在不同領(lǐng)域的物理學(xué)科，比如高能物理和凝聚態(tài)物理之間架起橋梁。類(lèi)似于半導(dǎo)體異質(zhì)結(jié)構(gòu)，石墨烯異質(zhì)結(jié)構(gòu)在探索石墨烯光電特性的理論和實(shí)驗(yàn)方面也是很有前途的候選者。有許多研究小組對(duì)石墨烯量子阱［3-7］，超晶格［8-11］和石墨烯量子點(diǎn)［12-13］展開(kāi)過(guò)研究，例如不同磁場(chǎng)（矢量勢(shì)）［10-11］以及不同勢(shì)阱和勢(shì)壘［14-18］組成的石墨烯量子阱和超晶格；限域于矢量勢(shì)以及靜態(tài)和含時(shí)電勢(shì)中的石墨烯量子點(diǎn)［12-13］；石墨烯與超導(dǎo)層異質(zhì)結(jié)構(gòu)的鄰近效應(yīng)所引起的鏡面安德列夫反射［14-15］。就石墨烯電子傳輸?shù)臏y(cè)量而言，金屬接觸不僅充當(dāng)電子儲(chǔ)集層［16］，而且是金屬和石墨烯接觸邊界周?chē)⑸涞闹饕獊?lái)源［17-18］，因此對(duì)金屬-石墨烯異質(zhì)結(jié)構(gòu)周?chē)纳⑸溥M(jìn)行研究是非常必要的。有物理學(xué)家在緊束縛方法的框架下，對(duì)于低能量狀態(tài)下的電子在普通金屬-石墨烯界面處的傳播模式以及瞬逝模式進(jìn)行了定量分析［17］。我們?cè)诒疚闹袑?yīng)力納入了石墨烯一側(cè)［19-20］，并研究了石墨烯中的應(yīng)力對(duì)普通金屬-石墨烯接觸處散射的影響。得到了普通金屬-石墨烯界面的反射系數(shù)的解析表達(dá)式。通過(guò)數(shù)值計(jì)算，分析了最大透射系數(shù)（以及相應(yīng)角度）隨有效界面跳躍積分、入射能量以及應(yīng)力的變化趨勢(shì)。此外，對(duì)正常金屬和石墨烯兩側(cè)的波函數(shù)隨應(yīng)力變化的情況進(jìn)行了研究，并用縱向動(dòng)量匹配來(lái)解釋了一些波函數(shù)出現(xiàn)的有趣現(xiàn)象。

我們的具體工作如下，在第1 部分我們對(duì)加入了應(yīng)力后的正常金屬-石墨烯模型進(jìn)行了討論，第2部分集中于對(duì)透射的數(shù)值計(jì)算與分析，第3 部分總結(jié)了我們的工作。

1 普通金屬-石墨烯異質(zhì)結(jié)構(gòu)模型的分析

2 反射系數(shù)的計(jì)算

假設(shè)石墨烯中位于r處的子晶格A，B的贗自旋旋量為ψg(r)=(da(r)，db(r))T，金屬與應(yīng)力石墨烯異質(zhì)結(jié)構(gòu)的界面處的波函數(shù)之間的關(guān)系由以下方程式定義：

其中，t1，t2代表應(yīng)力石墨烯中的跳躍，t′代表金屬和應(yīng)力石墨烯異質(zhì)結(jié)構(gòu)交界處的跳躍，此處已經(jīng)考慮了應(yīng)力對(duì)跳躍積分的影響。當(dāng)從金屬側(cè)有入射波eiks xeiqs y傳播且傳到石墨烯一側(cè)并在金屬/石墨烯界面反射，則在金屬晶格r位置處的波函數(shù)為c(r)=(eiks x+re-iks x)eiqs y，由于在應(yīng)力石墨烯側(cè)只有出射波，

其中，u1和u2之前已定義，并在圖1 的右側(cè)的示意圖進(jìn)行了說(shuō)明。通過(guò)使用方程（5）與（6），可以得到以下等式

圖1 左側(cè)圖：金屬-石墨烯異質(zhì)結(jié)構(gòu)，其中系數(shù)cj，dj 分別代表了金屬，石墨烯在晶格上的波函數(shù)。右側(cè)圖：3 個(gè)紅色的實(shí)線向量代表了原始石墨烯最近鄰的向量基(i=1，2，3)，3 個(gè)藍(lán)色的虛線向量代表了應(yīng)力石墨烯最近鄰的向量基δ(i=1，2，3)，且u1 和u2 為 沿x 方 向 上 的 長(zhǎng) 度 改 變Fig. 1 Left side:the metal-graphene heterostructure where the coefficients cj and dj represent the on-site wavefunctions for metal and strained graphene respectively;Right side:three red solid vectors are nearest-neighbor vector basis (i=1,2,3)for pristine graphene,while three blue dashed vectors are nearest-neighbor vector basis (i=1,2,3)for strained graphene,u1 and u2 are the length changes along x direction

3 數(shù)值分析和討論

圖2 對(duì)于入射能量分別為E=100 meV 和500 meV，在ξ=0.0（無(wú)應(yīng)力）、0.1、0.2 的不同應(yīng)力強(qiáng)度情況下，透射τ =1-R與Sin[θ]的關(guān)系圖，（a）β0=0.2，E=100 meV（b）β0=0.2，E=500 meV，（c）β0=0.8，E=100 meV，（d）β0=0.8，E=500 meVFig. 2 Transmission τ ≡1-R against sin[θ]under the different strain cases of ξ =0.0(strainless),0.1,0.2 for two incident energies E=100 meV and 500 meV,respectively;(a)β0=0.2,E=100 meV(b)β0=0.2,E=500 meV(c)β0=0.8,E=100 meV(d)β0=0.8,E=500 meV

為了進(jìn)一步明確應(yīng)石墨烯是如何影響電子透射性能的，我們研究了E，β0，ξ這幾個(gè)參數(shù)對(duì)電子最大透射的影響。圖3 畫(huà)出了在入射能量為100 meV的條件下，應(yīng)力強(qiáng)度ξ分別為0、0.1、0.2 時(shí)，最大透射率τm以及對(duì)應(yīng)的入射角度θm(Sin[θ])隨金屬-應(yīng)力石墨烯交界面跳躍參數(shù)β0變化的關(guān)系圖。對(duì)于不透明的界面（β0=0），隧穿確實(shí)會(huì)被完全阻止，但正如圖中所示，增加β0也并不一定會(huì)改善隧穿。

圖3 在應(yīng)力ξ 分別為0.0、0.1、0.2 且入射能量為E=100 meV 的三種情況下，圖中上下兩部分分別表示了隨界面跳躍積分參數(shù)變化而變化的最大透射率τm 和所對(duì)應(yīng)的角度θm(Sin[θ])，最佳透射τoptm 指的是τm 的峰值Fig.3 Maximum transmission τm and the corresponding angle θm(Sin[θ])against the interface hopping β0 are shown in the upper and lower panels,respectively under three cases of strain ξ=0.0,0.1,0.2 and the incidence energy of E=100 meV,the optimum transmission τoptm refers to the peak value of the τm

在無(wú)應(yīng)力的情況下，電子的τoptm也就是最大透射率的峰值出現(xiàn)在β0取1 時(shí)，而在應(yīng)力參數(shù)分別取0.1、0.2 時(shí)，最 大 透 射 率 的 峰 值 分 別 出 現(xiàn) 在β0取0.69 和0.5 時(shí)。隨著應(yīng)力的增加，最佳透射出現(xiàn)的位置向β0減小的方向移動(dòng)。同時(shí)最佳入射角度θoptm隨著應(yīng)力的增加而增加（遠(yuǎn)離θ=0°）。當(dāng)界面跳躍參數(shù)β0增大到超過(guò)最佳透射對(duì)應(yīng)的數(shù)值，透射將被快速地抑制，而且應(yīng)力的引入加劇了這一現(xiàn)象。相對(duì)應(yīng)的最大透射角θm接近θ=0°方向且當(dāng)界面跳躍取更大的值時(shí)，增大應(yīng)力對(duì)最大透射角度的影響可忽略不計(jì)。

圖2 表明，粒子入射能量的改變對(duì)電子穿透界面的能力沒(méi)有明顯的影響。我們?yōu)榱烁M(jìn)一步探究這種情況產(chǎn)生的原因，在圖4 中畫(huà)出了入射能量E和最大透射率τm的示意圖來(lái)解釋此原因。通過(guò)觀察圖4 的上半部分，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)β0=0.2 時(shí)，應(yīng)力確實(shí)可以促進(jìn)透射，這可以通過(guò)比較有應(yīng)力和無(wú)應(yīng)力時(shí)最大透射的斜率變化來(lái)驗(yàn)證。對(duì)于無(wú)應(yīng)力情況，曲線斜率可以忽略不計(jì)，但施加應(yīng)力后會(huì)增加曲線斜率。盡管入射能量的增加對(duì)透射能力的增加幫助很小，但無(wú)論如何，入射能量的增加都會(huì)增加透射能力，而且這種能力受應(yīng)力的調(diào)制。

圖4 在β0 取值為0.2 的前提下，上下兩部分圖示分別表示了在不同的應(yīng)力的情況下，即ξ 的取值為0.0、0.1、0.2 時(shí)，最大透射率τm 和最大入射角Sin[θm]隨著入射能量的的變化情況Fig. 4 Maximum transmission τm and the corresponding angle Sin[θm]against the incidence energy E are shown in the upper and lower regions respectively under three cases of strain ξ=0.0,0.1,0.2 and the interface hopping β0 is set to 0.2

金屬側(cè)和石墨烯側(cè)邊界晶格上的有效波函數(shù)可以通過(guò)以下兩個(gè)方程式確定（請(qǐng)參見(jiàn)圖1 左側(cè)所示）：

圖5 在金屬格點(diǎn)和石墨烯格點(diǎn)側(cè)的波函數(shù)，帶有正方形符號(hào)的線代表波函數(shù)的實(shí)部，而帶有圓點(diǎn)符號(hào)的線代表波函數(shù)的虛部Fig. 5 Wave functions on lattices of metal and graphene sides,the line with square symbol(red-solid)stands for the real part of the wave function,while the line with dot symbol(blue-dashed)stands for the imaginary part of the wave function

4 結(jié)論

通過(guò)數(shù)值和解析方法，研究了電子在金屬-石墨烯（應(yīng)力）異質(zhì)結(jié)構(gòu)下的傳輸特性。通過(guò)分析最大透射率和對(duì)應(yīng)角度與應(yīng)力強(qiáng)度、入射能量和有效界面的跳躍參數(shù)關(guān)系，研究了該異質(zhì)結(jié)的傳輸特性。我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)石墨烯應(yīng)力的引入可以顯著地改變電子的透射能力，透射能力的大小取決于施加的應(yīng)力和有效的界面跳躍的大小。入射能量的增加對(duì)電子透射性能的影響不大，可忽略不計(jì)，卻可以使最大透射角增大。我們還研究了不同應(yīng)力下波函數(shù)的實(shí)部和虛部是如何演化的，通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)施加在石墨烯側(cè)的應(yīng)力的增加可以使金屬側(cè)的波函數(shù)的周期增加，這可以用縱向動(dòng)量匹配來(lái)解釋。通過(guò)這一研究我們發(fā)現(xiàn)這些結(jié)果可以用來(lái)定性研究金屬-石墨烯的異質(zhì)結(jié)構(gòu)，并且能夠把該研究推廣到更加復(fù)雜的異質(zhì)結(jié)構(gòu)，例如金屬-石墨烯-金屬異質(zhì)結(jié)構(gòu)［16-18］。