劉永健，張 飛，謝 婷，蒲明博，趙澤宇，李 雄，馬曉亮,，沈同圣，羅先剛*

（1.中國(guó)科學(xué)院光電技術(shù)研究所微細(xì)加工光學(xué)技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都 610209；2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)光電學(xué)院，北京 100049；3. 中國(guó)人民解放軍軍事科學(xué)院 國(guó)防科技創(chuàng)新研究院，北京 100071）

1 引 言

偏振成像技術(shù)是成像技術(shù)與偏振分析技術(shù)的結(jié)合，廣泛應(yīng)用于生物醫(yī)學(xué)檢測(cè)[1]、水下目標(biāo)探測(cè)[2-3]和大氣污染檢測(cè)[4]等重要領(lǐng)域。偏振成像系統(tǒng)利用各種偏振調(diào)控單元，可以將入射光的各部分偏振分量進(jìn)行分離，然后利用探測(cè)器進(jìn)行信息的收集，獲得各偏振分量的光強(qiáng)信息，進(jìn)而解析出入射光中的各部分偏振態(tài)信息。基于傳統(tǒng)光學(xué)元件的偏振成像系統(tǒng)面臨結(jié)構(gòu)復(fù)雜、體積重量大等固有問題，不利于光學(xué)系統(tǒng)朝著微型化、輕量化、集成化方向發(fā)展。

超構(gòu)表面是一種由亞波長(zhǎng)結(jié)構(gòu)構(gòu)成的低維電磁調(diào)控器件[5-7]，其電磁特性通常由亞波長(zhǎng)結(jié)構(gòu)的幾何形狀與排列方式?jīng)Q定。其中，每個(gè)單元結(jié)構(gòu)都可以看作是一個(gè)調(diào)控單元，通過對(duì)單元結(jié)構(gòu)的精細(xì)設(shè)計(jì)，超構(gòu)表面能夠在平面上靈活地操控光波的相位、振幅、偏振等參數(shù)，為實(shí)現(xiàn)光學(xué)器件和系統(tǒng)的平面化、集成化提供了新的技術(shù)途徑[8-11]。由于其優(yōu)異的光學(xué)性能和強(qiáng)大的電磁調(diào)控能力，超構(gòu)表面在光刻[12-13]、光學(xué)成像[14-16]、電磁偽裝[17-18]等領(lǐng)域均展現(xiàn)出巨大的應(yīng)用潛力。近年來，懸鏈線光學(xué)發(fā)展迅速，已成為亞波長(zhǎng)光學(xué)和亞波長(zhǎng)電磁學(xué)的新研究方向[19-21]，或?qū)⒊蔀楣こ坦鈱W(xué)2.0的重要部分[22]。通過對(duì)介質(zhì)懸鏈線結(jié)構(gòu)中傳輸相位和幾何相位的協(xié)同調(diào)控，能夠?qū)崿F(xiàn)近完美的超廣角連續(xù)波前調(diào)控，由此實(shí)現(xiàn)了具有178°視場(chǎng)和衍射極限像質(zhì)的平面單片式超構(gòu)鏡頭[23]。

通過傳輸相位和幾何相位的復(fù)合調(diào)控，單個(gè)超構(gòu)表面器件可實(shí)現(xiàn)對(duì)任意正交偏振態(tài)相位和振幅的任意獨(dú)立調(diào)控[11,24-26]，因此有能力突破傳統(tǒng)偏振成像系統(tǒng)級(jí)聯(lián)多個(gè)透鏡和偏振片的設(shè)計(jì)范式[11]。偏振復(fù)用超構(gòu)表面已在光學(xué)全息顯示[27-28]、渦旋光束生成[29-30]、偏振成像[31]以及其它功能器件[32]方面展現(xiàn)出較大的應(yīng)用潛力。然而，目前超構(gòu)表面的優(yōu)化設(shè)計(jì)主要采用參數(shù)掃描、人工擇優(yōu)的傳統(tǒng)設(shè)計(jì)范式，即首先根據(jù)周期性邊界條件得到單元結(jié)構(gòu)的電磁響應(yīng)，然后再按照一定規(guī)律排列單元結(jié)構(gòu)，最終完成超構(gòu)表面器件的設(shè)計(jì)。這種設(shè)計(jì)方法面臨耗時(shí)長(zhǎng)、性能難以最優(yōu)化等問題。以超構(gòu)透鏡為例，當(dāng)其數(shù)值孔徑（Numerical Aperture, NA）較小時(shí)，由于相位梯度較小，其結(jié)構(gòu)尺寸變化較為緩慢，因此可以近似為周期性邊界條件。然而，當(dāng)其NA 較大時(shí)，較大的相位梯度會(huì)使得臨近的單元結(jié)構(gòu)尺寸具有明顯差異，因此不能再近似為周期性邊界條件，導(dǎo)致器件性能與預(yù)期值存在較大差異[33]。為了提高成像分辨力，往往需要大NA 超構(gòu)透鏡，上述問題亟需解決。

為了實(shí)現(xiàn)高效率超構(gòu)表面，研究人員提出了多種優(yōu)化方法對(duì)超構(gòu)表面器件內(nèi)部的結(jié)構(gòu)尺寸進(jìn)行修正，比如遺傳算法[34]、粒子群優(yōu)化算法[35-36]等。然而這些算法單次迭代通常需要成百上千的種群數(shù)，存在計(jì)算量巨大、優(yōu)化設(shè)計(jì)效率低等問題。伴隨優(yōu)化是一種基于梯度上升的優(yōu)化方法，僅需要一次正向仿真和一次伴隨仿真就能獲得評(píng)價(jià)函數(shù)相對(duì)于整個(gè)參數(shù)優(yōu)化空間的梯度信息，因此其計(jì)算量與參數(shù)維度無關(guān)。伴隨優(yōu)化可細(xì)分為拓?fù)鋬?yōu)化和邊界優(yōu)化[37]。通過拓?fù)鋬?yōu)化得到的器件結(jié)構(gòu)具有連續(xù)性、設(shè)計(jì)靈活性高等特點(diǎn)，已用于設(shè)計(jì)高效率偏折器件[38]。拓?fù)鋬?yōu)化的變量通常是針對(duì)介電常數(shù)分布，其初始解需要具有連續(xù)性，然后經(jīng)過數(shù)百次迭代將連續(xù)介電常數(shù)分布逐步演化為具有實(shí)際意義的二值化分布，無規(guī)則的連續(xù)結(jié)構(gòu)對(duì)修正加工誤差提出了更高的要求。相反，邊界優(yōu)化直接優(yōu)化器件結(jié)構(gòu)邊界（例如單元結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)和寬），因此可以在已有二值化初始結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上通過少量迭代進(jìn)一步提升效率，且規(guī)則化的結(jié)構(gòu)更易于修正工藝誤差。目前，邊界優(yōu)化方法已用于優(yōu)化設(shè)計(jì)偏振無關(guān)超構(gòu)透鏡[39-40]，為實(shí)現(xiàn)偏振成像超構(gòu)透鏡的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了思路。

本文提出一種基于邊界優(yōu)化的大NA、高效率偏振成像超構(gòu)透鏡的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，并由此針對(duì)正交線偏振光設(shè)計(jì)了雙焦點(diǎn)超構(gòu)透鏡，即分別將x和y偏振光聚焦到同一焦平面的不同位置，因此便可實(shí)現(xiàn)偏振成像[31]。

2 邊界優(yōu)化方法原理及結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

2.1 邊界優(yōu)化方法原理

為了實(shí)現(xiàn)超構(gòu)透鏡聚焦效率的最大化，可以將焦斑電場(chǎng)強(qiáng)度最大化作為優(yōu)化目標(biāo)，將單元結(jié)構(gòu)寬度作為優(yōu)化參數(shù)。邊界優(yōu)化評(píng)價(jià)函數(shù)F可以定義為：

圖1(a)和1(b)分別展示了正向仿真和伴隨仿真示意圖。在正向仿真過程中，將平面波作為入射源，并從基底入射；在伴隨仿真過程中，將?F/?E=E*作為入射源，并從結(jié)構(gòu)上方入射。其中，伴隨仿真的入射源可以直觀地理解為將期望輸出場(chǎng)的共軛場(chǎng)進(jìn)行反向傳輸。由于期望的輸出場(chǎng)是完美的匯聚球面波，因此伴隨仿真的入射場(chǎng)則是從焦點(diǎn)處發(fā)散的球面波[39]。

圖1 邊界優(yōu)化原理及流程示意圖。(a)正向仿真；（b）伴隨仿真；(c)優(yōu)化算法流程圖Fig.1 Schematic diagram of boundary optimization principle and process.(a)Forward simulation.(b)Adjoint simulation.(c)Flow chart of the optimization algorithm

圖1(c)為伴隨優(yōu)化步驟的流程圖。為實(shí)現(xiàn)對(duì)x偏振光和y偏振光的獨(dú)立調(diào)控，需對(duì)兩種偏振光分別進(jìn)行正向仿真和伴隨仿真，從而得到x偏振光和y偏振光分別對(duì)應(yīng)的梯度信息。由于x偏振光對(duì)應(yīng)的傳輸相位延遲對(duì)亞波長(zhǎng)結(jié)構(gòu)沿x方向的寬度更敏感，而y偏振光對(duì)應(yīng)的傳輸相位延遲則對(duì)y方向的寬度更敏感，因此為了提高收斂速度，總變化梯度G可以設(shè)定為：

式中，Gx和Gy分別表示x偏振光和y偏振光入射的變化梯度，?x和?y分別為兩種偏振光對(duì)應(yīng)的效率。通過公式(3)得到的梯度，可以使得每次更新迭代的梯度更傾向于效率較低者，從而保證器件對(duì)于x偏振光和y偏振光的性能基本一致。然后，利用計(jì)算得到的總梯度對(duì)納米柱寬度進(jìn)行更新，繼續(xù)進(jìn)行迭代計(jì)算，直到評(píng)價(jià)函數(shù)滿足優(yōu)化目標(biāo)或者迭代次數(shù)達(dá)到設(shè)定值。另外，為了防止單次迭代形變過大，需要限定每次迭代形變量的平均值和最大值。

2.2 偏振成像超構(gòu)透鏡聚焦原理及結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

對(duì)于成像系統(tǒng)而言，聚焦透鏡是其核心部件。入射光經(jīng)過超構(gòu)透鏡調(diào)制后，會(huì)以匯聚球面波的形式出射。為了利用單個(gè)超構(gòu)表面器件實(shí)現(xiàn)正交線偏振光的同時(shí)成像，需要利用亞波長(zhǎng)結(jié)構(gòu)對(duì)x和y偏振光產(chǎn)生不同的相位延遲，使x和y偏振光分別聚焦到同一焦平面的不同位置。超構(gòu)透鏡上每一點(diǎn)所需要的調(diào)制相位φ與該點(diǎn)所在坐標(biāo)位置有如下關(guān)系：

其中，λ=1550 nm 為入 射波 長(zhǎng)，f表 示焦 距，(x,y)表示位置坐標(biāo)，(x0,y0)表示焦點(diǎn)在焦平面上的位置坐標(biāo)。通過對(duì)x和y偏振光設(shè)置不同的(x0,y0)，就可以將光斑聚焦到不同位置。

所設(shè)計(jì)的超構(gòu)表面單元結(jié)構(gòu)如圖2(a)所示，其基底材料為氧化鋁(Al2O3)，納米柱材料為晶硅(Si)。單元結(jié)構(gòu)周期p為500 nm，納米柱高度h為1400 nm，L和W分別為納米柱沿x和y方向的寬度。本文利用八階傳輸相位實(shí)現(xiàn)了對(duì)x偏振光和y偏振光的獨(dú)立調(diào)控，即需要通過參數(shù)掃描、人工擇優(yōu)遴選同時(shí)滿足對(duì)x偏振光和y偏振光均能實(shí)現(xiàn)0到2π 相位覆蓋的64個(gè)單元結(jié)構(gòu)，如圖2(b)所示。仿真結(jié)果表明，優(yōu)化的64個(gè)單元結(jié)構(gòu)可較好地滿足0到2π 相位覆蓋要求，其中平均透射振幅為0.9356。然后，基于64個(gè)單元結(jié)構(gòu)的傳輸相位和公式(4)便可得到超構(gòu)透鏡的初始結(jié)構(gòu)。

圖2 (a)單元結(jié)構(gòu)示意圖；(b)64 個(gè)單元結(jié)構(gòu)的傳輸相位響應(yīng)Fig.2 (a)Schematic diagram of a unit cell;(b) propagation phase responsesof 64 unit cells

3 基于人工擇優(yōu)初始結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)

通過上述方法，設(shè)計(jì)了一個(gè)焦距為5μm、口徑為30μm 的柱面超構(gòu)透鏡。其中，x和y偏振光對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(5μm,0 μm)和(?5μm,0μm)，等效NA 約為0.94。由于焦點(diǎn)不在超構(gòu)透鏡中心軸上，因此等效NA 定義如下：

式中，n為超構(gòu)透鏡與焦點(diǎn)之間介質(zhì)的折射率，r0為焦點(diǎn)到超構(gòu)透鏡中心軸的距離，R為超構(gòu)透鏡半徑，f為焦距。

本文利用時(shí)域有限差分（FDTD）計(jì)算超構(gòu)透鏡的電場(chǎng)分布和效率。圖3(a)～3(b)展示了優(yōu)化前后超構(gòu)透鏡沿x方向的60個(gè)納米柱的長(zhǎng)度和寬度變化情況。其中L0和W0分別表示初始結(jié)構(gòu)沿x方向和y方向的寬度，L1和W1則表示優(yōu)化后的寬度。為了更加直觀地展示優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)變化情況，圖3(c)給出了局部幾個(gè)納米柱的變化情況，其中紅色和深綠色分別代表優(yōu)化前后的結(jié)構(gòu)，而淺綠色為兩組結(jié)構(gòu)重疊的部分。可以看到，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)參數(shù)與優(yōu)化前明顯不同，并且優(yōu)化的邊長(zhǎng)不是對(duì)稱變化的。這是由于為了給超構(gòu)表面單元結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供更高的自由度，所以對(duì)納米柱的4條邊長(zhǎng)給予獨(dú)立的形變。通過這樣的調(diào)控方式，還可以使納米柱中心發(fā)生平移，因此能夠?qū)崿F(xiàn)更高的效率。

圖3 優(yōu)化前后納米柱沿(a) x 方向和(b) y 方向的寬度變化；(c)部分納米柱優(yōu)化前后對(duì)比圖Fig.3 Width changes of nanofins along the(a) x-direction and (b) y-direction before and after optimization.(c)Comparison of part of nanofins before and after optimization

圖4展示了兩種偏振態(tài)的入射光在xz平面的光強(qiáng)分布圖，其中圖4(a)和4(b)分別為優(yōu)化前x和y偏振光入射下的光強(qiáng)分布，圖4(c)和4(d)分別為優(yōu)化后x和y偏振光入射下的光強(qiáng)分布，圖4(e)和4(f)分別為優(yōu)化前x和y偏振光入射下焦點(diǎn)處的歸一化強(qiáng)度圖，圖4(g)和4(h)分別為優(yōu)化后x和y偏振光入射下焦點(diǎn)處歸一化強(qiáng)度圖。從這些結(jié)果中可以看到，優(yōu)化后的焦斑旁瓣明顯被抑制，電場(chǎng)強(qiáng)度最大值也得到顯著提高。為了更好地對(duì)優(yōu)化前后的效果進(jìn)行對(duì)比，給出了優(yōu)化前后的相位分布圖，如圖5所示。可以看出，由于周期性邊界條件的破壞使得優(yōu)化前的相位分布比較雜亂，優(yōu)化后兩種偏振光入射下的相位分布均變得更加平滑和均勻，波前畸變得到了很好的校正。

圖4 優(yōu)化前(a) x 偏振光和(b) y 偏振光入射下的xz 平面光強(qiáng)分布；優(yōu)化后(c)x 偏振光和(d) y 偏振光入射下的xz 平面光強(qiáng)分布；(e)～(h)沿著(a)～(d)中虛線繪制的歸一化強(qiáng)度分布Fig.4 Intensity distributions in the xz plane before optimization under the illumination of (a) x-polarized light and (b) y-polarized light.Intensity distributions in the xz plane after optimization under the illumination of(c) x-polarized light and(d) y-polarized light.(e)～(h) Normalized intensity profiles along the dashed linesare shown in (a)～(d)

圖5 x 偏振光入射時(shí)，(a)優(yōu)化前和(b)優(yōu)化后的相位分布；y 偏振光入射時(shí)，(c)優(yōu)化前和(d)優(yōu)化后的相位分布Fig.5 The phase distributions(a)before and(b)after optimization for the incident of x-polarized light.The phase distributions(c) beforeand (d)after optimization for the incident of y-polarized light

在仿真中設(shè)置迭代次數(shù)為100次，隨著迭代次數(shù)的增加，絕對(duì)效率與衍射效率都有了明顯提高，如圖6(a)和6(b)所示。x偏振光對(duì)應(yīng)的絕對(duì)效率由～51.66%增加到了～68.69%，相比于優(yōu)化前提高了～32.97%；y偏振光對(duì)應(yīng)的絕對(duì)效率由～48.22%增加到～64.65%，相比于優(yōu)化前提高了～34.07%。x偏振光對(duì)應(yīng)的衍射效率由～67.76%增加到～80.36%，相比于優(yōu)化前提高了～18.60%；y偏振光對(duì)應(yīng)的衍射效率由～72.95%增加到～88.25%，相比于優(yōu)化前提高了～20.97%。其中，絕對(duì)效率（衍射效率）定義為3倍半高全寬范圍內(nèi)的能量與入射總能量（焦平面總能量）之比，然后歸一化理想相位分布對(duì)應(yīng)的理論值。所提高的百分比定義為優(yōu)化前后的效率之差與優(yōu)化前的效率之比。

圖6 優(yōu)化過程中超構(gòu)透鏡的(a)絕對(duì)效率和(b)衍射效率Fig.6 (a)Absolute efficiency and (b)diffraction efficiency of the optimized metalens during optimization

4 基于均勻陣列初始結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)

上述超構(gòu)表面器件的設(shè)計(jì)需要人工優(yōu)化單元結(jié)構(gòu)，然后再用邊界優(yōu)化方法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，但優(yōu)化單元結(jié)構(gòu)（尤其是用于偏振復(fù)用的單元結(jié)構(gòu)）非常耗時(shí)，且需要大量的經(jīng)驗(yàn)。事實(shí)上，利用邊界優(yōu)化方法對(duì)均勻陣列的初始結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化也可以使超構(gòu)表面器件達(dá)到較高的衍射效率。對(duì)此本文也進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，使用均勻正方形納米柱作為初始結(jié)構(gòu)進(jìn)行了5組仿真驗(yàn)證，其寬度分別為210、240、270、300 和330 nm。通過多次迭代，都達(dá)到了很好的效果，其絕對(duì)效率與衍射效率如圖7所示。其中圖7(a)和7(b)分別為x和y偏振光入射時(shí)的絕對(duì)效率，圖7(c)和7(d)分別為x和y偏振光入射時(shí)的衍射效率。在迭代次數(shù)為20～40次時(shí)，兩種偏振光對(duì)應(yīng)的絕對(duì)效率與衍射效率基本收斂。并且可以看到，兩種偏振光對(duì)應(yīng)的衍射效率為85% 左右，絕對(duì)效率為73%左右。與先尋找單元結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)方法相比，該設(shè)計(jì)過程省去了人工優(yōu)化單元結(jié)構(gòu)的繁瑣步驟，并且可以獲得更好的效果。這是因?yàn)樵诨谌斯駜?yōu)初始結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，需要先給出一組滿足特定條件的初始結(jié)構(gòu)（通常通過參數(shù)掃描、人工擇優(yōu)得到），導(dǎo)致它停留在一個(gè)有限的局部設(shè)計(jì)參數(shù)空間，從而限制了邊界優(yōu)化對(duì)提高效率的實(shí)質(zhì)性作用[41]。而基于均勻陣列初始結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)可能會(huì)減少這種情況的影響，從而獲得更好的優(yōu)化效果。

圖7 (a) x 偏振光和(b) y 偏振光入射下，不同初始結(jié)構(gòu)的超構(gòu)透鏡的絕對(duì)效率；(c) x 偏振光和(d) y 偏振光入射下，不同初始結(jié)構(gòu)的超構(gòu)透鏡的衍射效率Fig.7 Absolute efficiency of five metalenses with different initial structures during optimization under illumination of (a) xpolarized light and (b) y-polarized light.Diffraction efficiency of five metalenses with different initial structures during optimization under illumination of (c) x-polarized light and (d) y-polarized light

為了更好地說明基于均勻陣列初始結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的優(yōu)越性，進(jìn)一步使用該方法設(shè)計(jì)了一個(gè)二維聚焦超構(gòu)透鏡?？紤]到計(jì)算量的問題，超構(gòu)透鏡尺寸設(shè)計(jì)為20μm×20μm，焦距為5μm。x和y偏振光對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(2.5μm,0μm)和(?2.5μm,0μm)，等效NA 約為0.89。隨后，將邊長(zhǎng)為270 nm 正方形納米柱陣列作為超構(gòu)透鏡初始結(jié)構(gòu)，迭代次數(shù)仍設(shè)為100次。仿真結(jié)果如圖8所示，其中，圖8(a)和8(b)分別為絕對(duì)效率和衍射效率，圖8(c)和8(d)分別為x和y偏振光入射下焦平面上的光強(qiáng)分布。從仿真結(jié)果可以看出，迭代20次左右之后基本收斂，最終超構(gòu)透鏡的衍射效率為92%左右，絕對(duì)效率為82%左右。

圖8 優(yōu)化過程中超構(gòu)透鏡的(a)絕對(duì)效率和(b)衍射效率；(c) x 偏振光和(d) y 偏振光入射下焦平面光強(qiáng)分布Fig.8 (a)Absolute efficiency and(b)diffraction efficiency of the optimized metalens during optimization.Intensity distributionsin the focal plane under illumination of (c) x-polarized light and (d) y-polarized light

5 結(jié) 論

本文提出了一種基于伴隨仿真和邊界優(yōu)化的多功能超構(gòu)透鏡的設(shè)計(jì)方法，并由此設(shè)計(jì)了可以實(shí)現(xiàn)x和y正交偏振光獨(dú)立調(diào)控的大數(shù)值孔徑、高效率的偏振成像超構(gòu)透鏡。該透鏡可以將x和y偏振光分別聚焦到不同位置，其等效數(shù)值孔徑約為0.94。在基于人工擇優(yōu)初始結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，x和y偏振光的衍射效率分別為80.36%和88.25%左右，相比于優(yōu)化前提高了20%左右?；诰鶆蜿嚵谐跏冀Y(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的二維聚焦超構(gòu)透鏡的等效數(shù)值孔徑約為0.89，x和y偏振光對(duì)應(yīng)的衍射效率為92%左右。綜上所述，本文設(shè)計(jì)的大數(shù)值孔徑、高效率超構(gòu)表面器件在偏振成像、光通信等領(lǐng)域具有較大的應(yīng)用潛力，同時(shí)為設(shè)計(jì)多波長(zhǎng)、多功能集成以及其它復(fù)雜條件下的高效率超構(gòu)表面器件提供了新的思路。