郗洪柱，孔德仁，彭泳卿，張世名，史 青，樂貴高

(1.南京理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，江蘇 南京 210094；2.北京遙測技術(shù)研究所，北京 100076)

引 言

高能戰(zhàn)斗部近地空中爆炸時會釋放大量能量，產(chǎn)生高能量沖擊波，超壓是沖擊波殺傷目標(biāo)的主要毀傷元之一。在近地空爆(比例爆高不小于0.35)中，存在沖擊波的正反射、正規(guī)反射和馬赫反射。在沖擊波隨時間演進(jìn)過程中，三者存在疊加現(xiàn)象，產(chǎn)生所謂“三波點”。三波點隨時間變化在空間留下軌跡。三波點軌跡是沖擊波流場的分界線，即三波點一側(cè)為未疊加態(tài)，超壓時程曲線呈明顯雙峰形態(tài)；三波點另一側(cè)為疊加態(tài)，處于單峰馬赫波狀態(tài)，峰值高于入射超壓。掌握三波點軌跡規(guī)律，有利于分析爆炸沖擊波流場分布，對沖擊波超壓毀傷元空間威力的評估具有重要意義。

目前對三波點位置的研究方法可分為3類。第一類為實測法，即通過實測試驗得到其位置。根據(jù)測量方法不同，分為超壓傳感器測試法和光學(xué)測試法。前者利用多個超壓傳感器在不同位置的多次試驗中得到流場超壓分布，根據(jù)超壓數(shù)值和傳感器位置確定三波點軌跡[1]；后者利用高速相機得到爆炸過程圖像，利用紋影技術(shù)得到三波點軌跡信息[2]。實測法能夠獲取三波點軌跡真實數(shù)據(jù)，有利于研究三波點發(fā)展規(guī)律，但成本較高，不易推廣。第二類方法為仿真法，即利用動力學(xué)軟件AUTODYN、LS-DYNA等模擬爆炸過程，由壓力時間云圖讀取三波點位置[3-5]。但數(shù)值模擬存在影響解算精度因素多，解算時間長及三波點讀取困難等問題。上述兩類方法得到的三波點數(shù)據(jù)通常經(jīng)擬合處理形成預(yù)測公式[6-7]，但普適性受限于具體擬合方法和數(shù)據(jù)質(zhì)量。第三類方法為理論推導(dǎo)法，如基于Whitham幾何激波動力學(xué)理論[8-9]、鏡像法[10-11]等。Whitham理論利用邊界條件得到三波點近似解，計算較復(fù)雜；鏡像法是一種視實際爆炸結(jié)果為真實爆炸與其對稱于地面的虛擬爆炸疊加的方法，易于建模分析，利用LAMB模型可獲得反射流場數(shù)據(jù)[12-13]。然而，鏡像法通常采用較寬松的假設(shè)，與真實三波點軌跡有差異。遞推求解過程繁瑣，且需要馬赫反射起始點信息，求該點坐標(biāo)需涉及平面激波理論和復(fù)雜迭代過程[14]。

針對現(xiàn)有方法無法簡單、快速、準(zhǔn)確地預(yù)測三波點軌跡的問題，本研究基于鏡像法、LAMB模型和數(shù)據(jù)擬合方法，開展近地空爆沖擊波反射流場中三波點的軌跡預(yù)測模型研究。將平齊于爆高的三波點視為起始點，提出相應(yīng)的三波點軌跡預(yù)測方法。對比例爆高不小于0.35的工況，首先利用鏡像法得到流場中三波點處的幾何約束，然后利用LAMB模型求解平齊于爆高的三波點相對于爆心的比例距離，之后利用多項式擬合法求解三波點約束方程中的未知項系數(shù)，得到相應(yīng)的軌跡快速預(yù)測模型。通過與數(shù)值模擬結(jié)果、美國結(jié)構(gòu)抗意外爆炸效應(yīng)手冊(UFC 3-340-02，后文簡稱UFC)[15]及實爆三波點數(shù)據(jù)對比，驗證了預(yù)測模型的可靠性。

1 理論方法

近地空中爆炸時，沖擊波抵達(dá)地面(視為固壁)后依次經(jīng)歷正反射、正規(guī)反射，當(dāng)入射角超過臨界值(約40°)后發(fā)生馬赫反射。以圓柱裝藥TNT(長徑比為1，中心起爆)近地空爆為研究對象，利用鏡像法分析三波點處的幾何約束。

鏡像法假定爆炸沖擊波在固壁的反射遵循光學(xué)反射定律[10]。反射場中某點除受爆源直接作用外，還受到虛擬反射爆源的作用。利用LAMB疊加模型可實現(xiàn)反射流場中各爆源作用效果的非線性疊加，其流場壓力計算公式為[12]：

(1)

式(1)對正反射流場的求解結(jié)果與Rankine-Hugoniot公式計算結(jié)果完全一致[12]。

將入射波Ⅰ、反射波Ⅱ和馬赫波Ⅲ視為圓心分別在真實爆源O、虛擬爆源Oi和鏡像點P的圓弧。三波點下方虛擬入射波與地面交點、馬赫波與地面的交點是待研究的特征點，據(jù)此構(gòu)造相應(yīng)的幾何約束，如圖1所示。

圖1 近地爆炸沖擊波流場傳播示意圖Fig.1 The propagation schematic of shock wave flow field in the near-earth blast

圖中真實爆源為O，相對于地面投影點P對稱的虛擬爆源為Oi，對應(yīng)爆高為h。馬赫反射起始點為地面S點。入射波Ⅰ、反射波Ⅱ和馬赫波Ⅲ的交點Th位于過爆心O的水平線上，與O距離記為RⅠ，與Oi距離記為RⅡ。由點S經(jīng)點Th并延伸至點Tp，形成了三波點軌跡。將直線ThOi與ThO的銳角夾角記為αⅡ，此處虛擬入射波與地面交點記為H，入射角記為βⅠ；記三波點Tp處虛擬入射波與地面夾角為αⅠ，交點為E，過點E作垂直于OE的直線VE。Tp處馬赫波與地面交點為M，過點M垂直于地面的直線交VE于V。連接OE的直線與Th處虛擬入射波Ⅰ交于點N，過點N平行于OH的直線交VE延長線于點V′，點V′在地面的投影為點M′，連接V′M′。

根據(jù)圖1所示幾何關(guān)系及超壓與馬赫數(shù)關(guān)系式(2)，可得αⅡ的關(guān)系式(3)：

Δp=2p0·(M2-1)/(1+γ)

(2)

(3)

式中：Δp為峰值超壓，kPa；M為馬赫數(shù)；p0為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓，為101.325kPa；γ與上述定義一致；ΔpⅠ、ΔpⅡ分別為入射波和反射波峰值超壓，kPa；RⅠ、RⅡ和αⅡ與上述定義一致。

將式(1)得到的一系列入射和反射超壓代入式(3)，再利用式(4)的約束條件通過迭代可求得RⅠ，按圖1所示坐標(biāo)系，以點P為坐標(biāo)原點，則用長度表示的點Th坐標(biāo)為(RⅠ,h)。

(4)

此后，利用ΔVME和ΔV′M′E的相似性、∠ENV′和∠EOH的相等性得到如下關(guān)系式：

|EM|=f·(|OE|-|ON|)·tan(αⅠ-βⅠ)·cosαⅠ

(5)

式中：f為無量綱相似系數(shù)。

易仰賢[14]和賈雷明[13]均認(rèn)為僅與比例爆高有關(guān)，前者提出了具體的計算形式如式(6)所示，后者僅以列表形式給出4個比例爆高對應(yīng)的相似系數(shù)fJ值和馬赫反射起始三波點坐標(biāo)xT0，如表1所示。為便于使用，本研究分別對表中fJ和xT0與比爆的關(guān)系進(jìn)行擬合，得到式(7)；將fY的計算結(jié)果放入表1作為對比；前者數(shù)值小于后者，應(yīng)用于化爆時精確性低于后者。

表1 fJ及fY取值Table 1 the parameters of fJ and fY

(6)

(7)

式(5)中入射角βⅠ明顯大于馬赫反射起始入射角，在計算中通常以縮放系數(shù)乘βⅠ后使用，本研究通過試驗知，該值在0.5～0.6之間較為合適，后面計算中均使用0.6。

本研究基于比爆0.397～1.388的UFC三波點數(shù)據(jù)，利用數(shù)值擬合法構(gòu)建以相對比爆值為自變量的Th點水平比距的求解公式：

(8)

同理，構(gòu)建f與比例爆高的關(guān)系式：

(9)

(10)

2 數(shù)據(jù)來源及驗證

AUTODYN是爆炸領(lǐng)域常用的求解軟件[16]。利用該軟件構(gòu)造數(shù)值模型，生成超壓數(shù)據(jù)及其時空分布云圖；利用實爆試驗結(jié)果和UFC三波點數(shù)據(jù)驗證數(shù)值模型及三波點讀取方法的可靠性。

數(shù)值模型采用AUTODYN-2D實現(xiàn)，利用沖擊波傳播的對稱性構(gòu)建二維1/2模型。研究比例爆高不小于0.35的近地空爆，涉及軟件材料庫中的“TNT”、“AIR”和“SAND”。網(wǎng)格粗細(xì)決定了爆炸沖擊波求解的精確性，當(dāng)網(wǎng)格為10mm和5mm時，兩者超壓時程曲線基本一致[17]。建立兩種尺度空氣模型，包裹TNT的小空氣模型的網(wǎng)格尺寸為1mm，外層大空氣模型網(wǎng)格尺寸為5mm。以JWL狀態(tài)方程描述TNT爆轟過程，如式(11)所示：

(11)

式中：p為爆轟壓力；V為相對體積；E為單位體積內(nèi)能；A、B、R1、R2和ω均為材料常數(shù)，如表2所示[19]。

表2 TNT爆炸的JWL狀態(tài)方程參數(shù)Table 2 State parameters of the JWL equation in TNT detonation

利用本課題組在某靶場對10kg長徑比1的柱狀TNT空中實爆(爆高1.5m)超壓數(shù)據(jù)，驗證數(shù)值模型的可靠性。試驗場地平整開闊，天氣晴朗，微風(fēng)，TNT懸吊于橫梁下，正下方為平整方形鋼板。傳感器PCB137A與爆高平齊并指向爆心。

將數(shù)值模型計算結(jié)果同實爆值對比，如表3所示。由表3可知，數(shù)值結(jié)果較真實值偏小，偏差均約在-15%以內(nèi)。

表3 數(shù)值模擬結(jié)果與實爆值對比Table 3 The comparison between numerical simulation results and the experimental blast data

利用UFC中三波點數(shù)據(jù)驗證從數(shù)值模型中獲取三波點方法的合理性。以比例爆高0.99為例，如圖2所示。

圖2 數(shù)值模型與UFC的三波點軌跡對比Fig.2 The comparison of triple point trajectory between numerical model and UFC

由圖2可知，相同水平比距下，數(shù)值模型結(jié)果略低于UFC數(shù)據(jù)，這可能是由于三波點讀取誤差及UFC反射效應(yīng)稍強導(dǎo)致?？傮w而言，兩者基本一致。

綜上，數(shù)值模型與實爆超壓及UFC三波點軌跡均較吻合，驗證了本研究構(gòu)建的數(shù)值模型、相關(guān)設(shè)置及三波點讀取方法的合理性。

3 未知參數(shù)確定

利用式(1)～(4)所述理論方法求解平齊于爆高的三波點位置，并與UFC數(shù)據(jù)對比，如表4所示。

表4 平齊于爆高的三波點坐標(biāo)Table 4 Coordinate of triple point at the explosion height

由表4可知，迭代計算結(jié)果與UFC數(shù)據(jù)基本一致，表明理論計算方法可行。

按所述理論方法求解f，然后利用多項式擬合法得到式(9)中4個無量綱系數(shù)：0.6001、-1.766、1.245、0.6235。

(12)

4 結(jié)果與討論

(13)

4.1 預(yù)測模型與數(shù)值模擬結(jié)果對比

構(gòu)建比例爆高為0.7的數(shù)值模型，獲取超壓時空分布圖，利用圖像處理軟件得到三波點相對于爆心的位置。利用軌跡預(yù)測模型計算三波點位置，同Jia法、Yi法計算結(jié)果及上述數(shù)值結(jié)果對比，如圖3所示。

圖3 預(yù)測模型、Jia法、Yi法及數(shù)值結(jié)果的三波點軌跡對比Fig.3 Comparison of triple point trajectory among the prediction model, Jia method, Yi method and numerical results

預(yù)測模型與Jia法結(jié)果相近，但前者更接近數(shù)值結(jié)果；Yi法結(jié)果相對于數(shù)值結(jié)果偏差較大。相同水平比距下，三波點高度大小為：Jia法>預(yù)測模型>數(shù)值結(jié)果>Yi法。Jia法與Yi法的相似系數(shù)大小關(guān)系與上述一致；預(yù)測模型中相似系數(shù)的來源與前述有差異，無法直接相互比較。Yi法中，相似系數(shù)關(guān)系由核爆和高能化爆實測結(jié)果確定，Jia法和預(yù)測模型則均由常規(guī)化爆獲取。前者爆炸產(chǎn)生的入射波能量遠(yuǎn)高于后者，從而前者反射波在遠(yuǎn)高于后者溫度、壓力等參數(shù)下傳播，導(dǎo)致三波疊加發(fā)生的時機快于后者，即馬赫反射入射角小于后者，使相似系數(shù)偏小。這表明相似系數(shù)與當(dāng)量和爆高有關(guān)。

4.2 預(yù)測模型與UFC三波點數(shù)據(jù)對比

利用軌跡預(yù)測模型計算比爆0.397、0.595、0.793、0.992、1.190、1.388六種工況時的三波點位置，并同Yi法和Jia法計算結(jié)果以及UFC三波點數(shù)據(jù)對比，如圖4所示。

圖4 不同比例爆高時預(yù)測模型、Jia法、Yi法及UFC的三波點軌跡對比Fig.4 Comparison of the triple point trajectory among prediction model, Jia method, Yi method and UFC method at different scaling height

由圖4可知，Yi法得到的三波點高度明顯偏低，是由于采用了較小的相似系數(shù)所致。前4種工況中，Jia法和預(yù)測模型結(jié)果都與UFC數(shù)據(jù)很接近，Jia法結(jié)果稍大于預(yù)測模型，而后者與UFC更接近，表明兩者均能有效預(yù)測三波點位置，但預(yù)測模型更準(zhǔn)確。后兩種工況中，Jia法結(jié)果偏離UFC數(shù)據(jù)較大，可能是由于超出了Jia法模型的適用范圍，而預(yù)測模型則仍很接近UFC數(shù)據(jù)。因此，總體上軌跡預(yù)測模型與UFC數(shù)據(jù)更加吻合。在比爆較小時(如0.595以內(nèi))預(yù)測模型對靠近爆心的三波點位置計算精確，Yi法和Jia法類似；而在遠(yuǎn)離爆心時，3種方法得到的三波點位置均隨水平比距的增加而稍偏離UFC數(shù)據(jù)。這是由于隨著真實三波點高度的增加，馬赫桿與地面的交點和馬赫桿上的三波點構(gòu)成的弧線的中心可能偏離了鏡像點P。3種方法在其他比爆中均存在類似問題。在其他比爆中還存在的共性問題是，三波點的初始計算結(jié)果相對于UFC的偏移量增大。這是由于采用了固定的縮放系數(shù)，而隨著爆高的增加，平齊于爆高的三波點處的入射角與馬赫反射起始入射角的關(guān)系發(fā)生了變化所致。通過調(diào)整縮放系數(shù)可減小預(yù)測模型在初始比距的相對偏差，但會使縮放系數(shù)項變復(fù)雜。

4.3 預(yù)測模型與實爆數(shù)據(jù)對比

利用文獻(xiàn)[1]實爆試驗得到的三波點數(shù)據(jù)進(jìn)一步驗證軌跡預(yù)測模型的可靠性，并同Jia法和Yi法計算結(jié)果對比，如圖5所示。

圖5 預(yù)測模型、Yi法及實爆結(jié)果的三波點軌跡對比Fig.5 The comparison of the triple point trajectory among the prediction model, Yi method and experimental results

文獻(xiàn)給出的水平比距9.49時三波點高度為2.2～2.3m，本研究取均值2.25m計算比例高度。實爆試驗的比例爆高為1.4235，在計算時將實際三波點坐標(biāo)(6.64，1.42)作為平齊于爆高的三波點位置，因此，該點的預(yù)測值縱坐標(biāo)與比例爆高相同。經(jīng)對比可知，橫坐標(biāo)的預(yù)測值小于實際值。除此之外，三波點預(yù)測爆高均大于實際值；Yi法計算結(jié)果均低于實際值；而Jia法可能由于超出了適用范圍，其計算結(jié)果遠(yuǎn)大于實際值?？傮w而言，預(yù)測模型結(jié)果與實爆三波點位置更吻合。

綜上所述，預(yù)測模型效果最佳，在比例爆高約為0.35至1.42之間的近場(水平比距不大于10)應(yīng)用時可靠性高。對于更高的比例爆高和更遠(yuǎn)的水平比距，目前缺乏足夠可信的三波點數(shù)據(jù)，預(yù)測模型的更大適應(yīng)性有待進(jìn)一步驗證。

5 結(jié) 論

(1)基于鏡像法得到了三波點的幾何約束，結(jié)合LAMB模型和迭代法，計算了平齊于爆高的三波點位置，得到了軌跡預(yù)測模型表達(dá)式；基于UFC三波點數(shù)據(jù)對表達(dá)式中的未知項系數(shù)進(jìn)行了多項式擬合，得到了三波點軌跡快速預(yù)測模型。

(2)利用數(shù)值結(jié)果、UFC三波點數(shù)據(jù)及實爆試驗數(shù)據(jù)測試了軌跡預(yù)測模型的效果，并同Yi法和Jia法計算結(jié)果進(jìn)行了對比。結(jié)果表明，預(yù)測模型與已有數(shù)據(jù)最接近，驗證了預(yù)測模型的可靠性。

(3)基于幾何約束得到的預(yù)測模型存在適用范圍。在比例爆高為0.35至1.42且水平比距不大于10時的軌跡預(yù)測結(jié)果的可靠性得到了驗證，對于預(yù)測模型在更廣工況上的適應(yīng)性有待進(jìn)一步驗證。