馬曉丹， 張春莉

(1.北京教育學(xué)院 初等教育學(xué)院， 北京 100120； 2.北京師范大學(xué) 教育學(xué)部， 北京 100875)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要特征是從已知到未知，從簡單到復(fù)雜，從具體到抽象，數(shù)學(xué)知識呈現(xiàn)的順序性使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能是隨意的，也不是所有的學(xué)科知識都具有這樣的層次性，數(shù)學(xué)可能是當(dāng)前被教的知識結(jié)構(gòu)中最具關(guān)聯(lián)性和層次性的學(xué)科，皮亞杰稱這些結(jié)構(gòu)為知識圖式。[1]于是，在很長的一段時間里，心理學(xué)領(lǐng)域有關(guān)圖式的研究大都會選擇數(shù)學(xué)問題作為典型樣例。問題解決學(xué)習(xí)相對于一般的樣例學(xué)習(xí)具有一定的特殊性，“問題解決學(xué)習(xí)更有利于數(shù)學(xué)高級認(rèn)知圖式的獲得?！盵2]這就不難理解，研究者為什么更傾向于用圖式來研究數(shù)學(xué)問題解決。

基于圖式理論的數(shù)學(xué)問題解決研究已取得諸多進展，如沃爾特斯基于圖式進行了算術(shù)問題解決的研究，[3]戴安娜·斯蒂爾和黛布拉·約翰在代數(shù)領(lǐng)域區(qū)分了學(xué)生問題解決圖式的兩種水平，[4]錢納潘在幾何領(lǐng)域探討了被學(xué)習(xí)者引入問題解決任務(wù)的幾何圖式。[5]這些研究雖已深入具體的內(nèi)容領(lǐng)域，但并沒有重視不同領(lǐng)域內(nèi)數(shù)學(xué)問題解決圖式在結(jié)構(gòu)上的共性，以及學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是如何進行重組、拓展和完善的。又如，已有研究指出，結(jié)構(gòu)良好的圖式能夠幫助學(xué)習(xí)者識別問題情境中的數(shù)量關(guān)系，既包括從特殊到一般的概括，又包括從一般到特殊的驗證。[4]這說明現(xiàn)有研究已關(guān)注到結(jié)構(gòu)完善的圖式有助于數(shù)學(xué)問題解決，但是基于圖式在結(jié)構(gòu)上的差異對圖式水平的劃分以及對不同水平數(shù)學(xué)問題的區(qū)分還是模糊的，不同圖式水平學(xué)習(xí)者的認(rèn)知過程還需進一步深入刻畫。

一、問題的提出

認(rèn)知結(jié)構(gòu)與認(rèn)知行為是數(shù)學(xué)問題解決的兩個重要方面。對學(xué)習(xí)者而言，圖式反映的是學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，是內(nèi)部的；認(rèn)知過程通過外顯行為來刻畫，是外部的。唯物辯證法認(rèn)為，外因通過內(nèi)因發(fā)揮作用。這就意味著，圖式與認(rèn)知過程之間存在著某種關(guān)聯(lián)。那么，圖式是如何影響數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知行為的？如何通過干預(yù)圖式的發(fā)展過程以促進數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知水平進階？隨著現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)和數(shù)學(xué)教育心理學(xué)的發(fā)展，當(dāng)前研究逐漸意識到：圖式本身存在著一定的層級關(guān)系，認(rèn)知過程亦是如此，圖式與認(rèn)知過程之間的對應(yīng)關(guān)系并非簡單的因果關(guān)系。

杜賓斯基等人的APOS理論(1)20世紀(jì)80年代末至90年代初美國的杜賓斯基等人創(chuàng)立了數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的APOS理論模型。該理論認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念是要進行心理建構(gòu)的，建構(gòu)過程要經(jīng)歷四個階段：操作或活動(action)階段、過程(process)階段、對象(object)階段、概型(schema)階段。以皮亞杰等人提出的圖式發(fā)展階段理論為基礎(chǔ)，解釋了數(shù)學(xué)概念從程序化的操作轉(zhuǎn)化為一個整體之后，進一步向更高層級的智慧技能轉(zhuǎn)化的過程。[6]在這一理論中，圖式經(jīng)歷的三種狀態(tài)分別是單個圖式、多個圖式和圖式的遷移。在修訂版的布盧姆教育目標(biāo)分類學(xué)中，認(rèn)知過程可以分為六類：記憶、理解、運用、分析、評價和創(chuàng)造。[7]這六個認(rèn)知過程代表了不同層次的思維水平。根據(jù)認(rèn)知的復(fù)雜程度不同，記憶、理解和運用被稱為低層次思維技能；分析、評價和創(chuàng)造被稱為高層次思維技能。[8]作為高層次思維培養(yǎng)載體的問題解決，高層次思維技能是與之密切相關(guān)的認(rèn)知過程。分析、評價、創(chuàng)造就是問題解決的三種認(rèn)知水平。[9]如果以APOS理論提出的圖式發(fā)展所經(jīng)歷的三種狀態(tài)為節(jié)點劃分不同的圖式水平，引發(fā)進一步思考的問題則是：不同的圖式水平與不同水平的認(rèn)知過程是如何對應(yīng)的？低水平的認(rèn)知過程是否只在較低的圖式水平存在？高水平的認(rèn)知過程是否只在較高的圖式水平存在？本研究期望通過實證研究的數(shù)據(jù)來揭示圖式水平與認(rèn)知過程的關(guān)系。

為此，本文提出如下研究問題：

(1)處于不同圖式水平的問題解決者的認(rèn)知過程是怎樣的？

(2)處于不同圖式水平的數(shù)學(xué)問題解決者的認(rèn)知過程表現(xiàn)出怎樣的共性與差異？

(3)從低水平圖式到高水平圖式的發(fā)展過程，數(shù)學(xué)問題解決者的認(rèn)知過程呈現(xiàn)出怎樣的趨勢？

二、研究設(shè)計

本研究以APOS理論提出的圖式發(fā)展所經(jīng)歷的三種狀態(tài)為節(jié)點，將圖式劃分為四級水平：(1)前圖式水平：未形成或形成部分可操作對象；(2)單一圖式水平：形成多個單一的可操作對象，即這些對象之間沒有建立起聯(lián)系；(3)多元圖式水平：能夠?qū)⒍鄠€單一圖式組合起來；(4)整合圖式水平：能夠作為一個整體遷移到新的情境中。本研究劃分圖式水平的目的在于刻畫不同圖式水平的數(shù)學(xué)問題解決者認(rèn)知過程，比較不同圖式水平的數(shù)學(xué)問題解決者的認(rèn)知水平，為數(shù)學(xué)問題解決學(xué)與教的研究奠定基礎(chǔ)。

(一)研究對象

為保證樣本的代表性，本研究綜合考慮師資力量和生源情況等因素，從G市選取普通校、中等校、優(yōu)質(zhì)校各一所，再從每所學(xué)校的七、八、九年級各選兩個平行班(均為各年級處于中游水平的普通班)，以這些班級的學(xué)生為研究對象，組織實施圖式水平調(diào)查和認(rèn)知水平測試。參與調(diào)查和測驗的總?cè)藬?shù)為861人。研究對象按學(xué)校和年級類型分布的情況如表1所示。

表1 各校、年級分布的樣本人數(shù)

其中，普通校、中等校、優(yōu)質(zhì)校分別占測試總?cè)藬?shù)的32.4%、32.9%、34.7%。七、八、九年級測試人數(shù)分別占測試總?cè)藬?shù)的31.8%、33.6%、34.6%。男生、女生分別占測試總?cè)藬?shù)的49.5%、50.5%。

本研究共收到有效問卷790份，這里的有效問卷對應(yīng)兩項測驗結(jié)果均有效的個案，有效個案數(shù)占被試總?cè)藬?shù)的91.8%。

(二)研究工具

考慮到圖式水平與認(rèn)知過程之間的對應(yīng)關(guān)系只有限定在同一類問題的解決時才有意義，本研究用于劃分圖式水平和評定認(rèn)知過程的工具也應(yīng)當(dāng)限定在同一類數(shù)學(xué)問題中。本研究以行程問題為載體，考查學(xué)生“能否根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，能否借助方程刻畫現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系”，以探明學(xué)習(xí)者在解決某一問題時圖式水平與認(rèn)知水平的對應(yīng)關(guān)系。

1.劃分圖式水平的調(diào)查問卷

為確定數(shù)學(xué)問題解決者的圖式水平，初步擬定三類問題征求專家意見，這三類問題覆蓋了行程問題的基本類型。通過對15名一線專家(12名初中高級教師，3名教研員)進行訪談，根據(jù)圖式水平界定標(biāo)定問題的測量水平；對標(biāo)定不一致的問題進行討論，9人及以上意見一致結(jié)束討論，最終明確用于劃分圖式水平的三類問題。

第一類問題考查行程問題中的相遇問題或追及問題，需要學(xué)習(xí)者建構(gòu)兩人行駛的路程之和(差)等于兩地之間距離的數(shù)量關(guān)系。這一類問題是相對獨立的，求解其中的任一題目，都不會影響到另一題目的求解。若學(xué)習(xí)者不能求解該類問題中的任一問題，表示學(xué)習(xí)者形成一個獨立的圖式存在困難，即未形成或形成部分可操作對象。這說明學(xué)習(xí)者僅處于前圖式水平。

第二類問題考查的是往返行程問題。這一類問題與第一類問題存在著一定的聯(lián)系。學(xué)習(xí)者在第一類問題的知識點之間建立聯(lián)系，并用路程的和與差的關(guān)系表示這一聯(lián)系。對于完成了第一類問題，卻不能求解第二類問題的情況，專家意見認(rèn)為學(xué)習(xí)者不能將第一類問題的知識點有效地組合起來，這代表他們的認(rèn)知結(jié)構(gòu)尚不能將相遇問題和追及問題組合在一起，只是形成了多個單一的操作對象，這些對象間卻沒有建立起聯(lián)系。這說明學(xué)習(xí)者處于單一圖式水平。

第三類問題將非封閉路徑中的行程問題遷移到環(huán)形跑道中，學(xué)習(xí)者在已形成的圖式的基礎(chǔ)之上，形成一個可遷移的整體，并將之遷移至新的問題情境中。專家認(rèn)為學(xué)生能夠求解第二類問題卻不能求解第三類問題的原因，主要在于封閉路徑的行程問題相對陌生，不能形成有效的遷移，或是學(xué)生仍然以線性思維對問題中的數(shù)量關(guān)系進行表征，形成了嚴(yán)重的思維定勢。這說明學(xué)習(xí)者處于多元圖式水平。

對于三類問題都能完成的學(xué)習(xí)者，他們不僅能夠?qū)⒁研纬傻亩鄠€可操作的對象組合起來，還能夠?qū)⑵渥杂傻剡w移到新的情境中。這說明學(xué)習(xí)者已達(dá)到整合圖式水平。

2.評定認(rèn)知水平的測試卷

學(xué)生認(rèn)知水平的評定是對學(xué)習(xí)者解決不同難度的數(shù)學(xué)問題時所反映出的認(rèn)知水平的綜合評定。僅用難度較小的題目或難度較大的題目都不能客觀地反映學(xué)習(xí)者的認(rèn)知水平。研究面向10名有經(jīng)驗的初中數(shù)學(xué)教師對試題難度進行預(yù)估(難度由低到高，按1～10記分)，保留試題難度均值在2～9分之間的題目。研究進一步考查了題目與擬評定的認(rèn)知水平的對應(yīng)程度。根據(jù)15位專家(其中包括數(shù)學(xué)教育專家7名，教育心理學(xué)專家5名，中學(xué)數(shù)學(xué)教研員3名)反饋的標(biāo)定結(jié)果與擬評定的認(rèn)知水平之間的一致性程度(由低到高，按1～5記分)，調(diào)整(更換題目)或拆分(一道題目可包含多個得分點)平均等級小于3.5分的題目，以保證試題的內(nèi)容效度。其中專家評定的依據(jù)結(jié)合具體的測評題目，并參考修訂版的布盧姆教育目標(biāo)分類學(xué)對認(rèn)知過程及其亞類的界定(表2)。

表2 《學(xué)生認(rèn)知水平測驗》的評定依據(jù)

續(xù)表2

最終確定將調(diào)整后的9道題目編制成《學(xué)生認(rèn)知水平測驗》問卷，共包含30個得分點。第1題用于評定學(xué)習(xí)者的分析水平，包括6個得分點；第2題用于評定學(xué)習(xí)者的評價水平，包括2個得分點；第3題用于評定學(xué)習(xí)者的評價、創(chuàng)造水平，包括3個得分點；第4題用于評定學(xué)習(xí)者的分析、評價水平，包括5個得分點；第5題用于評定學(xué)習(xí)者的評價水平，包括2個得分點；第6題用于評定學(xué)習(xí)者的評價、創(chuàng)造水平，包括6個得分點；第7題用于評定學(xué)習(xí)者的評價水平，包括2個得分點；第8題用于評定學(xué)習(xí)者的分析水平，包括2個得分點；第9題用于評定學(xué)習(xí)者的創(chuàng)造水平，包括2個得分點。每個得分點按0、1兩級記分，滿分30分。其中，考查分析的題目共計12分，考查評價的題目共計10分，考查創(chuàng)造的題目共計8分。

研究分圖式水平調(diào)查和認(rèn)知水平測驗兩個階段進行。圖式水平調(diào)查用時30分鐘。一周以后進行認(rèn)知水平測驗，測驗分兩次進行，間隔兩天，每次測驗用時30分鐘。

《學(xué)生認(rèn)知水平測驗》的Cronbach’α系數(shù)為0.908，說明該測驗具有較高的內(nèi)部一致性信度。

三、研究結(jié)果

(一)隨著圖式水平的提高，學(xué)生人數(shù)呈逐級下降的趨勢

通過分析學(xué)習(xí)者解決三類行程問題的過程(表征方式、數(shù)量關(guān)系等)，將學(xué)習(xí)者劃分為四級水平。如表3所示，處于前圖式水平的學(xué)生人數(shù)為252人，占有效個案總數(shù)的31.9%；處于單一圖式水平的學(xué)生人數(shù)為226人，占有效個案總數(shù)的28.6%；處于多元圖式水平的學(xué)生人數(shù)為172人，占有效個案總數(shù)的21.8%；處于整合圖式的學(xué)生人數(shù)為140人，占有效個案總數(shù)的17.7%。從較低的圖式水平到較高的圖式水平，學(xué)生人數(shù)所占的比例總體呈現(xiàn)出逐級下降的趨勢。

表3 不同圖式水平樣本分布情況的描述性統(tǒng)計

(二)學(xué)生認(rèn)知過程的發(fā)展受到圖式水平發(fā)展的影響

進一步通過學(xué)習(xí)者在不同認(rèn)知過程中的表現(xiàn)，或是在某一認(rèn)知過程中達(dá)到的高度來衡量認(rèn)知水平。對各認(rèn)知過程的得分按照滿分為1進行標(biāo)準(zhǔn)化，即用學(xué)習(xí)者在某一認(rèn)知過程中的實際得分與該認(rèn)知過程中滿分的比值來反映該學(xué)習(xí)者在這一認(rèn)知水平上的表現(xiàn)。具體來說，用分析活動實際得分與分析活動的滿分(12分)的比值來刻畫分析水平；用評價活動實際得分與評價活動滿分(10分)的比值來刻畫評價水平；用創(chuàng)造活動實際得分與創(chuàng)造活動的滿分(8分)的比值來刻畫創(chuàng)造水平。下文將標(biāo)準(zhǔn)化后的得分簡稱“得分”。

將790名有效個案分為四組，每組個案的某一認(rèn)知水平用這組個案在這一認(rèn)知活動中的得分均值來表示。然后將處于不同圖式水平的學(xué)習(xí)者在不同認(rèn)知活動(分析、評價、創(chuàng)造)中的得分均值統(tǒng)計在表4中。

表4 不同圖式水平的樣本在《學(xué)生認(rèn)知水平測驗》中認(rèn)知活動的得分均值

從表4可知，認(rèn)知過程的發(fā)展會受到圖式發(fā)展的影響，處于較高圖式水平的學(xué)習(xí)者在各個認(rèn)知過程中的成績均高于較低圖式水平的學(xué)習(xí)者在相應(yīng)認(rèn)知過程中的成績。

四、討 論

(一)多種認(rèn)知過程共同促進學(xué)習(xí)者對數(shù)學(xué)問題的解決

修訂版目標(biāo)分類學(xué)為去情境化的認(rèn)知過程描繪了清晰的范圍和邊界，這使得不同認(rèn)知過程之間有著明確的界限，也就是認(rèn)知過程的互斥性。[7]但清晰的概念界定并不意味著多種認(rèn)知過程不能共存。諸如“低階認(rèn)知水平發(fā)展完全才開始發(fā)展高階認(rèn)知水平”的觀點無疑是對“互斥性”的誤讀。需要進一步思考的是，這些認(rèn)知過程在情境化的條件下又是如何發(fā)揮作用的呢？凱斯等曾指出數(shù)學(xué)問題解決者可以通過閱讀題干、找到重要信息或分段等方式理解問題。[10]普雷斯利等[11]提出畫圖、列清單、列表或者找到更簡單的例子等方式能夠幫助實施一個計劃。這種借助圖形、表格、模型等外部形式表征問題的方式，可以大大減輕工作記憶的負(fù)擔(dān)。[12]除此之外，高曼還將一些監(jiān)控數(shù)學(xué)問題解決活動的元認(rèn)知過程作為數(shù)學(xué)問題解決的一部分。[13]可見，數(shù)學(xué)問題解決活動包括多種認(rèn)知過程，它是數(shù)學(xué)智慧技能中最高層次的學(xué)習(xí)結(jié)果，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最為復(fù)雜的認(rèn)知過程。本研究進一步發(fā)現(xiàn)，處于較低圖式水平的學(xué)習(xí)者，其解題行為中也存在著較高水平的認(rèn)知行為，如評價活動和創(chuàng)造活動，盡管在這兩個認(rèn)知活動中的得分均值低于分析活動；處于較高圖式水平的學(xué)習(xí)者，其解題行為中仍保留著略低水平的認(rèn)知行為，如分析活動，并且學(xué)習(xí)者在分析活動中的得分均值仍高于評價活動和創(chuàng)造活動?？偟膩碚f，處于不同圖式水平的學(xué)習(xí)者在解決數(shù)學(xué)問題時都表現(xiàn)出不止一種認(rèn)知行為，多種認(rèn)知過程共同作用于不同圖式水平的數(shù)學(xué)問題，分析、評價、創(chuàng)造三個水平所對應(yīng)的外顯行為是相互協(xié)作的，多種認(rèn)知過程共同促進有意義的問題解決學(xué)習(xí)。

(二)創(chuàng)造在任一圖式水平的問題解決中都代表最高層次的認(rèn)知過程

本研究發(fā)現(xiàn)，創(chuàng)造對于任一圖式水平的學(xué)習(xí)者都是最高層次的認(rèn)知過程，其次是評價，最后是分析。認(rèn)知過程層次的高低與學(xué)習(xí)者在不同認(rèn)知過程中的得分情況恰好是相反的，即學(xué)習(xí)者往往在層次相對較低的認(rèn)知過程中獲得更高的分?jǐn)?shù)，而在層次相對較高的認(rèn)知過程中獲得較低的分?jǐn)?shù)。這一特點表現(xiàn)在任何一級的圖式水平中，即處于任一圖式水平的學(xué)習(xí)者，各過程的得分均值呈現(xiàn)出一個共同趨勢，從分析過程到評價過程，再到創(chuàng)造過程，得分均值由高到低。與之相反的是，分析、評價、創(chuàng)造所反映的認(rèn)知層次是由低到高的?？梢姡瑒?chuàng)造相對于分析、評價過程來說，是更高層次的認(rèn)知過程，創(chuàng)造所對應(yīng)的外顯行為對于數(shù)學(xué)問題解決者來說是更難習(xí)得的。拉姆斯戴恩的研究可以間接解釋這一結(jié)論，通?；诜治鲂缘幕虺绦蛐缘姆椒▉硗瓿傻膯栴}解決，幾乎完全采用左腦思維的方式，可以通過學(xué)校常用的講授法來學(xué)習(xí)。然而，創(chuàng)造性的問題解決是一個鼓勵整個大腦以最有效的順序進行迭代思考的框架，它本質(zhì)上是合作的，當(dāng)它以團隊的形式完成時往往最具有創(chuàng)造力。[14]運用大容量的知識組塊進行思維，能有助于問題解決時在短時記憶容量范圍內(nèi)進行思維操作，有助于心理視野的開闊和提高創(chuàng)造性。[15]因此，創(chuàng)造是一個高級的認(rèn)知過程，要想達(dá)到數(shù)學(xué)問題解決的創(chuàng)造水平需要左右腦之間相互協(xié)調(diào)，需要個體與他人的相互合作。

(三)從低水平圖式到高水平圖式的過程是多種認(rèn)知過程并行發(fā)展的過程

已有研究尚未對認(rèn)知過程的發(fā)展路徑達(dá)成共識。早期的觀點認(rèn)為學(xué)習(xí)者在達(dá)到較低的認(rèn)知水平之后，才開始發(fā)展較高水平的認(rèn)知過程；而新近的一些觀點指出低水平的認(rèn)知過程仍會出現(xiàn)在高水平的認(rèn)知過程中，并可能從中得到進一步的發(fā)展。本研究發(fā)現(xiàn)，處于較高圖式水平的學(xué)習(xí)者在不同認(rèn)知活動(分析、評價、創(chuàng)造)中的得分均值均高于較低圖式水平的學(xué)習(xí)者，即高圖式水平的學(xué)習(xí)者在分析、評價和創(chuàng)造三個認(rèn)知過程中都會有更好的表現(xiàn)。這一實證研究的結(jié)論間接證實了學(xué)習(xí)者在各個認(rèn)知活動中的表現(xiàn)會隨著圖式的發(fā)展而進步，其原因在于處于較高圖式水平的學(xué)習(xí)者采取了更為豐富和有效的行動。正如凱澤等人提出的數(shù)學(xué)能力強的學(xué)生所偏愛的幾種表現(xiàn)[16]：(1)使用復(fù)雜的策略；(2)有效的程序性知識；(3)能夠靈活運用的策略。此外，較高的圖式水平還能促進問題的深層結(jié)構(gòu)表征。[17]這都說明聯(lián)系的多樣性、規(guī)則的操作性以及思維的敏捷性是圖式水平高的表現(xiàn)，同時也是影響數(shù)學(xué)問題解決認(rèn)知過程的重要因素。因此，學(xué)習(xí)者從低水平圖式到高水平圖式的過程，也是分析、評價和創(chuàng)造并行發(fā)展的過程。具體來說，較高圖式水平的學(xué)習(xí)者，其分析過程會在區(qū)分出有關(guān)部分與無關(guān)部分、重要部分與不重要部分的基礎(chǔ)之上，進一步發(fā)展為能夠確定與題解相關(guān)或重要的要素所構(gòu)成的總體結(jié)構(gòu)，明確某一要素在結(jié)構(gòu)中的適合性或功能，能夠挖掘題干中的隱含條件，明確所有條件的設(shè)計意圖；其評價過程會在檢驗解題計劃中的內(nèi)部矛盾或錯誤之處的基礎(chǔ)上，進一步發(fā)展為能夠基于明確的外部準(zhǔn)則和標(biāo)準(zhǔn)對不同的解題程序作出評判；其創(chuàng)造活動會在提出各種可能的解決方案的基礎(chǔ)上，進一步發(fā)展為能夠建立問題解決的子目標(biāo)或步驟，執(zhí)行問題解決的子目標(biāo)或步驟。

五、結(jié)論與建議

綜上，本研究得到以下結(jié)論：第一，多種認(rèn)知過程同時存在于不同圖式發(fā)展階段的數(shù)學(xué)問題解決中，從較低的圖式發(fā)展水平到較高的圖式發(fā)展水平，分析、評價、創(chuàng)造活動貫穿于數(shù)學(xué)問題解決的始終。第二，創(chuàng)造對任一圖式水平的學(xué)習(xí)者都是最高層次的認(rèn)知過程，其次是評價過程，最后是分析過程。第三，從低水平圖式到高水平圖式的過程是多種認(rèn)知過程并行發(fā)展的過程，處于較高圖式水平的學(xué)習(xí)者通常在各個認(rèn)知過程中都有更好的表現(xiàn)。

基于以上研究結(jié)論，我們對當(dāng)前數(shù)學(xué)問題解決的學(xué)與教提出如下建議：數(shù)學(xué)問題解決的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)遵循圖式的發(fā)展規(guī)律，由于學(xué)習(xí)者從低水平圖式到高水平圖式的發(fā)展過程是不可逾越的，其圖式水平不可能從前圖式水平直接發(fā)展為整合圖式水平，而是逐級進行的，不同水平的圖式將是發(fā)展為更高水平圖式的內(nèi)部條件；數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)應(yīng)當(dāng)是分階段進行的，從前圖式水平到單一圖式水平、從單一圖式水平到多元圖式水平、從多元圖式水平再到整合圖式水平分別對應(yīng)數(shù)學(xué)問題解決的不同教學(xué)階段，各階段應(yīng)當(dāng)匹配怎樣的外部條件以促進認(rèn)知水平的提升是未來數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)的研究方向。