楊帆 徐盛瑛

摘 要：在實(shí)際教學(xué)中，建模教學(xué)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)指導(dǎo)下初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，是數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)踐生活、數(shù)學(xué)聯(lián)系其他學(xué)科的重要紐帶。本文從數(shù)學(xué)建模教學(xué)的背景、現(xiàn)狀、具體的課例實(shí)踐三個(gè)方面對初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的嘗試和研究進(jìn)行闡述，并提出了自己的看法和將來的研究方向。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng) 數(shù)學(xué)建模

自“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”被專家提出以來，關(guān)于其核心素養(yǎng)基于數(shù)學(xué)知識技能，又高于具體的數(shù)學(xué)知識技能的說法已經(jīng)被廣大師生認(rèn)可，因而如何讓其在初中數(shù)學(xué)教學(xué)得到施行的研究和探索已經(jīng)迫在眉睫。

而“數(shù)學(xué)建?！币恢币詠肀徽J(rèn)為是數(shù)學(xué)能力體現(xiàn)的核心內(nèi)容，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)應(yīng)用的“靈魂”。如何開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)，如何在課程設(shè)計(jì)中體現(xiàn)建模教學(xué)的意義，如何提高學(xué)生建模意識和能力，也正成為為一線教師和理論研究者關(guān)注的要點(diǎn)之一。

一、研究的實(shí)際背景：

1.課堂教學(xué)的需求：

案例1：只會(huì)“背公式”的“優(yōu)等生”

小Y在小學(xué)里一直被認(rèn)為是最優(yōu)秀的孩子，從小參加各種校外競賽，多次獲獎(jiǎng)，數(shù)學(xué)成績更是“永遠(yuǎn)的第一名”，但是進(jìn)入到初中以來，成績不太理想，屢屢被認(rèn)為“速度慢，理解能力偏弱”。多次與其交流后，小Y流著淚哭訴：“可不可以讓老師多給我?guī)滋最}？我回去肯定會(huì)用功背出來的，一看到題就能把答案默出來的。絕對不會(huì)再錯(cuò)了……”

在小Y的心中，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是“背公式”“默答案”，而事實(shí)上，我們有的老師也確實(shí)在進(jìn)行這樣的“課堂教學(xué)”。尤其是數(shù)學(xué)應(yīng)用題，不斷強(qiáng)化這個(gè)是“效率問題”、這是“飲馬問題”、這是“相遇問題”，并認(rèn)為這樣把數(shù)學(xué)應(yīng)用性問題分好“模型”，就是“建模教學(xué)”了，而老師只要讓學(xué)生背出這些“模型的公式”，就完成了培養(yǎng)學(xué)生的“建模能力”。

這樣的教學(xué)顯然不能滿足社會(huì)、學(xué)校、家長和學(xué)生對數(shù)學(xué)教學(xué)的要求，如何讓孩子們掌握解決實(shí)際問題的能力，是我們必須面對的問題。

2.終生學(xué)習(xí)的需求：

案例2：數(shù)學(xué)與買菜

小B是個(gè)聰明的孩子，家里剛農(nóng)改居，家里的學(xué)習(xí)條件也比較好，卻不愿意學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并且不止一次在公開場合和數(shù)學(xué)老師叫板“出了這個(gè)校門初中數(shù)學(xué)有什么用？買菜還用的到函數(shù)？”

有小B想法的人不只一個(gè)，甚至個(gè)別老師自己也有著“數(shù)學(xué)無用論”的思想。數(shù)學(xué)有沒有用？數(shù)學(xué)有什么用？數(shù)學(xué)能解決什么問題？在當(dāng)今大數(shù)據(jù)、終生學(xué)習(xí)的背景下，如何讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得有用？數(shù)學(xué)建模必定是一個(gè)重要的方向和手段。

二、相關(guān)概念及數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用的理論依據(jù)

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)：新的課程標(biāo)準(zhǔn)中，給出了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六個(gè)主要方面，即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)可以理解為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)達(dá)成的有特定意義的綜合性能力，核心素養(yǎng)并不是指具體的知識與技能，也不是一般意義上的數(shù)學(xué)能力，它反映數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中形成的，具有綜合性、整體性和持久性。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)和內(nèi)容直接相關(guān)，對于理解數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)，以及展開數(shù)學(xué)評價(jià)等有著重要的意義和價(jià)值。

數(shù)學(xué)建模：數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象、用數(shù)學(xué)語言表達(dá)、用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程。主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、構(gòu)建模型、求解結(jié)論，驗(yàn)證結(jié)果并改建模型，最終解決實(shí)際問題。

三、研究的實(shí)踐操作

1.教學(xué)的現(xiàn)狀

在研究的初始，我們對在校部分師生進(jìn)行了網(wǎng)絡(luò)無記名問卷調(diào)查，就大家對數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識進(jìn)行了解。情況如表1：

在調(diào)查中，我們發(fā)現(xiàn)：大多數(shù)學(xué)生和相當(dāng)一部分的非專業(yè)老師不知道數(shù)學(xué)建模，大多數(shù)人包括很大一部分?jǐn)?shù)學(xué)教師都沒有真的接觸、了解過“什么是建?！保挥胁坏?0%的初中數(shù)學(xué)教師表示在大學(xué)期間接觸過數(shù)學(xué)建模，其中大多數(shù)對數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識停留在“聽說過”的程度。而在聽說過建模的師生中，大約有65%的人認(rèn)為：數(shù)學(xué)建模就是做應(yīng)用題;約有25%的人認(rèn)為數(shù)學(xué)建模就是編程，只有很少一部分人認(rèn)為：建模是“用數(shù)學(xué)的方式?jīng)Q策問題”。對于不了解的東西我們可能會(huì)覺得離我們很遠(yuǎn)，還很有可能也會(huì)把這種認(rèn)識傳遞給學(xué)生，對建模教學(xué)的開展十分不利。

同時(shí)，我們還發(fā)現(xiàn)：對與初中生而言，即使是很大一部分的頂尖的學(xué)生，在開始進(jìn)入初中階段學(xué)習(xí)后，才逐步脫離純數(shù)字的約束，進(jìn)而掌握代數(shù)式、方程、一般幾何圖形等數(shù)學(xué)基本知識，而函數(shù)的理解、算法的掌握，都是比較初淺的。

針對以上情況，我們認(rèn)為：初中數(shù)學(xué)建模的教學(xué)，應(yīng)該更多的關(guān)注在師生建模意識的培養(yǎng)上。

2.研究的思路

本次研究的思路框架如下：

3.課例的具體研究

（1）新授課的研究：

在新授課中，我們主要關(guān)注模型的引入，主要經(jīng)歷兩個(gè)階段：

其中，模型的準(zhǔn)備主要是指：把具體的生活情景、問題，抽象成數(shù)學(xué)問題。如：代數(shù)式的學(xué)習(xí)、平面直角坐標(biāo)系的建立、基礎(chǔ)幾何圖形的發(fā)現(xiàn)、統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的理解等等。

案例3學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系

問題：要開家長會(huì)了，小明要把自己的座位告訴媽媽，并簡單的記在小紙條上，提醒媽媽不要忘記。小明應(yīng)該怎么做呢？

生a：小明先要告訴媽媽自己在第幾排的第幾個(gè)座位。

師：那么小明告訴媽媽自己坐在第3排第5個(gè)位子，這樣嗎？

生b：還要告訴媽媽從哪邊開始數(shù)的，從門口開始數(shù)第三排第五個(gè)位子。

師：那么小明會(huì)在小紙條上寫“從門口數(shù)，第三排第五個(gè)位子”這樣嗎？

生c：不用的。只要寫個(gè)3，5就可以了，和媽媽說一聲從門口開始數(shù)，從前向后數(shù)就好了。

師：c說得很有建設(shè)性，我們只要約定好計(jì)數(shù)的方式，就能用一對有序的數(shù)對來對應(yīng)平面上的一個(gè)位置了。我們也可以你還有這樣的例子嗎？

從上述案例中，我們從生活情景出發(fā)，把具體的生活情景抽象成數(shù)學(xué)問題。把生活問題變成數(shù)學(xué)問題，正是數(shù)學(xué)建模的第一步。

而對于基本模型學(xué)習(xí)，在初中階段我們主要是指方程、函數(shù)、不等式、基本統(tǒng)計(jì)模型。在具體的課例研究中，我們關(guān)注到，對于不同的教材，同一個(gè)模型也會(huì)從不同的角度出發(fā)，來研究這個(gè)模型?，F(xiàn)在我們以一次函數(shù)為例：

① 一次函數(shù)（浙教版）

在浙教版中一次函數(shù)在概念給出前，先讓學(xué)生從簡單實(shí)際問題中尋找變量之間的數(shù)量關(guān)系，用解析法、列表法、圖像法分別表示同一數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生形成函數(shù)概念;讓后通過歸納：“一般地，函數(shù)y=kx+b（k、b都是常數(shù)，且k≠0），叫做一次函數(shù)?！?/p>

在此過程中，學(xué)生主要從量的關(guān)系上理解一次函數(shù)。經(jīng)歷了“抽象——表達(dá)——轉(zhuǎn)化”的過程，對特定函數(shù)——一次函數(shù)的學(xué)習(xí)是從一般到特殊的演繹過程，從多種同類型關(guān)系——一次函數(shù)是從特殊到一般的歸納過程。

② 一次函數(shù)（蘇教版）

在蘇教版中，一樣是先學(xué)習(xí)函數(shù)的感念，不同的是，在學(xué)習(xí)一次函數(shù)前，重新給出了實(shí)例，再從特殊的例子，重新推廣到一次函數(shù)的關(guān)系，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)模型——一次函數(shù)對生活中實(shí)例的表達(dá)作用。

值得關(guān)注的是，在蘇教版本章節(jié)的章前語中，出現(xiàn)了一個(gè)彈簧測重實(shí)驗(yàn)的例子，這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生會(huì)經(jīng)歷“數(shù)據(jù)收集——數(shù)據(jù)處理——關(guān)系猜測——指導(dǎo)結(jié)果——驗(yàn)證關(guān)系”，這個(gè)過程和我們數(shù)學(xué)建模的過程非常相似。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)對學(xué)生數(shù)學(xué)建模意思的形成是一定幫助的。

③ 一次函數(shù)（人教版）

與前面兩個(gè)版本不同，人教版先讓大家學(xué)習(xí)了一次函數(shù)的特例——正比例函數(shù)，走過“具體實(shí)例——函數(shù)關(guān)系——圖像產(chǎn)生——性質(zhì)發(fā)現(xiàn)”的路徑。接下來一次函數(shù)，同樣的路再走一次?？梢灶A(yù)見在學(xué)習(xí)其他函數(shù)的過程我們也可以走同樣的路。

這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，對于學(xué)生掌握一般的探索函數(shù)性質(zhì)的步驟方法很有指導(dǎo)作用。但同時(shí)，也更關(guān)注學(xué)生的模仿能力，存在忽略掉學(xué)生開放式思考問題的可能性。如果不考慮創(chuàng)新性和反套路的“破匠式”要求，這是一種非常有效的學(xué)習(xí)手段和途徑。

我們發(fā)現(xiàn)，不是說哪一種版本的教學(xué)設(shè)計(jì)一定優(yōu)于其他，我們在實(shí)際教學(xué)中，應(yīng)該注意到模型學(xué)習(xí)和模式解題的動(dòng)態(tài)平衡，達(dá)到教學(xué)的效果。

4.習(xí)題課的研究：

案例4一道練習(xí)題的分析

這是九年級綜合訓(xùn)練中的一道題：

如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=5.一把三角尺的直角頂點(diǎn)P在線段AD上滑動(dòng)（點(diǎn)P與A，D不重合），一直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)C，另一直角邊與射線AB交于E。當(dāng)E在線段AB上時(shí)，求PD的取值范圍。

在這道題的講解中，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)：隨著E點(diǎn)在AB上的運(yùn)動(dòng)，引起了PD的長度變化，一個(gè)量變化引起另一個(gè)量的變化，這是典型的函數(shù)特征。那么我們就可以把這個(gè)這個(gè)幾何長度問題轉(zhuǎn)換成由函數(shù)值域求自變量取值范圍的問題：

在上述問題中，我們經(jīng)歷了“幾何問題——>函數(shù)問題——>方程問題——>不等式問題——>幾何問題”多種數(shù)學(xué)基本模型之間的切換，這些數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)換都是基于問題解決的目的和基本模型的熟練掌握。這些訓(xùn)練和準(zhǔn)備都為之后模型意識的形成做好了準(zhǔn)備。

5.實(shí)踐課的研究：

學(xué)生是否已經(jīng)開始真正用建模的思想方法來解決問題，是一個(gè)漫長的過程。不但需要我們的耐心等待，還需要我們的時(shí)刻關(guān)注和發(fā)現(xiàn)。

案例5探究物體自由地沿著斜面做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，路程與時(shí)間的關(guān)系

此題原為浙教版數(shù)學(xué)九年級上冊二次函數(shù)部分的一道設(shè)計(jì)題。許多教師不太重視課本中出現(xiàn)的設(shè)計(jì)題，認(rèn)為沒有必要做，考試也不會(huì)考。其實(shí)這道設(shè)計(jì)題在學(xué)生對二次函數(shù)這種函數(shù)關(guān)系與反比例函數(shù)、一次函數(shù)的比較，對函數(shù)的理解都有著不可取代的作用。同時(shí)對于培養(yǎng)今后可能進(jìn)行的數(shù)學(xué)研究中，應(yīng)持有的正確科學(xué)的方法、態(tài)度，也起著重要的作用。

雖然在學(xué)生的實(shí)驗(yàn)報(bào)告中，我們有可能看到的是“不理想”的結(jié)果，但其中蘊(yùn)藏的巨大財(cái)富是解幾道“設(shè)計(jì)過”的函數(shù)應(yīng)用題無法比擬的。同時(shí)也讓學(xué)生更深刻感受到：在建模中，模型的檢驗(yàn)也是必不可少的。

案例6：小江的物理問題的解決。

這是九年級小江同學(xué)遇到的一道物理杠桿問題：一根長3米的繩子拉住一根4米高的豎直電線桿的A點(diǎn)，另一端系在地面的木樁B上，電線桿上端C拉有水平的電線。問A點(diǎn)多高是，繩子對桿的拉力最??？

在物理老師講解題目后，大多數(shù)同學(xué)把答案記錄下來，當(dāng)OA=OB時(shí)，拉力最小，因?yàn)檫@個(gè)時(shí)候，O到AB的距離（力矩）最大。只有小江同學(xué)還是苦思冥想，為什么這個(gè)時(shí)候力矩最大呢？直到這天中午，他拉著另一個(gè)同學(xué)到數(shù)學(xué)這里求證他的思考是否正確。

在這里，AB是確定的長（3米），∠AOB是確定的角（直角），也就是一個(gè)“定弦定角”的圓上動(dòng)點(diǎn)問題。如右圖，當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到弧AB的中點(diǎn)時(shí)，O到AB的距離最大。如果下次∠AOB不是直角，只要是一個(gè)固定角，都能有這個(gè)模型解決問題。

在剛才的案例里，并沒有人要小江同學(xué)來解決這個(gè)關(guān)于圓的數(shù)學(xué)問題，是他自發(fā)的，用數(shù)學(xué)的思想、數(shù)學(xué)的模型來解釋和解決其他問題。

四、研究的成效和反思

1.實(shí)踐效果

（1）教學(xué)理解能力的提升

① 三種課型的相互聯(lián)系：

對于新授課、練習(xí)講評課、實(shí)踐應(yīng)用三種課型關(guān)注點(diǎn)雖然不同，但也不應(yīng)該是孤立分開的，而是交織在一起，共同作用的。

通過新授課和練習(xí)講評課的設(shè)計(jì)教學(xué)讓學(xué)生形成模型意識，從而指導(dǎo)實(shí)踐的應(yīng)用。

② 教學(xué)設(shè)計(jì)的一般模式：

在教學(xué)設(shè)計(jì)中，應(yīng)該關(guān)注學(xué)生一般認(rèn)識邏輯，可以采用“直觀——抽象——轉(zhuǎn)化”的模式。先給學(xué)生以直觀的模型認(rèn)識;讓其在實(shí)際問題中學(xué)會(huì)抽象出數(shù)學(xué)問題;把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成模型問題。

③ 評價(jià)方式的客觀表述：

如何評級一個(gè)學(xué)生的建模水平，是建模教學(xué)中應(yīng)當(dāng)關(guān)注的問題。針對這個(gè)問題，筆者認(rèn)為可以從“是否能發(fā)現(xiàn)模型——是否能建立模型——是否解決了問題”三個(gè)層次對學(xué)生的建模水平做出評價(jià)。對于初級層次的同學(xué)來說，能發(fā)現(xiàn)問題中的模型就可以了;但到了高級層次，還是要關(guān)注其最后是否能用這些數(shù)學(xué)模型知識來解決問題。

（2）學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升

數(shù)學(xué)建模教學(xué)在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的融入，使師生更加關(guān)注實(shí)際問題的數(shù)學(xué)性，如存在性、單調(diào)性等，對于學(xué)生的讀題能力、解題能力的提升十分顯著。

對數(shù)學(xué)建模教學(xué)的關(guān)注，會(huì)讓教師更多關(guān)注“引例”的作業(yè)，對多種同類型生活實(shí)例進(jìn)行優(yōu)選，學(xué)生的參與感、投入感更強(qiáng)，覺得“學(xué)數(shù)學(xué)是有用的”，對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情也有顯著的提高。尤其是實(shí)踐課，讓學(xué)生更喜歡數(shù)學(xué)課了。

（3）其他學(xué)科的融合發(fā)展

數(shù)學(xué)建模教學(xué)不但發(fā)展了師生的數(shù)學(xué)能力，還造福了其他學(xué)科。以科學(xué)為例，參與建模教學(xué)關(guān)注的班級中，科學(xué)（特別是物理部分）的平均成績得分率總體比同類型其他班級高了3個(gè)百分點(diǎn)。得到了其他老師的支持和好評。

2.反思和新的研究方向

在本次實(shí)踐研究中，我們發(fā)現(xiàn)在實(shí)際教學(xué)中，有的學(xué)生已經(jīng)開始有了模型意識，嘗試用數(shù)學(xué)方法來解決問題，但最后沒有解決問題，嚴(yán)重打擊了繼續(xù)學(xué)習(xí)的信心，其主要表現(xiàn)在：

（1）會(huì)建不會(huì)解

（2）解得不聰明

（3）實(shí)踐機(jī)會(huì)少

究其原因，大多數(shù)學(xué)生出現(xiàn)的無法解出其自己提出的問題，是因?yàn)榻獾姆椒ú粔蚝?，給自己增加很很多困難，有的學(xué)生到后來自己放棄了自己初建的模型。同時(shí)，沒有很多的實(shí)踐機(jī)會(huì)，喪失了繼續(xù)訓(xùn)練提升的機(jī)會(huì)。

針對我們這次研究中出現(xiàn)的問題，我們發(fā)現(xiàn)，光有模型的意識還是不夠的，還需要能“動(dòng)手”的能力。針對“會(huì)見不會(huì)解”“解得不聰明”等問題，怎么“算”出模型的結(jié)果，即基于高階思維的運(yùn)算能力的提升應(yīng)該是我們接下來要研究的方向。

而針對實(shí)踐機(jī)會(huì)少的問題，我們正在考慮和其他學(xué)科（如物理）進(jìn)行夸學(xué)科的聯(lián)合研究，共同提升師生水平。

本次研究已經(jīng)接近尾聲。但是教學(xué)研究沒有終點(diǎn)，我們會(huì)一直在路上。

參考文獻(xiàn)

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（余杭區(qū)杭州二中樹蘭實(shí)驗(yàn)學(xué)校）