徐想平

體積與容積是小學(xué)數(shù)學(xué)中比較抽象的核心概念，也是小學(xué)階段研究物體體積度量的重要起點(diǎn)。通過(guò)前測(cè)調(diào)研，筆者發(fā)現(xiàn)造成學(xué)生認(rèn)識(shí)體積的障礙有兩個(gè)：“空間”和“占空間”比體積本身更難感受和理解;“表面積”和“質(zhì)量”是干擾體積概念表象建立和內(nèi)涵理解的重要因素。此外，體積和容積這兩個(gè)概念有很多相似之處，容易混淆。如何設(shè)計(jì)有效的學(xué)習(xí)路徑，幫助學(xué)生突破難點(diǎn)和障礙，在概念的建構(gòu)中培養(yǎng)空間觀念、發(fā)展高階思維呢？

—、圍繞“比較”，在問(wèn)題解決中建構(gòu)概念本質(zhì)

在“圖形與幾何”領(lǐng)域中，無(wú)論是周長(zhǎng)、面積還是體積的計(jì)算，都屬于求“積”問(wèn)題。對(duì)求“積”問(wèn)題的本質(zhì)認(rèn)識(shí)一般都源于“比較”。因此，體積和容積概念的學(xué)習(xí)活動(dòng)應(yīng)圍繞“比較”展開(kāi)。

筆者認(rèn)為，幫助學(xué)生建構(gòu)體積概念一般分為三個(gè)層次：感知物體占有一定的空間;感知物體所占空間有大有小;感知所占空間的大小是可以分辨和確定的。課上，筆者首先引導(dǎo)學(xué)生把桌斗清空，伸出雙手去摸一摸桌斗，感受一下桌斗的空間;然后讓學(xué)生把一摞書(shū)放進(jìn)去，再摸一摸桌斗的空間，初步感知空間大小的變化。這樣的想象、知覺(jué)活動(dòng)讓學(xué)生清晰地感受到“空間”以及“物體是占空間的”。

比較物體所占空間的大小一般分為兩個(gè)層次：一是直接通過(guò)目測(cè)觀察就可以分辨出來(lái)的物體體積的比較，如比較空調(diào)、水杯、乒乓球這三個(gè)物體所占空間的大小。教學(xué)中，筆者通過(guò)“看、找、想、說(shuō)”的活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷目測(cè)觀察和用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述的過(guò)程，使學(xué)生初步感知物體不僅占空間，而且它們所占的空間還有大小之分。在此基礎(chǔ)上，筆者演示吹氣球的過(guò)程，讓學(xué)生通過(guò)仔細(xì)觀察感悟：不僅固體占空間，氣體也占空間，且氣球內(nèi)氣體所占的空間會(huì)隨著吹入氣體的多少而發(fā)生變化。這兩個(gè)教學(xué)活動(dòng)有利于學(xué)生理解體積概念的豐富內(nèi)涵。二是通過(guò)目測(cè)觀察無(wú)法分辨出來(lái)的物體體積的比較，如比較土豆和紅薯所占空間的大小。實(shí)驗(yàn)開(kāi)始前，筆者首先啟發(fā)學(xué)生思考、設(shè)計(jì)不同的實(shí)驗(yàn)方案。學(xué)生提出榨成泥后比較、水測(cè)（溢測(cè)）法比較、比表面積或比質(zhì)量等想法。然后，筆者引導(dǎo)學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)方案是否可行進(jìn)行討論交流，對(duì)表面積、質(zhì)量這兩個(gè)干擾因素進(jìn)行層層剝繭，排除了這兩種方法。最后，筆者提供實(shí)驗(yàn)材料，讓學(xué)生通過(guò)水測(cè)法驗(yàn)證土豆和紅薯的體積到底哪個(gè)更大，由此感悟物體所占空間有大有小，并且體積的大小是可以確定的。

對(duì)容積概念的認(rèn)識(shí)同樣圍繞“比較”來(lái)設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng)。首先，筆者設(shè)疑：目測(cè)無(wú)法分辨出誰(shuí)的內(nèi)部空間大的杯子和瓶子，誰(shuí)裝的水多呢？以此激發(fā)學(xué)生設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案解決問(wèn)題。有學(xué)生提出可以把杯子和瓶子都裝滿水，再分別倒入另外一個(gè)杯子，同時(shí)做好標(biāo)記，哪一個(gè)水面高哪一個(gè)裝的水就多;還有學(xué)生提出可以把杯子裝滿水，然后倒入瓶子里，如果滿了并溢出來(lái)了，就說(shuō)明杯子裝的水多，如果沒(méi)滿，就說(shuō)明杯子裝的水少。在實(shí)驗(yàn)演示、求證、比較、描述的過(guò)程中，學(xué)生得出“瓶子裝的水多，杯子裝的水少”，說(shuō)明瓶子的容積比杯子大，直觀感知到容器裝滿水時(shí)水的體積等于容器的容積，從而深入理解了容積概念——容器所能容納物體的體積就是容器的容積。

二、圍繞“偏差”，在障礙沖突中領(lǐng)悟概念內(nèi)涵

小學(xué)階段有些數(shù)學(xué)概念的表述是比較抽象和難以理解的。比如，教材用體積來(lái)定義、表述容積：“容器所能容納物體的體積，是容器的容積?！睂?duì)于“所能容納”，學(xué)生很容易產(chǎn)生認(rèn)識(shí)上的偏差。為此，筆者在用“杯子倒水”幫助學(xué)生初步認(rèn)識(shí)容積的基礎(chǔ)上，采用“杯子裝米”的方式，循序漸進(jìn)地幫助學(xué)生在質(zhì)疑交流中矯正認(rèn)識(shí)上的偏差。

教學(xué)中，筆者首先用準(zhǔn)備好的杯子裝了部分米（未裝滿），讓學(xué)生判斷杯子的容積。學(xué)生觀察后認(rèn)為杯子還可以容納米。接著，筆者往杯子里慢慢倒入米，直至正好裝滿，再讓學(xué)生判斷杯子的容積。學(xué)生通過(guò)直觀觀察發(fā)現(xiàn)杯子已經(jīng)裝滿，再也不能容納米了，得出此時(shí)杯子的容積應(yīng)該是米的體積。筆者乘機(jī)引導(dǎo)學(xué)生觀察米之間有縫隙，說(shuō)明還可以容納東西，并演示將少量水緩緩倒入裝滿米的杯子且水沒(méi)有溢出的過(guò)程。學(xué)生通過(guò)這個(gè)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：杯子的容積比米的體積大。

這樣教學(xué)讓學(xué)生在真切的感受中比較，在比較的過(guò)程中產(chǎn)生認(rèn)識(shí)沖突，在辨析沖突中達(dá)成一致理解，從而準(zhǔn)確理解“所能容納”是指杯子中的米正好裝滿，沒(méi)有縫隙，也沒(méi)有超出，而且能很直觀地遷移理解：杯子里即使沒(méi)有裝東西，杯子也是有容積的;杯子里米的量在變化，但杯子的容積沒(méi)有發(fā)生改變;相同杯子的容積是相等的。這樣的問(wèn)題串能夠幫助學(xué)生更透徹地理解容積概念的本質(zhì)。

三、圍繞“關(guān)聯(lián)”，在猜測(cè)想象中透徹概念理解

在理解體積和容積概念的基礎(chǔ)上，還要幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)兩者的聯(lián)系與區(qū)別，重在明晰兩種情況：一是同體積的物體容積未必相同，二是同一個(gè)物體（容器）的體積大于容積。

課上，筆者首先呈現(xiàn)兩個(gè)外觀大小相同的紙箱并提問(wèn)：這兩個(gè)紙箱誰(shuí)的體積大？學(xué)生仔細(xì)觀察后發(fā)現(xiàn)兩個(gè)紙箱完全一樣，得出體積相同的答案。然后，筆者引導(dǎo)學(xué)生猜想它們的容積是否也相同。有的學(xué)生認(rèn)為兩個(gè)紙盒的體積一樣大，容積應(yīng)該也一樣;有的學(xué)生認(rèn)為如果兩個(gè)紙箱里面的構(gòu)造一樣，它們的容積就相同，反之容積就不同。最后，筆者適時(shí)打開(kāi)兩個(gè)紙箱呈現(xiàn)內(nèi)部的不同構(gòu)造。學(xué)生觀察到紙箱壁的厚度不一樣，明確了容器容積的大小不能只看外表，體積相同的兩個(gè)物體（容器）的容積不一定相同。接下來(lái)，筆者還是以紙箱為例，逐步呈現(xiàn)三個(gè)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生在想象中思考：如果紙箱的外壁不斷加厚，體積和容積有什么變化;如果紙箱的內(nèi)壁不斷加厚，體積和容積有什么變化;如果紙箱的內(nèi)壁不斷變薄，體積和容積又有什么變化。在這樣充滿挑戰(zhàn)性的漸進(jìn)式問(wèn)題中，學(xué)生邊想象邊體會(huì)體積和容積隨著壁厚的變化而變化。特別是對(duì)第三個(gè)問(wèn)題，學(xué)生逐漸想象到“零厚度”，滲透了極限思想。這個(gè)過(guò)程在培養(yǎng)學(xué)生空間想象力的同時(shí)，發(fā)展了學(xué)生的高階思維，進(jìn)而使他們對(duì)概念的理解走向深入。

體積與容積概念的建立不是概念符號(hào)的記憶過(guò)程，也不僅僅是積累直觀形象的過(guò)程，而是概念意義的形成過(guò)程。這個(gè)過(guò)程需要基于學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)和有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)來(lái)突出概念本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生真正理解概念。

（作者單位：應(yīng)城市楊嶺鎮(zhèn)中心小學(xué)）

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