楊靜霞

摘? 要：以“能將矩形的周長(zhǎng)和面積同時(shí)加倍嗎？”一課為例，對(duì)正方形、正多邊形、圓、矩形的“倍增”問(wèn)題進(jìn)行了層層深入的探究，進(jìn)而深度思考綜合與實(shí)踐教學(xué)中生活與數(shù)學(xué)的關(guān)聯(lián)性，通過(guò)挖掘其蘊(yùn)含的規(guī)律和學(xué)科育人價(jià)值，闡述綜合與實(shí)踐活動(dòng)對(duì)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的作用.

關(guān)鍵詞：綜合與實(shí)踐;育人價(jià)值;提升素養(yǎng)

在數(shù)學(xué)教材中引入綜合與實(shí)踐活動(dòng)，既是為了體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，強(qiáng)化應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的綜合實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)，也是為了鍛煉學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力，從而提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力. 數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)不僅是讓學(xué)生鞏固“四基”，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能. 基于此，上好綜合與實(shí)踐活動(dòng)課，需要多方聯(lián)系，使得數(shù)學(xué)與自然、數(shù)學(xué)與活動(dòng)，相得益彰、相輔相成.

筆者在執(zhí)教魯教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》（五·四學(xué)制）九年級(jí)上冊(cè)第一章“反比例函數(shù)”綜合與實(shí)踐“能將矩形的周長(zhǎng)和面積同時(shí)加倍嗎？”一課時(shí)，發(fā)現(xiàn)這個(gè)課題巧妙地將代數(shù)知識(shí)和幾何知識(shí)融為一體，實(shí)現(xiàn)了用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的目的;同時(shí)在解決問(wèn)題的過(guò)程中對(duì)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本思路、滲透數(shù)學(xué)思想方法、鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力都有著非常積極的作用. 在此，筆者圍繞本課例的教學(xué)過(guò)程闡述對(duì)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課的認(rèn)識(shí)與思考.

一、教學(xué)內(nèi)容說(shuō)明

“能將矩形的周長(zhǎng)和面積同時(shí)加倍嗎？”一課是在學(xué)生具備了代數(shù)知識(shí)（一元二次方程、二元一次方程組、分式方程、反比例函數(shù)）和幾何知識(shí)（矩形、正方形、正多邊形、圓、相似等）的基礎(chǔ)上，結(jié)合生活中的實(shí)際問(wèn)題展開(kāi)研究的，在研究過(guò)程中遵循由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由特殊到一般的方式，即從正方形到矩形再推廣到正多邊形和圓. 在解決問(wèn)題的過(guò)程中，教師充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備，打通各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系. 既能實(shí)現(xiàn)代數(shù)知識(shí)之間的轉(zhuǎn)化，即把方程組、分式方程、函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次方程來(lái)解決，也能把二元一次方程組變形為反比例函數(shù)與一次函數(shù)，借助畫(huà)草圖觀察函數(shù)圖象，由交點(diǎn)判斷解的情況，滲透數(shù)形結(jié)合思想，又能把幾何知識(shí)代數(shù)化，由相似多邊形的性質(zhì)（周長(zhǎng)的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方），轉(zhuǎn)化為方程來(lái)達(dá)到解決問(wèn)題的目的. 解決問(wèn)題的過(guò)程是數(shù)學(xué)知識(shí)高度抽象的過(guò)程，是直觀想象的過(guò)程，是邏輯推理的過(guò)程，是數(shù)學(xué)運(yùn)算的過(guò)程. 通過(guò)建立方程和函數(shù)模型，達(dá)到由特殊到一般、由一般到特殊、化繁為簡(jiǎn)的效果，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的抽象性、數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性.

二、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1. 常規(guī)積累，溫故知新

（1）正方形的邊長(zhǎng)為a，它的周長(zhǎng)是多少？面積是多少？長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為m，寬為n，它的周長(zhǎng)是多少？面積是多少？

（2）已知邊長(zhǎng)為1的正方形，是否存在另一個(gè)正方形，它的周長(zhǎng)和面積分別是已知正方形周長(zhǎng)和面積的2倍？

【說(shuō)明】通過(guò)第（1）題復(fù)習(xí)正方形、長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)和面積公式，激活學(xué)生的思維. 第（2）題由邊長(zhǎng)為1的正方形開(kāi)始研究，解決問(wèn)題的過(guò)程會(huì)自然聯(lián)想到以下問(wèn)題：周長(zhǎng)為原來(lái)2倍時(shí)該正方形的面積增加了多少？面積為原來(lái)2倍時(shí)，該正方形的周長(zhǎng)又是怎樣變化的？是否存在一個(gè)正方形，使其周長(zhǎng)和面積同時(shí)是原正方形的2倍？由此，在解決問(wèn)題的過(guò)程中不斷發(fā)現(xiàn)規(guī)律，提出新的問(wèn)題，得到結(jié)論，從而激活學(xué)生的思維，激發(fā)學(xué)生思考的興趣和探究的熱情.

2. 新知探究，總結(jié)規(guī)律

活動(dòng)1：正方形“倍增”問(wèn)題.

某公園棧道、古亭、小山風(fēng)景如畫(huà)，美不勝收. 春天到了，游人越來(lái)越多，停車(chē)場(chǎng)漸漸不夠用了. 景區(qū)要把邊長(zhǎng)為10米的正方形停車(chē)場(chǎng)擴(kuò)建成周長(zhǎng)和面積同時(shí)是原來(lái)2倍的正方形停車(chē)場(chǎng)，你能利用所學(xué)知識(shí)，幫助工作人員實(shí)現(xiàn)這種設(shè)計(jì)方案嗎？為什么？試在表1中呈現(xiàn)你的思路.

【說(shuō)明】以學(xué)生熟悉的情境引入，激發(fā)學(xué)生愛(ài)家鄉(xiāng)、建設(shè)家鄉(xiāng)的熱情，培養(yǎng)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，引起學(xué)生探究問(wèn)題和解決問(wèn)題的欲望. 嘗試從“定周長(zhǎng)”和“定面積”兩個(gè)角度研究，為后面研究矩形的方法遷移做好鋪墊.

追問(wèn)：對(duì)于任意正方形，是否存在另一個(gè)正方形，它的周長(zhǎng)和面積同時(shí)是已知正方形的2倍？n倍呢？為什么？試在表2中呈現(xiàn)你的思路.

結(jié)論：對(duì)于任意正方形，都不存在周長(zhǎng)和面積同時(shí)倍增的情況.

【說(shuō)明】通過(guò)追問(wèn)，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生考慮任意正方形的周長(zhǎng)和面積多倍增加的情況. 學(xué)生經(jīng)歷用字母表示邊長(zhǎng)并推理的過(guò)程，體會(huì)從特殊到一般的研究過(guò)程. 通過(guò)研究任意正方形周長(zhǎng)和面積加倍的過(guò)程，發(fā)現(xiàn)若加倍前后兩個(gè)正方形的相似比為k，則周長(zhǎng)和面積同時(shí)加倍可以用方程k2 = k表示，解得k = 0或者k = 1. 顯然，當(dāng)k = 0時(shí)，不存在周長(zhǎng)和面積同時(shí)加倍的正方形;當(dāng)k = 1時(shí)，兩個(gè)正方形全等. 通過(guò)及時(shí)總結(jié)、提煉出研究問(wèn)題的方法，使得后面的拓展研究有“法”可依.

活動(dòng)2：枚舉.

思考1：除了正方形，還有哪些圖形也具有“不存在同時(shí)加倍”這種特點(diǎn)？試舉例說(shuō)明，并思考原因.

結(jié)論：對(duì)于任意變化前后相似的平面圖形，都不存在周長(zhǎng)和面積同時(shí)倍增的情況.

【說(shuō)明】首先，由正方形聯(lián)想到正多邊形和圓，把從正方形中得出的結(jié)論進(jìn)行推廣，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣和獲得新結(jié)論的驚喜，感受舉一反三、化多為一的魅力. 其次，進(jìn)一步反思：怎樣才能夠存在“周長(zhǎng)和面積同時(shí)加倍”的圖形？進(jìn)而想到減弱對(duì)正方形的限制條件，另辟蹊徑，聯(lián)想到矩形可能存在“倍增”的情況.

活動(dòng)3：矩形“倍增”問(wèn)題.

如果將長(zhǎng)20米、寬10米的矩形停車(chē)場(chǎng)，擴(kuò)建成周長(zhǎng)和面積同時(shí)是原來(lái)2倍的矩形停車(chē)場(chǎng)，你認(rèn)為能否實(shí)現(xiàn)？類(lèi)比前面的方法進(jìn)行研究，盡可能多地想出探究解決的方法，完成后小組交流，并填寫(xiě)表3.

學(xué)生先獨(dú)立完成，然后小組合作研究. 學(xué)生根據(jù)周長(zhǎng)和面積公式發(fā)散思維，總結(jié)了如下四種解決問(wèn)題的方法.

方法1：設(shè)擴(kuò)建后矩形的長(zhǎng)為x米，則寬為[60-x]米，由面積公式列出一元二次方程[x60-x=400.] 化為一般形式，即[x2-][60x+400=0.] 由[Δ>0，] 可知存在周長(zhǎng)和面積同時(shí)為已知矩形2倍的矩形.

方法2：設(shè)擴(kuò)建后的矩形的長(zhǎng)為x米，寬為y米，列方程組得[x+y=60，xy=400.] 消元后轉(zhuǎn)化為一元二次方程[x2-][60x+400=0.] 以下略.

方法3：設(shè)擴(kuò)建后的矩形的長(zhǎng)為x米，寬為[400x]米，由周長(zhǎng)公式列出分式方程[x+400x=60.] 去分母后化為整式方程[x2-][60x+400=0.] 以下略.

方法2和方法3都可以轉(zhuǎn)化為方法1得解.

方法4：把方法2中的兩個(gè)二元一次方程變形為一次函數(shù)[y=60-x]和反比例函數(shù)[y=400x，] 畫(huà)出函數(shù)圖象，觀察交點(diǎn)情況，判斷解的存在性.

【說(shuō)明】通過(guò)讓學(xué)生類(lèi)比正方形的研究方法和思路探究矩形的周長(zhǎng)和面積“倍增”問(wèn)題，體會(huì)用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的一般思路. 在學(xué)生獨(dú)立思考、小組交流的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)得出的四種方法進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)方程組、分式方程、函數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解，圖象法可直觀判斷存在性但數(shù)值有誤差，準(zhǔn)確性不足，因此，從中選出最優(yōu)方法是列一元二次方程. 讓學(xué)生在經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程中，體會(huì)建模、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和直觀想象能力.

思考2：對(duì)于任意矩形，是否存在另一個(gè)矩形，它的周長(zhǎng)和面積同時(shí)是已知矩形的2倍？為什么？填寫(xiě)表4.

當(dāng)已知矩形長(zhǎng)為m，寬為n時(shí)，設(shè)所求矩形的長(zhǎng)為[x，] 那么它的寬為[2m+n-x.] 根據(jù)題意，可得[x2m+n-x=2mn，] 即[x2-2m+nx+][2mn=0. ]因?yàn)閇Δ>0，] 可得[x1+x2=2m+n，x1x2=2mn，] 所以這個(gè)方程有正數(shù)解，說(shuō)明這樣的矩形存在. 解方程得[x1=][m+n+m2+n2]，[x2=m+n-m2+n2].

【說(shuō)明】用優(yōu)選出的列一元二次方程的方法，通過(guò)求解方程解釋一般矩形的周長(zhǎng)和面積同時(shí)“倍增”問(wèn)題的存在性，讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的探究過(guò)程. 問(wèn)題的設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)，在步步深入的推進(jìn)中，引導(dǎo)學(xué)生明確“存在性”問(wèn)題的實(shí)質(zhì)即是對(duì)“方程是否有解”的討論. 這種用運(yùn)算結(jié)果驗(yàn)證幾何問(wèn)題的“存在性”的方法，幫助學(xué)生建立了數(shù)學(xué)模型，有利于今后廣泛推廣使用.

3. 延伸思考，提出問(wèn)題

問(wèn)題1：正方形是特殊的矩形，為什么矩形能“倍增”而正方形不能呢？

問(wèn)題2：類(lèi)比本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，你覺(jué)得矩形的周長(zhǎng)和面積還可以怎樣“倍增”或者“倍減”？

【說(shuō)明】該環(huán)節(jié)意在激發(fā)學(xué)生不斷思考，深入探究本節(jié)課的研究?jī)?nèi)容. 正方形是特殊的矩形，即滿足思考2中[m=n]的情況，方程顯然有解，但解為[x1=2+2m，] [x2=2-2m，] 說(shuō)明把正方形的周長(zhǎng)和面積同時(shí)倍增2倍后得到的圖形是矩形. 而矩形的周長(zhǎng)和面積雖然可以“倍增”，但“倍增”前后的矩形與原矩形不具有相似的特點(diǎn). 問(wèn)題2意在引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比、猜想研究將矩形的周長(zhǎng)和面積“倍增”為n倍或者“倍減”為已知矩形的[1n]的情況，引導(dǎo)學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)和提出新問(wèn)題，這不僅可以鞏固研究方法，深入理解解決問(wèn)題的基本思路，而且能培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑能力和批判精神.

4. 課堂小結(jié)，歸納提升

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

【說(shuō)明】反思使人進(jìn)步. 教師引導(dǎo)學(xué)生反思解決問(wèn)題的基本思路是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、猜想結(jié)論、驗(yàn)證結(jié)論、形成規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律、拓展研究;用到的數(shù)學(xué)思想有數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想;用到的學(xué)習(xí)方法有類(lèi)比、分類(lèi)、從特殊到一般. 課堂小結(jié)有利于學(xué)生養(yǎng)成及時(shí)反思的習(xí)慣，同時(shí)不斷滲透數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

5. 布置作業(yè)，課后拓展

（1）解決課堂中提出的問(wèn)題：拓展研究“倍增”或者“倍減”矩形的周長(zhǎng)和面積.

（2）實(shí)踐活動(dòng)：運(yùn)用本節(jié)課學(xué)到的方法，幫助家長(zhǎng)至少解決一個(gè)實(shí)際問(wèn)題.

【說(shuō)明】一方面，要求學(xué)生在課后解決本節(jié)課還沒(méi)有解決好的問(wèn)題和困惑;另一方面，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活、關(guān)心民生，主動(dòng)用數(shù)學(xué)知識(shí)幫助家長(zhǎng)解決實(shí)際問(wèn)題. 把本節(jié)課的研究方法延伸到課堂之外、生活之中，內(nèi)化于心，真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的育人價(jià)值.

三、對(duì)綜合與實(shí)踐課程的感悟與思考

1. 綜合與實(shí)踐課程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活的關(guān)聯(lián)性

源于實(shí)踐，曲徑通幽. 綜合與實(shí)踐課程的產(chǎn)生源于現(xiàn)實(shí)生活的需要，現(xiàn)實(shí)生活中的許多問(wèn)題都可以用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法來(lái)解決. 例如，本節(jié)課雖然是簡(jiǎn)單的周長(zhǎng)和面積“倍增”問(wèn)題，但是需要學(xué)生具備一定的閱讀理解能力，能讀懂題意，然后把生活問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題. 這就要求教師把生活與數(shù)學(xué)融通起來(lái)，善于到生活中尋找情境，發(fā)現(xiàn)能夠用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，豐富綜合與實(shí)踐課程的題材. 本節(jié)課以學(xué)生身邊的公園停車(chē)場(chǎng)的設(shè)計(jì)為問(wèn)題情境，解決現(xiàn)實(shí)生活中存在的問(wèn)題. 要解決問(wèn)題首先需要關(guān)注到問(wèn)題的細(xì)節(jié)，改造停車(chē)場(chǎng)，可以改造為同種圖形，也可以考慮改造為不同的圖形. 首先，仔細(xì)閱讀領(lǐng)會(huì)文本的內(nèi)容，分類(lèi)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題;其次，借助數(shù)學(xué)思想方法來(lái)解決問(wèn)題，從而發(fā)揮數(shù)學(xué)為現(xiàn)實(shí)生活服務(wù)的功能，體現(xiàn)“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活”的宗旨.

2. 綜合與實(shí)踐課程涉及的內(nèi)容具有綜合性

縱橫聯(lián)系，渾然一體. 綜合與實(shí)踐課程的內(nèi)容既然來(lái)源于生活中的實(shí)際問(wèn)題，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，我們必然要用到多方面的數(shù)學(xué)知識(shí). 例如，縱向來(lái)看，本節(jié)課用到了列方程（組）解應(yīng)用題、反比例函數(shù)、圖象法等;橫向來(lái)看，要從“定周長(zhǎng)”和“定面積”兩個(gè)角度來(lái)進(jìn)行探究;整體上看，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想突破難點(diǎn). 其中既用到了幾何中的相似知識(shí)，又用到了代數(shù)中的方程與函數(shù)模型，體現(xiàn)了代數(shù)與幾何的融會(huì)貫通，及用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的常規(guī)思路.

3. 綜合與實(shí)踐課程的活動(dòng)中探究和思考的方法具有規(guī)律性

異中找同，歸納類(lèi)比. 綜合與實(shí)踐課程的設(shè)計(jì)應(yīng)遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，由易到難，由特殊到一般. 本節(jié)課中，首先研究的是最基礎(chǔ)的正方形或者矩形，遵循由少到多、由數(shù)字到字母的順序有序推進(jìn)研究. 研究思路從特殊的圖形到一般的圖形，既通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證了矩形周長(zhǎng)和面積“倍增”成立，也通過(guò)推理驗(yàn)證了所有具有同類(lèi)特征的圖形都具有相同的性質(zhì)，進(jìn)而為后續(xù)的規(guī)律探索奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，這是在教師的引導(dǎo)下對(duì)科學(xué)規(guī)律的再發(fā)現(xiàn)與再創(chuàng)造.

4. 綜合與實(shí)踐課程具有數(shù)學(xué)育人價(jià)值

品之有味，平中見(jiàn)奇. 綜合與實(shí)踐活動(dòng)課的開(kāi)展，不僅讓學(xué)生掌握了基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，積累了基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，鍛煉運(yùn)用基本數(shù)學(xué)思想方法的能力，很好地落實(shí)了“四基”，更重要的是有效引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，提高了學(xué)生的“四能”，落實(shí)立德樹(shù)人的根本任務(wù)，發(fā)展素質(zhì)教育的功能，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 本節(jié)課鍛煉了學(xué)生的直觀想象能力，體現(xiàn)了會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界;鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力，體現(xiàn)了會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界;鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，體現(xiàn)了會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界.

總之，綜合與實(shí)踐課程的研究對(duì)促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展，發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能，促進(jìn)學(xué)生人生觀、價(jià)值觀、世界觀的形成起到了積極的作用.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]中華人民共和國(guó)教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[3]郭玉峰，黃彩英. 數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)課程目標(biāo)落實(shí)需關(guān)注的問(wèn)題[J]. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2020（11）：3-7，20..