黎益

【摘要】本文以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材為例，論述在核心素養(yǎng)背景下開(kāi)展“數(shù)的運(yùn)算”教學(xué)實(shí)踐，提出“把握教材脈絡(luò)，厘清‘?dāng)?shù)的運(yùn)算知識(shí)結(jié)構(gòu);聚焦教材內(nèi)容，明確‘?dāng)?shù)的運(yùn)算教什么;立足核心素養(yǎng)，確定‘?dāng)?shù)的運(yùn)算怎么教”等教學(xué)策略。

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng) 運(yùn)算能力 人教版教材

【中圖分類(lèi)號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2021）25-0066-04

“數(shù)與代數(shù)”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，而“數(shù)的運(yùn)算”內(nèi)容又在“數(shù)與代數(shù)”中占較大比例，貫穿于整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出，在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展運(yùn)算能力。因此，教師要重視“數(shù)的運(yùn)算”教學(xué)，并且在核心素養(yǎng)背景下聚焦小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的要求，明確“教什么”和“如何教”。本文從整體把握“數(shù)的運(yùn)算”教學(xué)內(nèi)容和結(jié)構(gòu)出發(fā)，明確“數(shù)的運(yùn)算”應(yīng)該是教“意義”、教“算理”、教“算法”，且從“意義理解、理法結(jié)合、技能訓(xùn)練”等方向提出具體的教學(xué)策略，以切實(shí)提高學(xué)生的運(yùn)算能力，發(fā)展學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)。

一、把握教材脈絡(luò)，厘清“數(shù)的運(yùn)算”知識(shí)結(jié)構(gòu)

在教學(xué)內(nèi)容體系上，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的“數(shù)的運(yùn)算”包括以下幾條主線(xiàn)：“數(shù)的運(yùn)算”的意義及四則運(yùn)算之間的關(guān)系、獲得運(yùn)算的結(jié)果、運(yùn)算律及運(yùn)算性質(zhì)、運(yùn)用運(yùn)算解決實(shí)際問(wèn)題等。（如圖1）而具體的內(nèi)容在各年級(jí)的單元編排如表1所示。

從觀察表1可知，小學(xué)人教版教材數(shù)的運(yùn)算是先教整數(shù)的四則運(yùn)算，然后將運(yùn)算逐步擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)和小數(shù)，教材編排上遵循著同一知識(shí)“螺旋式上升”、不同知識(shí)“交替式增長(zhǎng)”的特點(diǎn)，這樣教材就出現(xiàn)了不同的知識(shí)單元。因此，教師不能只關(guān)注本冊(cè)教材，應(yīng)該走出本冊(cè)教材，從知識(shí)體系的角度看清同一知識(shí)在不同年級(jí)的安排，從整體上把握知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，才能對(duì)本冊(cè)教材知識(shí)做出準(zhǔn)確的定位，進(jìn)而更加合理地設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)活動(dòng)。

二、聚焦教材內(nèi)容，明確“數(shù)的運(yùn)算”教什么

厘清教材中“數(shù)的運(yùn)算”知識(shí)結(jié)構(gòu)與內(nèi)容，才好確定課堂教學(xué)需要“教什么”。筆者認(rèn)為，進(jìn)行“數(shù)的運(yùn)算”，關(guān)鍵是教“意義”、教“算理”、教“算法”。

（一）教“意義”

“運(yùn)算”是根據(jù)一定的數(shù)學(xué)概念、法則和定理，由一些已知量通過(guò)計(jì)算得出確定結(jié)果的過(guò)程，而“意義”就是每種運(yùn)算的本質(zhì)。人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中兩次出現(xiàn)“加法的意義”內(nèi)容，第一次出現(xiàn)是在一年級(jí)上冊(cè)，第二次出現(xiàn)是在四年級(jí)下冊(cè)，教材圖例如圖2、圖3（見(jiàn)下頁(yè)）。

一年級(jí)上冊(cè)教材先出示了小丑右手拿3個(gè)紅氣球、左手拿1個(gè)藍(lán)氣球，雙手合起來(lái)拿是4個(gè)氣球;然后3個(gè)紅氣球用3個(gè)圓點(diǎn)表示，1個(gè)藍(lán)氣球用1個(gè)圓點(diǎn)表示，4個(gè)圓點(diǎn)對(duì)應(yīng)表示紅藍(lán)氣球合并的圖例;接著出示3+1=4這個(gè)加法算式，引出“加號(hào)”。三個(gè)環(huán)節(jié)從具體情境的動(dòng)作表征到符號(hào)表征，再到算式表征，展示了從具體到抽象的演變過(guò)程，同時(shí)揭示了“把兩個(gè)部分合起來(lái)就用加法”，幫助學(xué)生第一次建立加法的意義概念。

在學(xué)生經(jīng)過(guò)幾年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之后，四年級(jí)下冊(cè)將“四則運(yùn)算”作為一個(gè)獨(dú)立的單元進(jìn)行教學(xué)。以加法為例，教材中先呈現(xiàn)“西寧到拉薩的鐵路長(zhǎng)多少千米？”的問(wèn)題情境，然后從線(xiàn)段圖轉(zhuǎn)換到加法算式“814+1142=1956”，再揭示加法的意義是“兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算”。教材根據(jù)學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)，在低、中學(xué)段都呈現(xiàn)關(guān)于加法意義的教學(xué)內(nèi)容，通過(guò)不同的表征讓學(xué)生由初步認(rèn)識(shí)到明確加法的意義。同樣的，關(guān)于減法、乘法、除法的意義，教材也是這樣編排教學(xué)內(nèi)容的。

（二）教“算理”

算理是計(jì)算的道理、想法，主要解決“為什么要這樣算”的問(wèn)題。人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中很清晰地編排有關(guān)于算理的內(nèi)容，如一年級(jí)下冊(cè)“兩位數(shù)加一位數(shù)和整十?dāng)?shù)”，教材圖例如圖4。

教材先對(duì)比出示“25+2”和“25+20”兩個(gè)算式，然后借助小棒模型，讓學(xué)生直觀地觀察“25+2”中的5根小棒和2根小棒合并在一起，“25+20”中的2捆小棒和2捆小棒合并在一起，接著將口算的過(guò)程與擺小棒的過(guò)程相對(duì)應(yīng)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“把5個(gè)一和2個(gè)一先合起來(lái)，其實(shí)就是先算5+2”，“把2個(gè)十和2個(gè)十先合起來(lái)，其實(shí)就是先算20+20”，進(jìn)而理解“相同的計(jì)數(shù)單位相加”的道理。

（三）教“算法”

算法就是實(shí)施四則運(yùn)算的基本程序和方法，主要解決“怎樣計(jì)算”的問(wèn)題。在教材中我們常?？梢钥吹竭@樣的小組討論情境，“計(jì)算萬(wàn)以?xún)?nèi)的加法要注意什么？”“多位數(shù)乘一位數(shù)的乘法怎樣計(jì)算？”等問(wèn)題（如圖5），這其實(shí)就是在學(xué)生理解算理之后，促進(jìn)他們以小組討論的方式進(jìn)行交流，然后師生共同總結(jié)算法的過(guò)程?？梢?jiàn)，算法是“數(shù)的運(yùn)算”教學(xué)中必須要重視的內(nèi)容。

三、立足核心素養(yǎng)，確定“數(shù)的運(yùn)算”怎么教

“數(shù)學(xué)運(yùn)算”是數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式，是獲得數(shù)學(xué)結(jié)果的重要手段，也是數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一。在當(dāng)前核心素養(yǎng)的背景下，學(xué)生關(guān)鍵能力發(fā)展備受關(guān)注，因此教師要重視學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)。在教學(xué)中，筆者認(rèn)為可以從“意義理解、理法結(jié)合、技能訓(xùn)練”三方面實(shí)施“數(shù)的運(yùn)算”教學(xué)。

（一）意義理解

理解運(yùn)算的意義，即能描述運(yùn)算的特征和由來(lái)，闡述不同運(yùn)算之間的區(qū)別和聯(lián)系。

【案例描述】四年級(jí)下冊(cè)《除數(shù)是整十?dāng)?shù)的筆算除法》

師：同學(xué)們平時(shí)應(yīng)該都有在做一些體育運(yùn)動(dòng)，而做某些運(yùn)動(dòng)是需要借助體育器材的。請(qǐng)看書(shū)本，體育老師正在分發(fā)運(yùn)動(dòng)器材呢，誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)自己看到的數(shù)學(xué)信息？

生1：我看到體育室有60個(gè)呼啦圈、92個(gè)毽子、140根跳繩。

提出問(wèn)題：60個(gè)呼啦圈，每個(gè)班30個(gè)，可以分給幾個(gè)班？

生2：60÷30=2，可以分給2個(gè)班。

師：為什么用除法解決這個(gè)問(wèn)題？你是怎樣計(jì)算得出答案“2”的？

生2：這道題其實(shí)是要求算出60里面有幾個(gè)30，所以用除法計(jì)算最快得出答案。

師：現(xiàn)在體育老師還要對(duì)毽子進(jìn)行分配，你們能提出什么問(wèn)題？

生3：現(xiàn)共有92個(gè)毽子，每班30個(gè)，可以分給幾個(gè)班？

師：用什么方法解決這個(gè)問(wèn)題？能列出算式嗎？

生3：92÷30=

師：為什么還是用除法？（生說(shuō)師板書(shū)）

生4：?jiǎn)枴翱梢苑纸o幾個(gè)班”，就是要求算出92里面有幾個(gè)30，所以用除法計(jì)算。

在教學(xué)本課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了除數(shù)是整十?dāng)?shù)的口算除法，所以在本課的開(kāi)始，學(xué)生很快通過(guò)口算得出60個(gè)呼啦圈，每個(gè)班30個(gè)，可以分給2個(gè)班，即60÷30=2。在此基礎(chǔ)上，教師追問(wèn)“為什么用除法解決問(wèn)題？60里面有幾個(gè)30？你是怎樣算的”，把學(xué)生的思維從單純的口算轉(zhuǎn)向?qū)λ闶揭饬x的理解和對(duì)算理的思考，接著學(xué)生練習(xí)提出問(wèn)題“92個(gè)毽子，每班30個(gè)，可以分給幾個(gè)班”，筆者追問(wèn)“為什么還是用除法解決”，讓學(xué)生在提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中進(jìn)一步理解除法的意義。而在“數(shù)的運(yùn)算”教學(xué)中，問(wèn)題解決與計(jì)算教學(xué)常常聯(lián)系在一起，借助具體的問(wèn)題情境，教師多問(wèn)一句“為什么用加（減、乘、除）法解決這個(gè)問(wèn)題”，能引導(dǎo)學(xué)生將生活問(wèn)題數(shù)學(xué)化，加深對(duì)運(yùn)算意義的理解。

（二）理法結(jié)合

理法結(jié)合，即將算理和算法有機(jī)融合，由算理直觀化過(guò)渡到算法抽象化，在理中形成法，在法中蘊(yùn)含理，實(shí)現(xiàn)明白地算。

【案例描述】四年級(jí)下冊(cè)《小數(shù)的加減法》

1.談話(huà)引入

教師板書(shū)“215+3”，然后提問(wèn)“這道題你會(huì)算嗎？請(qǐng)用豎式記錄計(jì)算過(guò)程”。

師：為什么要相同數(shù)位對(duì)齊呢？（出示計(jì)數(shù)器進(jìn)行解釋?zhuān)?是3個(gè)一，與個(gè)位的5個(gè)一相加得8個(gè)一，也就是個(gè)位與個(gè)位對(duì)齊，5+3=8，相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)相加）

2.改題導(dǎo)入

這兩個(gè)數(shù)分別添上小數(shù)點(diǎn)（2.15+0.3），揭示課題“小數(shù)加減法”。

3.獨(dú)立思考，初探算法

師：這兩道題你打算怎樣算？用自己的方式解釋為什么這樣算。

4.多元表征，初步詮釋算理

生1：我用計(jì)數(shù)器撥珠的方法，直接在十分位上撥3顆珠子，結(jié)果就是2.45了。（如圖6）

生2：我用的是方格圖，直接把3個(gè)長(zhǎng)條放在1個(gè)長(zhǎng)條的下面，結(jié)果也是2.45。（如圖6）

生3：我是用人民幣擺的，給這兩個(gè)數(shù)添上單位“元”，整數(shù)部分上的數(shù)表示的是元，十分位上的數(shù)代表的是角，百分位上的數(shù)代表的是分，2元1角5分加3角，就是2元4角5分，也就是2.45元。（如圖6）

生4、生5用的是寫(xiě)豎式的方法。（如圖7）

師：他們列的豎式計(jì)算，你同意嗎？為什么？

分析生5的豎式寫(xiě)法：0.3的3是十分位的，要跟2.15十分位上的1對(duì)齊相加，所以結(jié)果是2.45。

5.錯(cuò)題辨析，抓住本質(zhì)

分析生4的豎式寫(xiě)法：0.3中十分位的3與2.15中百分位的5對(duì)齊相加得到8，這個(gè)“8”是8個(gè)十分之一還是8個(gè)百分之一？看來(lái)計(jì)數(shù)單位相同的數(shù)才能直接相加，計(jì)數(shù)單位不同的數(shù)不能直接相加。所以2.15+0.3的正確結(jié)果應(yīng)該是2.45。（教師板書(shū)橫式答案）

6.回顧小結(jié)，體驗(yàn)算法

（1）在解決2.15+0.3的時(shí)候，我們用了幾種不同的方法，都是把相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)相加。（板書(shū)：相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)相加）

（2）說(shuō)說(shuō)豎式的計(jì)算過(guò)程。

7.二次改題，學(xué)習(xí)小數(shù)減法

師將2.15+0.3改為2.15-0.3。提問(wèn)：為什么豎式中的3要寫(xiě)在1的下面？

8.加減對(duì)比，小結(jié)算法

（1）師提問(wèn)“計(jì)算小數(shù)加減法時(shí)需要注意什么”，引導(dǎo)學(xué)生討論、總結(jié)。

（2）師提問(wèn)“我們?cè)谟?jì)算整數(shù)加減法時(shí)是末尾對(duì)齊，但在小數(shù)加減法計(jì)算時(shí)卻把小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，看似不同，其實(shí)中間隱含著一個(gè)共同的道理，是什么呢”，引導(dǎo)學(xué)生概括歸納算法經(jīng)驗(yàn)。

由這個(gè)案例可以清晰地看到，教師是在溝通聯(lián)系中引導(dǎo)學(xué)生理解算理、掌握算法，實(shí)現(xiàn)理法結(jié)合。開(kāi)課時(shí)計(jì)算“215+3”，教師用計(jì)數(shù)器呈現(xiàn)計(jì)算過(guò)程，幫助學(xué)生理解“相同數(shù)位對(duì)齊”，其實(shí)就是“相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)相加”，這是第一次溝通;然后算式變形“2.15+0.3”，當(dāng)學(xué)生用不同方式解釋自己的算法后，教師利用課件讓學(xué)生觀察：解決問(wèn)題的表達(dá)方式不同，但它們具有相同的地方，就是“相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)相加”，這是第二次溝通;接著學(xué)生自主嘗試計(jì)算“2.15-0.3”，教師提示小數(shù)減法豎式與小數(shù)加法豎式一樣，也要“相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)相減”，這是第三次溝通;第四次溝通，是由教師提出問(wèn)題“我們?cè)谟?jì)算整數(shù)加減法時(shí)是末尾對(duì)齊，但在小數(shù)加減法計(jì)算時(shí)卻把小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，看似不同，其實(shí)中間隱含著一個(gè)共同的道理，是什么呢”，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)整數(shù)加減法與小數(shù)加減法之間的聯(lián)系與區(qū)別。學(xué)生經(jīng)過(guò)對(duì)比多元表征方式的異同、找圖式的對(duì)應(yīng)之處、溝通新舊知識(shí)的連接點(diǎn)與增長(zhǎng)點(diǎn)，不知不覺(jué)理解了加減法計(jì)算的基本道理——相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)才能相加減。理解了這一本質(zhì)，學(xué)生對(duì)加減法計(jì)算的算法自然就掌握了，也為后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)加減法埋下了伏筆。

（三）技能訓(xùn)練

技能訓(xùn)練，即通過(guò)類(lèi)題、變式題、對(duì)比辨析等多種方式，在完成一定量的訓(xùn)練后實(shí)現(xiàn)正確地算。

【案例描述】五年級(jí)上冊(cè)《小數(shù)乘法練習(xí)課》

背景：計(jì)算4.3×0.21，要先計(jì)算43×21（按整數(shù)乘法計(jì)算出積），再點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)，那么師生共同把“43×21”稱(chēng)為4.3×0.21的“隱形替身”，由此學(xué)生舉出很多以“43×21”作為隱形替身的例子，如0.43×2.1、4.3×2.1、0.43×21、0.43×0.21……

師：“43×21”只能作為小數(shù)乘法的隱形替身嗎？如果我們要計(jì)算430×2100（指著豎式430×2100提問(wèn)），先計(jì)算出“43×21”的積，其實(shí)是在計(jì)算什么？

生1：是在算計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。

師：為什么在積的末尾添上3個(gè)0？

生2：為了確定計(jì)數(shù)單位是1000。

師：看來(lái)在小數(shù)乘法和整數(shù)乘法中，都能用到隱形替身。它們的計(jì)算方法看似不一樣，有的添“0”，有的點(diǎn)“·”，為什么要這樣做呢？

生3：它們都是在確定計(jì)數(shù)單位。

提高學(xué)生的運(yùn)算能力，一定量的技能訓(xùn)練是必不可少的，但一定是以量取勝嗎？大量的練習(xí)就一定能提高計(jì)算的正確率嗎？答案是否定的。此案例提供的是一節(jié)練習(xí)課的教學(xué)片段，根據(jù)學(xué)生的反應(yīng)可知，練習(xí)課不一定要設(shè)計(jì)大量的機(jī)械練習(xí)，適量的練習(xí)同樣可以幫助學(xué)生厘清運(yùn)算中算理的聯(lián)系?！巴ā眲t“統(tǒng)”，算理是運(yùn)算的通性通法。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要教給學(xué)生的不應(yīng)僅僅是數(shù)學(xué)的技能技巧，更重要的是數(shù)學(xué)中的“通性通法”，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)不是“機(jī)械”的，而是講“理”的。

總之，學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)不是一朝一夕的事情，也不是上一節(jié)課就可以實(shí)現(xiàn)，教師需要站在整體把握教學(xué)內(nèi)容的高度上，明確課堂教學(xué)中“教什么”和“怎么教”的問(wèn)題，才能循序漸進(jìn)地提升學(xué)生的運(yùn)算能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

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【作者簡(jiǎn)介】黎 益（1971— ），女，漢族，廣西柳州人，大學(xué)本科學(xué)歷，高級(jí)教師，廣西特級(jí)教師，現(xiàn)任柳州市潭中路第二小學(xué)教育集團(tuán)總校長(zhǎng)，研究方向?yàn)榛诤诵乃仞B(yǎng)的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

（責(zé)編 黃健清）