邢國東，康晴晴

(合肥師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 合肥 230601)

1 綜述

首先，回顧一下拓廣負(fù)相依隨機(jī)變量的概念，此概念是由Liu[1]給出的一有限隨機(jī)變量集{Xi，1≤i≤n}被稱為拓廣負(fù)相依的(簡記為END)如果對于所有的實數(shù)X1,…Xn,存在一常數(shù)M>0使得

和

都成立，一無限集{Xi，i≥1}是END如果它的任何有限子集是END。

已知的事實是獨立隨機(jī)變量和負(fù)限相依的(簡記為NOD)隨機(jī)變量是END。Joag-Dev和Proschan[2]指出負(fù)相協(xié)的(簡記為NA)是NOD，但NOD不一定是NA，故而NA隨機(jī)變量是END。接下來，簡要地介紹頻率插值估計。設(shè)X是一個密度函數(shù)為f(x)的連續(xù)隨機(jī)變量并令X1,…Xn是從總體X中抽取的一組樣本?？紤]一實數(shù)軸的等距離分割…

(1)

正如Scott[3]所指出的那樣，頻率插值估計與核密度估計有著相似的收斂速度但比直方圖估計的收斂速度快。頻率插值估計的計算效果和直方圖的相等。此外，對于大量的二元數(shù)據(jù)集合，頻率插值估計計算的簡單性和決定確切等概率輪廓精度的便捷性使得頻率插值估計比具有高精度的核密度估計更有價值。因為頻率插值估計的這兩方面優(yōu)點，對其做進(jìn)一步的研究是有意義的。

近十幾年來，有關(guān)頻率插值估計的一些結(jié)果已經(jīng)被得到。例如，Carbon等[4]在α混合過程下給出頻率插值估計的最優(yōu)窗寬(此時的窗寬使得積分均方誤差達(dá)到漸近最小值)，漸近方差，強(qiáng)相合性及其收斂速度。Carbon等[5]得到隨機(jī)域下頻率插值估計的漸近正態(tài)性。Besaid和Dabo-Niang[6]在連續(xù)隨機(jī)域下給出頻率插值估計的積分均方誤差以及強(qiáng)相合的收斂速度。受到上述作者的啟發(fā)，將在END樣本下通過一Berstein型指數(shù)不等式探討頻率插值估計的強(qiáng)相合性。此外，相應(yīng)的收斂速度也被給出。

在本文中，總假定C代表了一個正常數(shù)，此數(shù)僅僅由某些給定的數(shù)而定且從文中的一處到另一處可能會不一樣，窗寬和密度函數(shù)分別被表示為bn和f(x),g(n)=max{gL(n),gU(n)},只要沒有作特殊說明，所給出的極限都是在n→∞時得到的。本文的結(jié)構(gòu)如下：第二部分包含了所得到的主要結(jié)果，對應(yīng)的證明被放在本文的第三部分。

2 主要結(jié)果

為了方便表述主要結(jié)果，需要下面的一些假設(shè)：

(A1)假設(shè)Xi,{1≤i≤n}是一END樣本，其密度函數(shù)為f(x)。

(A2)bn→0。

根據(jù)上述假設(shè)，可以給出如下所示的主要結(jié)果。

定理2.1如果假設(shè)(A1)～(A3)成立，那么對于的緊子集D，

(2)

此外， 如f(x)對于x∈是可微的且對于某個M>0有|f(x)′|≤M, 那么

(3)

于是

(4)

推論2.1如果假設(shè)(A1)-(A2)成立，f(x)對于x∈是可微的且對于某個M>0有|f′(x)≤M|那么

(5)

3 證明

在這一部分，將給出主要定理的相關(guān)證明。為此，需要如下引理。

引理3.1令X1,…,Xn是END。如果函數(shù)g1,…,gn都是非降的或非增的，那么隨機(jī)變量g1(X1),…,gn(Xn)也是END[1]。

引理3.2令{Xi,1≤i≤n}是一均值為零且|Xi|≤da.s.的END隨機(jī)變量序列，其中d是一正常數(shù)[7]。設(shè)t>0使得對于n≥1有t·max1≤i≤ndi≤1,則對于任意ε>0,存在一常數(shù)M>0使得

(6)

其中M>0。

Mj=max{0,Xj+1,Xj+1+Xj+2,…Xj+1+Xj+2+…Xn}

和

那么當(dāng)1

上述給出的極大矩不等式可用于統(tǒng)計學(xué)中加權(quán)估計漸近性質(zhì)的研究，這類估計包括最小二乘估計，非參數(shù)回歸估計以及非參數(shù)密度估計等。

基于引理3.1和3.3，可以給出定理2.1的證明，具體過程如下所述：

(7)

P(|fj-Efj|>ετn/3)+P(|fj+1-Efj+1|>ετn/3)。

(8)

對于一給定的j,令

ζi=I{(j-1)bn≤Xi

I{Xi≥(j-1)bn}-EI{Xi≥(j-1)bn}-{I{Xi≥jbn}-EI{Xi≥jbn}}=:ζi1-ζi2i=1,2…,n。

(9)

將上述結(jié)果和bn→0,τn→0以及n(bnτn)2(logn)-1→∞聯(lián)合在一起，則對于任意給定的q>0和充分大的n可得

P(|fj-Efj|>ετn/3)≤Cexp{-qlogn}≤Cn-q。

(10)

類似地，也有

P(|fj+1-Efj+1|>ετn/3)≤Cexp{-qlogn}≤Cn-q。

(11)

聯(lián)立(3.3)，(3.5)和(3.6)可得

(12)

通過在(3.7)中取q=3,(3.2)以及nbn→∞,得到

(13)

上式意味著在給定的條件下(2.1)是成立的。此外，再應(yīng)用泰勒展開式，可得(2.2)，證畢。