陳永暢

摘要：學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)已成為新課程改革的焦點(diǎn)與方向，而數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力又是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的體現(xiàn)，是其不可或缺的重要組成部分，并確保其實(shí)現(xiàn)知識(shí)與能力的統(tǒng)一。數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的根本任務(wù)之一?；趯W(xué)生深度理解的視角，需要尋找培養(yǎng)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的媒介，理清其價(jià)值并探索培養(yǎng)的路徑。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力;媒介;價(jià)值;路徑

學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)已成為新課程改革的焦點(diǎn)與方向，而數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力又是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的體現(xiàn)，是其不可或缺的重要組成部分，并確保實(shí)現(xiàn)知識(shí)與能力的統(tǒng)一。因此，學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)是教學(xué)中的重要任務(wù)之一?；谥赶?qū)W生深度理解的視角，需要尋找關(guān)鍵能力培養(yǎng)的媒介，理清其價(jià)值并探索培養(yǎng)的路徑。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力培養(yǎng)的媒介

關(guān)鍵能力是指學(xué)生學(xué)習(xí)、工作和適應(yīng)社會(huì)時(shí)所需要的能力，它是以認(rèn)知過程為基礎(chǔ)，從而掌握和運(yùn)用知識(shí)技能處理事務(wù)和適應(yīng)生活的一種重要能力。當(dāng)前，各國(guó)學(xué)者對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力有不同的理解，我國(guó)研究者也有不同的表述。華東師范大學(xué)徐斌艷教授提出了數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心能力，分別是從數(shù)學(xué)角度提出問題能力、數(shù)學(xué)表征與轉(zhuǎn)換能力、數(shù)學(xué)推理與論證能力、數(shù)學(xué)建模能力、數(shù)學(xué)地解決問題以及數(shù)學(xué)交流能力。山西省教育科學(xué)研究院張俊珍認(rèn)為，數(shù)學(xué)能力包括數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、數(shù)學(xué)思維能力、空間思維能力、統(tǒng)計(jì)推斷能力、問題解決能力。北京市特級(jí)教師吳正憲認(rèn)為，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力主要包括運(yùn)算能力、空間觀念、數(shù)據(jù)分析觀念、推理能力、抽象能力等。這些其實(shí)與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中的十個(gè)核心詞及《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中的六大核心素養(yǎng)有異曲同工之處，主要聚焦在數(shù)學(xué)思維、問題解決和數(shù)學(xué)表達(dá)三個(gè)維度，即《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中提出的：“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界。”

學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力如何培養(yǎng)？又如何在教育教學(xué)中落地？回歸到學(xué)生能力培養(yǎng)這個(gè)視角，就是教師的教與學(xué)生的學(xué)的統(tǒng)一。這其中，教師的作用是至關(guān)重要的。只有基于學(xué)生立場(chǎng)研究教材意圖和設(shè)計(jì)具有思維品質(zhì)的教學(xué)活動(dòng)，才能真正促進(jìn)學(xué)生關(guān)鍵能力的提升。另外，學(xué)習(xí)素材也影響著學(xué)生關(guān)鍵能力培養(yǎng)的效果，這同樣也受教師作用的影響。因此，以指向?qū)W生深度理解的視角進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)和文本解讀是學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的媒介。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力培養(yǎng)的價(jià)值

在清楚了數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)媒介之后，我們還需要理清培養(yǎng)價(jià)值，只有這樣，才能確立正確的培養(yǎng)方向和尋找培養(yǎng)策略。小學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)，可以為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的習(xí)得打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力是品質(zhì)思維的外顯特征，是核心素養(yǎng)的重要組成。在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，是達(dá)成深度理解的基本任務(wù)。

（一）是深度理解的基本任務(wù)

能力的培養(yǎng)是在學(xué)習(xí)場(chǎng)景中發(fā)生的，以指向深度理解的學(xué)習(xí)場(chǎng)景為任務(wù)驅(qū)動(dòng)，才能使學(xué)生知其然更知其所以然，從而為他們提供與知識(shí)產(chǎn)生鏈接的機(jī)會(huì)，促使其能掌握基本知識(shí)與技能。同時(shí)，能在知識(shí)本質(zhì)上理解所學(xué)內(nèi)容與習(xí)得技能，為學(xué)習(xí)與應(yīng)用提供幫助，促進(jìn)高階思維的發(fā)展。深度學(xué)習(xí)與理解本身就需要學(xué)生具有關(guān)鍵能力，這樣的學(xué)習(xí)場(chǎng)景需要聚焦問題，引發(fā)認(rèn)知沖突與激發(fā)學(xué)習(xí)欲望;需要抽象推理，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型與形成數(shù)學(xué)表達(dá);需要理解應(yīng)用，發(fā)展思維能力與解決數(shù)學(xué)問題。因此，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，不能只要求他們學(xué)會(huì)解決問題就可以，還要使他們具備綜合性分析問題和解決問題的能力。要使得學(xué)生具備這樣的能力，就必須讓他們深度理解學(xué)習(xí)場(chǎng)景。

（二）是品質(zhì)思維的外顯特征

人才培養(yǎng)的最終目的是高品質(zhì)思維的塑造，那關(guān)鍵能力與品質(zhì)思維又是存在什么樣的邏輯關(guān)系呢？首先，這兩者應(yīng)該是辯證統(tǒng)一的，關(guān)鍵能力的形成是品質(zhì)思維的最終外顯特征，品質(zhì)思維則又是對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中是否具有關(guān)鍵能力的判斷與審視，兩者相輔相成，相互作用。因此，只有提高了學(xué)生參與學(xué)習(xí)的思維深度，才能使得思維的發(fā)展從表面的認(rèn)知，逐漸向理性的內(nèi)核深入剖析，從而形成進(jìn)階思維，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)與思想方法，最后培養(yǎng)“數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力”。

（三）是核心素養(yǎng)的重要組成

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確指出，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的數(shù)學(xué)思維、關(guān)鍵能力及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)。也有研究者認(rèn)為，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就是“數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力”“核心能力”。由此可以看出，關(guān)鍵能力是核心素養(yǎng)的重要組成元素已是不爭(zhēng)的事實(shí)。嚴(yán)格意義上來說，關(guān)鍵能力是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵性素養(yǎng)，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)科中知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決和情感態(tài)度目標(biāo)達(dá)成的外顯體現(xiàn)，是指在知識(shí)積累，方法習(xí)得、運(yùn)用和內(nèi)化的過程中，學(xué)生用數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)并提出問題，用數(shù)學(xué)的思維分析問題，用數(shù)學(xué)的方法解決問題的能力。因此，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力是課程目標(biāo)的新宗旨，是課程教學(xué)的新內(nèi)容，是課程標(biāo)準(zhǔn)落實(shí)的新指標(biāo)，是核心素養(yǎng)的新標(biāo)準(zhǔn)。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力培養(yǎng)的路徑

關(guān)鍵能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的，而是要在日常的教學(xué)過程、學(xué)習(xí)活動(dòng)和問題解決中不斷積累、形成和發(fā)展的，這是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，也是綜合能力提升的關(guān)聯(lián)過程。也就是說，關(guān)鍵能力的培養(yǎng)需要在課程的學(xué)習(xí)中發(fā)生。因此，高質(zhì)量、具有思維品質(zhì)的學(xué)習(xí)場(chǎng)景的營(yíng)造就顯得特別重要。作為教師，要將指向?qū)W生深度理解的教材解讀和活動(dòng)設(shè)計(jì)直接作用于學(xué)生的學(xué)習(xí)，從而促進(jìn)其關(guān)鍵能力的養(yǎng)成。

（一）變教材為“學(xué)材”，用數(shù)學(xué)的眼光觀察

教材作為教師執(zhí)行課程計(jì)劃和學(xué)生開展學(xué)習(xí)活動(dòng)的主要依據(jù)，二次開發(fā)的意識(shí)將直接影響學(xué)生關(guān)鍵能力形成的效果;但目前很多教師對(duì)于教材的使用仍停留在知識(shí)的表面，進(jìn)行單純的傳授，而非站在數(shù)學(xué)能力形成的視角挖掘其內(nèi)涵。因此，學(xué)生舉一反三、思辨精神、自我反思等能力相對(duì)缺乏。教學(xué)中，要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)自主性，讓其真正學(xué)會(huì)“學(xué)習(xí)”是亟需解決的問題，就需要教師能讀懂學(xué)生，讓學(xué)生參與知識(shí)產(chǎn)生的全過程，甚至設(shè)計(jì)自己的學(xué)習(xí)活動(dòng)，解決自己提出的問題，變教材為“學(xué)材”。

如北師版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》三年級(jí)上冊(cè)第四單元“乘與除”中的“兩位數(shù)乘一位數(shù)”一課，在教學(xué)12×3這個(gè)知識(shí)時(shí)，有這樣一道題目：買3個(gè)游泳圈需要多少元？說說你是怎樣想的。（如圖1）

很多教師關(guān)注的是學(xué)生算法的習(xí)得，也就是把12這個(gè)數(shù)拆成了10與2分別與3相乘，再將最后的結(jié)果相加。這種只追求最后結(jié)果的計(jì)算教學(xué)在教學(xué)中是較為普遍的。如果是立足于學(xué)生理解的角度，我們又該如何進(jìn)行活動(dòng)的設(shè)計(jì)，從而真正的激發(fā)學(xué)生的思維碰撞呢？

首先，要用好點(diǎn)子圖和列表法，讓學(xué)生經(jīng)歷圈點(diǎn)子圖到列表計(jì)算，再對(duì)比辨析，尋找兩者的鏈接，與計(jì)算方法聯(lián)系在一起，借助點(diǎn)子圖和列表進(jìn)行計(jì)算法則的解釋，這就是在算法與算理之間建立起了一座橋梁。（如圖2）

其次，只需要照本宣科，嚴(yán)格按照教材的設(shè)計(jì)進(jìn)行學(xué)生操作活動(dòng)設(shè)計(jì)就可以了嗎？其實(shí)不然，作為教師，更應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)12不僅可以分成了6和6，還可以分成了7和5、8和4、9和3、10和2，而且它們也有一一對(duì)應(yīng)的列表方式，點(diǎn)子圖與列表只是表現(xiàn)形式的不同，它們間存在著密切聯(lián)系。

最后，算法最優(yōu)化是計(jì)算教學(xué)永恒的主題，根據(jù)位值原則，將12分為10和2是計(jì)算最簡(jiǎn)便的方法，但12這個(gè)數(shù)在計(jì)算中的簡(jiǎn)便性并不能很好的體現(xiàn)，如果把12變成了52，要再6個(gè)6個(gè)的分，那就顯得較為復(fù)雜了。因此，要分為50和2，從而凸顯位值原則的優(yōu)勢(shì)。

這樣的活動(dòng)設(shè)計(jì)關(guān)注的是學(xué)生的思維發(fā)展，關(guān)注的是教材的動(dòng)態(tài)化呈現(xiàn)，關(guān)注的是學(xué)生的學(xué)習(xí)素材的創(chuàng)造，關(guān)注的是學(xué)生學(xué)習(xí)的關(guān)聯(lián)性與學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)。如此一來，學(xué)生關(guān)鍵能力的培養(yǎng)便順其自然、水到渠成了，這也足以說明用數(shù)學(xué)的眼光審視教材、“學(xué)材”和創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)活動(dòng)是多么重要，對(duì)學(xué)生的能力培養(yǎng)也能起到關(guān)鍵性的作用。

（二）變離散為關(guān)聯(lián)，用數(shù)學(xué)的思維思考

新課程改革后，很多教師的教學(xué)理念得到了更新，他們能基于單元整體進(jìn)行教學(xué)內(nèi)容的解讀與學(xué)習(xí)活動(dòng)的設(shè)計(jì)，但也有一部分教師的課堂內(nèi)容相對(duì)離散。想要培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)科整體觀下的學(xué)習(xí)，教師自己必須具備這樣的能力和思考方式以進(jìn)行學(xué)科教學(xué)設(shè)計(jì)，讀懂知識(shí)本質(zhì)，以聯(lián)系的觀點(diǎn)去發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在規(guī)律，而不是僅以小單元的概念進(jìn)行知識(shí)的建構(gòu)。數(shù)學(xué)知識(shí)不是在同一時(shí)間學(xué)完的，而是根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律和心理特征逐步推進(jìn)的。

北師版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”這一內(nèi)容，它分為了5個(gè)階段（除法中平均分的經(jīng)驗(yàn)積累—分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)—分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)—分?jǐn)?shù)的生活應(yīng)用—分?jǐn)?shù)、除法與比的關(guān)系）進(jìn)行學(xué)習(xí)，在各不同年段的目標(biāo)是不一樣的。因此，我們需要將這些散落在各個(gè)年級(jí)的內(nèi)容統(tǒng)整起來，細(xì)化每個(gè)年段的設(shè)計(jì)，最終適合學(xué)生的學(xué)習(xí)。

在教學(xué)北師版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》“數(shù)的運(yùn)算”這一模塊時(shí)，我們要站在整體的觀念下審視教材中的內(nèi)容。其實(shí)，教材在一二年級(jí)有關(guān)整數(shù)的加減運(yùn)算中采用的是借助“數(shù)線圖”來幫助理解算理，在三四年級(jí)有關(guān)數(shù)的乘除運(yùn)算采用的是“點(diǎn)子圖”輔助理解，在五六年級(jí)有關(guān)分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)的運(yùn)算更多的則是利用“矩形圖”進(jìn)行算理的闡述。作為教師應(yīng)該要意識(shí)到這三種圖對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的重要性，并在教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)中關(guān)注這三種圖的滲透與作圖能力的培養(yǎng)。綜合起來看，這是指向?qū)W生“數(shù)形結(jié)合”能力培養(yǎng)的，也是指向?qū)W生關(guān)鍵能力塑造的。

在北師版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》“測(cè)量”這一部分內(nèi)容的教學(xué)中，教師首先要了解：測(cè)量的本質(zhì)就是“單位”的累積，長(zhǎng)度單位是每個(gè)1厘米、1分米、1米等的累加，面積單位是每個(gè)1平方厘米、1平方分米、1平方米等的拼加，體積單位是每個(gè)1立方厘米、1立方分米、1立方米的堆加。只有真正的讀懂這樣的內(nèi)涵，我們才能知道長(zhǎng)方形的面積為“長(zhǎng)×寬”，其本質(zhì)是求這個(gè)長(zhǎng)方形里面可以鋪多少個(gè)面積單位，從而得出長(zhǎng)的數(shù)量與每行鋪的面積單位數(shù)量相等，寬的數(shù)量與鋪成的行數(shù)相等，從而順其自然地得到推導(dǎo)過程。關(guān)于測(cè)量單位的教學(xué)，還可以形成“對(duì)象—工具—方法—結(jié)果”的一般模式，這無論是對(duì)長(zhǎng)度單位還是對(duì)體積單位都是適用的。這樣，將零散的知識(shí)用關(guān)聯(lián)的方式進(jìn)行建構(gòu)和設(shè)計(jì)，指向的就是學(xué)生的深度理解，發(fā)展的就是學(xué)生會(huì)學(xué)習(xí)的能力。

（三）變學(xué)會(huì)為會(huì)學(xué)，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)

數(shù)學(xué)的語言表達(dá)具有高度概括、簡(jiǎn)潔嚴(yán)謹(jǐn)、通俗精準(zhǔn)等特征，而且數(shù)學(xué)語言的表達(dá)表現(xiàn)為數(shù)學(xué)觀察與數(shù)學(xué)思考的數(shù)學(xué)抽象。因此，數(shù)學(xué)抽象能力同樣對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展具有巨大的影響。數(shù)學(xué)的語言表達(dá)，重在其形成過程而非結(jié)果，是從問題解決中習(xí)得方法的再遷移與再應(yīng)用。也就是說，我們要教給學(xué)生的不應(yīng)僅是知識(shí)，而應(yīng)是基于知識(shí)與技能基礎(chǔ)上的方法、方式和思維，讓他們能舉一反三，從學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)向會(huì)學(xué)，為終身發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ)。

北師版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》一年級(jí)下冊(cè)“一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多幾少幾”的問題解決，我們常規(guī)的教學(xué)設(shè)計(jì)往往先是出示主題圖，讓學(xué)生尋找數(shù)學(xué)信息，然后分析數(shù)學(xué)信息之間的關(guān)系，再利用畫圖等策略解決數(shù)學(xué)問題，最終得出結(jié)果。在這個(gè)過程中，學(xué)生當(dāng)然也能形成解決問題的模型，但這只是解決此類問題的特殊模型。那么，“問題解決”的建模過程，應(yīng)該給學(xué)生建立什么知識(shí)基礎(chǔ)呢？實(shí)際上，問題解決的最大突破口是建構(gòu)量與量之間的關(guān)系，只有讓學(xué)生懂得學(xué)會(huì)分析關(guān)系，才能在學(xué)習(xí)過程中建構(gòu)起一個(gè)完整的問題解決的一般模型，使其適用于普遍性問題的解決。

因此，我們?cè)谶@節(jié)課的設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)動(dòng)態(tài)化地呈現(xiàn)主題圖的數(shù)學(xué)信息（如圖3），先后出示小紅和小青的信息，讓學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題。這時(shí)，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)他們提出的問題沒辦法解決，這里少了最關(guān)鍵的信息，也就是小林的相關(guān)信息，因?yàn)樾〖t和小青的數(shù)量都與小林有關(guān)。這樣，一步一步地讓學(xué)生建構(gòu)了信息間的關(guān)系，同時(shí)明白了問題解決的關(guān)鍵在于從條件到問題，或是從問題到條件，明白了條件之間存在的數(shù)量關(guān)系是至關(guān)重要的，這就是問題解決的一般模型。教學(xué)不應(yīng)只是單純地教會(huì)或?qū)W會(huì)一種類型，而應(yīng)是通過一種學(xué)習(xí)媒介慢慢地學(xué)會(huì)遷移與應(yīng)用，真正地發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的規(guī)律，會(huì)學(xué)習(xí)才是教學(xué)的最高目標(biāo)。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是以數(shù)學(xué)課程教學(xué)為載體，基于數(shù)學(xué)學(xué)科的知識(shí)技能而形成的重要的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力?！蓖瑯?，關(guān)鍵能力的培養(yǎng)也是要基于課程教學(xué)來實(shí)現(xiàn)。因此，教師對(duì)教材的解讀程度和學(xué)習(xí)活動(dòng)的設(shè)計(jì)水平直接影響學(xué)生關(guān)鍵能力的形成。要提供高質(zhì)量的學(xué)習(xí)素材，形成高品質(zhì)的思維與能力，讓學(xué)生深度理解，這樣才能形成數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力。

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（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）