李月梅 溫靜 左靜賢

【摘 要】本文基于“大概念”視角，對高職數(shù)學(xué)課程零點定理這一節(jié)進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計，用概念教學(xué)理論和實際例子結(jié)合的方式，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，采用在線練習(xí)的方式幫助學(xué)生進(jìn)行知識復(fù)習(xí)與鞏固，提出與零點定理相關(guān)的實際問題，引導(dǎo)學(xué)生自主探究思考，并闡述了現(xiàn)階段高職數(shù)學(xué)教學(xué)面臨的挑戰(zhàn)。

【關(guān)鍵詞】高職數(shù)學(xué);大概念;零點定理;教學(xué)設(shè)計

【中圖分類號】G712? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）16-0017-02

現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)在各領(lǐng)域都被廣泛應(yīng)用。所以，在教授高等數(shù)學(xué)的過程中，教師需要想辦法提高學(xué)生的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用能力。教師可用一些與生活息息相關(guān)的例子引出教學(xué)內(nèi)容，然后再用本節(jié)知識內(nèi)容解釋這些生活實例中的問題。這樣的教學(xué)方式與傳統(tǒng)的教學(xué)方式相比，能更加有效地提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，使學(xué)生實現(xiàn)學(xué)以致用。

何謂“大概念”？首先“大”的內(nèi)涵是“核心”，其次“概念”的內(nèi)涵可以是概念，也可以是觀點。零點定理是高職數(shù)學(xué)的一個重點，它被廣泛應(yīng)用于解決實際問題。本文以零點定理理論聯(lián)系實際的課堂講授過程為例，對本節(jié)課程進(jìn)行升華和飛躍，同時結(jié)合信息化手段，教學(xué)完成后，學(xué)生通過掃描二維碼進(jìn)入練習(xí)測評網(wǎng)站，對本節(jié)課程進(jìn)行鞏固練習(xí)，課下借助慕課App等線上平臺讓學(xué)生能輕松預(yù)習(xí)和及時復(fù)習(xí)。

1? ?零點定理的傳統(tǒng)教學(xué)設(shè)計

傳統(tǒng)教學(xué)模式下，零點定理的教學(xué)主要包括三個環(huán)節(jié)，環(huán)節(jié)一：直接導(dǎo)入零點定理內(nèi)容，并對零點定理內(nèi)容進(jìn)行詳細(xì)講述，對概念中每句話的意思進(jìn)行解釋說明，讓學(xué)生理解并接受概念，并根據(jù)關(guān)鍵點記住此定理內(nèi)容。環(huán)節(jié)二：問題提出及解決，零點定理也稱根存在定理，如何應(yīng)用該定理解決方程的根的問題呢？然后舉兩到三個例題，運用零點定理解決例題。環(huán)節(jié)三：學(xué)生課后練習(xí)，完成有關(guān)方程根是否存在的練習(xí)題。

2? ?基于“大概念”視角的零點定理教學(xué)設(shè)計

2.1? 問題的提出

師：美麗的四川峨眉山中的舍身崖有時會出現(xiàn)“佛光”，每個去那旅游的人都想看到“佛光”，但“佛光”是人人可見的嗎？什么情況下才能看到“佛光”呢？今天帶著這兩個問題，我們一起學(xué)習(xí)零點定理的內(nèi)容，學(xué)完后看大家能否利用零點定理解釋“佛光”現(xiàn)象[1]。

2.2? 零點定理

若函數(shù) f（x）滿足① f（x）在[a，b]上連續(xù)，② f（a）與f（b）異號，在此環(huán)節(jié)教師在x軸的上下方各畫出一個點A和B，讓學(xué)生從點A任意畫出一條光滑連續(xù)的曲線連接到點B，教師提問：同學(xué)們畫出的曲線與x軸有幾個交點呢？根據(jù)學(xué)生回答的幾種不同答案，讓各位學(xué)生用一句話對所有答案進(jìn)行總結(jié)，得出至少存在一點 ξ∈（a，b），使得f（ξ）=0。

2.3? 零點定理的應(yīng)用——判斷方程根的存在性

根據(jù)零點定理內(nèi)容給出解題步驟：①輔助函數(shù)構(gòu)造——移項;②零點定理的兩個條件判斷;③根據(jù)定理內(nèi)容得出該方程至少有一個實根的結(jié)論;④求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，若單調(diào)，則有且僅有一個實根。

例1：證明方程x3?2x=1在（1，2）內(nèi)至少有一個實根。

證明：①設(shè)f（x）=x3?2x?1;②顯然f（x）在[1，2]上是連續(xù)的， f（1）=?2<0， f（2）=3>0;③由零點定理可知，至少存在一點ξ∈（1，2），使得f（ξ）=0，即 ξ3?2ξ?1=0。因此方程 x3?2x=1在（1，2）內(nèi)至少有一個實根。

例2：證明在任意時刻，地球上至少有兩個地點的溫度是相同的。

解：連接赤道上的對徑點AB，將其作為x軸，過中點O連接垂直于AB的對徑點作為 y軸（如圖1），設(shè)其他任意對徑點MN與x軸的夾角為θ，θ∈（0，π），構(gòu)造輔助函數(shù)f（θ）， f（θ）等于點M處的溫度減去點N處的溫度。若AB兩點溫度相同，則點AB滿足所求，若AB兩點溫度不同，則由 f（0）=? f（π），推出f（0）·f（π）<0，由零點存在定理可得，存在θ0∈（0，π），使 f（θ0）=0，即存在兩個地點溫度相同。

2.4? 問題的解決

通過觀測發(fā)現(xiàn)，峨眉山舍身崖下山腰的云層是不斷運動的，并且云層的運動軌跡是連續(xù)不間斷的，隨著云層越來越高，在太高和太矮間總有一個時刻是太陽光恰好照射到這個位置，從而形成“佛光”。這個出現(xiàn)“佛光”

的過程中，云層運動是連續(xù)的，符合零點定理的內(nèi)容。

2.5? 測評練習(xí)鞏固

為解決傳統(tǒng)教學(xué)評價難、糾偏難的問題，教師團隊自主研發(fā)在線測評與糾偏系統(tǒng)，學(xué)生可利用手機自主掃描二維碼進(jìn)入系統(tǒng)，對本節(jié)內(nèi)容進(jìn)行測評練習(xí)，在練習(xí)的過程中遇到問題可通過小組討論或助教講解來解決，并由助教向教師反饋學(xué)生完成的情況。教師可在后臺系統(tǒng)中了解學(xué)生對本節(jié)知識點的掌握程度和最后評分情況，實現(xiàn)節(jié)節(jié)測、節(jié)節(jié)評。

2.6? 課后小組討論

很多看似與數(shù)學(xué)不相關(guān)的生活實際問題都能用零點定理解釋，如上山下山是否在同一時刻同一地點相遇，椅子在不平的地面能否放穩(wěn)等問題。請學(xué)生下課后思考練習(xí)：拉一根橡皮筋，一頭朝左拉，同時另一頭朝右拉，在橡皮筋不拉斷的情況下，橡皮筋上有一點在它原來的位置上不動。如何用零點定理證明呢？

2.7? 利用慕課App等線上平臺進(jìn)行預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)鞏固

課下學(xué)生可以登錄慕課App，通過觀看教學(xué)視頻等方式對本節(jié)知識進(jìn)行鞏固學(xué)習(xí)，有不懂的知識可在線提出，教師在后臺對問題及時給予解答。教師還可以在慕課App上布置下一節(jié)的預(yù)習(xí)任務(wù)，并提出具體的預(yù)習(xí)要求。

3? ?兩種教學(xué)設(shè)計的比較

3.1? 傳統(tǒng)教學(xué)設(shè)計特點

一些教師依然采用傳統(tǒng)教學(xué)理念開展教學(xué)，強調(diào)知識本位，整堂課呆板、無趣，只是對知識進(jìn)行簡單傳授，對教材的依賴度高，直接講解教材上的概念、定理、公式，使學(xué)生覺得高職數(shù)學(xué)是一門與生活實際不相關(guān)的學(xué)科。同時評價方式落后，形成了“重公式、重計算、輕思想”的教學(xué)模式[2]。傳統(tǒng)教學(xué)往往以教師為中心，練習(xí)時才把學(xué)生放在主體位置上，這不利于學(xué)生思維的拓展。

3.2? 基于“大概念”視角的教學(xué)設(shè)計特點

第一，教學(xué)內(nèi)容與生活實際緊密結(jié)合。一開始就提出實際問題，能調(diào)動學(xué)生探索和獲取知識的主動性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣;第二，采用在線測評系統(tǒng)開展試題練習(xí)鞏固。由于直接對所有學(xué)生進(jìn)行課程學(xué)習(xí)評價難度較大，教師團隊自主研發(fā)了在線測評與糾偏系統(tǒng)，充分解決了高等數(shù)學(xué)評價難、糾偏難的問題，大大提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，實現(xiàn)了高效的課堂教學(xué);第三，借助慕課App這一信息化手段，將線上線下的學(xué)習(xí)有效融合在一起，創(chuàng)造出全新的學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生課上有所獲，課后復(fù)習(xí)有所依，課下有所感，全面鍛煉學(xué)生解決問題和獨立思考的能力。

4? ?基于“大概念”的高職數(shù)學(xué)教學(xué)的問題和應(yīng)對策略

基于“大概念”的高職數(shù)學(xué)教學(xué)仍然有很多需要提升和改進(jìn)的地方：①雖然在教學(xué)過程中加入了實際問題的應(yīng)用，但與學(xué)生所學(xué)專業(yè)的緊密結(jié)合還有一段距離[3];②教材內(nèi)容更新遲緩，對現(xiàn)代信息技術(shù)的應(yīng)用不足[4]，教學(xué)過程中雖然加入了一些現(xiàn)代化手段，讓學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行在線測評與糾偏，并且利用慕課App等線上手段進(jìn)行預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)鞏固，但現(xiàn)代信息化技術(shù)還需要教師進(jìn)一步開發(fā)創(chuàng)新;③高職院校學(xué)生比較特殊，部分學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱，可能會出現(xiàn)上課聽不懂，難以跟上進(jìn)度的情況，所以需要教師進(jìn)一步探索創(chuàng)新教學(xué)模式和教學(xué)方法，探索更為有效的分層教學(xué)模式。如教師可利用學(xué)生喜歡玩游戲的特點，嘗試將數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與AI技術(shù)結(jié)合在一起，把數(shù)學(xué)知識融入游戲環(huán)節(jié)，吸引學(xué)生自學(xué)。

合理的教學(xué)設(shè)計能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，零點定理在生活中的應(yīng)用十分廣泛，教師應(yīng)該多鼓勵學(xué)生將學(xué)習(xí)內(nèi)容用于解決生活實際問題，讓數(shù)學(xué)更廣泛地服務(wù)和改善生活，為科技發(fā)展作出更大的貢獻(xiàn)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]李尚志.數(shù)學(xué)聊齋二則[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2003（4）.

[2]凌天雄.高職機電專業(yè)數(shù)學(xué)課程整合重構(gòu)的探索與實踐[D].廣州：廣州大學(xué)，2018.

[3]周建蘭.高職數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀與問題研究[J].教育與培訓(xùn)，

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[4]云連英.“工學(xué)結(jié)合”模式下數(shù)學(xué)課程改革的理性思考[J].教育探索，2008（12）.

【作者簡介】

李月梅（1983～），女，漢族，河北秦皇島人，碩士，講師。研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)。

溫靜（1980～），女，漢族，河北遷西人，碩士，副教授。研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)。

左靜賢（1981～），女，漢族，河北唐山人，本科，講師。研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。