韓建平

[摘 要] 文章基于范希爾理論，從幾何思維的五個(gè)水平進(jìn)行論述，嘗試沿著“生活實(shí)物—抽象圖形—解釋強(qiáng)化—回歸反思”的基本流程展開教學(xué)，讓學(xué)生獲得各種解題策略，從而提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞] 范希爾理論;圖形與幾何;策略

在“圖形與幾何”教學(xué)中，教師要培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，關(guān)注學(xué)生的幾何直觀和推理能力。但從實(shí)際教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)反饋中，筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在這方面的能力還是非常薄弱的，問題集中在：①學(xué)習(xí)淺嘗輒止。學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)沒有建立幾何圖形的概念，只停留在范希爾理論幾何思維的第一個(gè)水平上。②想象浮于表面。學(xué)生受生理和心理特征、知識(shí)結(jié)構(gòu)及認(rèn)知能力的影響，較難形成完整的空間想象。③解題不求甚解。學(xué)生對(duì)稍復(fù)雜的幾何圖形規(guī)律的探究能力很弱，缺乏對(duì)其內(nèi)在實(shí)質(zhì)性規(guī)律的把握。基于上述原因，筆者借鑒范希爾理論中關(guān)于幾何思維的五個(gè)水平的論述，遵循學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，旨在探索“圖形與幾何”教學(xué)策略，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。

一、反復(fù)體驗(yàn)，及時(shí)反思

小學(xué)階段有相當(dāng)一部分知識(shí)是直觀幾何和實(shí)驗(yàn)幾何。教師要為學(xué)生提供豐富的表象體驗(yàn)，建立有效的表象。對(duì)此，教師需要關(guān)注以下幾個(gè)策略。

（一）用生活經(jīng)驗(yàn)，建立表象

生活經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生發(fā)展空間觀念的基礎(chǔ)。例如，“周長(zhǎng)”對(duì)三年級(jí)的學(xué)生來說比較抽象，這是由于在實(shí)際生活中，學(xué)生對(duì)圖形形狀、大小的接觸比較多，而關(guān)注周長(zhǎng)的時(shí)候比較少。生活中的周長(zhǎng)是以什么形式出現(xiàn)的？周長(zhǎng)應(yīng)該從研究或解決什么問題引入？學(xué)生先有“周長(zhǎng)有長(zhǎng)有短”的理解，再有周長(zhǎng)的概念。小學(xué)階段，幾何知識(shí)體系中類似的概念教學(xué)還有很多，如面積、體積及各種幾何圖形概念的建立等，在建立圖形表象階段，都可以借助“例舉生活現(xiàn)象→討論辨析→找共性、發(fā)現(xiàn)特征→形成圖像→體驗(yàn)圖形價(jià)值→回歸生活實(shí)例”策略開展教學(xué)，這對(duì)學(xué)生空間能力的培養(yǎng)很有效。

（二）用學(xué)具操作，強(qiáng)化表象

對(duì)于運(yùn)動(dòng)變化的幾何知識(shí)，學(xué)生內(nèi)心特別惶恐。使用幾何學(xué)具會(huì)讓復(fù)雜的問題變得簡(jiǎn)單易解，并能強(qiáng)化表象，有利于學(xué)生建立空間觀念。例如，四年級(jí)教材中提到：“長(zhǎng)方形框架拉成平行四邊形，周長(zhǎng)和面積有變化嗎？”我們應(yīng)圍繞“長(zhǎng)方形框架拉成平行四邊形時(shí)，什么變了什么沒變”展開，不要急著得出結(jié)論。學(xué)生可以拿著學(xué)具反復(fù)拉動(dòng)，邊拉動(dòng)、邊觀察、邊感悟……再輔以課件的演示。這樣的操作真實(shí)有感，學(xué)生會(huì)慢慢發(fā)現(xiàn)，它們之間并不是等底、等高的關(guān)系。在后來的練習(xí)中，學(xué)生很少再犯錯(cuò)。在教學(xué)中，教師要充分發(fā)揮學(xué)具的價(jià)值，讓做題目的過程變成演題目的過程，以此在學(xué)生的腦海里留下深刻的印記。對(duì)于“等底、等高的三角形面積相等，圖形的平移和旋轉(zhuǎn)”等知識(shí)，我們可以借助這種策略，反復(fù)操作，不斷強(qiáng)化學(xué)生的自我體驗(yàn)，從而加深表象的建立和問題的解決。

二、建立表征，解決問題

在表象感知基礎(chǔ)上，我們要引導(dǎo)學(xué)生從具體的表象中，抽象出本質(zhì)特征，了解建構(gòu)圖形的要素，進(jìn)一步探求圖形的內(nèi)在屬性。這個(gè)環(huán)節(jié)做到位了，有助于學(xué)生獲得必需的知識(shí)和必要的技能。

（一）在知識(shí)形成中清晰概念內(nèi)涵

當(dāng)教學(xué)到提煉幾何圖形特征的核心環(huán)節(jié)時(shí)，教師要善于引領(lǐng)學(xué)生從知識(shí)的獲取、方法的選擇、結(jié)論感悟三個(gè)層面，從具體到抽象，梳理形成清晰的思路，完整建構(gòu)概念的內(nèi)涵。

如“認(rèn)識(shí)梯形”一節(jié)，處于范希爾幾何學(xué)理論第一個(gè)水平的學(xué)生，只能從外觀上識(shí)別梯形，無法用語言來描述。我們不妨設(shè)計(jì)“畫梯形→畫與眾不同的梯形→畫更特別的梯形→想梯形”的活動(dòng)，讓學(xué)生向分析圖形特征過渡。完成第三次畫梯形后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：為什么它們都是梯形？學(xué)生在探究圖形的性質(zhì)時(shí)，偏向于顯性要素。這也告訴我們，教學(xué)中不能局限于常規(guī)梯形的表征。到最后一個(gè)想梯形的環(huán)節(jié)，學(xué)生在操作中越來越能抓住梯形的內(nèi)涵——只有一組對(duì)邊平行。經(jīng)過操作、交流、思辨，梯形之所以只有一組對(duì)邊平行，原因在于平行的那一組對(duì)邊不能相等。在一次次總結(jié)中，學(xué)生不僅更深入地理解了梯形的概念，洞察了梯形的各個(gè)特征，學(xué)生的思維能力也能得到發(fā)展。

（二）給同類的題目建立解題模型

在教學(xué)中，學(xué)生能從大量題目中發(fā)現(xiàn)題目的類似主干，主動(dòng)抽象出數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，在解題時(shí)發(fā)現(xiàn)并形成解題模型，在實(shí)際教學(xué)中會(huì)產(chǎn)生事半功倍的效果。

如“單位換算”一節(jié)，學(xué)生逐步學(xué)習(xí)了長(zhǎng)度、面積、體積、重量、時(shí)間等的換算。在教學(xué)中，我們要抓住換算的本質(zhì)——守恒。特別是六年級(jí)下冊(cè)的復(fù)習(xí)中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這類題目的解題策略是一致的：大單位配小數(shù)據(jù)，小單位配大數(shù)據(jù)，在探尋怎么“配”的問題時(shí)，自然想到了進(jìn)率的條件。學(xué)生在自主舉例、驗(yàn)證中感受到這個(gè)結(jié)構(gòu)在所有的單位換算中都能采用，具有很強(qiáng)的實(shí)用性。從直觀的表象到抽象的數(shù)學(xué)模型，構(gòu)建起了真正的數(shù)學(xué)認(rèn)知，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生能力上的飛躍。

三、同化經(jīng)驗(yàn)，體驗(yàn)多樣

（一）常規(guī)經(jīng)驗(yàn)，要學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用

學(xué)生在碰到新問題時(shí)，常常會(huì)出現(xiàn)無從下手的感覺。教師在教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生先辨識(shí)它屬于哪一類的知識(shí)，提取出相應(yīng)的策略來加以解決，如“練習(xí)求圖形的周長(zhǎng)”一課的教學(xué)。

右圖陰影部分是正方形，求該圖形的周長(zhǎng)?？吹角笾荛L(zhǎng)，學(xué)生會(huì)迅速調(diào)動(dòng)出求圖形周長(zhǎng)的解題策略：周長(zhǎng)在哪里→長(zhǎng)方形周長(zhǎng)=（長(zhǎng)+寬）×2→找到對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)，代入公式進(jìn)行解答。學(xué)生運(yùn)用解題策略到第三步時(shí)蒙了，因?yàn)轭}目的呈現(xiàn)打破了他們已有的認(rèn)知：他們雖然能運(yùn)用求長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的公式，但本題中的9㎝和6㎝不是他們理解中的長(zhǎng)和寬。其實(shí)，我們完全可以套用周長(zhǎng)建構(gòu)的經(jīng)驗(yàn)解決這個(gè)問題，而無須另尋他法。我們只需把周長(zhǎng)上每條基本線段標(biāo)上不同的字母（設(shè)而不求），發(fā)現(xiàn)周長(zhǎng)=a+b+a+b+c+b+c+b=a+b+b+c+a+b+b+c，已知9cm=a+b，6cm=b+c，那么a+b+b+c=15cm，所以c=15×2=30cm。

學(xué)生不知道怎么用 9cm和6cm的條件，因此在解題中，教師應(yīng)不斷引導(dǎo)學(xué)生由特殊條件出發(fā)，聯(lián)想到熟悉的經(jīng)驗(yàn)，在熟悉的策略驅(qū)使下，學(xué)生愿意聽，也容易聽懂。在周長(zhǎng)概念框架下，學(xué)生真正理解了15×2=30cm的含義。由此可見，借助熟悉的經(jīng)驗(yàn)，復(fù)雜的問題可以簡(jiǎn)單化，更利于讓知識(shí)形成體系。

（二）非常規(guī)經(jīng)驗(yàn)，要多面體驗(yàn)擴(kuò)充

學(xué)生用掌握的各種經(jīng)驗(yàn)，可以解決基本題、變式題、拓展題等。在此過程中，他們體會(huì)到了數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、解題策略的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。同時(shí)，教師還可以不斷引導(dǎo)學(xué)生對(duì)非常規(guī)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行進(jìn)一步的擴(kuò)充，形成新的經(jīng)驗(yàn)和策略，使學(xué)生不但能靈活地解決問題，而且在變式訓(xùn)練中拓展解題思路。

關(guān)于求不規(guī)則物體的體積，人教版教材是分散在幾冊(cè)教材中緩緩呈現(xiàn)的，讓學(xué)生建立扎實(shí)有效的體積概念。五年級(jí)下冊(cè)教材中體積概念的呈現(xiàn)：用烏鴉喝水和鵝卵石放入水杯的操作活動(dòng)，幫助學(xué)生建立體積的概念，教材提供了豐富的表象，也為“求不規(guī)則物體的體積”和六年級(jí)上冊(cè)“求飲料瓶的容積”做了第一手準(zhǔn)備。到了六年級(jí)上冊(cè)“求飲料瓶的容積”，學(xué)生的第一印象是“這是求一個(gè)不規(guī)則物體的體積”，顯然與五年級(jí)求土豆、梨的體積有所不同。學(xué)生需要對(duì)求不規(guī)則物體的體積解題策略進(jìn)行拓展。

學(xué)生發(fā)現(xiàn)，不能用排水法解決這個(gè)新問題，應(yīng)把思考方向放在如何把不規(guī)則形體轉(zhuǎn)化成規(guī)則形體上。在操作中，他們發(fā)現(xiàn)飲料瓶的容積就是兩個(gè)圓柱的體積之和，并按照求不規(guī)則物體體積的解題策略，解決了新問題：體積=正放時(shí)飲料部分圓柱體積+倒放時(shí)空余部分圓柱體積。學(xué)生調(diào)動(dòng)經(jīng)驗(yàn)解決新問題，不僅能提高學(xué)生的幾何素養(yǎng)，還有利于他們更深刻地認(rèn)知數(shù)學(xué)，更高效地解決復(fù)雜問題。

范希爾理論認(rèn)為，學(xué)生思維水平的提高并不是直接通過講授獲得的，而是通過合適的練習(xí)達(dá)到的。范希爾理論作為診斷學(xué)生幾何思維水平的評(píng)估指標(biāo)，可以指導(dǎo)我們?cè)O(shè)計(jì)每個(gè)水平上的教學(xué)目標(biāo)與任務(wù)，它是我們今后實(shí)踐研究的方向。