李愛瓊

摘 要：本文從高三《三角恒等變換》復(fù)習(xí)入手，圍繞三角恒等變換這個學(xué)習(xí)主題，對教學(xué)情境進(jìn)行深度分析，從方程與函數(shù)角度探究了三角恒等變換問題，并總結(jié)出求三角函數(shù)最值的方法，培養(yǎng)學(xué)生化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程思想，凸顯數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提升學(xué)生問題解決能力，最終實現(xiàn)學(xué)生的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：三角恒等變換;深度學(xué)習(xí);核心素養(yǎng)

深度學(xué)習(xí)不僅要了解知識點，更要通過知識點的規(guī)律不斷思考、舉一反三的挖掘出更多知識點，深度學(xué)習(xí)除了促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展，更應(yīng)該是為了立德樹人，體現(xiàn)學(xué)科育人價值，突出核心素養(yǎng)，實現(xiàn)五育并舉。這與我們的新課標(biāo)和新高考是非常契合的。基于價值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向的數(shù)學(xué)教學(xué)，要思考“數(shù)學(xué)教學(xué)究竟要給學(xué)生什么”，課堂上除了知識記憶和解題訓(xùn)練，更要通過典型的深度活動來加工學(xué)習(xí)對象，把握知識的本質(zhì)，最終實現(xiàn)學(xué)生的發(fā)展。下面筆者結(jié)合高三教學(xué)案例《三角恒等變換》，從一題多解、一題多變及函數(shù)與方程角度探究了三角恒等變換問題，引導(dǎo)學(xué)生對學(xué)習(xí)對象進(jìn)行深度加工，進(jìn)行深度學(xué)習(xí)探究，以期達(dá)到學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

一、深度解讀教材、把握知識內(nèi)核

三角函數(shù)是高考重點考查內(nèi)容之一，三角恒等變換的考查，常以選擇填空形式出現(xiàn)，還常在解答題中與其他知識結(jié)合起來考查，在考查三角知識的同時又考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力。本節(jié)課通過例題分析解答，能運(yùn)用三角函數(shù)各種公式進(jìn)行恒等變換及解決綜合性問題，從而加深理解變換思想，提高學(xué)生的推理能力。

（一）【課程學(xué)習(xí)目標(biāo)】

通過例題分析解答，能運(yùn)用三角函數(shù)各種公式進(jìn)行恒等變換及解決綜合性問題，從而加深理解變換思想，提高學(xué)生的推理能力;在解決實際問題的過程中，體驗三角恒等變換的本質(zhì)是“變換”;在解決實際問題的過程中，體驗“形”與“數(shù)”間的關(guān)聯(lián)。在學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識和掌握數(shù)學(xué)思想方法的同時，滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（二）【課程導(dǎo)學(xué)建議】

教學(xué)重點：掌握三角公式間的關(guān)系，能運(yùn)用公式進(jìn)行恒等變換。教學(xué)難點：能靈活運(yùn)用公式進(jìn)行三角恒等變換;能力點：三角公式、恒等變形的靈活運(yùn)用;自主探究點：例題及變式的解題思路的探尋;訓(xùn)練點：應(yīng)用三角公式進(jìn)行恒等變換及數(shù)學(xué)思想方法的綜合運(yùn)用;考試點：綜合應(yīng)用三角變換的知識解決三角問題;易錯點：三角恒等變換;拓展點：從函數(shù)與方程角度解決三角恒等變換問題。

二、情境設(shè)計與知識建構(gòu)

（一）問題研討

問題導(dǎo)引：人教版必修4P147B組

1.已知，求值。

法一：由方程組和sin2α+cos2α=1解出sinα，cosα，進(jìn)一步求解

法二：利用sinα±cosα和sinα·cosα的關(guān)系求出sinα+cosα，再由方程組sinα+cosα和sinα-cosα解出sinα，cosα，進(jìn)一步求解

法三：由求出sin2α，cos2α，進(jìn)一步求解

【設(shè)計意圖】回歸教材，夯實基礎(chǔ)，從方程角度解決三角恒等變換問題

（二）技能應(yīng)用拓展

1.一題多解、一題多變提供運(yùn)算通途

一題多解、一題多變在運(yùn)算中十分普遍，一題多解體現(xiàn)了運(yùn)算的靈活性，而一題多變通過變換題目的條件或結(jié)論，從運(yùn)用的知識、變換的方式、新的設(shè)計角度實現(xiàn)舉一反三。

例1.（2008浙江高考理8）若，則tanα=（ ）

A. B.2 C.- D.-2

法1（方程思想）：由方程組解出sinα，cosα，求出tanα。

法2（化歸思想）：兩邊平方得（cosα+2sinα）2=5，再弦化切化作關(guān)于tanα的方程，求出tanα。

法3（歸一法）：由歸一法得再利用輔助角φ與α的關(guān)系求出tanα。

法4（化歸思想）法四：由對稱性得（cosα+2sinα）2+（sinα-2cosα）2=5從而sinα-2cosα=0，求出tanα。

法5（函數(shù)思想）：設(shè)依題意得x=α?xí)r，f（x）最小值是?！?，∴∴-sinα+2cosα=0，求出tanα。

【設(shè)計意圖】例題分析，從不同角度切入，從而有不同解法。教師分析問題同時提出問題、解決問題，從知識的記憶鞏固到問題探究，從淺層思維到高階思維。

變式1.（2013全國Ⅰ卷理15）設(shè)當(dāng)x=θ時，函數(shù)f（x）=sinx-2cosx取得最大值，則cosθ=??????

變式2.若，則=??

【設(shè)計意圖】變式1.2均可采用例題五種方法解決，有助于學(xué)生從運(yùn)用的知識、變換的方式、新的設(shè)計角度實現(xiàn)舉一反三。

2.回歸本源——三角函數(shù)的函數(shù)性質(zhì)

函數(shù)思想實質(zhì)是拋開所研究對象的非數(shù)學(xué)特征，用聯(lián)系和變化的觀點提出數(shù)學(xué)對象，抽象其數(shù)學(xué)特征，建立各變量之間固有的函數(shù)關(guān)系，通過函數(shù)性質(zhì)，利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)使問題得以解決。以函數(shù)為主線可以將很多數(shù)學(xué)內(nèi)容串起來：函數(shù)、三角、數(shù)列、不等式等，占高中數(shù)學(xué)課程的半壁江山。函數(shù)思想是高考考查的重點，三角函數(shù)是特殊的函數(shù)，解題時也可以從函數(shù)角度考慮。

例2.（2017全國Ⅱ卷理14）

已知函數(shù)的最大值是_______

分析：，

∴當(dāng)時，f（x）max=1.

【設(shè)計意圖】本題以正弦函數(shù)、余弦函數(shù)為基本函數(shù)，構(gòu)造一個新的函數(shù)，求該新函數(shù)的最大值。要像例題1用“歸一法”直接化簡合并，不會成功，要利用三角恒等變換配方成二次型函數(shù)，應(yīng)用函數(shù)思想得到最大值。

例3.（2018全國Ⅰ卷理16）f（x）=2sinx+sin2x，則f（x）的最小值是_____________.

素養(yǎng)分析：

∴cosx≥-1∴令f'（x）=0，有

∴sinx=或-，又定義域為R，將或分別代入f（x）得極小值-，則最小值-。

【設(shè)計意圖】本題給出兩個正弦函數(shù)的和，利用三角恒等變換解決最值問題。這兩函數(shù)次數(shù)一樣都是一次，但周期不同，要像例題1用“歸一法”直接化簡合并，不會成功，要應(yīng)用函數(shù)思想求導(dǎo)討論極值點，注意定義域R，開區(qū)間上的最值一定是極值，從而得到最大值和最小值。糾正學(xué)生思維定式，進(jìn)一步升華。

3.提能檢測

例4.（2021八省聯(lián)考12）設(shè)函數(shù)則（ ）

A.f（x）=f（x+π）

B.f（x）的最大值為

C.f（x）在單調(diào)遞增

D.f（x）在單調(diào)遞減

分析：答案AD。定義域為R，

令，則

得，

當(dāng)時，f'（x）<0，f（x）為減函數(shù)。

當(dāng)時，-3<1+4sin2x<1，∴1+4sin2x<0時，f'（x）>0，1+4sin2x>0時，f'（x）<0。

三、引導(dǎo)學(xué)生歸納提升

本節(jié)課回歸課本，通過教材一道習(xí)題引出例題1和變式1、2，體現(xiàn)函數(shù)思想的應(yīng)用。例題2例題3是二次函數(shù)配方法及函數(shù)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，糾正學(xué)生思維定式，進(jìn)一步升華。通過一題多解、一題多變，讓學(xué)生思維水平在變中得到升華，增強(qiáng)思維的深刻性，并總結(jié)出利用三角函數(shù)求最值的方法：直接法、歸一法、配方法、函數(shù)求導(dǎo)法等。利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法，對含有三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的研究，函數(shù)最值問題的求解，是近幾年高考中的熱門話題，除了可以考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用能力之外，還可以考查三角函數(shù)特有的性質(zhì)。

參考文獻(xiàn)

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[3]金太陽教育研究院.中學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)通典數(shù)學(xué)篇.吉林出版集團(tuán)股份有限公司，2018.4