楊璧華 文尚平

【摘 要】基于高考“考查問題—小問題—具體問題”的高中數(shù)學問題解決的教學實施，主要包括教學原則、教學模式和教學設(shè)計三大實施策略，而基于問題解決的教學設(shè)計，應(yīng)當以創(chuàng)設(shè)數(shù)學情境、提出數(shù)學問題、開展數(shù)學對話為主要手段，以鍛煉和提升數(shù)學思維能力、方法技能為根本任務(wù)，以學會提出問題、分析問題、解決問題，最終實現(xiàn)和發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)為基本目標。

【關(guān)鍵詞】問題解決;數(shù)量積;二輪復(fù)習;教學設(shè)計

【作者簡介】楊璧華，一級教師;文尚平，高級教師，南寧市學科帶頭人，廣西基礎(chǔ)教育名師青藍工程培養(yǎng)對象。

【基金項目】2021年廣西“十四五”教育科學規(guī)劃B類重點課題“基于核心素養(yǎng)下高中數(shù)學‘學、教、評一致性教學設(shè)計的理論與實踐研究”（2021B200）

一、問題提出

《普通高中數(shù)學課程標準（2017版）》提出的課程建設(shè)目標是通過數(shù)學課程的學習，讓學生獲得進一步學習以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗（簡稱“四基”），提高從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”）[1]。數(shù)學家哈爾莫斯認為，問題是數(shù)學的心臟，波利亞則把數(shù)學當成是一門問題解決的學科，并把問題解決作為數(shù)學教學的焦點?？梢?，解決問題的教學已經(jīng)成為數(shù)學教學的核心，圍繞問題解決而開展的探究學習，既是數(shù)學教學的一種理念、策略和方法，也是數(shù)學課堂教學的一種基本組織形式。所以，圍繞問題解決而展開的教學設(shè)計，既需要數(shù)學學習論、數(shù)學教學論的理論基礎(chǔ)，又需要運用系統(tǒng)方法分析數(shù)學問題，確定數(shù)學教學目標，設(shè)計解決數(shù)學教學問題的策略方案、試行方案、評價試行結(jié)果和修改方案[2]。

基于問題解決的教學設(shè)計一般需要關(guān)注四個問題：①我們要到哪里去？（教學目標的設(shè)立）;②我們?nèi)绾未_保才能到達那里？（教學任務(wù)的分析）;③我們怎么到達那里？（教學策略的實施）;④我們怎么知道已經(jīng)到達那里？（教學評價的反饋），如圖1所示。所以，在數(shù)學教學設(shè)計中，從實施教學分析，擬訂教學目標，到開發(fā)教學策略，再到組織實施教學評價，實際上就是教學主體的內(nèi)外部條件和教學事件的系統(tǒng)化問題。因此，基于高考“考查問題—小問題—具體問題”的高中數(shù)學問題解決的教學設(shè)計，需要教師根據(jù)不同的學習結(jié)果，創(chuàng)設(shè)不同的學習內(nèi)部條件并安排相應(yīng)的學習外部條件。筆者以“平面向量的數(shù)量積”復(fù)習課教學為例，探索關(guān)于數(shù)學問題解決視角下的教學設(shè)計與實踐。

二、教學分析

1.教材分析

平面向量的數(shù)量積涵蓋了幾何、代數(shù)及三角函數(shù)三大板塊的主干知識，背景知識豐富。筆者通過對近5年高考數(shù)學全國課標卷試題的研究發(fā)現(xiàn)，課標卷中平面向量的考查題型基本以客觀題為主，內(nèi)容以平面向量的基本定理的應(yīng)用，數(shù)量積（范圍）的求解，模長、夾角的計算為主，解法上弱化解題技巧而注重通性通法。常與函數(shù)的構(gòu)造、三角函數(shù)范圍、不等式與最值、解析幾何與平面幾何、立體幾何空間角等內(nèi)容進行考查，體現(xiàn)平面向量的工具性和應(yīng)用性，考查學生數(shù)學運算、邏輯推理、綜合分析解決問題的能力（如圖2）?；谄矫嫦蛄繑?shù)量積的復(fù)習，應(yīng)重點關(guān)注求夾角、求模、求數(shù)量積三個小問題解決過程中的知識要求、運算要求、推理要求及邏輯思維的要求。所以，弄清楚問題解決作為一種學習結(jié)果，方可為安排相應(yīng)的學習外部條件提供科學依據(jù)。

2.教學目標

根據(jù)問題解決教學的課型特征設(shè)立教學目標，并將目標細化為一系列子目標。因此，平面向量的數(shù)量積復(fù)習應(yīng)該以問題解決作為教學目標，教學目標如下。

（1）通過題組訓練，使學生掌握數(shù)量積、夾角等概念，并掌握數(shù)量積的運算公式、運算法則、運算方法。

（2）通過考查問題，培養(yǎng)學生學會發(fā)現(xiàn)問題、分析問題的意識，進一步強化求解數(shù)量積的基本策略和方法。引導(dǎo)學生學會關(guān)聯(lián)并實施運用基底法、坐標法求解平面向量數(shù)量積，并在學習過程中并通過問題變式，層層深入，使學生掌握并能熟練運用這兩個方法。

（3）通過課堂交流，提升學生分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學生學會思考、學會聆聽、學會合作、學會交流的能力。

3.教學重難點

（1）教學重點：復(fù)習并掌握定義法、基底法、坐標法求解數(shù)量積，并在此基礎(chǔ)上拓展極化恒等式及應(yīng)用。

（2）教學難點：學會靈活應(yīng)用求解平面向量的數(shù)量積的方法。

根據(jù)問題解決教學習得知識的過程和條件設(shè)計學習的外部條件，明確如何到那里。所以，教學設(shè)計中的重難點設(shè)立應(yīng)遵循“一明一暗”（知識與方法）兩條線的原則。本節(jié)課的“明線”是向量數(shù)量積問題解決的結(jié)構(gòu)知識，“暗線”是數(shù)量積問題解決的思想方法。問題的設(shè)計也是由具體知識到解決問題工具，再到解決問題思想方法，梯度式地發(fā)展學生核心素養(yǎng)。

4.教學關(guān)鍵點

（1）教學設(shè)計中，問題的設(shè)計、生成與變式，是追求有效教學的重要因素，數(shù)量積求解過程中，需要對照教學目標檢測學生的學習效果，確定是否已經(jīng)到達那里。

（2）向量具有良好的運算性質(zhì)，數(shù)量積可以使圖形中的夾角運算、距離運算有效地轉(zhuǎn)化為向量運算，所以教學設(shè)計必需先解決知識的上下位關(guān)系，同時需要解決向量運算所蘊含的思想方法的提煉、開發(fā)和實施評價，以確定我們怎么知道已經(jīng)到達那里。

三、教學過程設(shè)計

環(huán)節(jié)一：基于課型特征，解決要到哪里去的問題

通過教學前測，了解學生對平面向量數(shù)量積知識的掌握情況，并通過限時訓練，激發(fā)學生的學習主動性，明確本節(jié)課的學習目標。

課前小測（5分鐘）

【設(shè)計意圖】基于問題解決視角下的教學設(shè)計，需要回答的第一個問題是：我們要到哪里去？即教學目標是什么？問題解決的教學目標應(yīng)該具有“導(dǎo)教、導(dǎo)學、導(dǎo)測評”的功能，通過課前測試，實施教學分析，以確定我們要到哪里去，并為課堂活動的實施做好鋪墊，讓學生明確學習目標、重點、難點，帶著問題進行學習。

環(huán)節(jié)二：設(shè)置問題解決的學習目標并進行任務(wù)分析，解決確保能到那里去的問題

解決到哪里去的問題，首先，教師需要引導(dǎo)學生用外顯的行為動作與內(nèi)部心理過程相結(jié)合的方式進行任務(wù)分析，讓學生明確到哪里去。

師：時間到，請5題都做了的同學舉手，請5題都做對的同學舉手。

師：你做對了哪幾題？有什么體會？你是因為什么原因錯了這一題？錯在哪里？

由于前面已經(jīng)系統(tǒng)復(fù)習了平面向量數(shù)量積的定義，以及夾角、模的求解等知識，學生基本可以熟練地運用定義法、投影法、基底法、坐標法等基本方法求數(shù)量積，初步掌握了研究向量問題的基本思想和方法。設(shè)計課前小測，是為本節(jié)課新問題的復(fù)習與探究熱身。第1題意在鞏固平面向量數(shù)量積的定義，第2題揭示了模與夾角的運算離不開數(shù)量積的求解，第3題意在讓學生體會求數(shù)量積常用的幾種方法，第4題意在考查向量數(shù)量積小于0與向量夾角為鈍角并非等價關(guān)系，第5題意在鞏固向量運算法則與基底轉(zhuǎn)化法。

【設(shè)計意圖】運用學習結(jié)果分類理論，將學習目標細化為一系列子目標，提示學生回憶先決知識技能。通過師生互動、生生互動，歸納出數(shù)量積求解公式的五種形式、四種方法，以及與之相關(guān)的上下位知識，這既是平面向量數(shù)量積復(fù)習課教學目標達成的一部分，也是問題解決視角下背景分析、路徑探究的重要環(huán)節(jié)。

環(huán)節(jié)三：設(shè)計問題解決教學事件，解決如何到那里的問題

解決如何到那里的問題，需要教師在教學設(shè)計中呈現(xiàn)設(shè)計的樣例，樣例要有針對性、互補性，才能有效促進問題的解決。

例1 如圖4，在正方形ABCD中，AB=2，點E為BC中點，則AC·AE的值___________。

【設(shè)計意圖】基于問題解決視角的數(shù)學教學設(shè)計，教師需關(guān)注以下問題：我們?nèi)绾蔚竭_那里？即教學策略是什么？通過開發(fā)有效的教學策略，以確定我們?nèi)绾蔚竭_那里。向量數(shù)量積問題的求解，需要掌握最基本、最常用的三大形式（定義式、基底式、坐標式），這是確保教學目標實現(xiàn)的基本環(huán)節(jié)。

平面向量的最值問題通常需要找到合適的變量，例2的設(shè)計意在引導(dǎo)學生尋找到已知變量和未知變量之間的關(guān)系，促進學生對數(shù)量積求解方法的理解。

師：結(jié)合我們剛才歸納的方法，對于例2，同學們會選擇什么方法求解呢？

學生在教師的引導(dǎo)下，展現(xiàn)以下三種解題方法。

通過以上三種解法，學生總結(jié)出以下解題規(guī)律。

（1）當兩個向量共線反向時，數(shù)量積達到最小值;當共線同向時，數(shù)量積達到最大值。

課堂教學，功在預(yù)設(shè)，貴在生成。根據(jù)課堂中學生的實際情況，教師應(yīng)及時作出教學調(diào)整，提供反饋與糾正。關(guān)于平面向量數(shù)量積的考查，除了考查概念、公式等基礎(chǔ)知識，還要考查相關(guān)的基本技能與方法，而結(jié)構(gòu)不良條件下的數(shù)量積求解，需要學生具備合理的轉(zhuǎn)化與劃歸能力。筆者根據(jù)學生學情，設(shè)計了以下例題及變式。

【設(shè)計意圖】考查問題及變式，意在活學活用。極化恒等式的優(yōu)點是方便利用已知條件，用整體、方程、化歸思想把復(fù)雜的幾何問題轉(zhuǎn)化為簡單的代數(shù)問題。學生在利用前面掌握的方法求解例3時，由于很難處理條件中的夾角、模、基底之間的相互關(guān)系，因此解題思維受阻。這時，就需要突破原有的知識結(jié)構(gòu)，探索新的方法。

【設(shè)計意圖】提升學生的運算能力，關(guān)鍵在于幫助學生提升算法與算理的能力。平面向量數(shù)量積求解中的動態(tài)問題，如果只從幾何圖形要素“邊、角、面積”出發(fā)，受知識結(jié)構(gòu)的影響，學生分析問題的思維一般會受阻。而如果從幾何問題代數(shù)化的角度考慮，使運算最終落在函數(shù)的圖象與性質(zhì)上，此時從平面圖形的基本特征出發(fā)，建立直角坐標系，可以幫助學生有效解決平面向量數(shù)量積動態(tài)問題。

環(huán)節(jié)四：分析問題解決教學的課型特征，解決確定是否已經(jīng)到那里的問題

課堂教學是否已經(jīng)達到預(yù)期目標，學生是否已經(jīng)掌握了本節(jié)課的基本知識、基本技能、基本方法，教師可以通過歸納總結(jié)、對話交流等形式，進行檢查遷移。

基于考查問題的主線，本節(jié)課按“考查問題——小問題——具體問題”展開，規(guī)律如圖9所示。

平面向量考查關(guān)鍵問題的試題一般遵循以下三個維度的命題原則：能力立意（維度一）、情境（維度二）、設(shè)問（維度三）?；谏鲜鋈齻€維度，我們歸納如下。

1.求解平面向量數(shù)量積的小題題型結(jié)構(gòu)（題胚）

已知：向量（三角形、四邊形）的模長（與模有關(guān)的等式）、夾角、點（動點）、坐標。

求：某兩個向量的數(shù)量積的值（范圍）。

2.基于關(guān)鍵考查問題的變式

從問題表征角度歸納總結(jié)向量數(shù)量積考查問題的題型結(jié)構(gòu)（題胚），并從問題變式角度歸納總結(jié)向量數(shù)量積問題的考查本質(zhì)特點，目的是歸納解題的一般方法，獲得解決此類問題的規(guī)律。（1）條件變式：變換平面圖形，恒等式結(jié)構(gòu)，使得運用數(shù)量積公式時能夠準確選擇合適的求解公式。（2）結(jié)論變式：根據(jù)條件求數(shù)量積的值或范圍。

【設(shè)計意圖】從問題解決的視角進行數(shù)學教學，不應(yīng)該只是側(cè)重于解決常規(guī)的數(shù)學問題，還應(yīng)該鼓勵學生在給定的情境中提出問題或者通過修改原問題的條件創(chuàng)設(shè)新的問題。

四、教學反思

學起于思，思起于疑。問題既是學生思維的起點也是學生思維的動力源泉，既是教學策略也是教學組織的基本形式。所以，教師在理解好教學內(nèi)容、明確好教學目標、把握好內(nèi)容本質(zhì)的基礎(chǔ)上，要提出并設(shè)計合適的、遞進式的問題，引導(dǎo)學生的展開更深入的思維訓練?；趩栴}解決的教學設(shè)計，要明確問題解決與教學設(shè)計之間的關(guān)聯(lián)性，主要體現(xiàn)在以下四個方面。

（一）問題解決的關(guān)鍵在問題圖式的獲取與遷移

基于高考“考查問題—小問題—具體問題”的高中數(shù)學問題解決，問題的提出是前提，但如何培養(yǎng)學生提出問題的能力目前依然值得我們深思。數(shù)學情境是問題解決的場域，也是問題表征的維度之一，所以可以通過對問題表征的轉(zhuǎn)變進而實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，還可以引導(dǎo)學生學會用數(shù)學語言表達數(shù)學問題，通過問題交流來開展問題解決的過程性數(shù)學活動，以及通過問題拓展來實現(xiàn)對問題解決的延續(xù)[3]。我們只有充分了解這些，才能更好地實施問題解決的教學設(shè)計。整個流程圖大致如下（如圖10）。

（二）問題解決教學設(shè)計要回答好四個問題

基于高考“考查問題—小問題—具體問題”的高中數(shù)學問題解決的教學實施策略，主要包括教學原則、教學模式和教學設(shè)計的策略[4]。而基于問題解決的教學設(shè)計，需要回答四個問題，即教學目標、教學任務(wù)、教學策略、教學評價的問題。

（三）問題解決習得的內(nèi)外部條件是有破有立的問題設(shè)計

課堂是教學的主陣地，做好問題解決的課堂教學設(shè)計，對于提高教學質(zhì)量，促進學生能力素質(zhì)發(fā)展具有重要意義。本節(jié)課從“考查問題→小問題→具體問題”三個層面組織開展教學活動，教學設(shè)計需層層推進，并且要有破有立。“考查問題”體現(xiàn)了對歷年平面向量高考試題的研究與再利用，體現(xiàn)了整體掌握高考試題考查的難度、方向的設(shè)計思想，是高考第二輪復(fù)習必不可少的工作。“小問題”體現(xiàn)了對高考平面向量試題中考查的思想方法的提煉與加工，“具體問題”體現(xiàn)了對平面向量具體知識點的復(fù)習與呈現(xiàn)?；诟呖荚囶}的內(nèi)容研究，抽象出考查的思想方法、能力維度，再回到具體知識點的歸納與復(fù)習。

基于問題解決的教學設(shè)計，教師既要關(guān)注設(shè)計的問題本身是否符合教學目標，也要關(guān)注問題的生成是否“自然”，還要關(guān)注問題的解決過程是否很好地發(fā)展了學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，所以教師提出有價值的問題，目標指向應(yīng)該是鼓勵和培養(yǎng)學生提出有價值的問題，最終落實“四基”“四能”。

參考文獻：

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[3]方小芹.基于“學習的條件和教學論”的問題解決教學設(shè)計[J].中小學數(shù)學，2016（11）：4-6.

[4]楊勇.核心素養(yǎng)下高中數(shù)學問題解決策略[J].教學與管理，2019（11）：60-64.

（責任編輯：陸順演）